Mapa da Aula 9: Pensamento Lógico e Quantitativo

PENSAMENTO LÓGICO E QUANTITATIVO Lucilia Gomes Donato Aula 09 2 MAPA DA AULA Neste material você tem uma linha do tempo com os principais acontecimentos das videoaulas organizados nas seguintes seções Momentos importantes da disciplina Conceitos e termos relevantes para o conteúdo da aula Para lembrar Dinâmicas exercícios interativos e infográficos Para exercitar Para ir além Curiosidades personalidades e entretenimento Esta é uma versão simplificada do Mapa da Aula para impressão Os recursos interativos disponíveis no material não funcionarão nesta versão Para uma experiência mais enriquecedora acesse a versão completa do Mapa da Aula na aba AULAS 3 AULA 9 PARTE 1 No início a professora avisa que será utilizado a calculadora HP 12C durante a aula Quem tiver dúvidas de como utilizar pode acessar o vídeo indicado pela professora Na capitalização composta os juros gerados a cada período são adicionados ao capital para o cálculo dos juros do próximo período Neste regime os juros crescem exponencialmente em função do tempo A professora retoma um exercício que propôs na aula anterior para mostrar como fica o cálculo do juro composto Capitalização Composta Agora a gente sempre tem que recorrer ao saldo devedor do período anterior para conseguir calcular o nosso montante do período atual É o dinheiro emprestado investido ou devido inicialmente Pode ser representado por VP ou PV Valor Presente Capital É a remuneração do capital emprestado ou aplicado É representado por J Juro Valor Futuro Nessa parte a professora explica como é feito a fórmula dos Juros Compostos Repare que conforme o período vai avançando o expoente muda De uma forma geral a fórmula para calcular o Valor Futuro dos Juros Compostos é Atenção 1i é chamado de fator de capitalização i deve ser taxa unitária i e n devem ser expressos na mesma unidade de tempo 0235 0900 4 É a remuneração do capital emprestado Pode ser representado por VF ou FV Valor Futuro Montante É o período que dura o empréstimo ou aplicação financeira Normalmente é representado por n Prazo É o percentual calculado pela divisão dos juros que foram contratados pelo capital emprestadopoupado Pode ser representada por i Taxa de juros A professora explica que para calcular o Valor Presente é necessário fazer uma manipulação de função com o objetivo de isolar o PV Observe o fator de atualização ou de valor presente A professora encerra esta parte com um exercício prático Acompanhe na vídeoaula Cálculo do Valor Presente Dinâmica A professora propõe o seguinte exercício aos alunos Quanto devo aplicar hoje para que meu filho ao completar 21 anos possa comprar um apartamento de R15000000 considerandose o regime de juros compostos a uma taxa de 2 am A resolução comentada está na videoaula Exercício Qual é o valor de resgate de uma aplicação financeira de R 1245000 após 30 meses a uma taxa de 450 ao mês 1900 FV R4662921 FV R4623389 5 AULA 9 PARTE 2 A professora inicia a aula com dois exercícios um que calcula Taxa de Juros e outro que calcula o prazo Acompanhe a resolução completa na videoaula Em seguida ela explica que o termo taxa pode ser aplicado em diversas situações por isso é necessário que sejam bem interpretadas para que se utilize os conceitos e os cálculos corretos Comparação entre taxas proporcionais ou equivalentes Forma de Capitalização taxa de juros simples e a taxa de juros compostos que podem ser efetivas ou nominais Operações de descontos racionais por dentro ou de desconto por fora Em ambiente inflacionário taxas aparentes taxas de inflação ou de correção monetária e taxas reais Estas não serão trabalhadas nesta disciplina Taxa de Juros Taxas Proporcionais e Equivalentes Taxas de juros são ditas proporcionais entre si quando a relação de seus valores é a mesma que existe entre os tempos representados por elas Taxas de juros são denominadas equivalentes entre si quando aplicadas sobre um mesmo capital durante um mesmo período reproduzem a mesma quantia de juros ou o mesmo montante A professora chama a tenção para o fato de que no regime de Juros Simples Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes são consideradas a