Cálculo de Matriz em Elementos Finitos: Análise de Forças e Deslocamentos

CÁLCULO DE MATRIZ PARA ELEMENTOS FINITOS Sistemas de equações algébricas que relacionam Forças Deslocamentos e Coeficientes de Rigidez podem ser representados e resolvidos de forma compacta e elegante com auxílio da Notação Matricial ALVES 2003 Temse que é possível realizar uma analogia entre sistemas com molas e outros sistemas tais como barras chapas etc de maneira que facilite a compreensão do método de cálculo por elementos finitos de estruturas Portanto Figura 1 a Comparação entre Mola e b uma Barra de um elemento Fonte Alves 2003 Então uma barra que submetida a uma força axial de tração ou compressão terá o comportamento equivalente ao de uma mola sob tração ou compressão 1 Onde F é a força k é a rigidez da mola x é a deformação da mola d é a variação de comprimento e L é o comprimento inicial Então para o caso específico mostrado na figura 2 temse que o Nó do elemento 1 é submetido a um deslocamento devido a força aplicada f1 mantendose o Nó 2 bloqueado Figura 2 Compressão de uma mola f2 k 1 2 x1 x2 f1 Mola F2 EAL d1 d2 F1 Barra 2 1 a b d L EA F é similar a k x F f2 f1 k 1 2 x1 x2 0 f1 Mola Para o caso específico mostrado na figura 2 e tomandose as condições de equilíbrio do sistema temse que a reação encontrada no Nó 2 é f2 f1 pois tem sentido oposto a f1 Desta forma colocandose na forma Matricial temse Para uma Mola 2 Supondo que se tenham as forças como incógnitas temse para este sistema duas equações e duas incógnitas Sendo portanto 3 Substituindo x2 por zero temse 4 Para uma Barra de um elemento 5 Comparativamente temse da mesma maneira que k representa a rigidez da Mola EA L representa a rigidez da Barra de um elemento Dados que o módulo de elasticidade E a área A e o comprimento L são constantes pode se isolar estas constantes da Matriz 6 Quando o sistema possui mais de um elemento de mola temse Figura 3 Sistema de mola com dois elementos 0 2 1 2 1 x x k k k k f f 0 2 1 2 1 d d L EA L EA L EA L EA F F 0 1 1 1 1 2 1 2 1 d d L EA F F C ka Elemento 1 Elemento 2 A B kb 2 1 2 2 1 1 kx k x f kx k x f 1 2 1 2 1 1 1 1 0 0 k x f k k x f k x f k k x f Figura 4 Procedimento para montagem da Matriz de Rigidez da estrutura Fonte Alves 2003 A montagem deste sistema de elementos mola possui liberdade apenas para deslocamento unidirecional permitindo a compressão ou tração devido a forças axiais As estruturas de vigas podem ter liberdade de movimentação em cada um de seus nós do elemento A viga no caso mais geral pode transmitir forças axiais momentos fletores em dois planos perpendiculares contendo seus eixos principais forças cortantes e momentos torçores Vide figura a seguir ka ka ka ka A B A B kb kb kb kb B C B C A B C ka ka 0 ka ka kb kb 0 kb kb A B C Figura 5 A viga e os graus de liberdade em um elemento Fonte Alves 2003 Considerandose o comportamento de vigas dos fundamentos da resistência dos materiais e impondose deslocamentos unitários transversais e de rotação θ ao elemento viga resultam os coeficientes de rigidez necessários 7 8 Figura 6 Deslocamento em um nó 9 10 11 Figura 7 Inclinação em um nó L R R M2 M1 6 2 1 2 L EI M 12 L3 EI R L R R M2 M1 θ θθθθ 2 1 L EI M θθθθ 6 L2 EI R θθθθ 4 2 L EI M A disposisão dos Elementos na Matriz que não comtempla forças axiais e apenas flexão é vinculada aos quatro graus de liberdade Figura 8 Graus de liberdade do elemento e a Matriz correspondente Sabese que para a matriz de um elemento como mostrada na figura anterior bem como na Matriz Global sempre temse uma matriz quadrada e que também haverá a simetria Figura 