Fundamentos de Vibrações e Balanceamento de Rotores

Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia ITEC Faculdade de Engenharia Mecânica FEM Grupo de Vibrações e Acústica GVA CEP 66075095 Belém PA Tel 0xx91 32017961 Fax 0xx91 32017325 Prof Dr Newton Sure Soeiro Coordenador EMail nsoeiroufpabr CURSO DE FUNDAMENTOS DE VIBRAÇÕES E BALANCEAMENTO DE ROTORES Prof Dr NEWTON SURE SOEIRO BELÉM PARÁ AGOSTO 2008 i SUMÁRIO APRESENTAÇÃO 1 Capítulo I FUNDAMERNTOS DE VIBRAÇÃO 11 Breve Histórico das Vibrações 2 12 A Importância do Estudo das Vibrações 4 13 Conceitos Básicos sobre Vibração 6 14 Componentes Elementares de um Sistema Vibratório 9 15 Etapas da Análise Dinâmica 12 151 Mola 15 152 Massa eou Inércia Rotativa 20 153 Amortecedores 22 16 Movimento Harmônico 25 17 Representações Vetorial e Complexa 27 18 Exercícios de Aplicação 28 CAPÍTULO II MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS MECÂNICOS 21 Introdução 34 22 Método de Newton 35 23 Método do Sistema Equivalente 39 24 Método de Energia 40 25 Exercícios de Aplicação 41 CAPÍTULO III TEORIA DOS SISTEMAS COM 1 GDL 31 Introdução 45 32 Vibrações Livres Não Amortecidas 45 33 Método de Rayleigh para a determinação de Freqüências Naturais 50 34 Vibração Livre Amortecida Amortecimento Viscoso 51 341 Sistemas subamortecido criticamente amortecido e superamortecido 52 342 Decremento Logarítmico 57 35 Vibrações Forçadas Amortecidas Excitação Harmônica 60 351 Excitação Harmônica 60 352 Equação Diferencial do Movimento 61 353 Sistema Não Amortecido Sob Força Harmônica 63 354 Fenômeno do Batimento 68 355 Sistema Amortecido sob Força Harmônica 69 36 Exercícios de Aplicação 74 ii CAPÍTULO IV MEDIÇÃO DE VIBRAÇÕES 41 Introdução 82 42 Escolha do Instrumento de Medição 83 43 Transdutores 84 431 Transdutores Piezelétricos 85 432 Transdutores Eletrodinâmicos 86 433 Transformador Diferencial Linear Variável LVDT 86 44 Sensores de Vibração Pickups 88 441 Vibrômetro 89 442 Acelerômetro 91 443 Sensor de Velocidade 93 45 Medidores de Freqüência 93 451 Estroboscópio 94 46 Excitadores de Vibrações 94 461 Excitadores Mecânicos 95 462 Excitador Eletrodinâmico 96 CAPÍTULO V BALANCEAMENTO DE ROTORES 51 Introdução 98 52 Efeitos e Tipos de Desbalanceamento 99 53 Rotores Rígidos e Rotores Flexíveis 101 54 Fundamentos Teóricos 102 55 Balanceamento de Campo Estático e Dinâmico 104 551 Balanceamento Estático de Campo 105 5511 Balanceamento Estático com Medição de Fase 105 5512 Balanceamento Estático sem Medição de Fase 108 552 Balanceamento Dinâmico de Campo 110 56 Avaliação do Desbalanceamento 115 57 Exemplos de Cálculos 116 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 122 1 APRESENTAÇÃO Neste texto vamos encontrar uma síntese de assuntos que compõem o módulo de Fundamentos de Vibração e Balanceamento de Rotores do Curso promovido para a Centrais Elétricas do Norte do Brasil SA ELETRONORTE como parte integrante das atividades do Projeto de Pesquisa intitulado Implementação de Sistemas de Monitoramento e Identificação de Falhas em Máquinas Rotativas Utilizando Sinais Reais e Complexos de Vibração Contrato No 4500057510 ELETRONORTEUFPAFADESP fruto das ações de PD da ELETRONORTE tal que sirva como fonte de consulta e apoio ao desenvolvimento do curso Por outro lado é importante destacar que os assuntos aqui apresentados foram retirados das obras citadas na Bibliografia e portanto não foram produzidos pelo instrutor cabendo a ele somente a organização e sistematização dos textos em acordo com os objetivos do Curso acima mencionado Neste módulo constituído de 20 horas você terá oportunidade de ingressar no mundo das vibrações mecânicas adquirindo informações históricas sobre o desenvolvimento do conhecimento afeto à área das vibrações a importância do estudo das vibrações conceitos básicos sobre vibração e técnicas de modelagem medição de vibração e identificação e correção de desbalanceamento estático e dinâmico entre outros assuntos relevantes numa linguagem simples porém rigorosa em termos conceituais Leia cada página atentamente sublinhe os conceitos importantes faça os exercícios e assista a todas as aulas Este é o caminho para você ampliar seus conhecimentos e poder participar conscientemente de discussões a respeito de vibração e sua aplicação e controle com seus