Nomograma de Vibração e Critérios de Vibração - Capítulo 9

Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 1 95 Balanceamento de motores alternativos Os elementos móveis de um motor alternativo são mostradas na figura As vibrações são por variações periódicas da pressão dos gases no cilindro forças de inércia associadas ás partes móveis 961 Forças desbalanceadas resultantes da variação da pressão dos gases A figura apresenta um cilindro de um motor alternativo Os gases em expansão exercem uma força de pressão 𝐹 sobre o pistão que é transmitida ao eixo de manivela virabrequim pela biela Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 2 A 𝐹 induz um torque 𝑀𝑡 sobre o eixo de manivela virabrequim definida como Para o equilíbrio de forças do sistema como um todo as forças nos mancais são 𝐹 na direção vertical e 𝐹 𝑇𝑎𝑛𝜙 na direção horizontal As forças transmitidas às partes estacionárias do motor são 1 Força 𝐹 que age pra cima no cabeçote do cilindro 2 Força 𝐹 𝑇𝑎𝑛𝜙que age para direita no cabeçote do cilindro 3 Força 𝐹 que age para baixo no mancal do eixo da manivela virabrequim 4 Força 𝐹 𝑇𝑎𝑛𝜙 que age para esquerda no mancal do eixo da manivelavirabrequim O torque resultante no corpo do motor é onde h pode ser determinado pela geometria como Assim o torque resultante é dado por A magnitude da força dos gases 𝐹 muda de um máximo para um mínimo a uma freqüência governada pelo número de cilindros no motor pelo tipo do ciclo operacional e pela velocidade de rotação do motor 𝑀𝑡 𝐹 𝐶𝑜𝑠𝜙 𝑟𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑀𝑄 𝐹 𝑇𝑎𝑛 𝜙 ℎ ℎ 𝑟𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑆𝑒𝑛𝜃 𝑀𝑄 𝐹𝑟𝐶𝑜𝑠𝜃 Cos𝜙 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 3 962 Forças desbalanceadas resultantes da inércia das partes móveis Aceleração do pistão se considerarmos a origem do eixo x a posição mais alta do pistão O deslocamento do pistão 𝑃 pode ser expresso como na figura Mas e por conseqüência Substituindo na equação temos no geral usando a relação de expansão 𝑥𝑝 𝑟 𝑙 𝑟𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑙𝐶𝑜𝑠 𝜙 𝑥𝑝 𝑟 𝑙 𝑟𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑙 1 𝑆𝑒𝑛²𝜙 𝑙 𝑆𝑒𝑛 𝜙 𝑟 𝑆𝑒𝑛 𝜃 𝑟 𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝜙 1 𝑟2 𝑙2 𝑆𝑒𝑛² 𝜔𝑡 12 𝑥𝑝 𝑟 𝑙 𝑟𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑙 1 𝑟2 𝑙2 𝑆𝑒𝑛²𝜔𝑡 𝑟 𝑙 1 4 1 𝜀 1 𝜀 2 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 4 A velocidade e aceleração do pistão são Por conseqüência a equação pode ser aproximada como ou equivalente Aceleração do pino da manivela Os deslocamento do pino 𝐶 da manivela são dados por as componentes da velocidade e aceleração do pino da manivela são Forças de inércia A biela costuma ser idealizada como ligação desprovida de massa com 2 massas concentradas na suas extremidades pistão pino de manivela A componente vertical da força de inércia é 𝑥𝑝 𝑟1 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑟2 2𝑙 𝑆𝑒𝑛²𝜔𝑡 𝑥𝑝 𝑟 1 𝑟 4𝑙 𝑟 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑟 4𝑙 𝐶𝑜𝑠2𝜔𝑡 𝑥𝑝 𝑟𝜔 𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑟 2𝑙 𝑆𝑒𝑛 2𝜔𝑡 𝑥𝑝 𝑟𝜔² 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑟 𝑙 𝐶𝑜𝑠 2𝜔𝑡 𝑥𝑐 𝑂𝐴 𝐴𝐵 𝑙 𝑟 1 Cos 𝜔𝑡 𝑦𝑐 𝐶𝐵 𝑟𝑆𝑒𝑛𝜔𝑡 𝑥𝑐 𝑟𝜔𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑥𝑐 𝑟𝜔2 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑦𝑐 𝑟𝜔 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑦𝑐 𝑟𝜔2𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 5 Substituindo