9 Simetria da Matriz do elemento k k 1 3 4 2 L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI 4 6 2 6 6 12 6 12 2 6 4 6 6 12 6 12 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 L EI L EI L EI L EI Simétrica L EI L EI L EI L EI L EI L EI 4 6 2 6 12 6 12 4 6 12 2 2 3 2 3 2 3 Figura 10 Estrutura de pórtico Plano constituida de Viga com Rigidez Axial e Rigidez á Flexão no Plano Alves 2003 Figura 11 Matriz de rigidez global da estrutura sistema global de coordenadas Alves 2003 1ª Linha 2ª Linha 3ª Linha 1ª Coluna 2ª Coluna 3ª Coluna 2 REVISÃO DE ALGEBRA MATRICIAL 21 Generalidades Figura 12 Exemplo de Matriz Sendo K11 o elemento localizado na 1ª Linha e 1ª Coluna K23 o elemento localizado na 2ª Linha e 3ª Coluna Desta maneira temos como índice o primeiro número indicando a linha e o segundo número indicando a coluna em que está o elemento da matriz De modo geral podese expressar a posição em que se encontra um elemento por Kij em que o elemento encontrase na iésima linha e jésima coluna A matriz pode ser expressa de maneira compacta como Figura 13 Exemplo de simplificação de uma Matriz Neste exemplo temse uma matriz composta por 3 linhas e 3 colunas Como esta possui o mesmo número de linhas e de colunas dizse que ela é é uma Matriz Quadrada de Ordem 3 33 32 31 23 22 21 13 12 11 k k k k k k k k k K 3x3 K Kij Na equação F K U normalmente se conhecem as forças e rigidez mas temse os delocamentos U como incógnitas portanto há necessidade de isolálos Para realizar o isolamento desta matriz coluna é necessário utilizar o procedimento de inversão da matriz rigidez O procedimento de inversão passa por encontrar a Determinante da matriz os cofatores a matriz transposta e a matriz identidade 22 Determinante de Matriz Para encontrar a Determinante de uma matriz é necessário somar os produtos de seus elementos como mostrado no exemplo a seguir Figura 14 Procedimento para encontrar a determinante de um Matriz Note que a determinante de uma matriz é um número 23 Matriz Transposta Para a obtenção da Matriz Transposta é necessário trocar a posição dos elementos das linhas para colunas conforme exemplo a seguir Isto é obtido fazendose com que um elemento que ocupe a posição ij da Matriz K tenha a posição ji da Matriz KT Figura 15 Procedimento para transpor uma Matriz 24 Cofatores de Matriz Os cofatores de uma matriz são números obtidos em função de sua posição na matriz e os valores restantes da matriz quando se eliminam uma linha e uma coluna da matriz e multiplicados por 1ij que indica o cruzamento da linha e coluna eliminadas conforme exemplo a seguir Para o elemento 11 da matriz do exemplo temse Figura 16 Procedimento para encontrar um dos cofatores de uma Matriz 12 21 22 11 22 21 12 11 det k k k k K k k k k K 6 7 1 5 4 3 1 7 4 3 5 6 K T se tem K 47 87 91 8 9 1 7 1 8 9 2 4 1 7 5 6 3 1 1 11 cof K K Para o elemento 32 da matriz do exemplo temse Figura 17 Procedimento para encontrar outro dos cofatores de uma Matriz A matriz dos cofatores teria o seguinte aspecto Figura 18 Resultado da matriz com os dois cofatores da Matriz Para inversão da matriz de rigidez temse então Figura 19 Resumo da inversão de uma Matriz Com a matriz de rigidez inversa é possível reescrever a equação da seguinte maneira Figura 20 Equação simplificada dos deslocamentos globais Onde U corresponde a matriz coluna dos deslocamentos globais e F corresponde a matriz coluna das forças 3 46 37 4 7 3 6 1 8 9 2 4 1 7 5 6 3 3 2 32 cof K K 33 31 23 22 21 13 12 3 47 k k k k k k k K Cof F K U 1 cofK T K K det 1 1 Figura 21 Visão geral do método dos elementos finitos Alves 2003