colegas e chefes de fábrica caso esteja trabalhando em alguma melhorar a sua própria cultura ou conseguir realizar algum plano pessoal O nosso objetivo é o seu sucesso crescente Bom curso 2 CAPÍTULO I FUNDAMERNTOS DE VIBRAÇÃO 11 Breve Histórico das Vibrações A vibração está presente já nos primeiros tempos da História da Humanidade Instrumentos rudimentares como apitos e tambores têm no seu princípio de funcionamento um problema vibratório como essência Estes instrumentos tiveram muita importância entre os povos primitivos como meios de comunicação Mais tarde uma série de instrumentos musicais percussão cordas metais etc foram concebidos aproveitando movimentos vibratórios geradores de ondas sonoras O desenvolvimento da teoria da vibração resultou dos avanços das ciências básicas das quais deriva matemática e mecânica geral A origem em termos históricos encontrase nos antigos filósofos gregos do primeiro milênio antes de Cristo O primeiro filósofo grego a se envolver com um problema de natureza vibratória foi Pitágoras de Samos cerca de 570497 AC A partir da percepção de que havia uma certa harmonia entre os diversos sons produzidos pelos martelos em uma forjaria Pitágoras estabeleceu um método racional de medir freqüências sonoras origem do diapasão podendo ser considerado como o fundador da acústica tendo realizado experiências com martelos cordas tubos e placas criando o primeiro laboratório de pesquisas em vibrações conhecido O fato que para um sistema linear existem freqüências que podem produzir movimento harmônico já era conhecido por músicos quando foi estabelecido como uma lei natural por Pitágoras Além disso ele provou com suas experiências com martelos que as freqüências naturais são propriedades dos sistemas e não dependem da magnitude da força atuante Nos tempos de Aristófanes 450388 AC teve origem nas culturas grega e chinesa as pesquisas sobre o movimento do pêndulo como medidor de tempo portanto sendo conhecido o seu isocronismo período constante Heródoto cerca de 484 a 425 AC registra a existência de um transdutor de vibração constituído de um escudo coberto com uma fina camada de bronze que era 3 encostado ao solo produzindo som quando este apresentava qualquer movimento vibratório Era utilizado no sexto século AC para detectar a escavação de túneis subterrâneos em Barca norte da África atual Líbia então sob dominação persa Por volta do ano de 132 DC merece destaque a construção de um sismógrafo na China pelo cientista e matemático Zhang Heng o qual teve como objetivo informar à corte antecipadamente quando ocorria um terremoto indicando a direção da área atingida Já nos primórdios da era moderna Galileu estabeleceu formalmente a relação entre o comprimento do pêndulo e o seu período de oscilação e também observou a ressonância entre dois corpos conectados por algum meio de transferência de energia e sintonizados em uma mesma freqüência natural Wallis e Sauveur observaram independentemente o fenômeno das formas modais com pontos estacionários chamados nós ao estudarem cordas vibratórias Também descobriram que a freqüência do segundo modo é o dobro da freqüência do primeiro a do terceiro é o triplo etc A Sauveur são creditados os termos fundamental para a freqüência do primeiro modo e harmônicas para as outras Bernoulli foi o primeiro a propor o princípio da superposição linear de harmônicas qualquer configuração da vibração livre é construída a partir das configurações das harmônicas individuais agindo independentemente com pesos variados Após o enunciado da Lei da Elasticidade por Hooke em 1676 Euler 1744 e Bernoulli 1751 determinaram a equação diferencial que governa a vibração lateral de barras prismáticas e investigaram a sua solução para o caso de pequenas deformações Na década de 70 merece destaque o método de determinação da freqüência fundamental de vibração de um sistema conservativo utilizando o princípio da conservação da energia proposto por Lord Rayleigh o qual ficou conhecido como Método de Rayleigh Frahm em 1909 propôs a adição de um sistema massamola sistema secundário para eliminar as vibrações de um outro sistema sistema principal que apresentava níveis altos de vibração o sistema massamola foi denominado de absorvedor dinâmico de vibração Atualmente o estudo de