Exemplos do Capítulo 5 - Sistemas com Dois Graus de Liberdade

Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB Universidade Federal do Recôncavo da Bahia UFRB Engenharia Mecânica Disciplina CET260 Vibrações Mecânicas Turma T01 Trabalho Exemplos do Capítulo 5 do livro Vibrações Mecânicas Capitulo 5 Sistemas com Dois Graus de Liberdade Professor Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Cruz das Almas 25 de Fevereiro de 2016 CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB Exemplo 51 Frequências de sistemas massamola Determine as frequências naturais e formas modais de um sistema massamola mostrado na figura 54 que esta restrita a moverse apenas no sentido vertical Considere 𝑛 1 Dados Sistema massamola Movimento Vertical 𝑛 1 Massas 𝑚1 𝑚2 𝑚 Molas 𝑘1 𝑘2 𝑘3 𝑘 Determinar Frequências Naturais 𝜔𝑖 Formas Modais 𝑋 𝑖 Solução Estabelecendo as equações de movimento Massa 𝑚1 DCL 𝐹 𝑚𝑥 𝑘𝑥1 𝑘𝑥2 𝑥1 𝑚𝑥1 𝑚𝑥1 2𝑘𝑥1 𝑘𝑥2 0 1 Massa 𝑚2 𝐷 𝐶 𝐿 CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 𝐹 𝑚𝑥 𝑘𝑥2 𝑥1 𝑘𝑥2 𝑚𝑥2 𝑚𝑥2 𝑘𝑥1 2𝑘𝑥2 0 2 Assumindo uma solução Harmônica do tipo 𝑥1𝑡 𝑋1 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝑥1𝑡 𝑋1 𝜔𝑆𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜙 𝑥1𝑡 𝑋1𝜔2 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝑥2𝑡 𝑋2 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝑥2𝑡 𝑋2 𝜔𝑆𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜙 𝑥2𝑡 𝑋2𝜔2 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 Substituindo nas equações 1 e 2 temos 2𝑘 𝑚𝜔2𝑋1 𝑘𝑋2 0 𝑘𝑋1 2𝑘 𝑚𝜔2𝑋2 0 Na forma matricial 2𝑘 𝑚𝜔2 𝑘 𝑘 2𝑘 𝑚𝜔2 𝑋1 𝑋2 0 0 Para uma solução não trivial 𝑋𝑖 0 temos 2𝑘 𝑚𝜔2 𝑘 𝑘 2𝑘 𝑚𝜔2 0 2𝑘 𝑚𝜔2² 𝑘2 0 𝑚2𝜔4 4𝑚𝑘𝜔2 3𝑘2 0 𝑚𝜔2 3𝑘𝑚𝜔2 𝑘 0 𝜔1 2 𝑘 𝑚 𝜔1 𝑘 𝑚 𝜔2 2 3𝑘 𝑚 𝜔2 3𝑘 𝑚 Formas Modais 𝑋 𝑖 Para 𝜔 𝜔1 Modo normal 𝑋 1 𝑋1 1 𝑋2 1 Substituindo o 𝜔1 e o 𝑋 1 na equação temos 2𝑘 𝑚𝜔1 2𝑋1 1 𝑘𝑋2 1 0 𝑋2 1 𝑋1 1 2𝑘 𝑚𝜔1 2 𝑘 𝑟1 Substituindo o valor de 𝜔1 𝑟1 2𝑘 𝑚𝜔1 2 𝑘 𝑘 𝑘 1 𝑋2 1 𝑋1 1 𝑋1 𝑋1 1 1 1 𝑒𝑚 𝑓𝑎𝑠𝑒 00 Visualização do 1 modo de Vibração CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB Para 𝜔 𝜔2 𝑋 2 𝑋1 2 𝑋2 2 Substituindo o 𝜔2 e o 𝑋 2 na equação temos 2𝑘 𝑚𝜔2 2𝑋1 2 𝑘𝑋2 2 0 𝑋2 2 𝑋1 2 2𝑘 𝑚𝜔2 2 𝑘 𝑘 𝑘 1 𝑟2 𝑋2 2 𝑋1 2 𝑋 2 𝑋1 2 1 1 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 1800 Visualização do 2 modo de Vibração Resposta de vibração livre no tempo é No 1º modo 𝑥 1 𝑥1 1𝑡 𝑥2 1𝑡 𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠𝜔1𝑡 𝜙1 𝑟1𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠𝜔1𝑡 𝜙1 𝑥 1 𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠 𝑘 𝑚 𝑡 𝜙1 𝐶𝑜𝑠 𝑘 𝑚 𝑡 𝜙1 No 2º modo 𝑥 2 𝑥1 2𝑡 𝑥2 2𝑡 𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠𝜔2𝑡 𝜙2 𝑟2𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠𝜔2𝑡 𝜙2 𝑥 2 𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠 3𝑘 𝑚 𝑡 𝜙2 𝐶𝑜𝑠 3𝑘 𝑚 𝑡 𝜙2 O movimento geral do sistema é 𝑥 𝑡 𝑥 1𝑡 𝑥 2𝑡 𝑥1 1𝑡 𝑥1 2𝑡 𝑥2 1𝑡 𝑥2 2𝑡 No 1 gdl 𝑥1𝑡 𝑥1 1𝑡 𝑥1 2𝑡 𝑥1𝑡 𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠𝜔1𝑡 𝜙1 𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠𝜔2𝑡 𝜙2 𝑥1𝑡 𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠 𝑘 𝑚 𝑡 𝜙1 𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠 3𝑘 𝑚 𝑡 𝜙2 No 2º gdl CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 𝑥2𝑡 𝑥2 1𝑡 𝑥2 2𝑡 𝑥2𝑡 𝑋2 𝑡 𝐶𝑜𝑠𝜔1𝑡 𝜙1 𝑋2 2 𝐶𝑜𝑠𝜔2𝑡 𝜙2 𝑥2𝑡 𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠 𝑘 𝑚 𝑡 𝜙1 𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠 3𝑘 𝑚 𝑡 𝜙2 Exemplo 52 Condições iniciais para excitar modo específico Determine as condições iniciais que precisam ser aplicadas ao sistema na figura 54 de modo a fazêlo vibrar em a No primeiro modo b No segundo modo Dados Sistema com 2 gdl Massas 𝑚1 𝑚2 𝑚 Molas 𝑘1 𝑘2 𝑘3 𝑘 Determinar As condições iniciais 𝑥 𝑡 0 𝑥 𝑡 0 Para a O sistemas vibrar no 1º modo b O sistemas vibrar no 2º modo Solução A Solução Geral obtida no exemplo 51 é Para o 1º gdl 𝑥1𝑡 𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠 𝑘 𝑚 𝑡 𝜙1 𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠 3𝑘 𝑚 𝑡 𝜙2 Para o 2º gdl 𝑐𝑜𝑚 𝑟1 1 𝑟2 1 𝑥2𝑡 𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠 𝑘 𝑚 𝑡 𝜙1 𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠 3𝑘 𝑚 𝑡 𝜙2 Para condições iniciais Deslocamento 𝑥𝑡 0 𝑥10 𝑥20 Velocidade 𝑥𝑡 0 𝑥10 𝑥20 CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB Aos componentes dos modos em termos das condições iniciais 1º Modo 𝑋1 1 1 𝑟2 𝑟1 𝑟2𝑥10 𝑥20 2 𝑟2𝑥10 𝑥20 2 𝜔1 2 1 2 𝑋1 1 1 2 𝑥10 𝑥20 2 𝑚 𝑘 𝑥10 𝑥20 2 1 2 2º Modo 𝑋1 2 1 𝑟2 𝑟1 𝑟1𝑥10 𝑥20 2 𝑟1𝑥10 𝑥20 2 𝜔2 2 1 2 𝑋1 2 1 2 𝑥10 𝑥20 2 𝑚 3𝑘 𝑥10 𝑥20 2 1 2 As fases 𝜙1 𝑇𝑎𝑛1 𝑟2𝑥10 𝑥20 𝜔1𝑟2𝑥10 𝑥20 𝜙1 𝑇𝑎𝑛1 𝑥10 𝑥20 𝑥10 𝑥20 𝑚 𝑘 𝜙2 𝑇𝑎𝑛1 𝑟1𝑥10 𝑥20 𝜔2𝑟1𝑥10 𝑥20 𝜙2 𝑇𝑎𝑛1 𝑥10 𝑥20 𝑥10 𝑥20 𝑚 3𝑘 a O primeiro modo 𝑥𝑡 𝑥1𝑡 𝑥𝑡 𝑥1 1𝑡 𝑥2 1𝑡 𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠 𝑘 𝑚 𝑡 𝜙1 𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠 𝑘 𝑚 𝑡 𝜙1 Comparando com a solução geral para que exista o 1º modo temos que 𝑋1 2 0 0 1 2 𝑥10 𝑥20 2 𝑚 3𝑘 𝑥10 𝑥20 2 1 2 𝑥10 𝑥20 0 𝑥10 𝑥20 𝑥10 𝑥20 0 𝑥10 𝑥20 b O 2º modo temos que 𝑥𝑡 𝑥2𝑡 𝑥1 2𝑡 𝑥2 2𝑡 𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠 3𝑘 𝑚 𝑡 𝜙2 𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠 3𝑘 𝑚 𝑡 𝜙2 Comparando com a solução geral para que só exista o 2º modo temos que 𝑋1 1 0 CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 1 2 𝑥10 𝑥20 2 𝑚 𝑘 𝑥10 𝑥20 2 1 2 0 𝑥10 𝑥20 0 𝑥10 𝑥20 𝑥10 𝑥20 0 𝑥10 𝑥20 Exemplo 53 Resposta de vibração livre de um sistema com 2 graus de liberdade Determine a resposta de vibração livre do sistema exposta na figura com 𝑘1 30 𝑁 𝑚 𝑘2 5 𝑁 𝑚 𝑘3 0 𝑁 𝑚 𝑚1 10 𝑘𝑔 𝑚2 1 𝑘𝑔 para as condições iniciais 𝑥𝑡 0 1 0𝑡 𝑚 𝑥𝑡 0 0 0𝑡 𝑚𝑠 Dados Sistema massamola Massas 𝑚1 10𝑘𝑔 𝑚2 1𝑘𝑔 Molas 𝑘1 30 𝑁 𝑚 𝑘2 5 𝑁 𝑚 𝑘3 0 𝑁 𝑚 Determinar Resposta de Vibração Livre 𝑥𝑡 Para as condições iniciais 𝑥𝑡 0 1 0 𝑚 𝑥𝑡 0 1 0 𝑚 𝑠 Solução Resposta de vibração livre 𝑥𝑡 𝑥 