Introdução à Matemática Financeira: Conceitos Básicos e Elementos Fundamentais

Universidade Presbiteriana Mackenzie PÓSGRADUAÇÃO EM Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Universidade Presbiteriana Mackenzie TRILHA DE APRENDIZAGEM 1 Matemática Financeira Objetivo Compreender os conceitos básicos da matemática financeira envolvendo as definições de juros simples e compostos capital montante e taxa de juros Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 1 Matemática Financeira 3 11 A matemática financeira A matemática financeira é um campo do conhecimento que estuda a varia ção ou mudança dos valores monetários dinheiro no contexto temporal Para isso criamse modelos que possibilitam a avaliação e comparação des ses valores monetários em vários pontos do tempo Assaf 2009 corrobora que o objetivo básico da matemática finan ceira é realizar análises e comparações de vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa em vários momentos Ao estudar matemática financeira adotase uma linguagem própria Essa linguagem é designada principalmente para os vários elementos estudados e contextualizados de forma precisa Esses elementos podem ser observados em nosso cotidiano como por exemplo as transações financeiras entre um banco e seu cliente denomina das operações financeiras Outros elementos destacados são capital montante duração da operação financeira tempo juro da operação diferença entre o capital e o montante credor empresta dinheiro devedor toma o dinheiro emprestado Saiba mais Para aprender mais sobre esse tema leia o artigo Oferta e demanda de moeda disponível em httpsrandomwalkcombr20161021i ecoofertaedemandapormoedacasobrasileiro Acesso em 16 jul 2016 A relação desses elementos configura o ato econômico Entendese que o ato econômico é um ato praticado por pessoas sejam físicas ou jurídicas que possua consequências financeiras Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 1 Matemática Financeira 4 Podemos exemplificar esse ato de duas formas A primeira corresponde a quando a pessoa física ou jurídica realiza uma capitalização depositando o seu dinheiro a um operador um banco por exemplo que fará com que esse dinheiro capitalize e renda juros que re tornarão à pessoa de origem Figura 1 Comparação visual de juros simples e de compostos Legenda Sistema de Capitalização Fonte Elaborada pelo autor 2016 Na Figura 1 a pessoa física ou jurídica investe um valor de capital a um operador financeiro que por determinado tempo capitalizará esse valor retornandoo para o investidor e adicionando um incremento denominado juro O segundo caso se configura como um empréstimo realizado pelo banco ou operador financeiro credor para a pessoa física ou jurídica que futu ramente vai pagar o valor emprestado mais os juros incorridos durante o prazo da operação Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 1 Matemática Financeira 5 Figura 2 Sistema de empréstimo Legenda Sistema de Capitalização Fonte Elaborada pelo autor 2016 Nesse caso é concedido um empréstimo ou financiamento a pessoa física ou jurídica que pagará conforme o tempo acordado com o credor o valor emprestado acrescido de juros Independentemente do sistema e do ato econômico ambos estão inseridos em um regime de capitalização compreendendo o crescimento de deter minado capital Quando postergamos o recebimento de determinado valor no caixa da organização este envolverá um sacrifício que deverá ser recompensado através de juros ASSAF 2009 A seguir você aprenderá sobre capital fique atento Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 1 Matemática Financeira 6 12 Capital Ao longo do tempo as necessidades das pessoas eram satisfeitas por meio da troca de bens conhecida popularmente como escambo Cada indiví duo ou família produzia algum bemproduto específico utilizado para sua subsistência o excedente era então trocado de forma a se obterem outros produtos de que necessitassem Para facilitar esse processo de trocas surgiu um bem intermediário definido como moeda Dessa forma o preço começou a ser um denominador comum para a me dida do valor dos bens Já a moeda um meio de acumular valor e construir riqueza ou capital MATHIAS GOMES 2004 Podemos definir que o capital compreende o valor de um ativo repre sentado por moeda ou direitos passíveis da expressão monetária em uma operação financeira A partir dessa definição consideramse como capital depósitos ou numerário bancário disponível títulos de dívida em valores no início do