Sistemas com Vários Graus de Liberdade - Coeficientes de Influência de Inércia e Energia

Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 1 O coeficiente de influência de inércia 𝑚𝑖𝑗 é definido como os impulso aplicado no ponto 𝑖 que provocam uma velocidade unitária no ponto 𝑗 643 Coeficientes de influência de inércia Os elementos da matriz massa 𝑚𝑖𝑗 são conhecidas como coeficientes de influência de inércia Na forma matricial Para um sistema com vários graus de liberdade o impulso total no ponto 𝑖 é dado pelo somatório dos impulsos da forma Velocidade Impulso E a matriz massa 𝐹𝑖 𝑗1 𝑛 𝑚𝑖𝑗 𝑥𝑗 𝐹 𝑚 𝑥 𝑥 𝑥1𝑡 𝑥2𝑡 𝑥3𝑡 𝑥𝑛𝑡 𝐹 𝐹1 𝑡 𝐹2 𝑡 𝐹3 𝑡 𝐹𝑛 𝑡 𝑚 𝑚11 𝑚21 𝑚31 𝑚𝑛1 𝑚12 𝑚22 𝑚11 𝑚𝑛2 𝑚13 𝑚23 𝑚33 𝑚𝑛3 𝑚1𝑛 𝑚2𝑛 𝑚3𝑛 𝑚𝑛𝑛 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 2 Exemplo 67 Coeficientes de influência de inércia Determine os coeficientes de influência de inércia do sistema mostrado Na figura A matriz massa resultante é 𝑚 𝑀 𝑚 𝑚𝑙 2 𝑚𝑙 2 𝑚𝑙2 2 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 3 Energia potencial elástica ou energia de deformação da iésima mola é 65 Expressões de energia potencial e energia cinética na forma matricial A total é Como Então Na forma matricial 𝑉𝑖 1 2 𝐹𝑖𝑥𝑖 𝑉 𝑖1 𝑛 𝑉𝑖 1 2 𝑖1 𝑛 𝐹𝑖𝑥𝑖 627 𝐹𝑖 𝑗1 𝑛 𝑘𝑖𝑗𝑥𝑗 628 𝑉 1 2 𝑖1 𝑛 𝑗1 𝑛 𝑘𝑖𝑗𝑥𝑗 𝑥𝑖 1 2 𝑖1 𝑛 𝑗1 𝑛 𝑘𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗 629 𝑉 1 2 𝑥𝑇 𝑘 𝑥 630 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 4 A total do sistema é A energia cinética associada com a iésima massa é Na forma matricial Forma quadrática positiva E a matriz massa é diagonal definida como Se forem usadas as coordenadas generalizadas 𝑞𝑖 a energia cinética pode ser expressa como 𝑇𝑖 1 2 𝑚𝑖 𝑥𝑖 2 632 𝑇 𝑖1 𝑛 𝑇𝑖 1 2 𝑖1 𝑛 𝑚𝑖 𝑥𝑖 2 633 𝑇 1 2 𝑥𝑇 𝑚 𝑥 634 𝑚 𝑚1 0 0 0 𝑚2 0 0 0 𝑚𝑛 𝑇 1 2 𝑞𝑇 𝑚 𝑞 𝑞 𝑞1 𝑞2 𝑞𝑛 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 5 66 Coordenadas generalizadas e forças generalizadas É um conjunto de 𝑛 coordenadas independentes designadas por 𝑞1 𝑞2 𝑞𝑛 Podem ser comprimentos ângulos ou qualquer outro conjunto de parâmetros que defina a configuração do sistema exclusivamente a qualquer instante A figura do pendulo triplo 𝑖 123 As coordenadas 𝑥𝑖 𝑦𝑖 não são generalizadas As coordenadas 𝜃𝑖 são generalizadas Se 𝑈𝑗 denotar o trabalho realizado na mudança na coordenada generalizada 𝑞𝑗 pela quantidade 𝛿𝑞𝑗 a força generalizada correspondente 𝑄𝑗 pode ser definida como Fig Pêndulo Triplo 𝑄𝑗 𝑈𝑗 𝛿𝑞𝑗 𝑗 12 𝑛 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 6 Equação de Lagrange para um sistema com 𝑛 graus de liberdade pode ser definida como 67 Utilização de equações de Lagrange para deduzir equações de movimento Para sistemas conservativos Sendo Força generalizada não conservativa correspondente a coordenada generalizada 𝑞𝑗 pode ser dissipativa Por exemplo se 𝐹𝑥𝑘 