𝑡 𝑥 1𝑡 𝑥 2𝑡 𝑥 1 𝑥1 1𝑡 𝑥2 1𝑡 𝑥 2 𝑥1 2𝑡 𝑥2 2𝑡 𝑥𝑖 𝑗 𝑋𝑖 𝑗 Cos𝜔𝑗𝑡 𝜙𝑗 𝑖 12 𝑗 12 Precisase dos Modos 𝑋1 1 𝑋2 2 As frequências naturais 𝜔1 𝜔2 e suas respectivas fases 𝜙1 𝜙2 Portanto Frequências Naturais 𝜔𝑖 𝑖 1 2 Os dcl das massas do sistema não amortecido Estabelecendo a equação de movimento do sistema via segunda lei de Newton 𝐹 𝑚𝑥 temos 𝑚1𝑥1𝑡 𝑘1 𝑘2𝑥1𝑡 𝑘2𝑥2𝑡 0 𝑚2𝑥2𝑡 𝑘2𝑥1𝑡 𝑘2 𝑘3𝑥2𝑡 0 Para uma solução harmônica temos CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 𝑥1𝑡 𝑋1 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝑥1𝑡 𝑋1𝜔 𝑆𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜙 𝑥1𝑡 𝑋1𝜔2 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝑥2𝑡 𝑋2 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝑥2𝑡 𝑋2𝜔 𝑆𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜙 𝑥2𝑡 𝑋2𝜔2 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 Substituindo nas equações de movimento temos 𝑘1 𝑘2 𝑚1𝜔2 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑘3 𝑚2𝜔2 𝑋1 𝑋2 0 Substituindo os valores dos parâmetros temos 10𝜔2 35 5 5 𝜔2 5 𝑋1 𝑋2 0 0 Para solução não trivial 𝑋𝑖 0 𝑖 10𝜔2 35 5 5 𝜔2 5 0 10𝜔2 35𝜔2 5 25 0 2𝜔4 17𝜔2 30 0 Por Bhaskara 𝜔2 𝜔2 𝑏 𝑏2 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑎 2 𝑏 17 𝑐 30 𝜔𝑖 2 17 172 240 4 17 7 4 𝜔1 2 10 4 25 𝜔1 158 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝜔2 2 24 4 6 𝜔2 254 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Os Modos Para 𝜔1 𝑋 1 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑇 Na equação temos 10𝜔1 2 35𝑋1 1 5𝑋2 1 0 𝑋2 1 𝑋1 1 10𝜔1 2 35 5 10 1582 35 5 𝑋2 1 𝑋1 1 2 𝑟1 𝑋2 1 2𝑋1 1 O 1º Modo 𝑋 1 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋1 1 1 2 Para 𝜔2 𝑋 2 𝑋1 2 𝑋2 2 𝑇 Na equação temos 10𝜔2 2 35𝑋1 2 5𝑋2 2 0 𝑋2 2 𝑋1 2 10𝜔2 2 35 5 10 2542 35 5 𝑋2 2 𝑋1 2 5 𝑟2 𝑋2 2 5𝑋1 2 O 2º Modo CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 𝑋 2 𝑋1 2 𝑋2 2 𝑋1 2 1 5 A resposta em vibração livre é 𝑥1𝑡 𝑋1 1 Cos𝜔1𝑡 𝜙1 𝑋1 2 Cos𝜔2𝑡 𝜙2 𝑥1𝑡 𝑋1 1𝐶𝑜𝑠158𝑡 𝜙1 𝑋1 2𝐶𝑜𝑠245𝑡 𝜙2 𝑥2𝑡 𝑋2 1 𝐶𝑜𝑠𝜔1𝑡 𝜙1 𝑋2 2 𝐶𝑜𝑠𝜔2𝑡 𝜙2 𝑥2𝑡 2𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠𝜔1𝑡 𝜙1 5 𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠𝜔2𝑡 𝜙2 𝑥2𝑡 2𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠158𝑡 𝜙1 5 𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠245𝑡 𝜙2 Utilizando as condições iniciais Para 𝑡 0 𝑠 𝑥10 1 𝑚 1 𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠𝜙1 𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠𝜙2 𝐼 𝑥20 0 𝑚 0 2𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠𝜙1 5 𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠𝜙2 𝐼𝐼 Fazendo 5 𝐼 𝐼𝐼 5 7𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠𝜙1 𝐼𝐼𝐼 2 𝐼 𝐼𝐼 2 7𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠𝜙2 𝐼𝑉 Velocidades 𝑥1𝑡 158𝑋1 1 𝑆𝑒𝑛158𝑡 𝜙1 245 𝑋1 2 𝑆𝑒𝑛245𝑡 𝜙2 𝑥2𝑡 316𝑋1 1 𝑆𝑒𝑛158𝑡 𝜙1 1225 𝑋1 2 𝑆𝑒𝑛245𝑡 𝜙2 Para 𝑡 0 𝑠 𝑥10 0 𝑚 𝑠 0 158𝑋1 1 𝑆𝑒𝑛𝜙1 245 𝑋1 2 𝑆𝑒𝑛𝜙2 𝑉 𝑥20 0 𝑚 𝑠 0 316𝑋1 