Estatística Descritiva e Probabilidade em Gestão Financeira

Universidade Presbiteriana Mackenzie PÓSGRADUAÇÃO EM Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Universidade Presbiteriana Mackenzie TRILHA DE APRENDIZAGEM 5 Estatística Descritiva e Probabilidade Objetivo Utilizar a estatística descritiva para avaliar dados financeiros e aplicar os conceitos de probabilidade para realizar inferências Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 5 Estatística Descritiva e Probabilidade 3 51 Estatística aplicada a finanças O cotidiano financeiro trabalha com altos volumes de dados que por si só não trazem informação relevantes Os métodos estatísticos têm como objetivo resumir e extrair informações que auxiliem o gestor financeiro em sua tomada de decisão Figura 22 Trabalho da estatística em finanças Legenda A figura representa o processo de transformação dos dados financeiros em informação relevante na área de finanças Fonte Elaborada pelo autor 2016 Perceba na Figura 22 que os dados nas organizações são volumosos e em sua forma original são desconexos e pouco nos auxiliam na tomada de decisão Portanto é necessário organizálos e sintetizálos para assim ob termos as informações necessárias para fazer a comparação e análise dos re sultados obtidos Esses resultados serão obtidos por meio de cálculos e mé todos de distribuição de frequência sejam elas discretas sejam contínuas A seguir aprenderemos sobre a distribuição de frequência fique atento Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 5 Estatística Descritiva e Probabilidade 4 52 Distribuição de frequência Como já afirmamos na sessão anterior os dados são fornecidos geralmente soltos ou seja um rol sem qualquer classificação e agrupamento Glossário Rol de dados é o arranjo de dados brutos em ordem crescente A fim de agrupar e transformar esses dados em informações relevantes para a tomada de decisão aplicase a distribuição de frequência que deter mina quantas vezes cada categoria de classificação se repetiu ao longo do período considerado Digamos que possuímos um rol de dados pequeno que aborda as vendas de uma empresa a TPIZZA em um determinado dia A TPIZZA possui três sabores no cardápio o sabor 1 2 e 3 Observe a seguir os pedidos de pizza realizados em um dia 1 2 3 1 2 3 2 3 3 Figura 23 Rol sobre as vendas de pizza Legenda A figura demonstra o rol sobre as vendas de pizza de um determinado dia Fonte Elaborada pelo autor 2016 Este rol possui somente três tipos de dados determinados como variáveis Diante disso podemos organizálos de forma simples veja Tipos de Pizza Vendida Frequência ni 1 2 2 3 3 4 Tabela 10 Distribuição de frequência venda de Pizza Legenda A tabela demonstra a distribuição de frequência de vendas de pizza por tipo Fonte Elaborada pelo autor 2016 Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 5 Estatística Descritiva e Probabilidade 5 Conforme você pode observar na Tabela 10 a frequência de venda da pi zza do tipo 1 foi de duas pizzas do tipo 2 três e do tipo 3 quatro pizzas vendidas Porém podemos nos deparar com volume e tipo de dados mais diversificados A seguir acompanhe o rol que representa a receita diária da TPizza no período de três semanas Figura 24 Rol sobre as receitas diárias Legenda A figura mostra a receita diária no período de três semanas Fonte Elaborada pelo autor 2016 Observe no rol anterior que em cada dia os valores das receitas foram diferentes dificultando uma classificação simples Devemos então cons truir uma distribuição de frequência por intervalos Primeiro precisamos determinar a quantidade de classes k calculando k 1 33logn n é números de dados a serem classificados no nosso casso é 21 k 1 33log21 k 54 Portanto teremos cinco classes Agora calculamos a amplitude diferença entre o maior e o menor valor para o maior Assim teremos uma dimensão dos dados veja 309556 107525 202031 Com a amplitude total dos dados determinaremos a amplitude para cada classe Dividindo a amplitude total desse valor pelo número de classes ob temos uma amplitude para cada classe de Teremos então a seguinte distribuição Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 5 Estatística