as equações das acelerações de 𝑃 e 𝐶 temos Analogamente a componente horizontal da força de inércia para um cilindro pode ser obtida como 𝑦𝑝 0 e 𝑦𝐶 é dada pela equação que substituída temos 963 Balanceamento de motores alternativos A massa 𝑚𝑃 é sempre positiva mas 𝑚𝐶 pode chegar a zero mediante o contrabalanceamento da manivela Portanto é possível reduzir a zero a força de inércia horizontal 𝐹𝑦 mas a força vertical 𝐹𝑥 sempre existe No motor de vários cilindros é possível balancear algumas ou todas as forças de inércia e torques por meio de arranjos adequado das manivelas A figura amostra um motor com 6 cilindros comprimentos das manivelas e bielas 𝑟 e 𝑙 e velocidade angular das manivelas 𝜔 constante 𝐹𝑥 𝑚𝑝 𝑥𝑝 𝑚𝑐 𝑥𝑐 970 𝐹𝑥 𝑚𝑝 𝑚𝑐 𝑟𝜔2 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑚𝑝 𝑟²𝜔² 𝑙 𝐶𝑜𝑠 2𝜔𝑡 971 𝐹𝑦 𝑚𝑝 𝑦𝑝 𝑚𝑐 𝑦𝑐 972 𝐹𝑦 𝑚𝑐𝑟𝜔2𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡 973 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 6 Considerando o deslocamento axial e a orientação angular do iésimo cilindro 𝑙𝑖 𝛼𝑖 Para o equilíbrio de força total de inércia temos As componentes vertical e horizontal da força de inércia para o cilindro i é dada por 𝐹𝑥 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑖1 𝑁 𝐹𝑥 𝑖 0 𝐹𝑦 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑖1 𝑁 𝐹𝑦 𝑖 0 𝐹𝑥 𝑖 𝑚𝑝 𝑚𝑐 𝑖𝑟𝜔2𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝛼𝑖 𝑚𝑝 𝑖 𝑟²𝜔² 𝑙 Cos2𝜔𝑡 2𝛼𝑖 𝐹𝑦 𝑖 𝑚𝑐 𝑖𝑟𝜔2𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝛼𝑖 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 7 Os momentos em relação aos dos eixos y e x devidos às forças de inércia são dadas por Considerando 𝑚𝑃𝑖 𝑚𝑃 e 𝑚𝐶𝑖 𝑚𝐶 e as equações para 𝑡 0 sem perda de generalidade As condições de equilíbrio implica que as condições necessárias para ter equilíbrio de momentos em relação aos eixos 𝑦 e 𝑥 para 𝑡 0 são dadas por Se todas as condições de equilíbrio forem satisfeitas teremos um motor alternativo de vários cilindros completamente balanceado em relação ás forças e momentos de inércia 𝑖1 𝑁 𝐶𝑜𝑠 𝛼𝑖 0 𝑖1 𝑁 𝐶𝑜𝑠 2𝛼𝑖 0 𝑖1 𝑁 𝑆𝑒𝑛 𝛼𝑖 0 𝑀𝑦 𝑖2 𝑁 𝐹𝑥 𝑖𝑙𝑖 0 𝑀𝑥 𝑖2 𝑁 𝐹𝑦 𝑖𝑙𝑖 0 𝑖1 𝑁 𝑙𝑖𝐶𝑜𝑠 𝛼𝑖 0 𝑖1 𝑁 𝑙𝑖𝐶𝑜𝑠 2𝛼𝑖 0 𝑖1 𝑁 𝑙𝑖𝑆𝑒𝑛 𝛼𝑖 0 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 8 97 Controle de vibração Métodos para controlar a vibração Controlar as freqüências naturais do sistema e evitar ressonância sob excitações externas Evitar resposta excessiva do sistema mesmo em ressonância introduzindo um mecanismo de amortecimento ou de dissipação de energia Reduzir a transmissão das forças de excitação de uma parte da máquina para outra mediante a utilização de isoladores de vibração Reduzir a resposta do sistema mediante a adição de um neutralizador de massa ou absorvedor de vibração auxiliar Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 9 98 Controle de freqüências naturais Nos sistemas mecânicos e estruturais grandes deslocamentos indicam grandes deformações e tensões indesejáveis que podem resultar em falha do sistema Em grande parte dos casos a frequência de excitação não pode ser controlada porque ela é imposta pelos requisitos funcionais do sistema ou máquina A frequência natural do sistema pode ser mudada variando a massa ou a rigidez Nem sempre é possível alterar a massa do sistema pois seu valor é determinado pelos requisitos funcionais do sistema exemplo a massa de uma volante de um eixo está em função da quantidade de energia que deve absorver por ciclo Outra opção seria alterar a rigidez do