1 𝑆𝑒𝑛𝜙1 1225 𝑋1 2 𝑆𝑒𝑛𝜙2 𝑉𝐼 Fazendo 2 𝑉 𝑉𝐼 1715𝑋1 2𝑆𝑒𝑛𝜙2 0 𝑉𝐼𝐼 Fazendo 5 𝑉 𝑉𝐼 1056𝑋1 1𝑆𝑒𝑛𝜙1 0 𝑉𝐼𝐼𝐼 𝑋1 1 𝑆𝑒𝑛 𝜙1 0 𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠 𝜙1 5 7 𝑇𝑎𝑛 𝜙1 0 𝜙1 0 𝑋1 2 𝑆𝑒𝑛 𝜙2 0 𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠 𝜙2 2 7 𝑇𝑎𝑛 𝜙2 0 𝜙2 0𝑜 Substituindo na equação III temos 𝑋1 1 5 7 𝑋2 1 10 7 Substituindo na equação IV temos 𝑋1 2 2 7 𝑋2 2 10 7 CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB Portanto a resposta de vibração livre em cada gdl é 𝑥1𝑡 5 7 𝐶𝑜𝑠158𝑡 2 7 𝐶𝑜𝑠245𝑡 𝑥2𝑡 10 7 𝐶𝑜𝑠158𝑡 10 7 𝐶𝑜𝑠245𝑡 Exemplo 54 Frequências de sistema torcional Determine as frequências naturais e formas modais de um sistema torcional mostrado na figura 57 para 𝐽1 𝐽0 𝐽2 2𝐽0 𝑒 𝑘𝑡1 𝑘𝑡2 𝑘𝑡 Dados Sistema eixodisco torcional Eixos Rigidez Torcional 𝑘𝑡1 𝑘𝑡2 𝑘𝑡 𝑁𝑚 𝑟𝑎𝑑 Discos Momento de inércia polar dos discos 𝐽1 𝐽0 𝐽2 2𝐽0 𝑘𝑔𝑚2 Determine Frequências Naturais 𝜔𝑖 Formas Modais 𝑋 𝑖 CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB Solução Frequências Naturais 𝜔𝑖 Da segunda lei de Newton temos 𝑀0 𝐽𝜃 Disco 1 𝐽1𝜃1 𝑘𝑡1𝜃1 𝑘𝑡2𝜃2 𝜃1 𝐽1𝜃1 𝑘𝑡1 𝑘𝑡2𝜃1 𝑘𝑡2𝜃2 0 1 Disco 2 𝐽2𝜃2 𝑘𝑡2𝜃2 𝜃1 𝐽2𝜃2 𝑘𝑡2𝜃1 𝑘𝑡2𝜃2 0 2 Substituindo os valores dos parâmetros nas equações 1 e 2 temos 𝐽0𝜃1 2𝑘𝑡𝜃1 𝑘𝑡𝜃2 0 2𝐽0𝜃2 𝑘𝑡𝜃1 𝑘𝑡𝜃2 0 Assumindo uma solução harmônica da forma 𝜃1𝑡 𝛩1 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝜃1 𝛩1 𝜔𝑆𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜙 𝜃1 𝛩1 𝜔2𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝜃2𝑡 𝛩2 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝜃2 𝛩2 𝜔𝑆𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜙 𝜃2 𝛩2 𝜔2𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 Substituindo nas equações de movimento temos 𝐽0𝜔2 2𝑘𝑡𝛩1 𝑘𝑡𝛩2 0 𝑘𝑡𝛩1 2𝐽0𝜔2 𝑘𝑡𝛩2 0 𝐽0𝜔2 2𝑘𝑡 𝑘𝑡 𝑘𝑡 2𝐽0𝜔2 𝑘𝑡 𝛩1 𝛩2 0 Para uma solução não trivial 𝛩𝑖 0 𝑖 𝐽0𝜔2 2𝑘𝑡 𝑘𝑡 𝑘𝑡 2𝐽0𝜔2 𝑘𝑡 0 𝐽0𝜔2 2𝑘𝑡2𝐽0𝜔2 𝑘𝑡 𝑘𝑡 2 0 2𝐽0 2𝜔4 5𝐽0𝑘𝑡𝜔2 𝑘𝑡 2 0 Aplicando Bhaskara 𝜔𝑖 2 𝜔𝑖 2 𝑏 𝑏2 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑎 2𝐽0 2 𝑏 5𝐽0𝑘𝑡 𝑐 𝑘𝑡 2 CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 𝜔𝑖 2 5𝐽0𝑘𝑡 25𝐽0 2𝑘𝑡 2 8𝐽0 2𝑘𝑡 2 4𝐽0 2 𝜔1 𝑘𝑡 4𝐽0 5 17 𝜔2 𝑘𝑡 4𝐽0 5 17 Formas Modais Para 𝜔1 O primeiro Modo 𝛩 1 𝛩1 1 𝛩2 1 𝑇 Substituindo 𝜔 𝜔1 numa das equações de temos 𝐽0𝜔1 2 2𝑘𝑡𝛩1 1 𝑘𝑡𝛩2 1 0 𝛩2 1 𝛩1 1 𝐽0𝜔1 2 2𝑘𝑡 𝑘𝑡 Considerando o valor de 𝜔1 temos 𝑟1 𝛩2 1 𝛩1 1 3 17 4 178 𝛩2 1 178𝛩1 1 𝛩 1 𝛩1 1 1 178 Para 𝜔2 O segundo Modo 𝛩 2 𝛩1 2 𝛩2 2 𝑇 Substituindo 𝜔 𝜔2 numa das equações de temos 𝐽0𝜔2 2 2𝑘𝑡𝛩1 2 𝑘𝑡𝛩2 2 0 𝛩2 2 𝛩1 2 𝐽0𝜔2 2 2𝑘𝑡 𝑘𝑡 Considerando o valor de 𝜔2 temos 𝑟2 3 17 4 028 𝛩2 2 028𝛩1 2 𝛩 2 𝛩1 2 1 028 Exemplo 55 Frequências naturais de uma hélice de motor naval O diagrama esquemático de um motor naval ligado a uma hélice por meio de engrenagens é mostrada na figura 58a Os momentos de inércia de massa do volante motor engrenagem 1 engrenagem 2 e hélice em 𝑘𝑔 𝑚² são 9000 1000 250 150 e 2000 respectivamente Determine as frequências