Descritiva e Probabilidade 6 Receita diária Frequência n1 107525 147931 5 147931 188337 4 188337 228743 4 228743 269149 3 269149 309557 5 Tabela 11 Distribuição de frequência e receita TPizza Legenda A tabela exemplifica a distribuição de frequência por intervalos das receitas da TPizza Fonte Elaborada pelo autor 2016 Perceba que em cinco dias a receita foi de R 107525 a R147930 Por quatro dias ficou entre R147931 e R188336 e também entre R188337 e R228742 Em três dias a receita ficou entre R228743 a R269148 Por fim em cinco dias foi de R228742 a R309556 Glossário O símbolo representa o intervalo entre um valor e outro da classe A esquerda desse símbolo pertence à classe à direita é o limite do inter valo sendo que não pertencerá à classe Para representar percentualmente a distribuição dividimos as variáveis das classes pelo tamanho dos dados n ni e multiplicamos por 100 A seguir aprenderemos como gerar maiores informações das distribuições de frequências através das medidas de posição Confira Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 5 Estatística Descritiva e Probabilidade 7 521 Medidas de posição Além das medidas de frequência as informações financeiras podem ser interpretadas por meio das medidas de posição que informam o centro da distribuição São elas média moda e mediana Confira mais detalhes sobre esses termos na sequência 5211 Média X ou μ A média da distribuição de frequência é dada pela soma dos valores da base de dados dividida pelo número total de dados ou ocorrências confira n x x x X n 2 1 Caso a distribuição seja por intervalo multiplicase primeiro cada variá vel de frequência pela amplitude do intervalo das classes Depois somase tudo e dividese pelo total de dados A média aritmética é a medida de tendência central mais utilizada nas análises financeiras contudo possui algumas fragilidades Por tratar da soma de todos os valores da série de dados dividida pelo total de casos é uma medida afetada por extremos ou seja valores muito altos ou muito baixos distorcem o valor da média podendo levar a conclusões e análises equivocadas Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 5 Estatística Descritiva e Probabilidade 8 5212 Mediana A mediana é a variável central quando observamos sua ordenação crescen te Para entender melhor observe a seguinte distribuição Vendasdia Frequência de vendas 1º 12 2º 15 3º 8 Total 35 Tabela 12 Distribuição de frequência sobre vendas de pizza Legenda A tabela mostra distribuição de frequência das vendas de pizza por três dias Fonte Elaborada pelo autor 2016 A Tabela 12 representa o volume de vendas por três dias se formos ordenar crescentemente as frequências teremos 8 12 15 Portanto a mediana será de 12 correspondendo ao 2º dia de vendas A mediana é útil quando temos dados com grande dispersão e valores ex tremos pois ao contrário da média não apresenta distorções pela presença de valores muito baixos ou muito elevados 5213 Moda A moda é o valor ou categoria que possui a maior frequência Segundo a ta bela 12 é 15 correspondendo ao 2º dia Essa medida é útil quando temos variáveis categóricas ou quantitativas discretas em nossa base de dados Além das medidas de dispersão as organizações necessitam dimensionar a variabilidade dessas informações com as medidas de dispersão apresen tadas a seguir Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 5 Estatística Descritiva e Probabilidade 9 522 Medidas de dispersão As medidas de dispersão demonstram a variabilidade e o desviopadrão de um conjunto de dados para analisarmos quão distante um do outro podem estar Para isso realizamos cálculos que determina a variância e o desviopadrão 5221 Variância A variância é uma medida quadrática que dimensiona o quanto cada variá vel se distancia dessa média O cálculo compreende na subtração de cada variável xi com a média X seus resultados elevados ao quadrado são somados e divididos pelo núme ro de ocorrências n no caso de populações e por n1 no caso de amostras Observe Por ser uma medida quadrática a aplicação da variância é restrita por isso utilizase o desviopadrão tal como se apresenta a seguir 5222 Desviopadrão O desviopadrão é calculado