vibrações está sendo altamente influenciado pelo advento 4 dos computadores digitais que proporcionaram a realização de grandes quantidades de cálculos em tempos pequenos Isto permitiu o desenvolvimento de métodos numéricos de análise de sistemas de vários graus de liberdade permitindo a criação de modelos matemáticos para representar o comportamento de sistemas de grande porte e com grande precisão Instrumentos de medição de alta tecnologia lasers por exemplo também permitiram o desenvolvimento de métodos experimentais que associados aos métodos computacionais proporcionaram extraordinários avanços no estudo de problemas vibratórios 12 A Importância do Estudo das Vibrações A maioria das atividades humanas envolve alguma forma de vibração Nós ouvimos porque o tímpano vibra nós vemos porque ondas luminosas se propagam A respiração está associada à vibração dos pulmões os batimentos cardíacos são movimentos vibratórios do coração a fala se fundamenta na vibração das cordas vocais e os movimentos humanos envolvem oscilações de braços e pernas Em muitos outros campos da atividade humana fenômenos apresentam variáveis cujo comportamento é oscilatório economia biologia química física etc No campo tecnológico as aplicações de vibrações na engenharia são de grande importância nos tempos atuais Projetos de máquinas fundações estruturas motores turbinas sistemas de controle e outros exigem que questões relacionadas a vibrações sejam levadas em conta Os primeiros estudos de vibrações em engenharia foram motivados pelo problema de balanceamento em motores O desbalanceamento pode ser tanto devido a problemas de projeto como fabricação e manutenção As rodas de locomotivas podem sair até um centímetro dos trilhos devido a desbalanceamento As estruturas projetadas para suportar máquinas centrífugas pesadas motores turbinas bombas compressores etc também estão sujeitas à vibração A vibração também causa desgaste mais rápido de mancais e engrenagens provocando ruído excessivo e nos processos de usinagem pode causar trepidação conduzindo a um pobre acabamento superficial por exemplo 5 Sempre que a freqüência natural de vibração de uma máquina ou estrutura coincide com a freqüência da força externa atuante ocorre um fenômeno conhecido como ressonância que leva a grandes deformações e falhas mecânicas A literatura é rica de exemplos de falhas em sistemas causados por vibrações excessivas em virtude de ressonância Um destes exemplos é o da ponte de Tacoma Narrows Fig 11 nos Estados Unidos inaugurada em julho de 1940 colapsou em 7 de novembro do mesmo ano quando entrou em ressonância induzida pelo vento Figura 11 Ponte de Tacoma Narrows durante vibração induzida pelo vento Reproduzido de Rao S Mechanical Vibrations 4 th ed PEARSON Prentice Hall 2003 Em muitos sistemas de engenharia o ser humano atua como parte integrante do mesmo A transmissão de vibração para o ser humano resulta em desconforto e perda de eficiência Vibrações de painéis de instrumentos podem produzir mal funcionamento ou dificuldade de leitura de medidores Portanto um dos propósitos importantes do estudo de vibração é a redução dos níveis vibratórios através de projeto e montagem adequados de máquinas Nesta interface o engenheiro mecânico tenta projetar a máquina para que a mesma apresente níveis vibratórios pequenos enquanto o engenheiro estrutural tenta projetar a base da máquina de forma a assegurar que o efeito da vibração não se transmita A vibração pode ser utilizada com proveito em várias aplicações industriais testes de materiais processos de usinagem e soldagem Nas aplicações industriais destacamse as 6 esteiras transportadoras as peneiras os compactadores os misturadores as máquinas de lavar que utilizam a vibração em seu princípio de funcionamento A Fig 12 mostra uma gama de situações onde a presença da vibração é um fato Figura 12 Situações do cotidiano em que há a presença de vibrações 13 Conceitos Básicos sobre Vibração Vibração ou oscilação é qualquer movimento que se repete regular ou irregularmente depois de um intervalo de tempo Assim para o perfeito entendimento deste tipo de movimento tornase necessário o estudo do movimento de oscilação de um corpo em torno de uma posição de equilíbrio bem como das forças eou momentos a ele associadas Em