Capítulo 9: Nomograma de Vibração e Critérios de Vibração

Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 1 9104 Sistema de isolamento da vibração com fundação parcialmente flexível A base do isolador em vez de ser completamente rígida ou completamente flexível é parcialmente flexível conforme mostrado na figura Definese a impedância mecânica da estrutura da base 𝑍 𝜔 como Máquina com isolador sobre uma fundação parcialmente flexível As equações de movimento são dadas por Substituindo a solução harmônica e Podemos obter as amplitudes de vibração das massas como 𝑍 𝜔 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝜔 𝐷𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚1 𝑥1 𝑘 𝑥1 𝑥2 𝐹0Cos𝜔𝑡 𝑘 𝑥2 𝑥1 𝑥2𝑍𝜔 𝑥𝑗 𝑡 𝑋𝑗 Cos 𝜔𝑡 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 2 A amplitude da força transmitida é dada por e a transmissibilidade do isolador por Na prática a impedância mecânica depende da natureza da estrutura da base e pode ser determinada por meio experimentais medindose o deslocamento produzindo por um vibrador Se um isolador estiver apoiado sobre um leito de concreto no solo a impedância mecânica em qualquer frequência pode ser determinada em termos do modelo massamolaamortecedor de mola do solo 𝑋1 𝑘 𝑍𝜔 𝑋2 𝑘 𝑘 𝑍𝜔 𝐹0 𝑍 𝜔 𝑘 𝑚1𝜔2 𝑘𝑚1𝜔² 𝑋2 𝑘𝐹0 𝑍 𝜔 𝑘 𝑚1𝜔2 𝑘𝑚1𝜔² 𝐹𝑡 𝑋2𝑍 𝜔 𝑘𝑍𝜔𝐹0 𝑍 𝜔 𝑘 𝑚1𝜔2 𝑘𝑚1𝜔² 9119 𝑇𝑟 𝐹𝑡 𝐹0 𝑘𝑍𝜔 𝑍 𝜔 𝑘 𝑚1𝜔2 𝑘𝑚1𝜔² 9120 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 3 9105 Isolamento contra choque Uma carga de choque envolve a aplicação de uma força por uma curta duração normalmente por um período menor que um período natural do sistema martelos de forjar prensas de estampagem jatos de ar explosões O isolamento contra choque é um procedimento pela qual os efeitos indesejáveis do choque são reduzidos O isolamento contra choque deve ocorrer em ampla faixa de freqüências normalmente com grandes valores de Um bom projeto de isolamento de vibração revela ser um mau projeto de isolamento contra choque e viceversa Mas os princípios básicos envolvidos no isolamento contra choque são semelhantes aos do isolamento da vibração Carga de choque de curta duração pode ser tratada como impulso da forma Aplicando o princípio do impulsomomento a velocidade imprimida a massa é 𝐹 0 𝑇 𝐹 𝑡 𝑑𝑡 𝜐 𝐹 𝑚 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 4 Considerando as condições A resposta do sistema de 1gdl à vibração livre com condição inicial de velocidade igual a 𝜐 é A aplicação de uma carga de choque de curta duração equivale a imprimir uma velocidade inicial ao sistema Assim a resposta do sistema sob a carga de choque pode ser determinada como a solução de vibração livre com uma de velocidade inicial especificada e A força transmitida à fundação devido à mola e ao amortecedor é usando a equação de deslocamento e velocidade temos onde Para cargas de choque de duração mais longa a máxima força transmitida pode ocorrer enquanto o choque está sendo aplicada 𝑥 𝑡 0 𝑥0 0 𝑥 𝑡 0 𝑥0 𝜐 𝑥 𝑡 𝜐𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡 𝜔𝑑 𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑑𝑡 𝐹𝑡 𝑡 𝑘𝑥 𝑡 𝑐 𝑥𝑡 𝐹𝑡 𝑡 𝜐 𝜔𝑑 𝑘 𝜁𝜔𝑛 2 𝑐𝜔𝑑 ² 𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡𝑆𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡 𝜙 𝜙 𝑇𝑎𝑛1 𝑐𝜔𝑑 𝑘 𝑐𝜁𝜔𝑑 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 5 Exemplo 97 Isolamento contra choque Um instrumento eletrônico de 20 𝑘𝑔 de massa sofre um choque sob a forma de um degrau de velocidade de 2 𝑚𝑠 Se os máximos valores de deflexãodevido ao limite de tolerância e aceleração permissíveis forem especificados com 20 𝑚𝑚 e 25 𝑔 respectivamente determine a constante de elasticidade de um isolador contra choque não amortecido Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 6 Exemplo 98 Isolamento contra carga degrau Um instrumento eletrônico sensível com 100 𝑘𝑔 de massa está apoiado sobre molas e embalado para embarque Durante essa operação a embalagem cai de uma altura que aplicou efetivamente uma carga de choque de intensidade 𝐹𝑜 ao instrumento como mostra a figura Determine a rigidez das molas usadas na embalagem e a máxima deflexão permitida para o instrumento deve ser menor que 2 𝑚𝑚 O espectro de resposta da carga de choque é mostrada na figura com 𝐹𝑜 1000 𝑁 e 𝑡𝑜 01 𝑠 Fig Carga de choque sobre um instrumento eletrônico Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 7 9106 Controle ativo de vibração O isolamento de vibração é ativo se usar potência externa para executar sua função como amostra a figura O sistema mantém uma distância constante l entre a massa vibratória e o plano de referência A mudança em l é percebida pelo sensor O processador produz um sinal de comando para o acionador O acionador desenvolve um movimento ou força que controlará o deslocamento da base para manter l constante Sensores de deslocamento velocidade aceleração força Processador de sinal conexão mecânica rede ativa eletrônica ou fluídica adição integração diferenciação atenuação ou amplificação Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 8 911 Absorvedores de vibração Acionador sistema mecânico cremalheira e pinhão ou fuso sistema piezelétricos e eletromagnéticos de geração de força O sistema de controle ativo pode ser denominado eletromecânico eletrofluídico eletromagnético piezelétrico ou fluídico A vibração excessiva de máquinas por condição de ressonância pode ser reduzida com a utilização de um neutralizador de vibração ou absorvedor dinâmico de vibração que é simplesmente outro sistema massamola O absorvedor dinâmico é projetado de modo tal que as freqüências naturais do sistema resultante fiquem longe da frequência de excitação Considerase a análise de um absorvedor dinâmico idealizando a máquina como um sistema de 1 gdl Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 9 9111 Absorvedor dinâmico de vibração não amortecido O propósito é reduzir a amplitude de vibração da máquina 𝑋1 Portanto 𝑋1 0 Quando ligamos uma massa auxiliar 𝑚2 a uma máquina de massa 𝑚1 por meio de uma mola de rigidez 𝑘2 conforme mostrado na figura As equações de movimento das massas são Supondo uma solução harmônica As amplitudes de vibração das massas em regime permanente são 𝑚1 𝑥1 𝑘𝑥1 𝑘2 𝑥2 𝑥1 𝐹0𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑚2 𝑥2 𝑘2 𝑥2 𝑥1 0 𝑥𝑗 𝑡 𝑋𝑗𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑗 12 𝑋1 𝑘2 𝑚2𝜔² 𝐹0 𝑘1 𝑘2 