pela raiz quadrada da variância acompanhe Conforme vimos na trilha 4 a relação entre desviopadrão e média nos fornece o coeficiente de variação cvdesviopadrãomédia100 medida utilizada em análise de risco Sendo a raiz da variância só conseguiremos determinar o desviopadrão se tivermos estimado a variância Fique atento à próxima seção de estudo e entenda mais sobre as proprieda des da média e variância Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 5 Estatística Descritiva e Probabilidade 10 53 Propriedades da média e variância Existem duas importantes propriedades para média e variância A primeira determina que no mínimo 75 dos casos de uma distribuição terão valo res a dois desviospadrão da média Supondo que uma distribuição tenha uma média no valor de 12 com o desviopadrão de 289 Assim veremos que os dois desviospadrão abaixo da média serão 12 2 289 12 578 622 Já os acima da média serão 12 2 289 12 578 1778 Conforme essa primeira propriedade no mínimo 75 dos casos dessa dis tribuição possuem valores entre 622 e 1778 A segunda propriedade compreende em geral a proporção dos valores em k desviopadrão O valor de k é definido como um peso que atribuímos e que contando da média estão a menos 1 1 k2 Podemos aplicar essa propriedade para qualquer conjunto de números sen do necessários mais dados que proporcionem informações mais precisas 531 Fronteira eficiente de carteiras A fronteira eficiente determina entre um conjunto de carteiras de ações aquelas que possuem maior retorno conforme o risco do investimento A seguir aprenda a determinar a fronteira eficiente de carteiras Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 5 Estatística Descritiva e Probabilidade 11 532 Determinando a fronteira eficiente de carteiras Para melhor entender a aplicação tomaremos a seguinte tabela Ação ER σ X 25 50 Y 5 25 Tabela 13 Valores de retorno esperado média e desviopadrão Legenda A tabela três relaciona os valores de retorno esperado e desviopadrão das ações X e Y Fonte Elaborada pelo autor 2016 Conforme os dados anteriores temos duas ações X e Y em que cada uma possui o retorno esperado retorno médio ER Assim atribuiremos peso w para o retorno esperado tanto para X quanto para Y da seguinte forma ER wXERX wYERY Em que ER retorno esperado da carteira wi peso atribuição para ação ERi retorno esperado da ação O peso atribuído para ambas as ações somadas terão que resultar em 100 ou 10 Nesse caso atribuiremos 20 para ação X e 80 para Y Esses pesos são obtidos pela proporção de cada ativo na carteira ou seja no exemplo vamos investir 20 do nosso capital no ativo X e 80 no ativo Y Assim acompanhe ER 02 025 08 005 009 ou 9 Isso indica que o retorno esperado da carteira é de 9 Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 5 Estatística Descritiva e Probabilidade 12 Contudo de nada vale avaliar apenas os valores de retorno sem considerar os riscos associados por isso devemos apurar também o risco da carteira dados pelo desviopadrão Para calcular o desviopadrão atribuiremos A covariância é uma medida estatística de associação que avalia se o com portamento de dois ativos tem relação forte ou fraca Sabemos que as de cisões financeiras buscam maximizar os retornos e reduzir os riscos Para que se obtenha uma carteira com baixo risco é necessário selecionar ativos que tenham relação fraca entre si Por exemplo se a ação X e a ação Y possuem relação fraca podemos dizer que se um evento adverso levar à queda do preço da ação X a ação Y não sofrerá alteração Analogamente se as ações possuem relação forte quando há desvalorização de uma ação a outra também se desvaloriza impactando na rentabilidade da carteira A medida que avaliar a relação entre os ativos é a covariância e por isso dese jamos encontrar ações fundos e ativos em geral que possuem covariância zero para que possamos obter o menor risco No nosso exemplo se a covariância é igual a 02covXYwXwY 0 calculamos s 022 ou 22 ou seja o risco da carteira será de 22 Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 5 Estatística Descritiva e Probabilidade 13 A fronteira eficiente é obtida pela avaliação dos riscos e retornos para todos os