Capítulo 5: Sistemas com Dois Graus de Liberdade - Análise de Vibração Forçada

Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 1 55 Análises de vibração forçada Tem como equação de movimento na forma matricial a equação Consideremos que as forças externas sejam harmônicas A solução em regime permanente é da forma A substituição na equação de movimento resulta em O sistema geral com 2 gdl sob forças externas da figura 𝜔 é a freqüência forçante 𝑋1 𝑋2 são quantidades complexas 𝑚11 𝑚12 𝑚21 𝑚22 ሷ𝑥1 ሷ𝑥2 𝑐11 𝑐12 𝑐21 𝑐22 ሶ𝑥1 ሶ𝑥2 𝑘11 𝑘12 𝑘21 𝑘22 𝑥1 𝑥2 𝐹1 𝐹2 𝐹𝑗 𝑡 𝐹𝑗0𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑗 12 𝑥𝑗 𝑡 𝑋𝑗𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑗 12 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 2 Definimos a impedância mecânica como Portanto a equação matricial pode ser escrita como onde a matriz de impedância é escrita como e A equação matricial pode ser resolvida para obter sendo a inversa da matriz de impedância dada por 𝜔2𝑚11 𝑖𝜔𝑐11 𝑘11 𝜔2𝑚12 𝑖𝜔𝑐12 𝑘12 𝜔2𝑚21 𝑖𝜔𝑐21 𝑘21 𝜔2𝑚22 𝑖𝜔𝑐22 𝑘22 𝑋1 𝑋2 𝐹01 𝐹02 𝑍𝑟𝑠 𝑖𝜔 𝜔2𝑚𝑟𝑠 𝑖𝜔𝑐𝑟𝑠 𝑘𝑟𝑠 𝑟 𝑠 12 𝑍𝑖𝜔 റ𝑋 റ𝐹0 𝑍 𝑖𝜔 𝑍11𝑖𝜔 𝑍12𝑖𝜔 𝑍21𝑖𝜔 𝑍22𝑖𝜔 റ𝑋 𝑋1 𝑋2 Ԧ𝐹𝑜 𝐹01 𝐹02 റ𝑋 𝑍𝑖𝜔 1 റ𝐹0 𝑍𝑖𝜔 1 1 𝑍11 𝑖𝜔 𝑍22 𝑖𝜔 𝑍12 2𝑖𝜔 𝑍22𝑖𝜔 𝑍12𝑖𝜔 𝑍12𝑖𝜔 𝑍11𝑖𝜔 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 3 De onde as amplitudes de vibração são definidas por Que substituídas nas equações de resposta em regime permanente podemos determinar a solução completa 𝑋1 𝑖𝜔 𝑍22 𝑖𝜔 𝐹01 𝑍12 𝑖𝜔 𝐹02 𝑍11 𝑖𝜔 𝑍22 𝑖𝜔 𝑍12 2𝑖𝜔 𝑋2 𝑖𝜔 𝑍12 𝑖𝜔 𝐹01 𝑍11 𝑖𝜔 𝐹02 𝑍11 𝑖𝜔 𝑍22 𝑖𝜔 𝑍12 2𝑖𝜔 𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 4 Exemplo 58 Resposta em regime permanente de sistema massa mola Determine a resposta em regime permanente do sistema mostrado na figura quando sobre a massa 𝑚1 é exercida uma força 𝐹1 𝑡 𝐹𝑜𝐶𝑜𝑠 𝑡 Além disso represente num gráfico a curva de resposta em freqüência Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 5 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 6 57 Sistemas semidefinidos Também são conhecidos como sistemas irrestritos ou sistemas degenerados Dois exemplos de tais sistemas são mostrados na figura Para o sistema mostrado na figura a as equações de movimento podem ser escritas como Admitindo um movimento harmônico como 𝑚1 ሷ𝑥1 𝑘 𝑥1 𝑥2 0 𝑚1 ሷ𝑥2 𝑘 𝑥2 𝑥1 0 𝑥𝑗 𝑡 𝑋𝑗 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝜙 𝑗 12 ሶ𝑥𝑗 𝑡 𝑋𝑗𝜔𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝜙 ሷ𝑥𝑗 𝑡 𝑋𝑗𝜔2𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝜙 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 7 Substituindo na equação de movimento temos Para uma solução não trivial Igualase o determinante dos coeficientes a zero e temos a equação de frequência como As freqüências