mesma coisa Quando falamos de Juros Compostos Taxas Proporcionais em geral não são equivalentes Vamos pensar numa taxa anual iₐ e uma taxa mensal i m Elas só serão equivalentes se FV1 FV2 FV1PV1ia¹ FV₂PV1im¹² Ou seja 1ia¹ 1im¹² ia 1im¹² 1 e im 1ia¹¹² 1 9 at é proporcional a 3 am 933 𝑚1 𝑚3 1 2 aa 1 am 1 2 as 2 am 0020 1250 6 Toda vez que a gente for pensar em Taxas Equivalentes de juros é só a gente pensar na igualdade dos Valores Futuros A gente sempre vai chegar na igualdade dos fatores Fórmula geral FV1 PV1i1ⁿ¹ e FV₂ PV1i₂ⁿ² 1i₁ ⁿ¹ 1i₂ⁿ² Na sequência a professora resolve um exercício prático sobre cálculo de Taxa Anual de Juros Compostos Acompanhe a resolução na vídeoaula Dinâmica A professora propõe o seguinte exercício aos alunos Explicar a melhor opção aplicar um capital de 6000000 à taxa de juros compostos de 99 ao semestre ou à taxa de 2078 ao ano A resolução comentada está na videoaula Taxa Nominal e Taxa Efetiva A Taxa Nominal é apresentada com um período diferente do período da capitalização A professora explica que normalmente corresponde a um período grande Por exemplo existe uma taxa de juros aplicada de 20 ao ano Porém ela é capitalizada mensalmente Já a Taxa Efetiva é apresentada com um período igual ao período da capitalização A taxa que reproduz juros correspondentes ao percentual esperado O primeiro passo para calcular a Taxa Efetiva a partir de uma Taxa Nominal é encontrar a Taxa proporcional à Taxa nominal do enunciado Ela é a taxa efetiva do problema na unidade de tempo correspondente ao período de capitalização Depois por meio da equivalência em Juros Compostos encontrar a Taxa Efetiva na unidade de tempo desejada A fórmula fica assim onde q representa o número de períodos de capitalização dos juros if 1iq 1 2053 7 Exercício Um empréstimo no valor de R 1100000 é efetuado pelo prazo de um ano à taxa nominal linear de juros de 32 ao ano capitalizados trimestralmente Determine o FV e o Custo Efetivo do empréstimo Dinâmica A professora propõe o seguinte exercício aos alunos Um investimento paga juros anuais de 24 calcule o custo efetivo anual admitindo que o período de capitalização dos juros seja a Mensal b Semestral A resolução comentada está na videoaula FV R1345390 e Custo Efetivo 36 a FV R1496540 e Custo Efetivo 36 a 8 AULA 9 PARTE 3 A professora inicia a aula com um questionamento os juros incorrem apenas no período inteiro ou também incorrem no período fracionário Por exemplo dada uma taxa de juros de 20 ao ano capitalizada anualmente e o prazo da operação de 2 ano e 4 meses Lucilia explica que na prática são utilizadas duas convenções para solucionar estes casos linear e exponencial A Convenção Linear admite a formação de juros compostos no período inteiro e de juros simples no período fracionário A fórmula fica assim FV PV1iⁿ 1i ab A Convenção Exponencial utiliza capitalização composta tanto para o período inteiro como para a fracionária Esta convenção é a mais aplicada no mercado sendo considerada tecnicamente mais correta por empregar somente juros compostos e taxas equivalentes para os períodos não inteiros FV PV1iⁿ Acompanhe a resolução de dois exemplos práticos na vídeoaula Prazo em Juros Compostos ab Dinâmica A professora propõe o seguinte exercício aos alunos Uma pessoa aplicou um capital pelo prazo de 2 anos e 5 meses à taxa de 18 ao ano Determinar o valor da aplicação sabendose que o montante produzido ao final do período atinge 2480000 Resolver o problema utilizando as convenções linear e exponencial A resolução comentada está na videoaula 0015 9 Conceitualmente dois ou mais capitais representativos de uma certa data dizemse equivalentes quando a uma certa taxa de juros produzem resultados iguais numa data comum Para exemplificar a professora resolve o seguinte problema Uma pessoa deve a uma loja os seguintes pagamentos R 5000000 de hoje a 4 meses e R8000000 de hoje a 8 meses A pessoa está avaliando um novo esquema de pagamento em substituição ao original A proposta é pagar R1000000 hoje e R 3000000 de hoje a 6 meses e o restante ao final de 12 meses Sabese que a loja exige uma taxa de juros compostos de 2 ao mês Calcule o saldo a ser pago de hoje a 12 meses Acompanhe