Capítulo 9: Controle de Vibração

Capítulo 9 Controle de Vibração 1 A presença de vibração pode causar Desgaste excessivo de mancais Formação de trinca Afrouxamento de parafusos Falhas estruturais e mecânicas Manutenção freqüente e dispendiosa de máquinas Dor desconforto e eficiência reduzida em seres humanos 91 Introdução Capítulo 9 Controle de vibração Há numerosas fontes de vibração num ambiente industrial processo de impacto maquinaria rotativa e alternativa veículos de transporte fluxo de fluidos e outros Os custos de fabricação envolvidos em eliminar a vibração podem ser demasiados altos e o projetista deve procura uma solução de compromisso entre a quantidade aceitável de vibração e um custo de fabricação razoável Neste capitulo estudarseão várias técnicas de controle de vibração Capítulo 9 Controle de Vibração 2 92 Nomograma de vibração e critérios de vibração Os níveis aceitáveis de vibração são especificados em termos da resposta de um sistema de 1 gdl não amortecido sujeito a vibração harmônica Mostrados num nomograma deslocamento velocidade e aceleração em relação à frequência de vibração 𝑎 𝑡 ሷ𝑥 𝑡 𝜔2𝑋𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝜐 𝑡 ሶ𝑥 𝑡 ω𝑋𝐶𝑜𝑠ωt 𝑥 𝑡 𝑋𝑆𝑒𝑛 ω𝑡 𝜐 𝑡 ሶ𝑥 𝑡 2π𝑓X Cos𝜔t 𝑎 𝑡 ሷ𝑥 𝑡 4π²𝑓²XSen𝜔𝑡 Fig Nomograma de vibração e critérios de vibração 92 Capítulo 9 Controle de Vibração 3 Cada ponto no nomograma denota uma vibração senoidal harmônica específica Os valores 𝑟𝑚𝑠 de deslocamento velocidade e aceleração são usadas na especificação de níveis de vibração As faixas usuais de vibração encontradas em diferentes aplicações cientificas e engenharia são 1 Vibrações atômicas Frequência 1012 Hz amplitude de deslocamento 108 a 106mm 2 Microssismos ou pequenos tremores da crosta terrestre Frequência 01 a 1Hz amplitude de deslocamento 105 a 103mm Patamar de perturbação de equipamentos óticos eletrônicos e computadores 3 Vibração de maquinaria e edifícios Frequência 10 a 100Hz amplitude de deslocamento 001 a 1mm Patamar da percepção humana cai na faixa de frequência de 1 a 8 Hz 4 Oscilação de edifícios altos Frequência 01 a 5Hz amplitude de deslocamento 10 a 1000mm Tomando logaritmos temos 𝐿𝑛 𝜐𝑚á𝑥 𝐿𝑛 2π𝑓 𝐿𝑛 𝑋 𝐿𝑛 𝜐𝑚á𝑥 𝐿𝑛 2π𝑓 𝐿𝑛𝑎𝑚á𝑥 Os valores máximos 𝜐𝑚á𝑥 2π𝑓X 𝑎𝑚á𝑥 4π²𝑓²X2π𝑓𝜐𝑚á𝑥 Capítulo 9 Controle de Vibração 4 Fig92 Sensibilidade à frequência de vibração de diferentes partes do corpo humano Os limites de vibração recomendados para a sensibilidade humana são dados na norma ISO2631 A vibração no corpo inteiro pode ser