Mapa da Aula 2: Pensamento Lógico e Quantitativo

PENSAMENTO LÓGICO E QUANTITATIVO Alessandro Nunes de Souza Aula 02 2 MAPA DA AULA Neste material você tem uma linha do tempo com os principais acontecimentos das videoaulas organizados nas seguintes seções Momentos importantes da disciplina Conceitos e termos relevantes para o conteúdo da aula Para lembrar Dinâmicas exercícios interativos e infográficos Para exercitar Para ir além Curiosidades personalidades e entretenimento Esta é uma versão simplificada do Mapa da Aula para impressão Os recursos interativos disponíveis no material não funcionarão nesta versão Para uma experiência mais enriquecedora acesse a versão completa do Mapa da Aula na aba AULAS 3 AULA 2 PARTE 1 Após abordar Teoria de Conjuntos na aula anterior o professor inicia a Aula 2 realizando três exercícios de recapitulação abordando cardinalidade operação de conjuntos e um caso especial Revisão sobre Teoria de Conjuntos Para exercitar Segundo a teoria um conjunto com m elementos tem exatamente m 2 subconjuntos Usando esse raciocínio determine o número de elementos do conjunto A sabendo que B é um conjunto de três elementos A B é vazio O número de subconjuntos de A U B é 32 Para exercitar Em uma pesquisa de opinião foram obtidos estes dados 40 dos entrevistados lêem o jornal A 55 dos entrevistados lêem o jornal B 35 dos entrevistados lêem o jornal C 12 dos entrevistados lêem A e B 15 dos entrevistados lêem A e C 19 dos entrevistados lêem B e C 7 dos entrevistados lêem os três jornais 135 pessoas entrevistadas não lêem nenhum dos três jornais Considerandose esses dados é CORRETO afirmar que o número de entrevistados foi 0000 Dois elementos Três elementos Quatro elementos 1500 1750 2000 4 A partir deste momento da aula o professor inicia a parte de cálculo proposicional em que primeiro será abordado o conceito de proposição tratando sobre seus princípios e tipos além de operações lógicas que envolvem as proposições simples e composta Também será visto tabelaverdade conceitos de tautologia contingência e contradição das equações lógicas além de alguns exercícios Cálculo proposicional É toda sentença declarativa que representa um pensamento completo a qual pode ser atribuído o valor verdadeiro V ou valor falso F Por exemplo A lua é um satélite natural da Terra 3 é um número par Proposição Um ponto importante na proposição é o seguinte a proposição é sempre uma frase afirmativa ou negativa A proposição não pode ser uma pergunta ou seja uma interrogação nem uma exclamação Princípios da proposição Com base no conceito de proposição são apresentados alguns princípios Toda proposição não pode ser ao mesmo tempo falsa e verdadeira Princípio da não contradição Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa Nunca ocorre outra opção Princípio do terceiro excluído Para exercitar Numa sociedade existem 35 homens 18 pessoas que usam óculos 15 mulheres que não usam óculos 7 homens que usam óculos Qual o número de pessoas que compõem a sociedade 1657 2011 59 60 61 5 Tipos de proposição É aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma ou seja não possui uma operação lógica dentro dela p Pedro é estudante q Marta é atleta Proposições simples são representadas por pqrs Proposição simples Existem dois tipos de proposição Proposições simples são sempre representadas por letras minúsculas É aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições representadas por letras maiúsculas por exemplo ABC A p q Pedro é estudante e Marta é atleta B r s O triângulo ABC é retângulo ou é isósceles C uv Se Paulo é médico então faz cirurgia D fg Um triângulo é equilátero se e somente se tiver os três lados iguais Proposição composta Vejam que a gente usa as operações lógicas no nosso dia a dia na forma como nós argumentamos Para exercitar Considere a seguinte lista de