sistemaa rigidez de um eixo pode ser alterada mediante a variação de um ou mais de seus parâmetros como o material de que é feito ou a quantidade e a localização de pontos de suporte mancais Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 10 99 Introdução ao amortecimento Em sistemas como absorvedores de choque em automóveis e muitos instrumentos de medição de vibração o amortecimento deve ser introduzido para cumprir os requisitos funcionais A presença de amortecimento sempre limita a amplitude de vibração Os motores elétricos de velocidade variável e motores de combustão interna as vezes têm que funcionar em condições de ressonância portanto se introduz amortecimento no sistema utilizando materiais estruturais com alto grau de amortecimento interno ferro fundido materiais laminados ou sanduíche Em aplicações estruturais o amortecimento é introduzido por meio de juntas juntas parafusadas e rebitadas dissipam mais energia que juntas soldadas Juntas parafusadas e rebitadas reduzem a rigidez da estrutura produzem detritos resultantes do deslizamento das juntas e causam corrosão por atrito Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 11 Utilização de materiais viscoelásticos Para um sistema de 1 gdl com amortecimento interno sob excitação harmônica temos onde é o fator de perda definido como energia dissipada durante 1 ciclo de deslocamento harmônico radiano Máxima energia de deformação no ciclo A amplitude da resposta em ressonância é dada por O fator de perda é maior para materiais viscoelásticos e por isso são usados para prover amortecimento interno As mesmas que ficam sujeitas a deformações diretas ou por cisalhamento Os amortecimentos restringidos por camadas podem ser Arranjo simples Camada de material viscoelástico ligada a uma camada de material elástico Arranjo sanduíche Camada viscoelástico é colocada entre duas camadas elásticas Tiras de amortecimento fina lamina de metal coberta com um adesivo viscoelástico As propriedades dos materiais viscoelásticos mudam com a temperatura frequência e deformação 𝑚 𝑥 𝑘 1 𝑖η 𝑥 𝐹0𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑋 𝐹0 𝑘 1 𝜔² 𝜔𝑛² 2 𝜂² 2 𝜂 Δ𝑊2𝜋 𝑊 𝐹0 𝑘𝜂 𝐹0 𝑎𝐸𝜂 𝑘 𝑎𝐸 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 12 O valor mais alto de E dá a menor amplitude de ressonância Os valores do coeficiente de perda para alguns materiais são dados na tabela Os fatores de amortecimento que se podem obter com diferentes tipos de construção arranjo são indicados a seguir Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 13 99 Isolamento da vibração Envolve a inserção de um membro resiliente isolador entre a massa vibratória equipamento carga útil e a fonte de vibração de modo a obter uma redução da resposta dinâmica do sistema sob condições de vibração especificadas Um isolador passivo consiste num membro resiliente rigidez e um dissipador de energia amortecimento por exemplo molas de metal cortiça feltro molas pneumáticas e molas de elastômero borracha conforme a figura Suporte de mola não amortecido Suporte de mola amortecido Suporte pneumático de borracha Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 14 A figura ilustra a utilização de isoladores passivos na montagem de uma prensa de perfurar de alta velocidade Um isolador ativo é composto por um servomecanismo dotado de um sensor processador de sinal e um acionador A efetividade de um isolador é enunciada em termos de sua transmissibilidade O isolamento de vibração