resultado de transmissão através de uma estrutura de suporte como o banco do helicóptero e a vibração de partes especificas do corpo pode deverse a processos de trabalho como compactação perfuração com broca e operações com serras de cadeia Constatouse que a tolerância do ser humano à vibração do corpo inteiro é mais baixa na faixa de 4 a 8Hz Também que a vibração segmentada causa dano por tensão localizada a diferentes partes do corpo em frequências diferentes como indicado na figura Capítulo 9 Controle de Vibração 5 Exemplo 91 Redução da vibração de assentos de helicópteros O assento de um helicóptero com o piloto pesa 1000 𝑁 e tem deflexão estática conhecida de 10 𝑚𝑚 sob o peso próprio A vibração do rotor é transmitida à base do assento como um movimento harmônico com 4 𝐻𝑧 de freqüência e 02 𝑚𝑚 de amplitude a Qual é o nível de vibração sentido pelo piloto b Como o assento pode ser redesenhado para reduzir o efeito da vibração Capítulo 9 Controle de Vibração 6 94 Balanceamento de máquinas rotativas Tentase alterar a fonte de vibração de modo que ela produza menos vibração Esse procedimento nem sempre é possível como por exemplo em excitações causadas por terremoto turbulência atmosférica estradas irregulares e trepidação de motor de combustão 93 Redução de vibração na fonte Outras fontes de vibração como o desbalanceamento em máquinas alternativas ou rotativas podem ser alteradas para reduzir a vibração Mas podem existir restrições econômicas e de fabricação para o grau de desbalanceamento que pode ser conseguido ou para a precisão com a qual as peças de uma máquina podem ser fabricadas Massa excêntrica ou desbalanceada num disco rotativo causa vibração que pode ser eliminada pela remoção ou pela adição de uma massa igual numa posição que cancele o efeito do desbalanceamento O desbalanceamento de máquinas pode ser atribuídos a irregularidades como erros na usinagem e variações no tamanho dos parafusos porcas rebites e soldas balanceamento num plano estático dois planosdinâmico Capítulo 9 Controle de Vibração 7 941 Balanceamento em um plano Considere por exemplo ventilador volante engrenagem e disco de esmeril montado num eixo O centro de massa está deslocado do eixo de rotação Para verificar o balanceamento monte o eixo sobre dois mancais de baixo atrito conforme a figura Gire o disco e deixe ele voltar à posição de repouso e marque o ponto mais baixo do disco várias vezes desbalanceamento estático Pode ser corrigida pela remoção ou adição de