𝑚1𝜔2 𝑘2 𝑚2𝜔2 𝑘2² 𝑋2 𝑘2𝐹0 𝑘1 𝑘2 𝑚1𝜔2 𝑘2 𝑚2𝜔2 𝑘2² Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 10 A amplitude de vibração da máquina ao operar à sua frequência de ressonância original será zero quando Se a máquina funcionar perto da sua ressonância então O absorvedor será projetado de modo tal que Definindo Freqüência natural do absorvedor ou sistema auxiliar As amplitudes em regime permanente podem ser rescritas como A frequência natural da máquina ou sistema principal como 𝑘2 𝑚2𝜔2 0 𝜔2 𝑘2 𝑚2 𝜔2 𝜔1 2 𝑘1 𝑚1 𝜔2 𝑘2 𝑚2 𝑘1 𝑚1 𝛿𝑠𝑡 𝐹0 𝑘1 𝜔1 𝑘1𝑚1 12 𝜔2 𝑘2𝑚2 12 𝑋1 𝛿𝑠𝑡 1 𝜔 𝜔2 2 1 𝑘2 𝑘1 𝜔 𝜔1 2 1 𝜔 𝜔2 2 𝑘2 𝑘1 𝑋2 𝛿𝑠𝑡 1 1 𝑘2 𝑘1 𝜔 𝜔1 2 1 𝜔 𝜔2 2 𝑘2 𝑘1 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 11 A figura mostra a variação das amplitudes em relação à velocidade da máquina Observase 𝑋1 0 para 𝜔 𝜔1 Efeito de um absorvedor de vibração não amortecido sobre a resposta da máquina Nessa freqüência a amplitude do absorvedor é O tamanho do absorvedor dinâmico de vibração pode ser determinado pela equação 𝑋2 𝑘1 𝑘2 𝛿𝑠𝑡 𝐹0 𝑘2 𝑘2𝑋2 𝑚2𝜔2𝑋2 𝐹0 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 12 Assim os valores de 𝑘2 e 𝑚2 dependem do valor permissível de 𝑋2 O absorvedor dinâmico de vibração introduz duas freqüências de ressonância Ω1 e Ω2 Portanto na prática a freqüência de operação 𝜔 deve ser mantida longe das freqüências Ω1 e Ω2 e cujos valores são dadas por Observando que Igualando o denominador a zero temos que As duas raízes da equação são dadas por funções de e 𝑘2 𝑘1 𝑘2 𝑚2 𝑚2 𝑚1 𝑚1 𝑘1 𝑚2 𝑚1 𝜔2 𝜔1 2 𝜔 𝜔2 4 𝜔2 𝜔1 2 𝜔 𝜔2 2 1 1 𝑚2 𝑚1 𝜔2 𝜔1 2 1 0 𝑚2 𝑚1 𝜔2 𝜔1 Ω1 𝜔2 2 Ω2 𝜔2 2 1 1 𝑚2 𝑚1 𝜔2 𝜔1 2 1 1 𝑚2 𝑚1 𝜔2 𝜔1 2 2 4 𝜔2 𝜔1 2 12 2 𝜔2 𝜔1 2 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 13 Variação de 1 e 2 dadas pela equação Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 14 Exemplo 99 Absorvedor de vibração para motor diesel Um motor diesel com 3000 𝑁 de peso está apoiado sobre um pedestal Constatouse que o motor induz vibração na área circundante através de seu pedestal a uma velocidade de operação de 6000 𝑟𝑝𝑚 Determine os parâmetros do absorvedor de vibração que reduzirá a vibração quando montado no pedestal A magnitude da força excitadora é 250 𝑁 e a amplitude de movimento da massa auxiliar deve ser limitada a 2 𝑚𝑚 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 15 Exemplo 910 Absorvedor para conjunto motorgerador Um conjunto motorgerador mostrado na figura foi projetado para funcionar na faixa de velocidade de 2000 a 4000 𝑟𝑝𝑚 Contudo constatouse que o conjunto vibra violentamente à velocidade de 3000 𝑟𝑝𝑚 devido a um leve desbalanceamento no rotor A proposta para eliminar o problema é ligar o conjunto a um sistema absorvedor de massa concentrada montada sobre uma viga em balanço que suporta uma massa experimental de 2 𝑘𝑔 sintonizada para 3000 𝑟𝑝𝑚 Calcule o absorvedor a ser ligado ao sistema especificando sua massa e rigidez de modo que as freqüências naturais do sistema total caiam fora da faixa de velocidade de operação do conjunto motorgerador Conjunto motor gerador Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 16 9112 Absorvedor dinâmico de vibração amortecido Com um absorvedor não amortecido