frases a Rio Branco é a capital do estado de Rondônia b Qual é o horário do filme c O Brasil é pentacampeão de futebol d Que belas flores e Marlene não é atriz e Djanira é pintora É correto dizer que há exatamente 04 proposições acima 2057 Sim Não 6 AULA 2 PARTE 2 Após abordar o conceito o professor Alessandro pretende mostrar como as proposições se aplicam no dia a dia na forma como nós falamos Para tanto é realizado um exercício de tradução das proposições para a linguagem natural Proposições p está frio q está chovendo a p não está frio b p q está frio e está chovendo c p q está frio ou está chovendo d q p está chovendo se e somente se está frio e p q se está frio então não está chovendo f p q está frio ou não está chovendo g p q não está frio e não está chovendo h p q está frio se somente se não está chovendo i p q p se está frio e não está chovendo então está frio Aplicação das proposições Quando eu nego a proposição eu não reclassifico a proposição original A própria simbologia que se usa em lógica remete à simbologia vista na teoria de conjuntos Operações lógicas A partir deste momento da aula são apresentadas as operação lógicas que serão trabalhadas Proposição Simbologia Exemplo Negação NÃO Disjunção OU Disjunção exclusiva OU OU Conjunção E Condicional SE ENTÃO Bicondicional SE E SOMENTE SE A ou A A B A B A B A B A B Ana não gosta de ouvir rádio Paulo você quer água ou suco Marta ou tu trabalha no turno da manhã ou tu trabalha no turno da tarde Para passar na disciplina é necessário ter média e presença Se o pássaro canta então ele pode estar vivo Nós vamos viajar se e somente se tu lavar a louça 0000 1638 7 Considerando as seguintes proposições o professor Alessandro inicia com a tabelaverdade referente à conjunção aditiva E p O aluno tem média q O aluno tem presença Tabelaverdade conjunção aditiva E p O aluno tem média q O aluno tem presença p q Passou Verdade Verdade Falso Falso Verdade Falso Verdade Falso V F F F Como eu monto a tabelaverdade gerando todas as combinações possíveis 2314 8 AULA 2 PARTE 3 O professor inicia esta parte da aula apresentando a operação lógica da disjunção ou lógica do ou a partir das seguintes proposições p Quero água q Quero suco Tabelaverdade disjunção V p Quero água q Quero suco p q Ganhei Verdade Verdade Falso Falso Verdade Falso Verdade Falso V V V F p Trabalha no turno da manhã q Trabalha no turno da tarde p q Ok Verdade Verdade Falso Falso Verdade Falso Verdade Falso F V V F Tabelaverdade disjunção exclusiva V A seguir o professor discute o ou exclusivo com as proposições p Trabalha no turno da manhã q Trabalha no turno da tarde 0020 0422 9 A seguir é discutida a tabelaverdade condicional também conhecida como a operação do se então a partir das seguintes proposições p O pássaro canta q O pássaro pode estar vivo Tabelaverdade condicional p O pássaro canta q O pássaro pode estar vivo p q É possível Verdade Verdade Falso Falso Verdade Falso Verdade Falso V F V V A tabela do se então representa muito um cenário de causa e efeito p Nós fomos para a praia q Tu lavou a louça p q Contrato cumprido Verdade Verdade Falso Falso Verdade Falso Verdade Falso V F F V Tabelaverdade bicondicional A próxima operação lógica abordada é a bicondicional também conhecida como se e somente se ou regra do contrato p Nós fomos para a praia q Tu lavou a louça 0627 0858 10 Exemplo 3 Ppq p q p p p q q p q p V V V V F V F F V V F V V F F V Exemplo 2 Ppq p p q p p q q p q p p q V V V F F F F F V F V F V V V V V F V V A partir deste momento da aula o professor Alessandro traz alguns exemplos de tabelaverdade com a finalidade de praticar a sua construção Para tanto pode ser seguido o seguinte passo a passo 1 O primeiro passo é verificar o número de proposições simples ou seja o número de letras distintas 2 Verificar se há negação de proposição simples 3 