Cálculos Financeiros: Métodos de Capitalização Simples e Composta

Universidade Presbiteriana Mackenzie PÓSGRADUAÇÃO EM Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Universidade Presbiteriana Mackenzie TRILHA DE APRENDIZAGEM 2 Cálculos Financeiros Objetivo realizar cálculos financeiros por meio dos sistemas de capitalização simples e composta e efetuar análises das séries de pagamentos Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 2 Cálculos Financeiros 3 21 Capitalização financeira A capitalização financeira consiste no processo em que os juros são forma dos e incorporados ao capital inicial por um determinado período Existem duas abordagens de capitalização capitalização contínua processada em intervalos curtos em que a capitalização vai se formando durante o período e não so mente no final capitalização descontínua esse tipo de capitalização paga os juros somente no final do período ou seja no mês Exemplo ca derneta de poupança Em sua aplicação o regime de capitalização contínua apresenta di versas dificuldades de cálculo devido à interpretação da situação sendo pouco utilizada A seguir para ampliar seus conhecimentos sobre capitalização financeira aprenda sobre sistema de capitalização simples Vamos lá 211 Sistema de Capitalização Simples O sistema de capitalização é aquele que adota como método o regime de juros simples Portanto adotaremos a seguinte expressão M C 1 i n Em que M Montante capital juros C Capital ou principal i Taxa de juros n Período a ser capitalizado número de dias mês ano etc Para facilitar seu entendimento acompanhe o exemplo a seguir Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 2 Cálculos Financeiros 4 Digamos que sejam capitalizados R 100000 a uma taxa de 5 aa Após 3 anos qual o montante dessa capitalização Resolução O valor capitalizado ou depositado será o nosso capital inicial em que C R 100000 A taxa de juros será de 5 sendo importante lembrar que para o cálculo esse valor deve ser dividido por 100 i 5 100 005 Como o período e a taxa de juros são anuais podemos atribuir n 3 anos A seguir veremos como proporcionar ou equivaler as taxas caso sejam diferentes Após definirmos cada variável substituímos os valores na fórmula de ca pitalização simples M C 1 i n M 1000 1 005 3 Agora basta calcularmos o que está entre parênteses e depois multiplicar mos com o capital inicial M 1000 1 015 M 1000 115 M 115000 O montante arrecadado após três anos será de R 115000 Já o juro ga nho nesse período é de R 15000 Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 2 Cálculos Financeiros 5 Analogamente ao que foi visto para o juro poderemos obter outros valores caso seja necessário como do capital necessário C a taxa de juros que está sendo utilizada i e o período da capitalização n Para o cálculo de cada um basta realizar o mesmo processo do exemplo identificar os valores substituílos e calculálos 2111 Capitalizando por taxa proporcional e equivalente A taxa de juros proporcional é aquela que iguala o quociente das taxas de juros com o quociente dos períodos Se os juros de uma capitalização simples forem de 25 aa ao ano e ne cessitarmos definir o valor do montante daqui a dois meses observaremos que o quociente da taxa de juros que é anual está diferente do que deseja mos analisar que é um período mensal Lembrese taxa de juros e prazo de operação devem estar sempre na mesma unidade de medida seja ano mês trimestre etc Como 1 ano corresponde a 12 meses basta dividirmos a taxa de juros anual por 12 que resultará em uma taxa de juros mensal 2 083 12 25 a m i 12 25 Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 2 Cálculos Financeiros 6 Dessa forma podemos realizar o cálculo da capitalização proposta veja M C 1000 i 2083 100 002083 n 2 M C 1 i n M 1000 1 002083 2 M 1000 10417 M 104167 As taxas proporcionais de juros são bastante