naturais e formas modais do sistema em vibração torcional CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB Dados Motor naval Volante 𝐽𝑉 9000 𝑘𝑔𝑚² 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 Motor 𝐽𝑀 1000 𝑘𝑔𝑚² 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 Engrenagem 1 40 dentes 𝐽𝑒1 250 𝑘𝑔𝑚² 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 Engrenagem 2 20 dentes 𝐽𝑒2 150 𝑘𝑔𝑚² 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 Hélice 𝐽𝐻 2000 𝑘𝑔𝑚² 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 Determinar Frequências Naturais 𝜔𝑖 Formas modais 𝛩 𝑖 Solução O modelo matemático do sistema para vibração torcional é Considerando o volante como fixo porque 𝐽𝑉 Mola 𝑘𝑡1 do eixo 1 𝑘𝑡1 𝜋𝐺 32𝑙 𝐷2 𝑑2 Como 𝑑 0 𝑚 𝐷 01𝑚 𝑙 08𝑚 𝐺 80 109 𝑁𝑚2𝑎ç𝑜 𝑘𝑡1 𝜋80 109 3208 012 9817 105 𝑁 𝑟𝑎𝑑 Disco 1 𝐽1 Momento de inercia polar do disco 1 composta pelo Motor engrenagem 1 e 2 𝐽1 𝐽𝑀 𝐽𝑒1 𝐽𝑒2 1 𝐽𝑒21 Momento de inercia polar da engrenagem 2 em realação ao eixo 1 𝐽𝑒2 𝑟𝑔 2𝑚𝑒2 𝑟𝑔 raio de giração distância do eixo1 ao ponto onde está a massa concentrada Como 𝑟𝑔 𝑟1 𝐽𝑒21 𝑟1 2𝑚𝑒2 Velocidade Tangencial 𝜐𝑡 CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB Engrenagem 1 𝜐𝑡 𝜔1𝑟1 Engrenagem 2 𝜐𝑡 𝜔2𝑟2 𝜐𝑡 𝜔1𝑟1 𝜔2𝑟2 𝑟1 𝑟2 𝜔2 𝜔1 2𝜋𝑟1 2𝜋𝑟2 40 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 20 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 2 𝑟1 2𝑟2 𝐽𝑒21 22𝑟2 2𝑚𝑒2 22𝐽𝑒2 Substituindo na equação temos 𝐽1 1000 250 22 150 1850 𝑘𝑔𝑚2 Mola 𝑘𝑡2 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 2 𝑘𝑡2 𝜋𝐺 32𝑙 𝐷2 Como 𝐷 015𝑚 𝑙 10𝑚 𝐺 80 109 𝑁𝑚2aço 𝑘𝑡2 𝜋80 109 3210 0152 3976 106 𝑁 𝑟𝑎𝑑 Disco 2 𝐽2 𝐽2 𝐽𝐻 1 Momento de inercia da hélice em relação ao eixo 1 Como 𝐽𝐻 1 22𝐽𝐻 𝐽2 22 2000 8000 𝑘𝑔𝑚2 Da segunda lei de Newton 𝑀𝑜 𝐽𝑜𝜃 Disco 1 𝐽1𝜃1 𝑘𝑡1𝜃1 𝑘𝑡2𝜃2 𝜃1 𝐽1𝜃1 𝑘𝑡1 𝑘𝑡2𝜃1 𝑘𝑡2𝜃2 0 1 Disco 2 𝐽2𝜃2 𝑘𝑡2𝜃2 𝜃1 𝐽2𝜃2 𝑘𝑡1𝜃1 𝑘𝑡2𝜃2 0 2 Para uma solução harmônica de forma 𝜃1𝑡 𝛩1 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝜃1𝑡 𝛩1𝜔 𝑆𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜙 𝜃1𝑡 𝛩1𝜔2 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝜃2𝑡 𝛩2 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝜃2𝑡 𝛩2𝜔 𝑆𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜙 𝜃2𝑡 𝛩2𝜔2 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB Substituindo nas equações de movimento 1 e 2 𝐽1𝜔2 𝑘𝑡1 𝑘𝑡2𝛩1 𝑘𝑡2𝛩2 0 𝑘𝑡1𝛩1 𝐽2𝜔2 𝑘𝑡2𝛩2 0 Na forma matricial 𝐽1𝜔2 𝑘𝑡1 𝑘𝑡2 𝑘𝑡2 𝑘𝑡1 𝐽2𝜔2 𝑘𝑡2 𝛩1 𝛩2 0 0 Para uma solução não trivial 𝛩 𝑖 0 𝐽1𝜔2 𝑘𝑡1 𝑘𝑡2 𝑘𝑡2 𝑘𝑡1 𝐽2𝜔2 𝑘𝑡2 0 𝐽1𝜔2 𝑘𝑡1 𝑘𝑡2𝐽2𝜔2 𝑘𝑡2 𝑘𝑡2 2 0 𝐽1𝐽2𝜔4 𝐽1𝑘𝑡2 𝐽2𝑘𝑡1 𝑘𝑡2𝜔2 𝑘𝑡1𝑘𝑡2 0 Por Bhaskara 𝜔2 𝜔𝑖 2 𝑏 𝑏2 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑎 𝐽1𝐽2 𝑏 𝐽1𝑘𝑡2 𝐽2𝑘𝑡1 𝑘𝑡2 𝑐 𝑘𝑡1𝑘𝑡2 Substituindo temos 𝜔𝑖 2 𝑘𝑡2 2𝐽2 𝑘𝑡2 𝑘𝑡1 2𝐽1 𝑘𝑡2 2𝐽2 𝑘𝑡2 𝑘𝑡1 2𝐽1 2 𝑘𝑡1𝑘𝑡2 𝐽1𝐽2 1 2 Substituindo os valores temos 𝜔𝑖 2 158846 150314 𝜔1 2 8531 𝜔1 923 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝜔2 2 309161 𝜔2 556 𝑟𝑎𝑑𝑠 Formas modais