engenharia estes movimentos ocorrem em elementos de máquinas e nas estruturas em geral quando submetidas a ações dinâmicas As vibrações podem ser classificadas das seguintes formas 7 a Quanto à Existência ou Não de Excitação Vibrações Livres ou naturais são causadas por condições iniciais de movimento ou seja deslocamento inicial eou velocidade inicial Vibrações Forçadas são causadas por uma força ou torque externos as oscilações persistem durante a aplicação dos mesmos e uma vez cessadas essas excitações o sistema entra em vibração livre b Quanto à Existência ou Não de Amortecimento Vibrações não Amortecidas não há perda de energia Se a vibração for livre não haverá diminuição da amplitude da vibração e o sistema vibrará indefinidamente Se a vibração for forçada a excitação reporá energia no sistema podendo ocorrer até aumento da amplitude da vibração Vibrações Amortecidas há perda de energia por atrito Se a vibração for livre haverá sempre diminuição da amplitude da vibração e o sistema tenderá a parar na posição de equilíbrio Se a vibração for forçada poderá haver ou não diminuição da amplitude da vibração porque a excitação repõe energia no sistema c Quanto à Linearidade Vibrações Lineares obedecem ao Princípio da Superposição dos Efeitos ou seja existe uma proporcionalidade entre excitação e resposta Vibrações NãoLineares não obedecem ao Princípio da Superposição No sistema linear existe proporcionalidade entre causa excitação e efeito resposta Se todos os componentes do sistema elástico comportaremse linearmente dizemos que a vibração é linear e o problema pode ser atacado com o procedimento indicado na Fig 13 No caso de vibração linear o modelo matemático é composto por um sistema de equações diferenciais ordinárias lineares EDOLs de fácil solução analítica Já no caso de vibração nãolinear o modelo matemático é composto por um sistema de EDO nãoL de difícil ou mesmo impossível solução analítica No caso nãolinear podemos atacar 8 o problema de acordo com o procedimento ilustrado na Fig 14 Figura 13 Princípio da superposição dos efeitos Figura 14 Procedimento de análise para o caso nãolinear 9 c Quanto à Previsibilidade de Ocorrência Vibrações Determinísticas a magnitude da excitação é conhecida para qualquer tempo dado então a resposta é previsível e denominada determinística Fig 15 Vibrações Aleatórias a magnitude da excitação em um dado tempo não pode ser determinada e neste caso a resposta é aleatória ou seja ela somente pode ser descrita em termos de quantidades estatísticas Fig 16 Figura 15 Excitação determinística Figura 16 Excitação Aleatória 14 Componentes Elementares de um Sistema Vibratório Os sistemas vibratórios podem ser agrupados em discretos e contínuos Os sistemas discretos são aqueles que podem ser subdivididos em partes de forma que cada uma delas possua um determinado número de graus de liberdade levando a um número finito de graus de liberdade do sistema global sendo também chamados de sistemas com parâmetros concentrados Os sistemas contínuos não podem ser divididos possuindo um número infinito de graus de liberdade sendo também conhecidos como sistemas com parâmetros distribuídos Para que o movimento vibratório de um sistema seja perfeitamente descrito posição velocidade aceleração tornase necessário que se escolha um sistema de coordenadas Então em relação a este sistema de referência escolhido de forma arbitrária o número mínimo de coordenadas independentes necessárias para descrever 10 completamente o movimento de todas as partes que compõem o sistema vibratório é denominado de Graus de Liberdade A Fig 17 mostra exemplos esquemáticos de sistemas com um dois e três graus de liberdade Figura 17 Sistemas com um dois e três graus de liberdade As propriedades mais importantes dos sistemas mecânicos sob o aspecto da vibração são a elasticidade a inércia e o amortecimento Isso porque a vibração é em essência um processo de troca de energia mecânica nas formas de energia cinética associada à velocidade e energia potencial associada à deformação e à gravidade A elasticidade é uma característica que se relaciona com a capacidade do sistema de armazenar energia potencial elástica A inércia por sua vez se liga à capacidade de armazenamento de energia cinética e também energia potencial