usadas em operações de curto prazo como cálculo de juros de mora descontos bancários créditos de curtíssimo prazo entre outros ASSAF 2009 Já com as taxas equivalentes aplicamos a um mesmo capital taxas diferen tes que obtêm o mesmo valor de juros Por exemplo se você capitalizar R 50000 a uma taxa de 3 am ou 18 as pelo período de um ano ou doze meses Utilizando a fórmula de capitalização simples teremos M C 1 i n Taxa de 3 ao mês M C 500 i 3 100 003 n 12 Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 2 Cálculos Financeiros 7 Substituindo os valores na fórmula e calculando teremos M 500 1 003 12 M 680 Taxa 18 ao semestre M C 500 i 18 100 018 Como a taxa é ao semestre e um ano tem 2 semestres teremos n 2 Substituindo os valores na fórmula e calculando obteremos M 500 1 018 2 M 680 Calculando o montante utilizando as duas taxas de juros com o período e multiplicando com o capital inicial teremos o mesmo valor de montante No regime de juros simples taxas proporcionais e equivalentes são consi deradas a mesma coisa sendo indiferente sua classificação Para cálculos precisos devemos ter o conhecimento das relações numerais das unidades de tempo 1 mês 30 dias 1 bimestre 2 meses 60 dias 1 trimestre 15 bimestre 3 meses 90 dias 1 semestre 2 trimestres 3 bimestres 6 meses 180 dias 1 ano 2 semestres 4 trimestres 6 bimestres 12 meses 360 dias Quadro 2 relação numeral entre unidades de tempo Legenda Representa um quadro com a relação numeral entre unidades de tempo Fonte Elaborado pelo autor 2016 Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 2 Cálculos Financeiros 8 O Quadro 2 mostra a derivação de uma unidade de tempo com outras Como podemos observar os casos equivalem a um mês um bimestre um trimestre um semestre e um ano 2112 Desconto a juros simples O processo de desconto a juros simples compreende o cálculo do montante para o valor presente realizando a sua descapitalização ou atualização Para calcular o desconto em juros simples usaremos a seguinte fórmula C M 1 i n1 Ou n i M C 1 Na capitalização multiplicamos o fator de valor futuro 1 i n com o capital inicial Na descapitalização dividimos o montante com esse fator O Quadro 3 a seguir demonstra o processo de capitalização e desconto em juros simples acompanhe tempo 0 n M C 1 i n M C 1 i n1 Quadro 3 Processo de capitalização e desconto em juros simples Legenda O quadro representa o processo de capitalização e desconto em juros simples Fonte Samanez 2010 p 6 Digamos que o valor de R 200000 esteja sendo capitalizado por seis meses a uma taxa de 12 am 1 i n Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 2 Cálculos Financeiros 9 Para capitalização no regime simples definimos as seguintes variáveis M C 2000 i 12 100 012 n 6 Substituindo os valores e calculando para o montante obteremos C M 1 i n M 2000 1 012 6 M 3440 Portanto o montante dessa capitalização será de R 344000 No entanto devemos calcular o resgate do montante após dois meses de capitalização e não mais seis Estaremos então descapitalizando o mon tante em quatro meses Acompanhe o cálculo a seguir C M 1 i n1 C 3440 1 012 41 ou C 232432 Note que a única variável que mudará é o período n que passará de tem po de capitalização para o tempo que necessita ser descapitalizado Em alguns casos a taxa de juros utilizada para capitalização não é a mesma de desconto 2324 32 4 120 1 3440 1 C C n i M C 1 i n 1 012 4 232432 Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 2 Cálculos Financeiros 10 211 Sistema de Capitalização Composta O sistema de capitalização é conhecido por adotar o regime de juros sobre juros ou juros compostos Para calcular uma capitalização nesse regime você deve adotar a seguinte expressão FV PV 1 in Em que FV valor futuro Montante PV valor presente Capital i taxa de juros n período a ser capitalizado número de dias mês ano etc