um peso à 180o da marca de giz E cujo valor é determinada por tentativa e erro A quantidade de desbalanceamento determinase girando o disco a uma velocidade conhecida 𝜔 e medindose as reações nos mancais conforme a figura Capítulo 9 Controle de Vibração 8 Outro procedimento para balanceamento num plano é ilustrado na figura Marcas de fase rotor e estator o sinal de vibração produzida pelo desbalanceamento é lida no analisador e luz estroboscópica na frequência do disco giratório Inicialmente medese a diferença de fase da resposta 𝜃 e amplitude 𝐴𝑢 devido ao desbalanceamento original como mostra a figura Um peso experimental 𝑊 conhecido é fixado a ele e novamente a nova posição angular da marca de fase 𝜙 do rotor e da amplitude de vibração 𝐴𝑢𝑤 são medidas como mostra a figura Fig94 Balanceamento em um plano utilizando analisador de vibração Capítulo 9 Controle de Vibração 9 Constróise um diagrama vetorial para determinar a magnitude e a localização da massa de correção para balancear o disco conforme a figura A magnitude do desbalanceamento original é 𝐴𝑤 𝐴𝑢2 𝐴𝑢𝑤 2 2𝐴𝑢𝐴𝑢𝑤𝐶𝑜𝑠𝜙 𝜃 𝛼 𝐶𝑜𝑠1 𝐴𝑢2 𝐴𝑤 2 𝐴𝑢𝑤 2 2𝐴𝑢𝐴𝑤 𝑊0 𝐴𝑢 𝐴𝑤 𝑊 Fig95 Utilização de marcas de fase Capítulo 9 Controle de Vibração 10 942 Balanceamento em dois planos Se o rotor for alongado como mostra a figura o desbalanceamento pode estar num plano qualquer ao longo do rotor nesse caso o rotor precisa ser balanceado com adição de pesos em dois planos quaisquer Considere um rotor com uma massa desbalanceada 𝒎 a uma distância 𝒍𝟑 da extremidade direita conforme a figura Fig98 Representação de uma massa desbalanceada como duas massas desbalanceadas equivalentes Capítulo 9 Controle de Vibração 11 Para a equivalência de forças temos Para a equivalência de momentos considerando em relação à extremidade direita temos Qualquer massa desbalanceada pode ser substituída por 2 massas desbalanceadas equivalentes nos planos das extremidades do rotor Para o balanceamento em dois planos utilizando um analisador de vibração considere a figura O desbalanceamento total é substituído por dois pesos desbalanceados 𝑈𝐿 e 𝑈𝑅 a amplitude e fase de vibração resultante do desbalanceamento original são medidas nos dois mancais A e B e registrados como 𝑉𝐴 𝑉𝐵 𝑚 𝑚1 𝑚2 𝑚ω2𝑅 𝑙 3 𝑚1ω²𝑅𝑙 𝑚1 𝑚 3 𝑚2 2𝑚 3 𝑚ω2𝑅 𝑚1ω²𝑅 𝑚2ω²𝑅 ou 𝑚 3𝑚1 ou Figura 99 Balanceamento em dois planos Capítulo 9 Controle de Vibração 12 Adicionase pesos experimentais conhecidos e realizamos medições para obter informações sobre as massas desbalanceadas Primeiro 𝑊𝐿 