Verificar se há parênteses 4 Verificar se há negação de proposição composta ou seja a negação de um parênteses 5 Equação lógica final Exemplo 1 Ppq p p q Como construir uma tabelaverdade p p q q p q p p q V F V F F V F V V F F F F V V F V F F F F V F F 1112 11 AULA 2 PARTE 4 Para exercitar Sabendose que p e q são verdadeiros e r e s são falsos determine os valores lógicos das seguintes proposições a p q r p r q b q r q r c p r s d q p s f q p s e p q q p g q r s p q h p q s r s i p q r s O professor inicia esta parte da aula realizando alguns exercícios relacionados à substituição de valores nas equações lógicas para aplicar na prática as operações vistas em aula Exercícios A parte de raciocínio lógico e cálculo proposicional é que nem matemática nós temos que praticar para poder entender 0000 Verdadeiro Falso Verdadeiro Falso Verdadeiro Falso Verdadeiro Falso Verdadeiro Falso Verdadeiro Falso Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro Falso Falso Falso 12 A partir deste momento da aula o professor Alessandro traz alguns conceitos Conceitos É toda proposição composta cuja última coluna da sua tabelaverdade encerra somente a letra V verdade Exemplo p p q Tautologia p p q q p q p p q V V V F F F F F V F V F V V V V V F V V Proposição cuja última coluna da tabelaverdade possui somente valores F Exemplo p q p q Contradição p p q q p q p q p q p q V F V F F V F V V F V F F F V V F F V F F V F F V V F F Proposição cuja última coluna da tabelaverdade possui valores V e F Exemplo p q p Contingência p p q p q p q p V F V F F V F V V V F F F V V F V F F V Os valores verdadeiros e falsos desse misto de valores verdadeiros e falsos é a ocorrência mais comum Quando todos os valores são verdadeiros tautologia quando todos os valores são falsos contradição e quando eu tenho um misto de valores verdadeiros e falsos contingência 1941 13 Para exercitar Determine quais das seguintes proposições são tautológicas contraditórias ou contingentes por meio da construção de suas tabelasverdade a p q p Tautológica Contraditória Contingente 14 AULA 2 PARTE 5 c p q p q Para exercitar continuação b p q p q A partir deste momento da aula o professor aborda a ligação entre os conteúdos de cálculo proposicional com a Teoria de Conjuntos Para tanto ele inicia criando uma tabelaverdade do e e ao lado uma demonstração a partir da Teoria de Conjuntos conforme abaixo p q Alessandro explica que a parte do e na Teoria de Conjuntos representa a interesecção entre p e q Relembrando as operações lógicas O professor inicia a última parte da aula 2 dando continuidade aos exercícios de fixação de conteúdo Exercícios Essa parte do entendimento dessas operações lógicas vão ser a base para o resto da disciplina p q p q V V F F V V F F V F F F 0000 1852 Tautológica Tautológica Contraditória Contraditória Contingente Contingente 15 A Teoria de Conjuntos acaba ajudando nesse processo do entendimento dessas operações lógicas como elas acabam sendo representadas Na sequência o professor constrói uma tabelaverdade da disjunção e demonstra a aplicação na Teoria de Conjuntos Nesse contexto o ou representa a junção de todos os elementos de p e q tal como a união no contexto da Teoria de Conjuntos p q p q V V F F V V F V V V F F p q p q p q V V F F V V F V V V F F p q Em seguida o professor constrói uma tabelaverdade representando a disjunção exclusiva e demonstra também a aplicação na Teoria de Conjuntos p q p q V V F F V V F F V V F V p q É construída também uma tabelaverdade representando o se então bem como sua representação na Teoria de Conjuntos Essa representação de conjunto também facilita para o entendimento da própria construção da tabelaverdade p q p q V V F F V V F F V F F V p q Por fim o professor constrói uma tabelaverdade representando o se e somente se e sua representação em conjuntos PUCRS online