gravitacional O amortecimento finalmente provoca as perdas de energia em função das resistências passivas provocadas pelo atrito Resumindo em um sistema vibratório de parâmetros concentrados podemos classificar os elementos que o compõem segundo a forma com que 11 manipulam a energia mecânica massas ou inércias armazenam energia potencial gravitacional associada à posição e energia cinética associada à velocidade sendo que esta última pode ser de translação eou de rotação em muitos casos a energia potencial gravitacional pode ser desprezada em comparação com a energia cinética molas armazenam energia potencial elástica associada à deformação elástica que o corpo sofre amortecedores dissipam energia mecânica sob forma de calor eou som A vibração de um sistema envolve a conversão de energia potencial em energia cinética e viceversa Se o sistema for amortecido alguma energia é dissipada em cada ciclo de vibração a qual deve ser reposta por uma fonte externa se um estado de vibração permanente deva ser mantido Na Fig 18 o movimento do pêndulo é representado por dois sistemas de coordenadas No primeiro são necessárias duas coordenadas para determinar exatamente a posição do pêndulo x e y sua velocidade e sua aceleração No segundo sistema apenas a coordenada θ representa completamente a posição do pêndulo sua velocidade e sua aceleração Nada impede que o sistema xy seja utilizado Apenas o mesmo apresentará um número de equações maior que o sistema mais simples Nele deve ser incluída a equação de restrição condição de contorno x2 y2 l2 Já com a utilização de θ apenas uma equação descreverá o movimento do sistema Este sistema apresenta um número mínimo de coordenadas igual ao número de graus de liberdade necessárias a representar completamente o movimento do sistema É por isto chamado de sistema de coordenadas generalizadas O número de graus de liberdade é sempre igual ao número de coordenadas utilizado menos o numero de equações de restrição Assim sendo um movimento descrito em um sistema de coordenadas generalizadas não apresenta equações de restrição 12 Figura 18 Sistemas de coordenadas no movimento do pêndulo 15 Etapas da Análise Dinâmica A Fig 19 apresenta de forma esquemática o ciclo de etapas que são desenvolvidas para a realização da análise dinâmica Nesta análise destacase as 4 etapas seguintes modelagem física modelagem matemática solução do modelo matemático e interpretação dos resultados a Modelagem física o objetivo da modelagem física é representar esquematicamente todas as características importantes do sistema visando deduzir as equações que descrevem o seu comportamento Deve haver um compromisso entre simplicidade do modelo e a precisão obtida ou seja o modelo deve ser o mais simples possível porém mantendo as características principais do sistema b Modelagem Matemática nesta etapa é feita a dedução do conjunto de equações diferenciais que constituem o modelo matemático do sistema mecânico Para isso utilizamos técnicas apresentadas em dinâmica dos corpos rígidos 2a Lei de Newton Princípio de DAlembert Conservação da Energia e Equações de Lagrange 13 Figura 19 Esquema simplificado das etapas de análise do problema c Solução do Modelo Matemático esta é uma etapa puramente matemática Consiste em resolver o sistema de equações diferenciais que compõem o modelo matemático Em geral as equações diferenciais são ordinárias lineares de 2a ordem e estão acopladas entre si ou seja as variáveis dependentes e suas derivadas aparecem em mais de uma equação Os métodos utilizados são Clássico Transformada de Laplace e Numérico d Interpretação dos Resultados a interpretação dos resultados consiste em comparar as soluções obtidas teoricamente com dados obtidos a partir da observação experimental Tal interpretação é facilitada através da simulação numérica em computador quando podemos alterar dados do sistema e repetir várias vezes a solução do modelo matemático até encontrar um modelo que esteja mais próximo da realidade Assim se os resultados forem bons podemos aceitar o modelo Se não forem próximos da realidade devemos voltar à etapa a e refazer todo o procedimento 14 A título de exemplo a Fig 110 mostra três modelos físicos para um mesmo sistema ou seja motocicleta motociclista Na Fig 110 a temos um modelo