𝐹𝑦𝑘 e 𝐹𝑧𝑘 são as forças externas que agem na k ésima massa do sistemas nas direções 𝑥 𝑦 𝑧 A força generalizada pode ser calculada como Portanto a equação de Lagrange tornase 𝑑 𝑑𝑡 𝑇 𝑞𝑗 𝑇 𝑞𝑗 𝑉 𝑞𝑗 𝑄𝑗 𝑛 j 12 n 641 𝑄𝑗 𝑛 𝑄𝑗 𝑛 𝑘 𝐹𝑥𝑘 𝑥𝑘 𝑞𝑗 𝐹𝑦𝑘 𝑦𝑘 𝑞𝑗 𝐹𝑧𝑘 𝑧𝑘 𝑞𝑗 642 𝑄𝑗 𝑛 0 𝑑 𝑑𝑡 𝑇 𝑞𝑗 𝑇 𝑞𝑗 𝑉 𝑞𝑗 0 j 12 n Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 7 Exemplo 68 Equações de movimento de um sistema torcional Deduza as equações de movimento do sistema utilizando a equação de Lagrange Fig Sistema Torcional Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 8 65 Expressões de energia potencial e energia cinética na forma matricial Exemplo 69 Equações de movimento do sistema Trailer pêndulo composto Deduza as equações de movimento do sistema utilizando a equação de Lagrange Fig 64 Sistema pêndulo Composto e Trailer Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 9 Fig 64 Sistema pêndulo Composto e Trailer Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 10 Equação de Lagrange 68 Equações de movimentos de sistemas não amortecidos na forma matricial Energias cinética e potencial na forma matricial podem ser expressas como Pela teoria de matrizes derivando e observando a simetria da matriz massa temos Onde o delta de Kronecker 𝛿𝑗𝑖 1 se 𝑗 𝑖 e 𝛿𝑗𝑖 0 se 𝑗 𝑖 𝑑 𝑑𝑡 𝑇 𝑥𝑖 𝑇 𝑥𝑖 𝑉 𝑥𝑖 𝐹𝑖 𝑖 12 𝑛 644 𝑇 1 2 𝑥𝑇 𝑚 𝑥 645 𝑉 1 2 𝑥𝑇 𝑘 𝑥 646 𝑇 𝑥𝑖 1 2 𝛿𝑇 𝑚 𝑥 1 2 𝑥𝑇 𝑚 𝛿 𝛿𝑇 𝑚 𝑥 𝑚𝑖 𝑇 𝑥 𝑖 12 𝑛 648 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 11 A diferenciação em relação ao tempo dá Também De maneira semelhante podese derivar a equação da energia potencial 𝑘𝑖 𝑇 É um vetor linha idêntico à iésima linha da matriz 𝑘 Substituindo na equação de Lagrange obtemos as equações de movimento na forma matricial Para sistemas conservativos temos 𝑑 𝑑𝑡 𝑇 𝑥𝑖 𝑚𝑖 𝑇 𝑥 𝑖 12 𝑛 𝑇 𝑥𝑖 0 𝑖 12 𝑛 𝑉 𝑥𝑖 1 2 𝛿𝑇 𝑘 𝑥 1 2 𝑥𝑇 𝑘 𝛿 𝛿𝑇 𝑘 𝑥 𝑘𝑖 𝑇 𝑥 𝑖 12 𝑛 652 𝑚 𝑥 𝑘 𝑥 𝐹 𝐹 0 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 12 Seja a equação de movimento 69 Problemas de autovalor Admitindo uma solução da forma Onde 𝑋𝑖 é uma constante e 𝑇 𝑡 é uma função do tempo 𝑡 A razão entre as amplitudes das coordenadas é independente do tempo Então substituindo na equação de movimento temos Na forma escalar como 𝑛 equações separadas Portanto as mesmas têm movimentos síncronos mesma forma e diferente amplitude forma modal do sistema 𝑚 𝑥 𝑘 𝑥 𝐹 653 𝑥𝑖 𝑡 𝑋𝑖𝑇 𝑡 𝑖 12 𝑛 656 𝑥𝑖 𝑡 𝑥𝑗 𝑡 𝑋𝑖 𝑋𝑗 𝑚 𝑋 𝑇 𝑡 𝑘 𝑋𝑇 𝑡 0 657 𝑗1 𝑛 𝑚𝑖𝑗𝑋𝑗 𝑇 𝑡 𝑗1 𝑛 𝑘𝑖𝑗𝑋𝑗 𝑇 𝑡 0 𝑖 12 𝑛 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 13 ou Da qual podemos obter as relações Portanto A equação característica é Com o autovalor 𝜔2 chamada frequência natural do sistema A solução pode ser expressa como Para uma solução não trivial A equação é denominado problema de autovalor eigenvalue 𝑇 𝑡 𝑇 𝑡 𝑗1 𝑛 𝑘𝑖𝑗𝑋𝑗 𝑗1 𝑛 𝑚𝑖𝑗𝑋𝑗 𝑖 12 𝑛 𝑇 𝑡 𝑇 𝑡 𝜔2 𝑇 𝑡 𝜔2𝑇 