numa posição angular conhecida e medimos o deslocamento e a fase de vibração nos dois mancais que pode ser escrita como Que podem ser expressos como onde Ԧ𝐴𝑖𝑗 vetor que reflete o efeito do desbalanceamento no plano 𝑗 sobre a vibração no mancal 𝑖 Subtraindo as equações de 𝑉𝐴 com 𝑉𝐴 e de 𝑉𝐵 com 𝑉𝐵 temos Agora 𝑊𝑅 numa posição angular conhecida e medimos o deslocamento e a fase de vibração nos dois mancais retirando 𝑊𝐿 que pode ser escrita como 𝑉𝐴 Ԧ𝐴𝐴𝐿𝑈𝐿 Ԧ𝐴𝐴𝑅𝑈𝑅 𝑉𝐵 Ԧ𝐴𝐵𝐿𝑈𝐿 Ԧ𝐴𝐵𝑅𝑈𝑅 𝑉𝐴 Ԧ𝐴𝐴𝐿 𝑈𝐿 𝑊𝐿 Ԧ𝐴𝐴𝑅𝑈𝑅 𝑉𝐵 Ԧ𝐴𝐵𝐿 𝑈𝐿 𝑊𝐿 Ԧ𝐴𝐵𝑅𝑈𝑅 Ԧ𝐴𝐴𝐿 𝑉𝐴 𝑉𝐴 𝑊𝐿 Ԧ𝐴𝐵𝐿 𝑉𝐵 𝑉𝐵 𝑊𝐿 𝑉𝐴 Ԧ𝐴𝐴𝐿𝑈𝐿 Ԧ𝐴𝐴𝑅 𝑈𝑅 𝑊𝑅 𝑉𝐵 Ԧ𝐴𝐵𝐿𝑈𝐿 Ԧ𝐴𝐵𝑅 𝑈𝑅 𝑊𝑅 Capítulo 9 Controle de Vibração 13 Os pesos balanceadores nos planos esquerdo e direito podem ser denotados em forma vetorial por 𝐵𝐿 𝑈𝐿 e 𝐵𝑅 𝑈𝑅 Embora rotores de alta velocidade sejam balanceados durante a fabricação geralmente é necessário balanceálos novamente no local de trabalho devido a leves desbalanceamentos resultantes de fluência operação em alta temperatura e ocorrências semelhantes Ԧ𝐴𝐴𝑅 𝑉𝐴 𝑉𝐴 𝑊𝑅 Ԧ𝐴𝐵𝑅 𝑉𝐵 𝑉𝐵 𝑊𝑅 Uma vez conhecidos os operadores vetoriais Ԧ𝐴𝑖𝑗 as equações e podem ser resolvidas para determinar os vetores de desbalanceamento 𝑈𝐿 e 𝑈𝑅 𝑈𝐿 Ԧ𝐴𝐵𝑅𝑉𝐴 Ԧ𝐴𝐴𝑅𝑉𝐵 Ԧ𝐴𝐵𝑅 Ԧ𝐴𝐴𝐿 Ԧ𝐴𝐴𝑅 Ԧ𝐴𝐵𝐿 𝑈𝑅 Ԧ𝐴𝐵𝐿𝑉𝐴 Ԧ𝐴𝐴𝐿𝑉𝐵 Ԧ𝐴𝐵𝐿 Ԧ𝐴𝐴𝑅 Ԧ𝐴𝐴𝐿 Ԧ𝐴𝐵𝑅 Subtraindo as equações de 𝑉𝐴 com 𝑉𝐴 e de 𝑉𝐵 com 𝑉𝐵 temos Capítulo 9 Controle de Vibração 14 Exemplo 92 Balanceamento em dois planos de rotor de turbina No balanceamento em dois planos de um rotor de turbina os dados obtidos na medição do desbalanceamento original o peso experimental no plano do lado direito e o peso experimental no plano do lado esquerdo são mostrados a seguir As amplitudes do deslocamento são dados em mils 11000 polegadas Determine o tamanho e a localização dos pesos balanceadores requeridos Figura 99 Balanceamento em dois planos Cortesia de Bruel e Kjaer Instrument Capítulo 9 Controle de Vibração 15 95 Rodopio whirling de eixos rotativos Em muitas aplicações práticas como turbinas compressores motores elétricos e bombas um motor pesado é montado sobre um eixo leve e flexível apoiado em mancaisrotoreixo Em eixos flexíveis o whirling tem origem em desbalanceamento nos efeitos da rigidez e amortecimento dos eixos nos efeitos giroscópicos e no atrito de fluidos nos mancais Efeito de chicoteio whipping ou velocidade critica O rodopio whirling é definido como a rotação do plano formado pelas linhas centrais dos mancais e o eixo curvado 951 Equações de movimento Considere o sistema mostrado na figura eixo mancais e rotor Sujeita a