Portanto o valor futuro é igual ao produto do valor presente com o fator de valor futuro 1 in Analogamente ao que foi visto para o juro é possível obter outros valores caso seja necessário Acompanhe a seguir o valor presente taxa de juros e o período Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 2 Cálculos Financeiros 11 Para compreender melhor como calcular a capitalização nesse regime ob serve com atenção o exemplo a seguir O valor de R 200000 está sendo capitalizado a juros compostos a uma taxa de 3am por 5 meses Acompanhe a resolução Definindo as variáveis em que a taxa de juros i será de 3 e o período n de 5 meses teremos PV R 200000 i 3 100 003 n 5 meses Para calcularmos o valor futuro ou valor capitalizado substituiremos os valores na fórmula de capitalização composta FV PV 1 in FV 2000 1 0035 Calculando obteremos FV 2000 1035 FV 2000 116 FV 231855 Portanto ao final do período será resgatado o valor de R 231855 Con forme você pôde perceber essa capitalização rendeu juros de R 31855 Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 2 Cálculos Financeiros 12 2111 Capitalizando por taxa equivalente O que diferencia a taxa equivalente no regime composto para o simples é a fórmula de cálculo da taxa de juros Como o juro composto é exponencial sua taxa equivalente é a média geo métrica da taxa de juros do período inteiro ou seja 1 1 q q i i Em que q número de períodos de capitalização i taxa de juros Para ampliar sua compreensão sobre o tema observe o seguinte exemplo Capitalizamos o valor de R 50000 a uma taxa de 12 as ao semestre por 5 meses Resolução Como o período é mensal e a taxa de juros é semestral devemos tornar os quocientes das unidades de tempo homogêneos i 12 100 012 q 6 Como um semestre equivale a seis meses temos o valor de q 6 Substituindo os valores na fórmula calculamos a taxa equivalente mensal 0191 0 1 121 1 120 1 6 6 6 6 6 i i i 112 012 Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 2 Cálculos Financeiros 13 A taxa de juros para efetuarmos o cálculo da capitalização passará a ser 191 am Agora definiremos as variáveis e calcularemos a capitalização confira FV PV 500 i 00191 n 5 FV PV 1 in FV 500 1 001915 FV 54961 Portanto o valor futuro da capitalização de cinco meses será de R 54961 Para aprender sobre o desconto a juros compostos siga em frente e mante nhase concentrado 2112 Desconto a juros compostos O desconto no regime de capitalização composta utiliza o modelo racional que tem como base de cálculo o valor presente PV Para tanto adotase a seguinte fórmula PV FV 1 in ou n i FV PV 1 O fator 1 in referese ao fator de PV fator de desconto ou de atualiza ção para pagamento único O Quadro 4 mostra esquematicamente o fator de valor futuro e presente PV FV 1 in Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 2 Cálculos Financeiros 14 tempo 0 n FV 1 in PV 1 in Quadro 4 Esquema de fatores de valor futuro e presente Legenda O quadro traz um esquema de fatores de valor futuro e presente Fonte Samanez 2010 p 17 Acompanhe o exemplo apresentado a seguir e amplie seus conhecimentos sobre esse tema Esperamos que seja arrecadado no final de três meses o valor de R132525 A taxa de juros nesse período é de 446 am ao mês po rém devemos calcular o valor que resgataríamos no segundo mês caso haja alguma emergência Solução Como falta um mês para o término da capitalização calcularemos a desca pitalização desconto proporcional ao tempo faltante sendo assim PV FV 132525 i 446 100 00446 n 1 Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 2 Cálculos Financeiros 15 Substituímos os valores na fórmula e calculamos o valor presente de so mente dois meses de capitalização ou descapitalização de um mês PV FV 1 in PV 132525 1 004461 ou PV 126867 Portanto se resgatar o valor um mês antes do final da capitalização você terá o valor de R 126867 As