Para 𝜔1 O Primeiro Modo 𝛩 1 𝛩1 1 𝛩2 1 𝑇 Substituindo 𝜔 𝜔1 numa das equações da equação temos 𝐽1𝜔1 2 𝑘𝑡1 𝑘𝑡2𝛩1 1 𝑘𝑡2𝛩2 1 0 𝑟1 𝛩2 1 𝛩1 1 𝐽1𝜔1 2 𝑘𝑡1 𝑘𝑡2 𝑘𝑡2 Substituindo valores 𝑟1 121 𝛩2 1 121𝜃1 1 𝛩 1 𝛩1 1 1 121 Para 𝜔2 O Segundo Modo 𝛩 2 𝛩1 2 𝛩2 2 𝑇 Substituindo 𝜔 𝜔2 numa das equações da equação temos 𝐽1𝜔2 2 𝑘𝑡1 𝑘𝑡2𝛩1 2 𝑘𝑡2𝛩2 2 0 𝑟2 𝛩2 2 𝛩1 2 𝐽1𝜔2 2 𝑘𝑡1 𝑘𝑡2 𝑘𝑡2 Substituindo valores CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 𝑟2 0192 𝛩2 2 0192𝜃1 2 𝛩 2 𝛩1 2 1 0192 Exemplo 56 Coordenadas Principais de sistemas massamola Determine as coordenadas principais para o sistema massamola mostrado na figura 54 que está restrito a moverse apenas no sentido vertical Considere 𝑛 1 Dados Sistema massamola Movimento Vertical 𝑛 1 Massas 𝑚1 𝑚2 𝑚 Molas 𝑘1 𝑘2 𝑘3 𝑘 Determine As coordenadas principais 𝑞 𝑞1 𝑞2𝑇 Solução Com as coordenadas generalizadas 𝑥1 𝑥2 temos o dcl As equações do movimento aplicando a 2ª lei d Newton são 𝑚𝑥1 2𝑘𝑥1 𝑘𝑥2 0 𝑚𝑥2 𝑘𝑥1 2𝑘𝑥2 0 Como no exemplo 51 A solução geral nas coordenadas 𝑥1 𝑒 𝑥2 é dada por 𝑥 𝑥1𝑡 𝑥2𝑡 𝑥1𝑡 𝐵1 𝐶𝑜𝑠 𝑘 𝑚 𝑡 𝜙1 𝐵2 𝐶𝑜𝑠 3𝑘 𝑚 𝑡 𝜙2 𝐼 𝑥2𝑡 𝐵1 𝐶𝑜𝑠 𝑘 𝑚 𝑡 𝜙1 𝐵2 𝐶𝑜𝑠 3𝑘 𝑚 𝑡 𝜙2 2 Das equações de movimento observase o acoplamento nas coordenadas 𝑥1 𝑒 𝑥2 CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB Definindo outras coordenadas 𝑞1 𝑒 𝑞2 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑞1𝑡 𝐵1 𝐶𝑜𝑠 𝑘 𝑚 𝑡 𝜙1 𝑞2𝑡 𝐵2 𝐶𝑜𝑠 3𝑘 𝑚 𝑡 𝜙2 Onde 𝑞1𝑡 e 𝑞2𝑡 são harmônicas e suas equações de movimento podem ser 𝑞1 𝑘 𝑚 𝑞1 0 𝑐𝑜𝑚 𝜔1 𝑘 𝑚 𝑞2 3𝑘 𝑚 𝑞2 0 𝑐𝑜𝑚 𝜔2 3𝑘 𝑚 Observando as equações 1 e 2 temos 𝑥1𝑡 𝑞1𝑡 𝑞2𝑡 3 𝑥2𝑡 𝑞1𝑡 𝑞2𝑡 4 Das equações 3 e 4 temos que 3 4 𝑞1𝑡 1 2 𝑥1𝑡 𝑥2𝑡 3 4 𝑞2𝑡 1 2 𝑥1𝑡 𝑥2𝑡 Derivando as equações 3 e 4temos 𝑥1𝑡 𝑞1𝑡 𝑞2𝑡 𝑥2𝑡 𝑞1𝑡 𝑞2𝑡 Das equações do movimento em coordenadas físicas temos 𝑚𝑥1 2𝑘𝑥1 𝑘𝑥2 0 5 𝑚𝑥2 𝑘𝑥1 2𝑘𝑥2 0 6 Fazendo 56 𝑚𝑥1 𝑥2 𝑘𝑥1 𝑘𝑥2 0 𝑚𝑥1 𝑥2 𝑘𝑥1 𝑥2 0 7 Fazendo 56 𝑚𝑥1 𝑥2 3𝑘𝑥1 3𝑘𝑥2 0 𝑚𝑥1 𝑥2 3𝑘𝑥1 𝑥2 0 8 Substituindo na equação 7 temos 2𝑚𝑞1 2𝑘𝑞1 0 𝑚𝑞1 𝑘𝑞1 0 Substituindo na equação 8 temos 2𝑚𝑞2 2 3𝑘𝑞2 0 𝑚𝑞2 3𝑘𝑞2 0 Portanto temos um sistema de equações diferenciais de 2ª ordem desacopladas Exemplo 57 Frequências e modos de automóvel Determine as frequências da inclinação movimento angular e da estabilidade vertical movimento linear para cima e para baixo e a localização dos centros de oscilação nós de um automóvel com os seguintes dados ver figura 511 Massa 𝑚 1000 𝑘𝑔 Raio de giro 𝑟 09 𝑚 Distância entre eixo dianteiro e o CG 𝑙1 1 𝑚 Distância entre eixo traseiro e o CG 𝑙2 15 𝑚 Rigidez da mola dianteira 𝑘𝑓 18 𝑘𝑁𝑚 Rigidez da mola traseira 𝑘𝑟 22 𝑘𝑁𝑚 CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB Dados Automóvel Massa 𝑚 1000 𝑘𝑔 Raio de Giração 𝑟 09 𝑚 Distâncias 𝐸𝑖𝑥𝑜 𝐷𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝐶𝐺 𝑙1 1 𝑚 𝐸𝑖𝑥𝑜 𝑇𝑟𝑎𝑠𝑒𝑖𝑟𝑜 𝐶𝐺 𝑙2 15 𝑚 Molas 𝐷𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑘1 18 103𝑁𝑚 𝑇𝑟𝑎𝑠𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑘2 22 103 𝑁𝑚 