processo financeiro ativos físicos avaliados veículos maquinário prédios etc Os ativos físicos são avaliados de acordo com as partes interessadas tor nandose um valor monetário para o início do processo financeiro Já os demais consideramos como ativos cedidos por um agente econômico por exemplo bancos financeiras entre outros A seguir você aprenderá sobre juros fique atento Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 1 Matemática Financeira 7 13 Juros Atualmente existem diversas definições sobre o que é juro Alguns autores o caracterizam pelo entendimento de recompensa ou por um custo de cré dito ou remuneração de um capital aplicado Glossário Remuneração consiste na retribuição por um serviço prestado em di nheiro bastante conhecido por gratificação salário recompensa Na ótica de recompensa ou remuneração Assaf 2009 afirma que o juro induz o adiantamento do consumo permitindo que se formem poupanças e novos investimentos à economia O juro referese à remuneração de determinado capital empregado Se um indivíduo pessoa física ou jurídica aplica um capital por determinado período no final de um prazo estipulado vai transformar esse capital em valor conhecido como montante sendo o capital aplicado somado com a remuneração obtida pelo período de aplicação SAMANEZ 2010 Des tacase que no contexto da matemática financeira o conceito de montante pode ser compreendido como valor futuro ou seja o valor do capital apli cado acrescido dos juros relativos ao prazo da operação Portanto Juros ganhos montante capital aplicado Ou J M C Para exemplificar suponhamos que uma pessoa deposite na caderneta de poupança o valor de R 100000 e depois de um tempo resgata o valor de R 150000 Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 1 Matemática Financeira 8 Nesse caso M será igual a R 150000 e C a R 100000 Calculando para definir o valor do juro ganho teremos M 1500 C 1000 J J 15001000 J 500 Portanto no final dessa operação financeira receberemos R 50000 de juro sobre a aplicação do capital Contudo para que as taxas de juros remunerem eficientemente o capital investido devese observar a risco ou incerteza futura da operação pelos princípios financeiros os juros devem remunerar o capital em consonância com o risco da operação de forma que para operações que incorram em níveis elevados de riscos esperase maior retorno do que para as opera ções com níveis menores de risco Portanto quanto maior o nível de risco maior deve ser a remuneração do capital retorno b desvalorização do capital refletida pela inflação a inflação men sura a perda de valor de uma determinada moeda ao longo do tempo por isso para que os valores monetários permaneçam atualizados é necessário ao menos haver a correção pela inflação do período considerado c capital emprestado ou aplicado em Finanças o conceito de custo de oportunidade é muito aplicado e diz respeito à remuneração que seria obtida para o capital considerado em uma outra opera ção com igual ou menor risco Dessa forma os juros devem ofere cer remuneração no mínimo igual ao custo de oportunidade para que a operação possa ser considerada viável Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 1 Matemática Financeira 9 131 Taxa de juros A taxa de juros consiste no coeficiente que determina o valor do juro ou seja a remuneração em relação ao capital utilizado em determinado perío do de tempo Da razão dos juros ganhos com o capital aplicado resultará a taxa de juros adotada i Já o produto do capital com a taxa de juros resultará nos juros ganhos na aplicação Acompanhe C i J em que J P i As taxas de juros quando expressadas utilizam nomenclaturas que indi carão o coeficiente de tempo Acompanhe na Tabela 1 alguns exemplos dessas unidades de tempo Nomenclaturas Significa ad Ao dia am Ao mês at Ao trimestre aq Ao quadrimestre as Ao semestre aa Ao ano Tabela 1 Unidades de tempo para taxas de juros Legenda Tabela com as unidades de tempo para taxas de juros Fonte Elaborada pelo autor 2016 Já a sua representação pode ser feita de duas formas taxa percentual e taxa unitária Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 1 Matemática Financeira 10 A taxa percentual está caracterizada pelos centos do capital ou seja representada em por cento Já a taxa unitária está centrada na uni dade de capital dada em fração de cada unidade de capital Samanez 2010 afirma que o mercado financeiro trabalha com a taxa percentual porém para realizar os cálculos financeiros se faz neces sário