pode ser usado em dos tipos de situações Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 15 1 A fundação ou base de uma máquina é protegida contra grandes forças desbalanceadoras maquinas alternativas e rotativas ou forças impulsivas prensas de forjar e estampar Se o sistema for modelado como 1gdlfigura A força transmitida à fundação pela mola e amortecedor é Se 𝐹𝑡 é harmônico as tensões resultantes nos parafusos da fundação serão harmônicas que devem ser limitadas 2 O sistema é protegido contra o movimento da sua fundação ou base instrumento ou equipamento embalagem Se o sistema for modelado como 1gdl figura A força transmitida à massa 𝑚 é dada por 𝐹𝑡 𝑡 𝑘𝑥 𝑡 𝑐 𝑥𝑡 𝐹𝑡 𝑡 𝑚 𝑥 𝑡 𝑘 𝑥 𝑡 𝑦𝑡 𝑐 𝑥 𝑡 𝑦𝑡 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 16 9101 Sistema de isolamento da vibração com fundação rígida Redução da força transmitida à fundação A máquina desbalanceamento e peso é parafusada diretamente a uma fundação rígida ou piso Um membro elástico ou resiliente k c é colocado entre a máquina e a fundação para reduzir a força transmitida o sistema idealizado como 1gdl conforme a figura Na máquina aparece uma força do tipo 𝐹 𝑡 A equação de movimento da máquina é dada por A solução de regime permanente da equação de movimento é dada por onde A força transmitida para à fundação é dada por 𝑚 𝑥 𝑐 𝑥 𝑘𝑥 𝐹0Cos𝜔𝑡 𝑥 𝑡 𝑋𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝑋 𝐹0 𝑘 𝑚𝜔² 2 𝜔2𝑐² 12 𝜙 𝑇𝑎𝑛1 𝜔𝑐 𝑘 𝑚𝜔² 𝐹𝑡 𝑡 𝑘𝑥 𝑡 𝑐 𝑥 𝑡 𝑘𝑋𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝜙 𝑐𝜔𝑋𝑆𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜙 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 17 A magnitude da força total transmitida para à fundação é dada por A transmissibilidade do isolador é definida como a razão entre as magnitudes das forças A variação dela com a razão de freqüências é mostrada na fig Para obter isolamento a força transmitida 𝐹𝑇 à fundação precisa ser menor que a força de excitação 𝐹𝑜𝑟 2 Observações 𝐹𝑇 𝑘𝑥 2 𝑐 𝑥 2 𝑋 𝑘2 𝑐²𝜔² 𝑇𝑟 𝐹𝑇 𝐹0 𝑘2 𝜔2𝑐² 𝑘 𝑚𝜔2 2 𝜔2𝑐² 12 1 2𝜁𝑟 ² 1 𝑟2 2 2𝜁𝑟² 12 𝐹𝑇 se 𝜔𝑛 𝐹𝑇 se c 𝑐 𝐹𝑇 𝑟 2 𝑐 𝐹𝑇 𝑟 2 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 18 Redução da força transmitida à massa Se um instrumento ou máquina sensível de massa m precisar ser isolado contra o movimento harmônico indesejado da sua base a equação governante é dada por Se o movimento da base for harmônico então o movimento da massa também será harmônico Por conseqüência a transmissibilidade de deslocamento é dada pela equação 𝑚 𝑧 𝑐 𝑧 𝑘𝑧 𝑚 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑇𝑑 𝑋 𝑌 1 2𝜁𝑟 ² 1 𝑟2 2 2𝜁𝑟² 12 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 19 9102 Isolamento entre a fonte de vibração e o ambiente O isolamento da vibração redução da força transmitida ao solo pode ser conseguida para 𝑟 2 Na região precisamos de baixos valores de amortecimento para isolamento mais efetivo Para grandes valores de 𝑟 e baixos valores deζ o termo 2ζ𝑟 2 tornase pequena portanto Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 20 freqüência natural do sistema freqüência de excitação 𝛿𝑠𝑡 deflexão estática 𝑁 rotação de máquinas ciclosmin rpm Combinando as equações temos R qualidade do isolador de redução na força transmitida Considerando a equação pode se gerar o gráfico entre 𝐿𝑜𝑔 𝑁 e 𝐿𝑜𝑔 𝛿𝑠𝑡 utilizados para selecionar uma mola adequada A equação pode ser rescrita 𝑇𝑟 1 𝑟2 1 𝑟 2 𝜁 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜 𝜔𝑛 𝑘 𝑚 𝑔 𝛿𝑠𝑡 𝑟 𝜔 𝜔𝑛 2𝜋𝑁 60 𝛿𝑠𝑡 𝑔 2 𝑅 