Determine Frequências Naturais 𝜔𝑖 Formas Modais 𝑋 𝑖 𝑋1 𝑖 Θ𝑖 𝑇 Posição dos nós Solução Frequência Natural 𝜔𝑖 Consideramos as coordenadas 𝑥 𝜃 para o sistema temos o DCL Da 2ª lei de Newton 𝐹 𝑚𝑥 𝑚𝑥 𝑘1𝑥 𝑙1𝜃 𝑘2𝑥 𝑙2𝜃 Da 2ª lei de Newton 𝑀𝐶𝐺 𝐽𝐶𝐺𝜃 𝐽𝐶𝐺 𝐽𝑜 CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 𝐽𝑜𝜃 𝑘1𝑥 𝑙1𝜃𝑙1 𝑘2𝑥 𝑙2𝜃𝑙2 As equações do movimento são 𝑚𝑥 𝑘1 𝑘2𝑥 𝑘1𝑙1 𝑘2𝑙2𝜃 0 𝐽𝑜𝜃 𝑘1𝑙1 𝑘2𝑙2𝑥 𝑘1𝑙1 2 𝑘2𝑙2 2𝜃 0 Para soluções harmônicas de forma 𝑥𝑡 𝑋𝐶𝑜 𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝑥𝑡 𝑋𝜔 𝑆𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜙 𝑥𝑡 𝑋𝜔2 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝜃𝑡 𝛩 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝜃𝑡 𝛩𝜔 𝑆𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜙 𝜃𝑡 𝛩𝜔2 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 Substituindo nas equações de movimento temos 𝑚𝜔2 𝑘1 𝑘2𝑋 𝑘1𝑙1 𝑘2𝑙2𝛩 0 𝑘1𝑙1 𝑘2𝑙2𝑋 𝐽𝑜𝜔2 𝑘1𝑙1 2 𝑘2𝑙2 2𝛩 0 Na forma matricial 𝑚𝜔2 𝑘1 𝑘2 𝑘1𝑙1 𝑘2𝑙2 𝑘1𝑙1 𝑘2𝑙2 𝐽𝑜𝜔2 𝑘1𝑙1 2 𝑘2𝑙2 2 𝑋 𝛩 0 0 Substituindo os valores temos 1000𝜔2 40000 15000 15000 810𝜔2 67500 𝑋 Θ 0 0 Para uma solução não trivial 𝜒 𝛩 0 0 1000𝜔2 4000 15000 15000 810𝜔2 67500 0 1000𝜔2 40000810𝜔2 67500 150002 0 81𝜔4 999𝜔2 24750 0 Aplicando Bhaskara temos 𝜔𝑖 2 999 9992 4 81 24750 2 81 𝜔1 2 3433 𝜔1 586 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝜔2 2 890 𝜔2 943 𝑟𝑎𝑑𝑠 As Formas Modais definidas como 𝑋𝑖 𝛩𝑖 𝑇 Para 𝜔1 𝑋 1 𝑋1 𝛩1 𝑇 Substituindo numa das equações de temos 1000𝜔1 2 40000𝑋1 15000𝛩1 0 𝑟1 𝑋1 𝛩1 15000 1000𝜔1240000 265 𝛩1 038𝑋1 𝑋 1 𝑋1 1 038 Para 𝜔2 𝑋 2 𝑋2 𝛩2 𝑇 Substituído numa das equações de temos 𝜔21000𝜔2 2 40000𝑋2 15000𝛩2 0 CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 𝑟2 𝑋2 Θ2 15000 1000𝜔2 2 40000 031 𝛩2 323𝑋2 𝑋 2 𝑋2 1 323 Localização dos nós 𝑇𝑎𝑛 𝛩 𝑋 𝑙 𝑙 𝑋 𝑇𝑎𝑛 𝛩 Para 𝛩 𝑇𝑎𝑛 𝛩 𝛩 𝑙 𝑋 Θ 𝑙1 𝑋1 𝛩1 265 𝑙2 𝑋2 𝛩2 031 Visualizando a posição dos nós Exemplo 58 Resposta em regime permanente de sistema massamola Determine a resposta em regime permanente do sistema mostrado na figura 513 quando na massa 𝑚1 é exercida uma força 𝐹1𝑡 𝐹𝑜 Cos𝜔𝑡 Além disso represente num gráfico a curva de resposta em frequência Dados Massas 𝑚1 𝑚2 𝑚 CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB Molas 𝑘1 𝑘2 𝑘3 𝑘 Força na massa 𝑚1 𝐹1𝑡 𝐹𝑜 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 Determine Resposta em regime permanente 𝑥 𝑡 Solução Os D C L das massas Utilizando a 2ª Lei de Newton temos 𝑚1 0 0 𝑚2 𝑥1 𝑥2 𝑘1 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑘3 𝑥1 𝑥2 𝐹1 0 Substituindo os valores 𝑚 0 0 𝑚 𝑥1 𝑥2 2𝑘 𝑘 𝑘 2𝑘 𝑥1 𝑥2 𝐹1 0 A resposta em regime permanente é Como 𝐹1𝑡 𝐹𝑜1 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑥𝑖𝑡 𝑋𝑖 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝑥1𝑡 𝑋1𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝑥1𝑡 𝑋1𝜔𝑆𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜙 𝑥1𝑡 𝑋1𝜔2𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝑥2𝑡 