𝑡 0 𝑗1 𝑛 𝑘𝑖𝑗 𝜔2𝑚𝑖𝑗 𝑋𝑗 0 𝑖 12 𝑛 𝑘 𝜔2 𝑚 𝑋 0 661 𝑇 𝑡 𝐶1 Cos 𝜔𝑡 𝜙 𝑘 𝜔2 𝑚 0 𝑋 0 𝜔1 𝜔2 𝜔𝑛 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 14 Prémultiplicando por 𝒌 𝟏 obtemos problema padrão de autovalor 610 Solução do problema de autovalor onde matriz dinâmica é definida como 6101 Solução da equação característica ou polinomial A equação característica pode ser escrita como Com Para uma solução não trivial Com a expansão dá uma a equação polinomial de 2nésimo grau conhecida como a equação característica ou equação de frequência 𝜆 𝑘 𝑚 𝑋 0 664 𝜆 1 𝜔2 665 𝜆 𝐼 𝐷 𝑋 0 𝜆 𝐼 𝑋 𝐷 𝑋 666 𝐷 𝑘 1 𝑚 Δ 𝜆 𝐼 𝐷 0 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 15 Exemplo 610 Frequências naturais de um sistema com três graus de liberdade Determine as frequências naturais e formas modais do sistema mostrado na figura para 𝑘1 𝑘2 𝑘3 𝑘 e 𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑚 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 16 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 17 6102 Ortogonalidade dos modos Normais A frequência natural 𝜔𝑖 e o vetor modal 𝑋 𝑖 correspondente satisfazem a equação Considerando outra frequência natural 𝜔𝑗 e o vetor modal 𝑋 𝑗 correspondente temos Prémultiplicando por Subtraindo as equações resulta em Em geral O que indica que os vetores modais São ortogonais em relação às matrizes de massa e de rigidez 𝜔𝑖2 𝑚 𝑋 𝑖 𝑘 𝑋 𝑖 𝜔𝑗2 𝑚 𝑋 𝑗 𝑘 𝑋 𝑗 𝑋 𝑗 𝑇 𝑋 𝑖 𝑇 𝜔𝑖2 𝑋 𝑗 𝑇 𝑚 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗 𝑇 𝑘 𝑋 𝑖 𝑋 𝑖 𝑇 𝑘 𝑋 𝑗 𝜔𝑗2 𝑋 𝑖 𝑇 𝑚 𝑋 𝑗 𝜔𝑗2 𝑋 𝑗 𝑇 𝑚 𝑋 𝑖 𝑋 𝑖 𝑇 𝑘 𝑋 𝑗 𝜔𝑖2 𝜔𝑗2 𝑋 𝑗 𝑇 𝑚 𝑋 𝑖 0 𝜔𝑖2 𝜔𝑗2 𝑋 𝑗 𝑇 𝑚 𝑋 𝑖 0 𝑖 𝑗 𝑋 𝑗 𝑇 𝑘 𝑋 𝑖 0 𝑖 𝑗 𝑋 𝑖 e 𝑋 𝑗 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 18 Quando 𝑖 𝑗 os produtos de matrizes são iguais a coeficientes de massa e rigidez generalizados do iésimo modo Na forma matricial pode ser escrita como Onde 𝑋 é denominada matriz modal na qual a iésima coluna corresponde ao iésimo vetor modal 𝑋 𝑖 𝑀𝑖𝑖 𝑋 𝑖 𝑇 𝑚 𝑋 𝑖 𝑖 12 𝑛 𝐾𝑖𝑖 𝑋 𝑖 𝑇 𝑘 𝑋 𝑖 𝑖 12 𝑛 𝐷𝑀 𝑀11 0 0 0 𝑀22 0 0 0 𝑀𝑛𝑛 𝑋 𝑇 𝑚 𝑋 𝐷𝐾 𝐾11 0 0 0 𝐾22 0 0 0 𝐾𝑛𝑛 𝑋 𝑇 𝑘 𝑋 𝑋 𝑋 1 𝑋 2 𝑋 𝑛 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 19 Normalizando os vetores modais de modo que Portanto 1 𝑋 𝑖 𝑇 𝑚 𝑋 𝑖 𝑖 12 𝑛 𝜔𝑖2 𝑋 𝑖 𝑇 𝑘 𝑋 𝑖 𝑖 12 𝑛 𝐷𝑀 1 0 0 0 1 0 0 0 1 𝐼 𝐷𝐾 𝜔12 0 0 0 𝜔22 0 0 0 𝜔𝑛2 Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade 20 Exemplo 611 Ortonormalização de autovetores Ortonormalize os autovetores do Exemplo 610 em relação à matriz de massa Capítulo 6 Sistemas com vários graus de liberdade Lista de símbolos 21 𝑚 Massa 𝑥 Aceleração 𝐹 Força resultante 𝜃 Aceleração angular 𝑘 Constante elástica 𝑥 Deslocamento 𝑥 Velocidade 𝐹 Impulso 𝑉 Energia potencial elástica 𝑇 Energia cinética 𝑄 Força generalizada não conservativa 𝑞 Coordenada generalizada Delta de Kronecker 2 Frequência natural do sistema