1 𝑅 𝑁 30 𝜋 𝑔 𝛿𝑠𝑡 2 𝑅 1 𝑅 𝑅 1 𝑇𝑟 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 21 Redução da força transmitida a fundação resultante de desbalanceamento rotativo A força de excitação causada por um desbalanceamento rotativo é dada por A transmissibilidade de força pode ser expressa como Considerando a transmissibilidade é dada por O gráfico da equação é mostrada na figura 𝐹 𝑡 𝐹0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑚𝑒𝜔2𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑇𝑟 𝐹𝑇 𝐹0 𝐹𝑇 𝑚𝑒𝜔² 𝐹𝑇 𝑚𝑒𝑟²𝜔𝑛2 𝐹𝑇 𝑚𝑒𝜔𝑛2 𝑟² 1 2𝜁𝑟 ² 1 𝑟2 2 2𝜁𝑟² 12 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 22 9103 Sistema de isolamento da vibração com fundação flexível Em muitas situações práticas a estrutura ou fundação à qual o isolador está ligado movese quando a máquina montada sobre o isolador entra em funcionamento turbina casco de navio motor de avião asa de aeronave Máquina com isolador sobre uma fundação flexível Nesse caso o sistema pode ser representado com 2 gdl 𝑚1 e 𝑚2 são as massas da máquina e da estrutura de suporte O isolador é representado por uma mola as equações de movimento das massas são Considerando uma solução Substituindo na equação temos 𝑚1 𝑥1 𝑘 𝑥1 𝑥2 𝐹0𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑚2 𝑥2 𝑘 𝑥1 𝑥2 0 𝑥𝑗 𝑡 𝑋𝑗𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑗 12 𝑋1 𝑘 𝑚1𝜔2 𝑋2𝑘 𝐹0 𝑋1𝑘 𝑋2𝑘 𝑚2𝜔2 0 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 23 Em regime permanente as amplitudes de 𝑚1 e 𝑚2 são dadas pelas equações A transmissibilidade do isolador é dada por As freqüências naturais são dadas pelas raízes da equação A força transmitida à estrutura suporte é dada por 𝜔1 2 0 𝜔2 2 𝑚1 𝑚2 𝑘 𝑚1𝑚2 𝑘 𝑚1𝜔² 𝑘 𝑘 𝑘 𝑚2𝜔² 0 𝑋1 𝑘 𝑚2𝜔2𝐹0 𝑘 𝑚1𝜔² 𝑘 𝑚2𝜔² 𝑘² 𝑋2 𝑘𝐹0 𝑘 𝑚1𝜔² 𝑘 𝑚2𝜔² 𝑘² 𝐹𝑡 𝑚2 𝑥2 𝑚2𝜔2𝑋2 𝑚2𝑘𝜔2𝐹0 𝑘 𝑚1𝜔² 𝑘 𝑚2𝜔² 𝑘² 𝑇𝑟 𝐹𝑡 𝐹0 𝑚2𝑘𝜔2𝐹0 𝑘 𝑚1𝜔² 𝑘 𝑚2𝜔² 𝑘² 𝑇𝑟 1 𝑚1 𝑚2 𝑚2 𝑚1𝜔² 𝑘 𝑚2 𝑚1 𝑚2 1 1 𝜔² 𝜔2 2 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 24 Exemplo 94 Suporte de mola para o exaustor Um exaustor que gira a 1000 𝑟𝑝𝑚 deve ser suportado por 4 molas cada qual com rigidez 𝑘 se somente 10 da força desbalanceadora do exaustor deve ser transmitida à base qual seria o valor de 𝑘 considere que a massa do exaustor seja de 40 𝑘𝑔 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 25 Exemplo 95 Isolamento de sistema vibratório Um sistema vibratório deve ser isolado de sua base de suporte Determine o fator de amortecimento necessário para o isolador de modo a limitar a transmissibilidade em ressonância a 𝑇𝑟 4 Considere que o sistema tenha 1gdl Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 26 Exemplo 96 Isolamento para prato de tocadiscos estéreo Um prato de tocadiscos estéreo de 1 𝑘𝑔 de massa gera uma força de excitação a uma freqüência de 3 𝐻𝑧 Se o prato estiver apoiado sobre uma base por meio de um suporte de borracha determine a rigidez do suporte de borracha para reduzir 80 da vibração transmitida à base Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 27 Razão entre frequência s Fator de amortecimento Transmissibilidade de deslocamento Transmissibilidade do isolador Força aplicada Força transmitida Deflexão estática do sistema Amplitude de deslocamento das massas Frequência das vibrações amortecidas Frequência natural do absorvedor Módulo de Young de deformação no ciclo Energia e ou fator de perda Coeficient Frequência angular Frequência natural deslocamento do pistão Torque 0 2 1 r T T F F X X E W η x M d r t st d a n p Lista de variáveis