pesos possíveis para cada ação Graficamente teremos a seguinte repre sentação Figura 25 Relação dos pesos calculados para cada ação Legenda A figura demonstra graficamente os resultados dos cálculos conforme os pesos para cada ação Fonte Elaborada pelo autor 2016 Para determinarmos a fronteira desses portfólios de ações deveremos im possibilitar portfólios com os mesmos desviospadrão Assim portanto a nossa fronteira eficiente será a seguinte Figura 26 Fronteira eficiente das carteiras X e Y Legenda A figura demonstra a fronteira eficiente dos portfólios de carteira segundo as ações X e Y Fonte Elaborada pelo autor 2016 Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 5 Estatística Descritiva e Probabilidade 14 Assim os portfólios dentro da fronteira dado em vermelho serão eficientes O próximo tópico de estudo apresentará as distribuições de probabilidade confira Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 5 Estatística Descritiva e Probabilidade 15 54 Distribuição de probabilidades Nos tópicos anteriores tratamos das técnicas da estatística descritiva que analisam os dados e descrevem seus comportamentos Assim a partir de agora entraremos em um novo ramo da estatística chamado inferência Essas técnicas buscam estimar a probabilidade de um evento ocorrer ou buscam determinar qual será o valor de um evento dada uma probabili dade calculada A distribuição de probabilidade se associa às probabilidades de ocorrência dos valores de uma variável aleatória possibilitando a realização de infe rências Glossário As variáveis aleatórias são variáveis quantitativas cujo resultado depen de de fatores aleatórios Abordaremos a seguir os dois tipos de distribuição de probabilidades dis creta e contínua 541 Distribuição discreta Esse tipo de distribuição é utilizado quando os valores das variáveis alea tórias possuem a mesma probabilidade de ocorrer Assumindo valores par ticulares finitos dependendo de sua finalidade na distribuição discreta podem ser utilizados os métodos equiprovável binomial e de Poisson Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 5 Estatística Descritiva e Probabilidade 16 5411 Distribuição equiprovável É considerada a mais simples das distribuições discretas Digamos que lançado um dado a variável aleatória x é o valor que aparecerá com a face para cima A função da distribuição equiprovável é Em que n número de valores que a variável pode assumir Como um dado possui 6 faces n 6 então a variável aleatória discreta é Na sequência aprenda sobre a distribuição binomial 5412 Distribuição binomial Na distribuição binominal relacionamos a quantidade de tentativas com a probabilidade de sucesso de a variável ocorrer Para isso utilizamos a seguinte função Considerando que n número de tentativas e x acertos sucesso p probabilidade de acertos sucesso 1 p probabilidade de fracassos insucesso nas tentativas e x n é coeficiente binomial de n sobre x igual a x x n n Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 5 Estatística Descritiva e Probabilidade 17 O n n fatorial corresponde ao produto do valor de n e seus anteces sores excluindo zero Por exemplo 6654321720 Por exemplo Desejamos calcular a probabilidade de a cada 10 pessoas que entrarem em uma determinada loja 4 comprarem sendo que a probabilidade de uma pessoa entrar e comprar é de 03 Nesse caso n 10 x 4 p 03 Portanto calcularemos Perceba que a probabilidade de 4 entre 10 pessoas comprarem em uma loja é de 2001 A seguir conheça a distribuição Poisson 5413 Distribuição Poisson A distribuição Poisson determina se as variáveis discretas fazem relação a um determinado período tempo dias meses etc Digamos que um caixa eletrônico realiza uma média de 10 operações a cada 15 minutos queremos determinar qual a probabilidade de serem rea lizadas apenas 5 operações em 15 minutos Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 5 Estatística Descritiva e Probabilidade 18 Para realizar essa estimativa utilizamos a seguinte expressão Em que x número de ocorrências no intervalo e λ valor esperado ou número médio de ocorrências no intervalo e 271828 Substituindo os dados teremos λ 10 x 5 e e 27182 Portanto teremos