excitação de regime permanente devido ao desbalanceamento Presença de forças de inercia de elasticidade do eixo de amortecimento interno e externo Capítulo 9 Controle de Vibração 16 Considere o rotor na posição de equilíbrio 0 e quando esta girando de acordo à figura 𝜔 Velocidade angular de rotação do rotor 𝑎 Excentricidade do rotor 𝐺 Centro de massa do rotor 𝐶 Centro geométrico do rotor Τ 𝑑𝜃 𝑑𝑡 Velocidade de rodopio whirling 𝑥 𝑦 coordenadas do ponto 𝐶 A equação de movimento do rotor massa 𝑚 pode ser escrita como As forças que aparecem atuando no rotores devido ao movimento do rotor massa 𝑚 podem ser Força de inércia Ԧ𝐹𝑖 𝑚 ሷ𝑅 Força elástica Ԧ𝐹𝑒 𝑘𝑥 Ƹ𝑖 𝑦 Ƹ𝑗 Força de amortecimento interno Ԧ𝐹𝑑𝑖 𝑐𝑖 ሶ𝑥 ω𝑦 Ƹ𝑖 ሶ𝑦 ω𝑥 Ƹ𝑗 Força de amortecimento externo Ԧ𝐹𝑖 Ԧ𝐹𝑒 Ԧ𝐹𝑑𝑖 Ԧ𝐹𝑑𝑒 Ԧ𝐹𝑑𝑒 𝑐 ሶ𝑥 Ƹ𝑖 ሶ𝑦 Ƹ𝑗 Capítulo 9 Controle de Vibração 17 Substituindo na equação de movimento temos na forma escalar as equações Temos uma única equação da forma onde 𝑅 denota o vetor posição do cm do rotor Descrevem a vibração lateral do rotor e são acopladas e dependentes da velocidade de rotação do eixo Definindo 𝑤 𝑥 𝑖𝑦 Existe velocidade crítica quando a freqüência de rotação excitação é igual a uma das freqüências naturais do eixo A freqüência natural do rotor é obtida a partir da forma homogênea da equação de movimento da mesma com 𝑐𝑖 𝑐 0 952 Velocidades críticas 𝑅 𝑥 𝑎 𝐶𝑜𝑠ω𝑡 Ƹ𝑖 𝑦 𝑎 𝑆𝑒𝑛ω𝑡 Ƹ𝑗 Ԧ𝐹𝑖 𝑚 ሷ𝑅𝑖 𝑚 ሷ𝑥 𝑎ω2𝐶𝑜𝑠ω𝑡 Ƹ𝑖 ሷ𝑦 𝑎ω2𝑆𝑒𝑛ω𝑡 Ƹ𝑗 𝑚 ሷ𝑥 𝑐𝑖 𝑐 ሶ𝑥 𝑘𝑥 𝑐𝑖ω𝑦 𝑚 ω2 𝑎 𝐶𝑜𝑠 ω𝑡 𝑚 ሷ𝑦 𝑐𝑖 𝑐 ሶ𝑦 𝑘𝑦 𝑐𝑖ω𝑥 𝑚 ω2 𝑎 𝑆𝑒𝑛 ω𝑡 𝑚 ሷ𝑤 𝑐𝑖 𝑐 ሶ𝑤 𝑘𝑤 𝑖ω𝑐𝑖𝑤 𝑚 ω2 𝑎 𝑒𝑖𝜔𝑡 ω𝑛 𝑘 𝑚 12 Capítulo 9 Controle de Vibração 18 953 Resposta do sistema O rotor sofre grandes deflexões e a força transmitida aos mancais pode causar a falha destes Uma passagem rápida limita as amplitudes do rodopio e a passagem lenta ajuda a desenvolver grandes amplitudes Considerando uma excitação harmônica por desbalanceamento e amortecimento interno nulo temos que a equação de vibração lateral do rotor e E a solução da equação pode ser escrita como onde 𝐶 𝛽 𝐴 e 𝜙 são constantes Substituindo a parte de regime permanente na equação de movimento podemos determinar a amplitude do movimento circular rodopio whirling como E o ângulo de fase como 𝑚 ሷ𝑤 𝑐 ሶ𝑤 𝑘𝑤 𝑚 ω2 𝑎 𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑤 𝑡 𝐶𝑒𝛼𝑡𝛽 𝐴𝑒𝑖𝜔𝑡𝜙 𝐴 𝑚ω2𝑎 𝑘 𝑚𝜔2 2 ω2𝑐2 12 𝑎𝑟² 1 𝑟2 2 2ζ𝑟² 12 𝜙 𝑇𝑎𝑛1 𝑐𝜔 𝑘 𝑚𝜔² 𝑇𝑎𝑛1 2𝜁𝑟 1 𝑟² Capítulo 9 Controle de Vibração 19 Diferenciado 𝐴 com relação 𝜔 e igualando a zero temos o valor da velocidade de rotação para o qual teremos a amplitude de vibração