físico bastante simplificado com apenas 1 GDL o deslocamento vertical da massa equivalente a qual representa às massas das rodas da motocicleta e do motociclista na fig 110 b a quantidade de GDL aumentou para 4 os deslocamentos verticais das massas e a rotação da massa que engloba a moto motociclista em torno de um eixo horizontal perpendicular ao plano do papel e passando pelo centro de massa do conjunto finalmente na fig 110 c temos acrescentado em relação ao modelo da fig 110 b mais 1 GDL que é o deslocamento vertical do corpo do motociclista perfazendo um total de 5 GDL Esse último modelo está mais próximo da realidade do que os anteriores Figura 110 Modelagem física de um sistema motocicleta motociclista Nos modelos físicos dos sistemas mecânicos como visto anteriormente as 15 propriedades são representadas por elementos de parâmetros concentrados Assim visando dar informações necessárias para a obtenção do modelo matemático cada um desses elementos será detalhadamente discutido a seguir 151 Mola Em sistemas com parâmetros concentrados considerase que a mola não possui nenhum mecanismo de dissipação de energia e nem massa Tratase portanto de uma representação física que nada tem a ver com o elemento mecânico mola pois este por si só pode ser representado pelos três elementos básicos usados no modelo físico do sistema ou seja mola amortecedor e massa As molas podem ser translacionais ou torcionais Mola translacional opõese ao deslocamento relativo translacional O deslocamento relativo mostrado na Fig 111 provoca na mola uma força de restauração e uma energia potencial elástica dadas por 2 2 1 2 1 k x U p e x k x k x F 11 Mola torcional opõese ao deslocamento relativo angular O deslocamento relativo angular mostrado na Fig 111 b provoca na mola um torque de restauração e uma energia potencial elástica dados por 2 2 1 2 1 θ θ θ θ t p t t k U e k k M 12 Figura 111 Deformação de um elemento de mola translacional a e rotacional b 16 As molas podem ser lineares ou nãolineares As primeiras obedecem à Lei de Hooke ou seja apresentam uma deformação proporcional ao carregamento que sofrem Já as molas nãolineares não apresentam tais características O coeficiente de rigidez de uma mola seja ela linear ou não linear é determinado através da seguinte equação dθ dT kt e dx dF k 13 Na mola linear o coeficiente de rigidez é constante e na mola nãolinear ele varia com a intensidade da força ou do torque aplicado A Fig 112 mostra o comportamento das molas linear e nãolinear Figura 112 Rigidez de molas Para determinar as expressões que quantificam a rigidez dos sistemas tornase necessário um bom conhecimento de estática e resistência dos materiais A seguir é apresentado um conjunto de tabelas que listam uma série de expressões deduzidas com base nos conhecimentos referidos quando aplicados para cada um dos sistemas mostrados bem como as propriedades pertinentes dos materiais mais usados na engenharia É muito comum na prática encontrarmos duas ou mais molas associadas em um sistema mecânico Como o sistema mecânico padrão com 1 GDL possui apenas uma mola há necessidade de encontrarmos uma mola fictícia cuja rigidez seja equivalente à da associação dada A tabela 14 apresenta uma série de arranjos comuns na prática sendo as expressões correspondentes apresentadas para molas translacionais também válidas para molas rotacionais bastando substituir k por kt 17 Tabela 11 Rigidezes de Mola Rao S Mechanical Vibrations 4 th ed Tabela 12 Rigidezes de Mola Groehs Mechanical Vibrations 1a ed 18 Tabela 13 Módulos de Elasticidade e Coeficiente de Poison Groehs Mechanical Vibrations 1a ed No caso de sistemas mais complexos é conveniente reduzilos a sistemas mais simples contendo apenas uma mola fictícia a qual tem rigidez equivalente às rigidezes de todas as molas do sistema original Para calcular a rigidez keq aplicamos o princípio da conservação da energia potencial elástica ou seja a energia potencial do sistema é igual a energia potencial do sistema equivalente Usistema Ueq 14 19 Tabela 14 Arranjos de molas e expressões para a Rigidez Equivalente 20 A título de exemplo vamos aplicar a Eq 14 ao sistema da Fig 113 para calcular a rigidez equivalente na direção da coordenada xt onde yt é a coordenada vertical ao longo da qual trabalha