naturais são A freqüência zero significa que o corpo não está oscilando isto é o sistema movese como um todo translação de corpo rígido Para a freqüência não nula existe oscilação e nós Sistemas que têm freqüências nulas são denominados sistemas semidefinidos 𝑚1𝜔2 𝑘 𝑘 𝑘 𝑚2𝜔2 𝑘 𝑋1 𝑋2 0 0 𝜔2 𝑚1𝑚2𝜔2 𝑘𝑚1 𝑚2 0 𝜔1 0 e 𝜔2 𝑘𝑚1𝑚2 𝑚1𝑚2 𝑟1 𝑋2 1 𝑋1 1 1 𝑟2 𝑋2 2 𝑋1 2 𝑚1 𝑚2 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 8 Exemplo 59 Resposta a impulso pelo método da transformada de Laplace Dois vagões ferroviários de massas 𝑚1 𝑀 e 𝑚2 𝑚 estão ligados por uma mola de rigidez 𝑘 como mostra a figura 515a Se o vagão de massa 𝑀 for sujeito a um impulso 𝐹𝑜𝛿 𝑡 determine as respostas no tempo dos vagões usando o método da transformada de Laplace Fig Um sistema semidefinido massamola de2 gdl Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 9 58 Autoexcitação e análise de estabilidade Quando o sistema de 2 gdl é sujeito a forças autoexcitadoras as equações de movimento na forma matricial são Substituindo a solução Considerando as raízes 𝑠 da equação temos que a equação pode ser escrita como Igualando o determinante da matriz dos coeficientes a zero temos a equação característica de freqüência da forma Comparando as duas equações temos números reais 𝑚11 𝑚12 𝑚21 𝑚22 ሷ𝑥1 ሷ𝑥2 𝑐11 𝑐12 𝑐21 𝑐22 ሶ𝑥1 ሶ𝑥2 𝑘11 𝑘12 𝑘21 𝑘22 𝑥1 𝑥2 0 0 𝑥𝑗 𝑡 𝑋𝑗𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑗 12 ሶ𝑥𝑗 𝑡 𝑖𝜔𝑋𝑗𝑒𝑖𝜔𝑡 ሷ𝑥𝑗 𝑡 𝜔2𝑋𝑗𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑎0𝑠4 𝑎1𝑠3 𝑎2𝑠2 𝑎3𝑠 𝑎4 0 com 𝑎𝑖 𝑖 0 4 𝑠 𝑠1 𝑠 𝑠2 𝑠 𝑠3 𝑠 𝑠4 0 𝑎0 1 𝑎1 𝑠1 𝑠2 𝑠3 𝑠4 𝑎2 𝑠1𝑠2 𝑠1𝑠3 𝑠1𝑠4 𝑠2𝑠3 𝑠2𝑠4 𝑠3𝑠4 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 10 O critério para a estabilidade é que as partes reais de 𝑠𝑖 𝑖 1 4 devem ser negativas para evitar aumentar a solução ou resposta de vibração Uma condição necessária e suficiente para a estabilidade é que todos os coeficientes da equação 𝑎𝑜 𝑎1 𝑎2𝑎3𝑎4sejam positivas e que a condição 𝑎1𝑎2𝑎3 𝑎0𝑎3 2 𝑎4𝑎1 2 seja cumprida Para um sistema com 𝑛 gdl é conhecida como o critério de Routh Hurwitz Para o sistema em questão o critério estabelece do que o sistema será estável se todos os coeficientes 𝑎𝑜 𝑎1 𝑎2𝑎3𝑎4 forem positivos e os determinantes a seguir forem positivos 𝑎3 𝑠1𝑠2𝑠3 𝑠1𝑠2𝑠4 𝑠1𝑠3𝑠4 𝑠2𝑠3𝑠4 𝑎4 𝑠1𝑠2𝑠3𝑠4 𝑇1 𝑎1 0 𝑇2 𝑎1 𝑎3 𝑎0 𝑎2 𝑎1𝑎1 𝑎0𝑎3 0 𝑇3 𝑎1 𝑎3 0 𝑎0 𝑎2 𝑎4 0 𝑎1 𝑎3 𝑎1𝑎2𝑎3 𝑎1 2𝑎4 𝑎0𝑎3 2 0 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 11 ሷ𝑥 Aceleração ሷ𝜃 Aceleração angular 𝑋 Amplitude 𝜙 Ângulo de fase 𝑐 Constante de amortecimento 𝑘 Constante elástica 𝑥 Deslocamento 𝐹 Força 𝜔 Frequência natural 𝑍 Impedância mecânica 𝑚 Massa 𝐽𝑖 Momento de inércia polar 𝑟 Razão da amplitude 𝑘𝑖𝑖 Rigidez torcional 𝑡 Tempo 𝑀 Torque ሶ𝑥 Velocidade Lista de símbolos