convertêlas para a forma fracionária unitária Acompanhe no Quadro 1 os exemplos de juros percentuais e seu equiva lente em forma unitária Forma Percentual Forma Fracionária 20 20100 020 10 10100 010 1 1100 001 03 03100 0003 Quadro 1 Exemplos de juros percentuais e seu equivalente em forma unitária Legenda Quadro com exemplos de juros percentuais e seu equivalente em forma unitária Fonte Elaborado pelo autor 2016 As taxas de juros podem ser trabalhadas como juros comerciais ou exatos Em juro comercial todos os meses conterão 30 dias resultando em um ano comercial de 360 dias Já os juros exatos acompanham o que está estabele cido no calendário cível em que o ano contém 365 dias Para esta disciplina serão considerados anos comerciais Lembrese que no ano cível o mês de fevereiro possui 28 dias ano bissex to 29 mas no ano comercial esse mês terá 30 dias igualmente aos outros meses Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 1 Matemática Financeira 11 1311 Taxa nominal de juros A taxa nominal de juros corresponde à admissão do prazo de capitalização dos juros não condizente com o definido para a taxa de juros Ou seja o período de formação e incorporação dos juros ao capital é diferente da nomenclatura que acompanha a taxa de juros ao ano ao mês etc Para entender melhor confira os exemplos taxa de 10 ao ano capitalizado mensalmente taxa de 15 ao semestre capitalizado trimestralmente e taxa 15 ao semestre capitalizado bimestralmente 1312 Taxa efetiva de juros A taxa efetiva de juros coincide com a taxa de juros apurada durante todo o período sendo formada de forma exponencial através dos períodos de capitalização Essa taxa consiste no processo de formação de juros pelo regime de juros ao longo do período por exemplo taxa de 10 ao mês capitalizada mensalmente por três meses gera uma taxa efetiva de 331 para os três meses taxa de 15 ao trimestre capitalizada trimestralmente por dois trimestres gera uma taxa efetiva de 3225 para dois trimestres e taxa 15 ao bimestre capitalizada bimestralmente por quatro bi mestres gera taxa efetiva de 749 para quatro trimestres 1313 Taxa real de juros A taxa real de juros é aquela que expurga o efeito inflacionário do período da operação financeira Essa taxa varia conforme a mudança de condições econômicas os gostos e preferências podendo resultar no comportamento alto ou baixo da taxa real de juros GITMAN 2009 Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 1 Matemática Financeira 12 Glossário Expurgar é o ato de retirar desconsiderar eliminar No caso da taxa real de juros se desconsidera ou seja expurga o efeito inflacionário É possível afirmar então que a taxa real de juros é a correção da taxa efetiva pelo índice inflacionário do período Para isso acompanhe os cálculos 1 ief 1 ir1 iinf Sendo que ief taxa efetiva ir taxa real iinf índice inflacionário do período Para refletir O desequilíbrio inflacionário de um país pode prejudicar a apuração da taxa real de juros a um determinado período de aplicação ou cobrança Dando sequência aos seus estudos sobre esse tema aprenda a seguir sobre juros simples 132 Juros simples Os juros simples também conhecidos como juros lineares caracterizam se pela forma de crescimento linear isto é os juros incidem apenas sobre o valor inicial do capital investido por isso não segue a lógica dos juros sobre juros Nesse caso o fator de proporcionalidade será a taxa de juros A base de cálculo desses juros será sempre o capital inicial ou principal independentemente do período acordado Digamos que seja aplicado o va lor de R 100000 qualquer que seja o período acordado o juro sempre vai incidir sobre o principal que é R 100000 Imagine que incida uma Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 1 Matemática Financeira 13 taxa de juros simples de 1 ao mês sobre o capital durante o período de 2 meses Ao final do período teríamos R100000 x 001 x 2 R 2000 de juros e montante de R102000 Dessa forma o capital vai crescer li nearmente e a taxa de juros terá um comportamento linear com relação ao tempo SAMANEZ 2010 Juros J Períodos n Capital P Figura 3 Representação gráfica do juro simples Legenda Representação gráfica do juro simples Fonte Adaptada de Mathias e Gomes 2004 O cálculo dos juros simples é dado pelo produto da multiplicação do prin cipal capital taxa de juros e o período Acompanhe J P i n Esse regime é considerado bastante limitado tendo algum sentido se es tiver sendo adotado em um contexto não inflacionário em curto prazo