a mola de rigidez 2k Figura 113 Sistema para o cálculo da rigidez equivalente Assim temos 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 ky kx eq x k Usistema eq U Então após achar a relação entre x e y para substituir na equação acima e posteriormente simplificar temos k keq x k kx keq x x y rp p r x y 9 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 152 Massa eou Inércia Rotativa Em sistemas com parâmetros concentrados considerase que a massa ou a inércia rotativa não possui nenhum mecanismo de dissipação de energia e nem deforma ou seja comportase como um corpo rígido Tratase portanto de uma representação física somente tal que simplifique a abordagem matemática do problema 21 A força aplicada à massa é igual ao produto dela pela aceleração 2ª Lei de Newton e o trabalho feito sobre a mesma força multiplicada pelo deslocamento na direção da força é armazenado na forma de energia cinética Assim para deslocamentos de translação x e de rotação θ temse 2 2 1 mx T e mx F 15 2 2 1 θ θ J T e J M 16 É muito comum existirem duas ou mais massas eou inércias associadas em um sistema O sistema mecânico padrão com 1 GDL possui apenas uma massa eou inércia logo há necessidade de encontrarmos uma massa eou inércia fictícias equivalentes às dadas Para isso usamos o Princípio da Conservação da Energia Cinética Tsistema eq T Jeq Teq ou meq x eq T 2 2 1 2 2 1 θ 17 A tabela 15 apresenta uma relação de sistemas com as respectivas massas equivalentes Tabela 15 Relação de massas e inércias equivalentes 22 153 Amortecedores É o componente do sistema elástico que opõe resistência ao movimento vibratório dissipando energia Sua concepção é tal que não possui massa nem rigidez Na prática existem formas distintas de se dissipar energia amortecimento dos sistemas sob forma de calor eou som e conforme isto ocorra teremos modelos distintos de amortecimento conforme a seguir descrito Amortecimento Viscoso é o que mais ocorre na prática da Engenharia caracterizase pelo atrito entre um sólido uma peça e um fluido óleo lubrificante interposto entre as peças móveis do sistema O fluido apresenta alta viscosidade sendo que a força de atrito viscoso é proporcional à velocidade relativa entre o sólido e o fluido θ tc M ou cx F 18 em que c e ct são os coeficientes de amortecimento viscoso cujas unidades no SI são respectivamente Nsm e Nmsrad Amortecimento Seco ou de Coulomb resulta do atrito entre dois sólidos sem lubrificação ou com muito pouca lubrificação A força de amortecimento é igual a força de atrito entre as superfícies ou seja tan te N cons F μ 19 µ admensional é o coeficiente de atrito dinâmico entre as superfícies em contato e N é a força normal entre as superfícies Amortecimento Estrutural ou Material ou Histerético ocorre pelo atrito interno entre moléculas quando o sólido é deformado fazendo com que a energia seja dissipada pelo material sob forma de calor eou som A medida do amortecimento estrutural é dada pela amplitude X da tensão reinante durante a deformação Fig 114 23 Figura 114 Amortecimento histerético O amortecimento mais importante em Engenharia é o amortecimento viscoso o qual apresenta a vantagem de linearizar a equação do movimento Na tabela 16 são apresentados alguns casos comuns de amortecimento viscoso É muito comum na prática encontrarmos dois ou mais amortecedores viscosos em um sistema mecânico com um GDL O sistema mecânico padrão com 1 GDL possui apenas um amortecedor viscoso logo há necessidade de encontrarmos um amortecedor viscoso fictício equivalente aos dados Por outro lado haverá necessidade mais tarde de se calcular um coeficiente de amortecimento viscoso fictício equivalente a um amortecimento nãoviscoso conhecido Isso é de suma importância já que as equações que serão desenvolvidas levarão em conta apenas o amortecimento viscoso Para isso consideramos o trabalho executado pela força de amortecimento viscosa entre duas posições x1 e x2 ou θ1 e θ2 como sendo Wsistema eq W tc eq d Weq ou dx x x ceq x eq W θ θ θ θ 2 1 2 1 110 A título de exemplo da utilização de sistemas equivalentes na modelagem seja o esquema apresentado na Fig 115 a o qual deverá ser substituído pelo equivalente torcional da Fig 115 b 24 Tabela 15 Coeficientes de amortecimento viscoso A inércia equivalente do sistema