a resolução completa na vídeoaula Equivalência Financeira Dinâmica A professora propõe o seguinte exercício aos alunos Uma empresa deve R 18000000 a um banco sendo o vencimento definido em 3 meses contados de hoje Prevendo dificuldades de caixa no período a empresa negocia com o banco a substituição desse compromisso por dois outros de valores iguais nos meses 5 e 6 contados de hoje Sendo de 36 ao mês a taxa de juros calcule o valor dos pagamentos propostos sendo a data focal hoje A resolução comentada está na videoaula 1225 10 AULA 9 PARTE 4 Funções financeiras A professora inicia a aula resolvendo um exercício para colocar em prática as funções financeiras da calculadora Qual o valor acumulado em um investimento que tem como capital inicial o valor de R 15000000 a uma taxa de juros compostos de 14 aa em 6 anos Exercício Um montante de R 235000000 foi obtido após a aplicação de R 150000000 a uma taxa de juros compostos igual a 18 am Qual foi a duração da aplicação Calcule pela fórmula n 𝑙𝑛𝐹𝑉𝑃𝑉 𝑙𝑛1 𝑖 0015 n 2517 meses n 2803 meses 11 Observe que o valor obtido apresentou um sinal negativo isso ocorre devido ao fato de que o fluxo de caixa deve apresentar pelo menos um recebimento A professora segue resolvendo alguns exercícios com a calculadora mas ressalta que quando se trata de períodos o ideal é usar as fórmulas para calcular A única parte que ela não vai conseguir calcular para vocês dando pelas funções financeiras é o período Porque se tiver algum fracionamento ela sempre vai arredondar Dinâmica A professora propõe o seguinte exercício aos alunos O valor de R 500000 foi aplicado a juros compostos durante 18 meses Sabendo que a taxa de juros dos 10 primeiros meses foi de 2 amm e que a do período restante foi de 35 amm calcular o montante desta aplicação A resolução comentada está na videoaula Dinâmica A professora propõe o seguinte exercício aos alunos Em quanto tempo duplica um capital que cresce à taxa de juros compostos de 22 ao mês A resolução comentada está na videoaula 12 AULA 9 PARTE 5 Desconto Composto Desconto composto é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor futuro deduzido dos descontos acumulados até o período imediatamente anterior É obtido em função de cálculos exponenciais e praticamente não é utilizado em nenhum país do mundo Entenda algumas siglas DF valor do desconto VF o valor atual por fora valor descontado bancário na data da operação d taxa de desconto periódica por fora contratada na operação n prazo de antecipação definido para o desconto N valor nominal do título Vocês vão perceber que no mercado a gente vai usar mais o desconto composto por dentro A professora inicia a aula explicando como é feita a formação do desconto por fora Acompanhe o raciocínio 1º Período VF₁ N D Como DF N x d VF₁ N N x d VF₁ N 1 d O valor N 1 d é o novo valor nominal sobre o qual incidirá a taxa de desconto no período seguinte 2º Período DF₂ N 1 d x d Logo VF₂ VF₁ DF₂ VF₂ N 1 d N 1 d x d VF₂ N 2Nd Nd² VF₂ N 1 2d d² VF₂ N 1 d² Generalizando o desenvolvimento do desconto composto por fora obtémse a seguinte expressão de cálculo VF N 1 d ⁿ DF N 1 1 d ⁿ Acompanhe na videoaula a resolução de um exercício de exemplo Equivalência Financeira 0015 1225 13 Dinâmica A professora propõe o seguinte exercício aos alunos Um título de valor nominal de R 3500000 é negociado mediante uma operação de desconto composto por fora 3 meses antes de seu vencimento A taxa de desconto adotada atinge 5 ao mês Pedese determinar o valor descontado o desconto e a taxa de juros efetiva da operação A resolução comentada está na videoaula É estabelecido segundo as conhecidas relações do regime de juros compostos Vr N 1 i ⁿ O valor descontado racional Vr equivale ao valor presente de juros compostos Dr valor do desconto Vr o valor atual por dentro i taxa de juros da operação n prazo de antecipação definido para o desconto N valor nominal do título Desconto Composto por dentro Dinâmica A professora propõe o seguinte exercício aos alunos Calcular o valor do desconto racional de um título de valor nominal de R 1200000 descontado 4 meses antes de seu vencimento à taxa de 25 ao mês A resolução comentada está na videoaula 1540