Atualmente sua utilização tem maior concentração no comércio através do crediário Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 1 Matemática Financeira 14 133 Juros compostos Os juros compostos incorporam o juro gerado no período anterior ao ca pital que servirá como base de cálculo para o próximo período popular mente conhecido como juros sobre juros 1º Período 2º Período 3º Período Principal Principal Base para juro Principal1 Base para juro Principal2 Base para juro P P2 J P3 P1 J P2 P J P1 Figura 4 Sistema de juros compostos Legenda Sistema de juros compostos Fonte Elaborada pelo autor 2016 Como demonstra a Figura 4 o cálculo do juro composto soma os juros ganhos anteriormente para que seja calculado um novo juro Podemos afir mar que para cada período é utilizado um novo capital ou principal Para Mathias e Gomes 2004 os juros compostos retratam melhor a realidade A capitalização não se dá somente pelo capital investido ou tomado por meio de empréstimo mas pelos montantes de cada período juros do período somados com o capital A fórmula para os juros compostos é J P1 in 1 O cálculo dos juros compostos é obtido pelo produto do capital com o fator de capitalização 1 in subtraído por um Segundo Samanez 2010 o fator 1 in é considerado um fator que reflete o valor futuro de uma operação Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 1 Matemática Financeira 15 A principal diferença entre os juros simples e os juros compostos é o seu comportamento ao longo dos períodos Os juros simples por tomarem como base para seus cálculos o capital inicial têm um comportamento linear Já os juros compostos terão um comportamento exponencial como podemos observar na Figura 5 Montante Período Juros simples Juros compostos 1000 Figura 5 Comparação visual de juros simples e de compostos Legenda Comparação visual de juros simples e de compostos Fonte Mathias e Gomes 2004 p 82 Assaf 2009 afirma que tecnicamente os juros compostos são superiores aos juros simples principalmente por possibilitar o fracionamento dos prazos Esse regime de juros é utilizado em todas as operações financeiras que envolvem investimentos financeiros financiamentos planos de crédito poupança bancária cheque especial entre outros Para aprender sobre montante e como este está relacionado aos juros estu de com atenção o próximo tema Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 1 Matemática Financeira 16 14 Montante Quando aplicamos uma taxa de juros a determinado capital inicial a um período estabelecido vai se produzir um valor resultante do acúmulo de juros ganhos conhecido como montante O montante compreende o resultado da capitalização da operação ou seja é o capital inicial principal acrescido do juro ganho pela ope ração financeira Em juros simples o montante é representado por M e calculado pela soma do capital com o juro assim M C J Como o cálculo dos juros é dado por J C i n Atribuindo à fórmula de cálculo dos juros o montante evidenciando o capital C resulta em uma fórmula do montante para qualquer número de período M C C i n M C 1 i n Temos então um montante definido pelo produto do capital com as condi ções de taxa de juros e o período ou tempo de apuração Já em juros compostos utilizamos outras nomenclaturas para determinar capital inicial e montante O capital inicial é tratado como valor presente dado por PV já o montante como valor futuro representado por FV Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 1 Matemática Financeira 17 O cálculo do montante em juro composto é bastante semelhante ao do juro simples porém como possui um comportamento exponencial o pe ríodo passa a ser um expoente como mostra a seguinte fórmula FV PV1 in Nesse cálculo é utilizado o fator de valor futuro determinado 1 in Compreender esses elementos seus cálculos e a sua relação com os siste mas financeiros proporciona uma maior compreensão dos resultados e as análises que podem ser realizadas sobre os comportamentos financeiros empresariais Essa compreensão será bastante útil em negociações que envolvem capi talizações financiamentos e investimentos assim como nos cálculos que realizaremos na próxima trilha de aprendizagem REFERÊNCIAS ASSAF N A Matemática financeira e suas aplicações 10 ed São Pau lo Atlas 2009 GITMAN L J Princípios de Administração Financeira 10 ed São Paulo Pearson 2004 MATHIAS W F GOMES J M Matemática Financeira São Paulo Atlas 2004 SAMANEZ C P Matemática Financeira 5 ed São Paulo Pearson 2010 Mackenzie eadmackenziebr