Sistemas com Dois Graus de Liberdade: Análise de Vibração Livre e Frequências Naturais

Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 1 Exemplo 53 Resposta de vibração livre de um sistema com 2 graus de liberdade Determine a resposta de vibração livre do sistema exposta na figura com 𝑘1 30 𝑁𝑚 𝑘2 5 𝑁𝑚 𝑘3 0 𝑁𝑚 𝑚1 10 𝑘𝑔 𝑚2 1 𝑘𝑔 para as condições iniciais 𝑥1 0 1 ሶ𝑥10 0 𝑥2 0 0 ሶ𝑥20 0 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 2 54 Sistema torcional Aplicando a 2a lei de Newton para os discos as equações diferenciais de movimento rotacionais para os discos são Rearranjadas tornamse Para análise de vibração livre reduzse a Sistema massamola torcional em vibração DCL Rigidez torcional dos eixos Momento de inércia polar dos discos 𝐽1 ሷ𝜃1 𝑘𝑡1𝜃1 𝑘𝑡2 𝜃2 𝜃1 𝑀𝑡1 𝐽2 ሷ𝜃2 𝑘𝑡2 𝜃2 𝜃1 𝑘𝑡3𝜃2 𝑀𝑡2 𝐽1 ሷ𝜃1 𝑘𝑡1 𝑘𝑡2𝜃1 𝑘𝑡2𝜃2 𝑀𝑡1 𝐽2 ሷ𝜃2 𝑘𝑡2𝜃1 𝑘𝑡2 𝑘𝑡3𝜃2 𝑀𝑡2 𝐽1 ሷ𝜃1 𝑘𝑡1 𝑘𝑡2𝜃1 𝑘𝑡2𝜃2 0 𝐽2 ሷ𝜃2 𝑘𝑡2𝜃1 𝑘𝑡2 𝑘𝑡3𝜃2 0 𝑘𝑡𝑖 𝐽𝑖 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 3 Exemplo 54 Frequências de sistema torcional Determine as frequências naturais e formas modais de um sistema torcional mostrado na figura para 𝐽1 𝐽𝑜 𝐽2 2𝐽𝑜 e 𝑘𝑡1 𝑘𝑡1 𝑘𝑡 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 4 Exemplo 55 Frequências naturais de uma hélice de motor naval O diagrama esquemático de um motor naval ligado a uma hélice por meio de engrenagens é mostrada na figura Os momentos de inércia de massa do volante motor engrenagem 1 engrenagem 2 e hélice em kgm2 são 9000 1000 250 150 e 2000 respectivamente Determine as frequências naturais e formas modais do sistema em vibração torcional Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 5 55 Acoplamento de coordenadas e coordenadas principais Um modelo simplificado do torno será um corpo rígido de massa m e o momento de inércia de massa 𝐽𝑜 em relação a seu CG apoiado em molas de rigidezes 𝑘1 e 𝑘2 como mostra a figura Sendo que o conjunto de coordenadas para descrever o movimento vibratório são Um sistema com n gdl requer n coordenadas independentes para descrever seu movimento vibratório posição de equilíbrio ou não cada conjunto das n coordenadas são chamadas de coordenadas generalizadas Como exemplo considere o torno mostrado na figura Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 6 Deflexões 𝑥1𝑡 e 𝑥2𝑡 das duas extremidades do torno AB Deflexão 𝑥𝑡 do CG e a rotação 𝜃𝑡 Deflexão 𝑥1𝑡 da extremidade A e rotação 𝜃𝑡 Deflexão 𝑦𝑡 da ponta 𝑃 localizada a uma distância 𝑒 à esquerda do CG e rotação 𝜃𝑡 como indica na figura Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 7 Rearranjadas na forma de matriz como O movimento resultante do torno AB é translacional bem como rotacional quando for aplicado um deslocamento ou torque passando pelo CG do corpo como uma condição inicial As