a máquina experimenta grandes amplitudes de vibração quando passa pelo primeiro pico durante a partida ou parada essa amplitude pode ser reduzida com a adição de amortecimento no absorvedor conforme amostra a figura Supondo uma solução harmônica As amplitudes de vibração das massas em regime permanente são As equações de movimento são dadas por 𝑥𝑗 𝑡 𝑋𝑗𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑗 12 𝑋1 𝑘2 𝑚2𝜔2 𝑖𝑐2𝜔 𝐹0 𝑘1 𝑚1𝜔2 𝑘2 𝑚2𝜔2 𝑚2𝑘2𝜔² 𝑖𝜔𝑐2 𝑘1 𝑚1𝜔2 𝑚2𝜔² 𝑚2 𝑥2 𝑘2 𝑥2 𝑥1 𝑐2 𝑥2 𝑥1 0 𝑚1 𝑥1 𝑘𝑥1 𝑘2 𝑥2 𝑥1 𝑐2 𝑥2 𝑥1 𝐹0𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 17 Definindo os seguintes termos As amplitudes de vibração em regime permanente pode ser rescritos como e O gráfico de Em relação à razão de freqüência forçada 𝑟 é mostrada na figura para 𝑓 1 e 𝜇 120 para alguns valores diferentes de 𝜁 𝑋2 𝑋1 𝑘2 𝑖𝑐2𝜔 𝑘2 𝑚2𝜔2 𝑖𝜔𝑐2 𝜇 𝑚2 𝑚1 𝛿𝑠𝑡 𝐹0 𝑘1 𝜔𝑎2 𝑘2 𝑚2 𝜔𝑛2 𝑘1 𝑚1 𝑓 𝜔𝑎 𝜔𝑛 𝑟 𝜔 𝜔𝑛 𝑐𝑐 2𝑚2𝜔𝑛 𝜁 𝑐2 𝑐𝑐 𝑋1 𝛿𝑠𝑡 2𝜁𝑟 2 𝑟2 𝑓² 2 2𝜁𝑟 2 𝑟2 1 𝜇𝑟² 2 𝜇𝑓2𝑟2 𝑟2 1𝑟2 𝑓² ² 12 𝑋2 𝛿𝑠𝑡 2𝜁𝑟 2 𝑓4 2𝜁𝑟 2 𝑟2 1 𝜇𝑟² 2 𝜇𝑓2𝑟2 𝑟2 1𝑟2 𝑓² ² 12 𝑋1 𝛿𝑠𝑡 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 18 Efeito do absorvedor de vibração amortecido sobre a resposta da máquina Quando o amortecimento 𝜁 as 2 massas ficam praticamente presas uma à outra e sistema comportase como um sistema de 1gdl com massa 𝑚1 𝑚2 e rigidez 𝑘1 e nesse caso a ressonância acontece para 𝑟 𝜔 𝜔𝑛 1 1 𝜇 09759 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 19 Absorvedor de vibração otimamente sintonizado Na figura anterior as curvas cruzamse nos pontos A e B os mesmo que podem determinarse substituindo na equação das amplitudes os valores do amortecimento 𝜁 0 e 𝜁 fazendo que As raízes da equação são e Constatouse que o absorvedor de vibração mais eficiente é aquele cujas ordenadas dos pontos A e B são iguais Essa condição exige que Portanto teremos um absorvedor de vibração sintonizado O que não aponta o valor ótimo do fator de amortecimento 𝜁 e o valor correspondente de 𝑋1 𝛿𝑠𝑡 O valor ótimo obtémse fazendo que a curva 𝑋1 𝛿𝑠𝑡 seja mais plana nos pontos A e B para isso substituise na equação de 𝑋1 𝛿𝑠𝑡 o valor de 𝑓 e depois derivase em relação a 𝑟 e igualase a zero obtendose para o ponto A para o ponto B 𝑟4 2𝑟2 1 𝑓2 𝜇𝑓2 2 𝜇 2𝑓2 2 𝜇 0 𝑟𝐴 𝜔𝐴 𝜔 𝑟𝐵 𝜔𝐵 𝜔 𝑓 1 1 𝜇 𝜁2 𝜇 3 𝜇 2 𝜇 8 1 𝜇 ³ 𝜁2 𝜇 3 𝜇 2 𝜇 8 1 𝜇 ³ Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 20 O valor médio de 𝜁2 das equações é utilizada em projeto como O valor ótimo correspondente de 𝑋1 𝛿𝑠𝑡 tornase Absorvedor de vibração amortecido sintonizado 𝜁ó𝑡𝑖𝑚𝑜 2 3𝜇 8 1 𝜇 ³ 𝑋1 𝛿𝑠𝑡 ó𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑋1 𝛿𝑠𝑡 𝑚á𝑥 1 2 𝜇 Capítulo 9 Nomograma de vibração e critérios de vibração 21 Razão entre frequência s e m Razão entre as massas m Razão de frequência s naturais ω e Frequência s de ressonância Força de impulso Fator de amortecimento Transmissibilidade do isolador Impedância mecânica da estrutura de base Força aplicada Força transmitida Deflexão estática do sistema Amplitude de deslocamento das massas Frequência das vibrações amortecidas Frequência natural do absorvedor Frequência angular Frequência natural 2 1 2 1 2 1 0 2 1 r f F T Z F F X X r t st d a n LISTAS DE VARIÁVEIS