duas fórmulas apresentadas calculam o mesmo resultado o que devemos verificar é qual é mais fácil e compreensível Através dos cálculos que trazem os valores para o presente é possível con ceder ou prever descontos lembrando que as financeiras e bancos podem atribuir outras taxas de juros para o desconto 1268 67 1 0446 1500 1 1 PV PV i FV PVPV 67 FV PV PV 1 i1 Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 2 Cálculos Financeiros 16 22 Série Uniforme de Pagamentos Uma série de pagamentos consiste em uma sequência finita ou infinita de entradas ou saídas de caixa correspondendo a pagamentos ou recebimen tos conhecidos popularmente como prestações Elas podem ser classificadas como Séries postecipadas os pagamentos ocorrem no início de cada período 0 1 2 3 4 n PMT Figura 6 Séries postecipadas Legenda A figura representa uma série postecipada Fonte Samanez 2010 p 125 Séries antecipadas os pagamentos são realizados no início de cada período No ato do parcelamento é realizada uma entrada 0 1 2 3 4 n 1 PMT Figura 7 Séries antecipadas Legenda A figura representa uma série antecipada Fonte Samanez 2010 p 125 Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 2 Cálculos Financeiros 17 Séries deferidas possuem um determinado período de carência Essa série ainda pode ser postecipada ou antecipada c 0 carência c 1 c 2 c 3 c 4 c n PMT Antecipada c 0 carência c 1 c 2 c 3 c 4 c n PMT Postecipada Figura 8 Séries deferidas postecipadas e antecipadas Legenda A figura representa duas séries deferidas postecipadas e antecipadas Fonte Samanez 2010 p 125 Para ampliar seus conhecimentos sobre a série uniforme de pagamentos a seguir aprenda sobre o valor presente Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 2 Cálculos Financeiros 18 221 Valor Presente O valor presente nas séries de pagamento é o valor que foi parcelado ou seja a soma das parcelas sem o acréscimo dos juros Para definirmos as parcelas em uma série de pagamento adotamos a seguinte fórmula i i i PV PMT n n 1 1 1 Em que PV valor presente valor financiado PMT valor da parcela i taxa de juros n número de parcelas Assim é possível calcular os valores de parcela PMT Acompanhe o exemplo Tomaremos um financiamento do valor de R 500000 que pagaremos em 7 parcelas a uma taxa de juros de 4 am ao mês Antes de realizar o cálculo do valor da parcela definimos os valores de cada variável da fórmula PV 5000 i 4 100 004 n 7 1in 1 1in i PV Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 2 Cálculos Financeiros 19 Assim substituiremos os valores e calcularemos para definir o valor de cada parcela 833 05 6 002 5000 0 053 0 316 5000 040 040 1 1 040 1 5000 7 7 PMT PMT PMT PMT Portanto teremos 7 parcelas no valor de 83305 Todos esses cálculos podem ser realizados facilmente com o auxílio de uma calculadora HP como mostra o manual da calculadora dispo nível em h10032www1hpcomctgManualbpia5239pdf Acesso em 25 jul 2016 Lembrese que existem diversas situações de séries de pagamentos sendo que uma pode ter mais ou menos peculiaridades que as outras necessitan do atenção quanto ao seu cálculo Diante das peculiaridades das operações financeiras diversificadas poden do ser efetuados cálculos de capitalizações e séries de pagamento você precisa estar atento às variáveis e à execução dos cálculos Para aprender mais sobre métodos quantitativos aplicados a finanças fique atento ao próximo tema de estudo os métodos de avaliação de investimentos 10047 1 10047 004 05 Universidade Presbiteriana Mackenzie Gestão Financeira de Negócios Métodos Quantitativos Aplicados a Finanças Trilha 2 Cálculos Financeiros 20 REFERÊNCIAS ASSAF N A Matemática financeira e suas aplicações 10 ed São Pau lo Atlas 2009 MATHIAS W F GOMES J M Matemática Financeira São Paulo Atlas 2004 SAMANEZ C P Matemática Financeira 5 ed São Paulo Pearson 2010 Mackenzie eadmackenziebr