𝑋2𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝑥2𝑡 𝑋2𝜔𝑆𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜙 𝑥2𝑡 𝑋2𝜔2𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 Substituindo na equação de movimento temos 𝜔2 𝑚 0 0 𝑚 𝑋1 𝑋2 2𝑘 𝑘 𝑘 2𝑘 𝑋1 𝑋2 𝐹𝑜1 0 𝜔2 𝑚 0 0 𝑚 2𝑘 𝑘 𝑘 2𝑘 𝑋1 𝑋2 𝐹𝑜1 0 Para determinar as frequências naturais temos a equação de vibração livre forma homogênea 𝜔2 𝑚 0 0 𝑚 2𝑘 𝑘 𝑘 2𝑘 𝑋1 𝑋2 0 0 Para uma solução não trivial 𝑋1 𝑋2 0 𝜔2 𝑚 0 0 𝑚 2𝑘 𝑘 𝑘 2𝑘 0 𝜔2𝑚 2𝑘 𝑘 𝑘 𝜔2𝑚 2𝑘 0 𝜔2𝑚 2𝑘2 𝑘2 0 𝜔2𝑚 2𝑘 𝑘𝜔2𝑚 2𝑘 𝑘 0 𝜔2𝑚 2𝑘𝜔2𝑚 3𝑘 0 𝜔2𝑚 3𝑘 𝜔2 2 3𝑘 𝑚 𝜔2𝑚 2𝑘 0 𝜔1 2 𝑘 𝑚 Para as amplitudes de vibração das equações de movimento CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 𝜔2𝑚 2𝑘 𝑘 𝑘 𝜔2𝑚 2𝑘 𝑋1 𝑋2 𝐹𝑜1 0 𝑘𝑋1 𝜔2𝑚 2𝑘𝑋2 0 𝑋1 𝜔2𝑚 2𝑘 𝑘 𝑋2 𝑋1𝜔2𝑚 2𝑘 𝑘𝑋2 𝐹𝑜1 𝑋2 𝑋1𝜔2𝑚 2𝑘 𝑘 𝐹10 𝑘 Substituindo na equação temos 𝑋1 𝑋1𝜔2𝑚 2𝑘2 𝑘2 𝜔2𝑚 2𝑘𝐹𝑜1 𝑘2 𝑋1𝜔 𝐹𝑜1𝜔2𝑚 2𝑘 𝜔2𝑚 2𝑘2 𝑘2 𝑋2 𝐹𝑜1𝑘 𝜔2𝑚 2𝑘2 𝑘2 𝑋2𝜔 Rearranjando as equações para a 𝑋1𝜔 𝑘𝐹𝑜12 𝜔2 𝑚 𝑘 𝑘2 1 𝜔2𝑚 𝑘 3 𝜔23𝑚 3𝑘 𝐹𝑜1 2 𝜔 𝜔1 2 𝑘 1 𝜔 𝜔1 2 3 3𝜔 𝜔2 2 𝑋1𝜔𝑘 𝐹𝑜1 2 𝜔 𝜔1 2 1 𝜔 𝜔1 2 3 3𝜔 𝜔2 2 A curva é Rearranjando a equação de resposta em frequência para o 2º gdl temos 𝑋2𝑘 𝐹𝑜1 1 1 𝜔 𝜔1 2 3 3𝜔 𝜔2 2 A curva é CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB Exemplo 59 Resposta a impulso pelo método da transformada de Laplace Dois vagões ferroviários de massas 𝑚1 𝑀 e 𝑚2 𝑚 estão ligados por uma mola de rigidez 𝑘 como mostra a figura 515a Se o vagão de massa 𝑀 for sujeito a um impulso 𝐹𝑜𝛿𝑡 determine as respostas no tempo dos vagões usado o método da transformada de Laplace Dados Vagões Ferroviários Massa 1 𝑀 Massa 2 𝑚 Mola Rigidez 𝑘 Força na massa 1 𝐹𝑡 𝐹𝑜𝛿𝑡 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 Determine Usando a transformação de Laplace a resposta no tempo dos vagões 𝑥𝑖𝑡 𝑖 12 Solução O D C L da massa 𝑚1 Da 2ª Lei de Newton temos 𝑀𝑥1 𝑘𝑥2 𝑥1 𝐹𝑡 𝑀𝑥1 𝑘𝑥1 𝑘𝑥2 𝐹𝑡 𝐹𝑜𝛿𝑡 1 O D C L da massa 𝑚2 Da 2ª Lei de Newton temos 𝑚𝑥2 𝑘𝑥2 𝑥1 𝑚𝑥2 𝑘𝑥1 𝑘𝑥2 0 2 Aplicando a Transformada de Laplace nos termos das equações de movimento temos 𝑥𝑠 𝐿𝑥𝑡 𝐿𝑥𝑡 𝑠𝑥𝑠 𝑥0 𝐿𝑥𝑡 𝑠2𝑥𝑠 𝑠𝑥0 𝑥0 Fazendo 𝑥0 0 𝑥0 0 CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB 𝐿𝑥𝑡 𝑠𝑥𝑠 𝐿𝑥𝑡 𝑠2𝑥𝑠 𝐿𝐹𝑜𝛿𝑡 𝐹𝑜 Aplicando a Transformada de Laplace nas equações 1 e 2 temos Na equação 1 𝑀𝑠2 𝑘𝑥1𝑠 𝑘𝑥2𝑠 𝐹𝑜 3 Na equação 2 𝑚𝑠2 𝑘𝑥2𝑠 𝑘𝑥1𝑠 0 𝑥1𝑠 𝑚𝑠2 𝑘 𝑘 𝑥2𝑠 Substituindo na equação 3 temos 𝑀𝑠2 𝑘 𝑚𝑠2 𝑘 𝑘 𝑥2𝑠 𝑘𝑥2𝑠 𝐹𝑜 𝑥2𝑠 𝐹𝑜𝑘 𝑠2𝑀𝑚𝑠2 𝑘𝑀 𝑚 𝑥1𝑠 𝐹𝑜𝑚𝑠2 𝑘 𝑠2𝑀𝑚𝑠2 𝑘𝑀 𝑚 Decompondo usando frações parciais 𝑥1𝑠 𝐹𝑜 𝐴 𝑠2 1 𝑀𝑚 𝐵 𝑠2 𝜔2 Com 𝜔2 𝑘 1 𝑀 1 𝑚 𝐴 1 𝑀𝑚 𝐵 𝑚2 𝑀𝑚 𝑥1𝑠 𝐹𝑜 𝑀 𝑚 1 𝑠2 𝑚 𝑀𝑚 𝜔 𝑠2 𝜔2 𝑥2𝑠 𝐹𝑜 𝐶 𝑠2 1 𝑀𝑚 𝐷 𝑠2 𝜔2 Com 𝐶 1 𝑀𝑚 𝐷 𝑀𝑚 𝑀𝑚 𝑥2𝑠 𝐹𝑜 𝑀 𝑚 1 𝑠2 1 𝜔 𝜔 𝑠2 𝜔2 Aplicando a transformada inversa de Laplace para cada um dos gdl temos 𝐿1𝑥1𝑠 𝐹𝑜 𝑀 𝑚 𝐿1 1 𝑠2 𝑚 𝜔𝑀 𝐿1 𝜔 𝑠2 𝜔2 𝑥1𝑡 𝐹𝑜 𝑀 𝑚 𝑡 𝑚 𝜔𝑀 𝑆𝑒𝑛𝜔𝑡 𝐿1𝑥2𝑠 𝐹𝑜 𝑀 𝑚 𝐿1 1 𝑠2 1 𝜔 𝐿1 𝜔 𝑠2 𝜔2 𝑥2𝑡 𝐹𝑜 𝑀 𝑚 𝑡 1 𝜔 𝑆𝑒𝑛𝜔𝑡 CET260 Vibrações Mecânicas Prof Eng Dr Abdon Tapia Tadeo Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas CETEC UFRB