equações de movimento são acopladas acoplamento estático ou elástico Equações de movimento usando as coordenadas 𝑥 𝑡 e 𝜃 𝑡 tornamse DCL 𝑚 ሷ𝑥 𝑘1 𝑥 𝑙1𝜃 𝑘2𝑥 𝑙2𝜃 𝐽0 ሷ𝜃 𝑘1 𝑥 𝑙1𝜃 𝑙1 𝑘2 𝑥 𝑙2𝜃 𝑙2 𝑚 0 0 𝐽0 ሷ𝑥 ሷ𝜃 𝑘1 𝑘2 𝑘1𝑙1 𝑘2𝑙2 𝑘1𝑙1 𝑘2𝑙2 𝑘1𝑙1 2 𝑘2𝑙2 2 𝑥 𝜃 0 0 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 8 Rearranjadas na forma de matriz como As equações de movimento são acopladas e apresentam acoplamento estático ou elástico e dinâmico ou de inércia O movimento resultante do torno é translacional bem como rotacional pois um movimento na direção 𝜃 induz um movimento do torno na direção 𝑦 Equações de movimento usando as coordenadas y 𝑡 e 𝜃 𝑡 tornamse No caso geral um sistema viscosamente amortecido com 2 gdl tem equações de movimento na forma seguinte 𝑚 ሷ𝑦 𝑘1 𝑦 𝑙1 𝜃 𝑘2 𝑦 𝑙2 𝜃 𝑚𝑒 ሷ𝜃 𝐽𝑃 ሷ𝜃 𝑘1 𝑦 𝑙1 𝜃 𝑙1 𝑘2 𝑦 𝑙2 𝜃 𝑙2 𝑚𝑒 ሷ𝑦 𝑚 𝑚𝑒 𝑚𝑒 𝐽𝑃 ሷ𝑦 ሷ𝜃 𝑘1 𝑘2 𝑘2𝑙2 𝑘1𝑙1 𝑘1𝑙1 𝑘2𝑙2 𝑘1𝑙1 2 𝑘2𝑙2 2 𝑦 𝜃 0 0 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 9 Se a matriz de rigidez não for diagonal o sistema tem acoplamento elástico ou estático Se a matriz de amortecimento não for diagonal o sistema tem acoplamento de amortecimento ou velocidade Se a matriz de massa não for diagonal o sistema tem acoplamento de massa ou inercial O sistema vibra em seu próprio modo natural independentemente das coordenadas usadas A natureza do acoplamento depende das coordenadas usadas e não é uma propriedade inerente do sistema É possível escolher um sistema de coordenadas 𝑞1 𝑡 e 𝑞2 𝑡 que dê equações de movimento não acoplados estaticamente e dinamicamente Tais coordenadas são denominadas coordenadas principais ou naturais Conseqüentemente as equações poderiam ser resolvidas independentemente uma da outra 𝑚11 𝑚12 𝑚21 𝑚22 ሷ𝑥1 ሷ𝑥2 𝑐11 𝑐12 𝑐21 𝑐22 ሶ𝑥1 ሶ𝑥2 𝑘11 𝑘12 𝑘21 𝑘22 𝑥1 𝑥2 0 0 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 10 Exemplo 56 Coordenadas principais de sistema massamola Determine as coordenadas principais para o sistema massamola mostrado na figura que esta restrito a moverse apenas no sentido vertical Considere n1 Fig Um sistema massamola com 2 gdl Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 11 Exemplo 57 Freqüências e modos de automóvel Determine as freqüências da inclinação movimento angular e da instabilidade vertical movimento linear para cima e para baixo e a localização dos centros de oscilação nós de um automóvel com os seguintes dados ver figura 511 Massa 𝑚 1000 𝑘𝑔 Raio de giro 𝑟 09 𝑚 Distância entre eixo dianteiro e o CG 𝑙1 10 𝑚 Distância entre eixo traseiro e o CG 𝑙2 15 𝑚 Rigidez da mola dianteira 𝑘𝑓 18 𝑘𝑁𝑚 Rigidez da mola traseira 𝑘𝑟 22 𝑘𝑁𝑚 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 12 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 13 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 14