máxima e A figura apresenta a amplitude de vibração 𝐴 e a fase 𝜙 em função de 𝜔 A amplitude de rodopio em baixas velocidades é determinada pela constante de elasticidade 𝑘 Próximo à ressonância a resposta é em essência limitada pelo amortecimento Quando a velocidade ultrapassa 𝜔𝑛 o rodopio é dominada pelo termo 𝑚2𝜔4 Para determinar as reações nos mancais determinase a deflexão do cm do disco em relação ao eixo do mancal 𝑟 ω ω𝑛 ω𝑛 𝑘 𝑚 ζ 𝑐 2 𝑘𝑚 ω ω𝑛 1 1 2 𝑐 ω𝑛 2 12 𝑅2 𝐴2 𝑎2 2𝐴 𝑎 𝐶𝑜𝑠𝜙 Capítulo 9 Controle de Vibração 20 954 Análise de estabilidade Considerando a definição de 𝐴 e 𝜙 temos As reações nos mancais são determinadas pela força centrifuga 𝑚𝜔2𝑅 Pode ocorrer no rotor flexível devido ao atrito interno excentricidade do disco chicoteio do óleo nos mancais Considerando a equação de movimento na forma admitindo temos com tornase A forma mais geral da equação é Para o sistema ser estável de acordo ao critério de RouthHurwitz as seguintes desigualdades devem ser satisfeitas 𝑅 𝑎 1 2ζ𝑟 2 1 𝑟² 2 2ζ𝑟 2 𝑚 ሷ𝑤 𝑐𝑖 𝑐 ሶ𝑤 𝑘𝑤 𝑖ω𝑐𝑖𝑤 0 𝑤 𝑡 𝑒𝑠𝑡 𝑚𝑠2 𝑐𝑖 𝑐 𝑠 𝑘 𝑖𝜔𝑐𝑖 0 𝑠 𝑖λ 𝑚 λ2 𝑐𝑖 𝑐 𝑖λ 𝑘 𝑖ω𝑐𝑖 0 𝑝2 𝑖𝑞2 λ2 𝑝1 𝑖𝑞1 λ 𝑝0 𝑖𝑞0 0 Capítulo 9 Controle de Vibração 21 e Observando que 𝑝2 𝑚 𝑞2 0 𝑝1 0 𝑞1 𝑐𝑖 𝑐 𝑝𝑜 𝑘 e 𝑞𝑜 𝜔𝑐𝑖 as desigualdades resultam em e Mostra que o atrito interno e externo pode causar instabilidade em velocidades de rotação acima da primeira velocidade crítica 𝑝2 𝑝1 𝑞2 𝑞1 0 𝑝2 𝑝1 𝑝0 𝑞2 𝑞1 𝑞0 0 𝑝2 𝑝1 0 0 𝑝0 0 𝑞2 𝑞1 𝑞0 0 𝑚 𝑐𝑖 𝑐 0 𝑘𝑚 𝑐𝑖 𝑐 2 𝑚2 ω2𝑐𝑖 2 0 𝑘 𝑚 1 𝑐 𝑐𝑖 ω 0 Capítulo 9 Controle de Vibração 22 Exemplo 93 Amplitude de rodopio whirling de um eixo que suporta um rotor desbalanceado Um eixo que suporta um rotor de 100 𝑙𝑏𝑓 de peso e tem uma excentricidade de 01 𝑝𝑜𝑙 gira a 1200 𝑟𝑝𝑚 Determine a a amplitude regime permanente do rodopio whirling b a máxima amplitude de rodopio whirling durante as condições de partida do sistema Suponha que a rigidez do eixo seja 2 105 𝑙𝑏𝑓𝑝𝑜𝑙 e que o fator de amortecimento externo seja 01 Capítulo 9 Controle de Vibração 23 𝑓 Frequência linear 𝜔 Frequência angular 𝑋 Amplitude de deslocamento 𝛿𝑠𝑡 Deflexão estática do sistema 𝑌 Amplitude do deslocamento da base 𝜔𝑛 Frequência natural Ԧ𝐴𝑢 Vetor de desbalanceamento original Ԧ𝐴𝑢𝑤 Vetor de desbalanceamento combinado Ԧ𝐴𝑤 Vetor de desbalanceamento devido ao peso experimental Lista de Variáveis 𝜔𝑑 Frequência das vibrações amortecidas Ԧ𝐹𝑑𝑖 Força de amortecimento interno Ԧ𝐹𝑖 Força de inércia Ԧ𝐹𝑒 Força elástica Ԧ𝐹𝑑𝑒 Força de amortecimento externo 𝜁 Fator de amortecimento 𝑟 Razão entre frequências