uma probabilidade de 378 de 5 operações serem rea lizadas pelo caixa eletrônico a cada 15 minutos 542 Distribuição contínua A distribuição contínua trata de variáveis aleatórias que assumem valo res num determinado intervalo de números reais Essa distribuição pode adotar os métodos da distribuição uniforme exponencial e normal como veremos a seguir 5421 Distribuição uniforme Supondo que temos interesse na aquisição de um imóvel assim como ou tros concorrentes Os concorrentes ofertarão valor x distribuído uniforme mente entre 20 e 30 mil Possuindo somente 26 mil devemos determinar a probabilidade de a nossa oferta ser aceita Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 5 Estatística Descritiva e Probabilidade 19 Primeiro consideraremos que a função densidade de probabilidade unifor me é Em que x variável aleatória a e b são os valores do intervalo Conforme os dados a função probabilidade será Para calcular mos a probabilidade vamos subtrair a menor oferta com a nossa obtemos a seguinte probabilidade A probabilidade de aceitarem nossa oferta é de 60 Também podemos calcular a variância subtraindo os valores do intervalo ao quadrado e divi dindo por 2 veja Já para o desviopadrão calculamos a raiz quadrada da variância Fique atento e a seguir aprenda sobre a distribuição exponencial Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 5 Estatística Descritiva e Probabilidade 20 5422 Distribuição exponencial A distribuição exponencial é bastante utilizada com variáveis aleatórias com intervalos de tempo considerando uma taxa de falha constante Digamos que uma transportadora XTZ tem em média 15 minutos para colocar a carga de um caminhão Para se calcular a probabilidade de um carrega mento levar seis minutos ou menos devemos utilizar a seguinte expressão Atribuindo os valores de x0 6 m 15 calcularemos a seguinte probabi lidade Assim a probabilidade do carregamento de um determinado caminhão ser realizado em um tempo igual ou menor que seis minutos é de 3297 5423 Distribuição normal A distribuição normal é considerada a mais importante distribuição para variáveis contínuas Acompanhe o exemplo a seguir e aprenda mais sobre o tema Considerando que temos uma receita média diária de R 80000 com des viopadrão de R 30000 devemos inferir a probabilidade de em um de terminado dia termos uma receita entre R 65000 e 110000 Tendo em vista o objetivo teremos a seguinte representação P650 x 1100 Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 5 Estatística Descritiva e Probabilidade 21 Para calcularmos essa probabilidade padronizaremos a variável x através da variável padrão z da seguinte forma z para x 650 z para x 1100 50 300 800 650 z 1 300 800 1100 z Sendo que a média de z sempre será 0 Devemos calcular as áreas de pro babilidade para cada variável z Para determinarmos a probabilidade em x é preciso utilizar uma tabela predeterminada Saiba mais Você sabia que os livros de estatísticas já disponibilizam uma tabela com os cálculos das probabilidades de cada variável z Para aprender mais sobre esse tema consulte a obra de Anderson Sweeney Williams 2008 Dessa forma P650 x 01915 e Px 1100 03413 para calcular a probabilidade somamos os dois valores resultando em P650 x 1100 P05 z 1 01915 03413 05328 Portanto a probabilidade de termos em um dia qualquer uma receita entre R 65000 a R 110000 é de 5328 Fique atento porque o próximo tema de estudo será estimações pontuais e por intervalo Vamos lá Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 5 Estatística Descritiva e Probabilidade 22 REFERÊNCIAS ANDERSON D R SWEENEY D J WILLIAMS T A Estatística aplicada à Administração e Economia 2 ed São Paulo Cengage Lear ning 2008 BREALEY Richard A MYERS Stewart C Princípios de finanças empresariais 5 ed Lisboa McGrawHill de Portugal 2008 BUSSAB W O MORETTIN P A Estatística básica 5 ed São Paulo Atual Editora 2006 RANGEL A SANTOS José C BUENO R Matemática dos merca dos financeiros a vista e a termo São Paulo Atlas 2003 ROSS S A WESTERFIELD R W JAFFLE J F Administração fi nanceira corporate finance 2 ed São Paulo Atlas 2002 VIRGILLITO S B Estatística aplicada 2 ed São Paulo Alfa Ômega 2004 Mackenzie