da Fig 115 a será obtida da seguinte forma A rigidez equivalente por 25 Figura 115 Sistema real a e o seu equivalente torcional b Finalmente o amortecimento equivalente é obtido por 16 Movimento Harmônico Movimento harmônico é um movimento que se repete em todos os particulares após certo intervalo de tempo chamado de período usualmente designado pelo símbolo T É a forma mais simples com que uma vibração se apresenta Um diagrama do deslocamento x em relação ao tempo t pode ser apresentado de uma maneira bem simples representando um movimento harmônico de acordo com a Fig 116 Figura 116 Mecanismo de Scotch Yoke gerando um movimento harmônico 26 O movimento representado na Fig 116 é expresso pela seguinte equação x Asenwt 111 ou se a origem do movimento não coincidir com 0 sen wt φ Asen wt x 112 nas equações acima A é a amplitude de oscilação medida a partir da posição de equilíbrio da massa w a velocidade angular ou freqüência circular expressa em rds e Φ o ângulo de fase medido em rd O ângulo de fase começa a se tornar importante quando se compara dois movimentos harmônicos não coincidentes no tempo Ao se estabelecer um movimento como básico uma escolha adequada do início da observação do movimento fará com que o ângulo de fase represente o quanto um movimento está adiantado ou atrasado em relação ao outro O período T é medido em segundos e o seu inverso é a freqüência de vibração f expressa em Hz Estes três últimos parâmetros estão relacionados de acordo com equação abaixo f T w 2 2 π π 113 A velocidade e a aceleração de um movimento harmônico são obtidas derivando se a expressão matemática do deslocamento Tomandose como referência a Eq 111 chegase a 2 cos π wAsen wt wt wA x v 114 2 2 π w Asen wt w Asen wt x a 115 A Fig 117 mostra uma representação das três variáveis que descrevem o movimento harmônico o qual corresponde ao movimento vertical da haste do mecanismo da Fig 116 27 Figura 117 Deslocamento velocidade e aceleração Então podemos constatar que a velocidade e a aceleração também são harmônicas com a mesma freqüência de oscilação do deslocamento porém defasados de π2 e π respectivamente Fig 117 Perceba que quanto maior for o w velocidade angular que é proporcional à freqüência maior serão os valores de amplitude de vibração em velocidade e aceleração pois as mesmas sofrem multiplicação Se pretendermos trabalhar com aceleração então as freqüências mais altas evidenciarão mais os seus níveis de vibração e conseqüentemente esconderão os níveis de vibração de freqüências mais baixas 17 Representações Vetorial e Complexa A vibração gerada pelo Mecanismo de Scotch Yoke pode ser interpretada como um vetor de módulo A cuja direção muda constantemente segundo o ângulo wt As projeções horizontal e vertical do vetor são movimentos harmônicos dados por Fig 118 x Acoswt 116 y A sen wt 117 28 Figura 118 Vetor girante e freqüência circular A mesma representação vetorial pode ser expressa na forma de números complexos O plano complexo é então utilizado para descrever o movimento No mesmo movimento representado na Fig 118 o vetor girante é representado por um fasor que é uma quantidade complexa com os eixos x e y sendo substituídos pelos eixos real e imaginário Os fasores que representam o deslocamento a velocidade e a aceleração são expressos por 2 cos 2 2 cos cos isen wt wt w A w X w Aeiwt X sen wt wt wA i iwX iwAeiwt X isen wt wt A Aeiwt X r r r r r 118 onde as componentes real e imaginária são movimentos harmônicos na forma de seno e cosseno 18 Exercícios de Aplicação Exemplo 11 A lança AB do guindaste mostrado na Fig 119 é uma barra de aço uniforme de comprimento 10 m e área da seção transversal 25 x 103 m2 A massa de 1000 kg suspensa pelo guindaste está parada O cabo CDEBF é de aço e tem área da seção 29 transversal de 01 x 103 m2 Desprezando o efeito do segmento do cabo CDEB determinar a constante de mola equivalente do sistema na direção vertical O módulo de elasticidade do aço é 207 x 1011 Nm2 Solução A Fig 119 a mostra a combinação de molas assumindo que tanto a lança quanto o cabo estão submetidos exclusivamente a carregamento axial o que é válido uma vez que a lança é articulada na base do guindaste e o cabo trabalha sob tração Como não está evidente a associação das molas em série ou em paralelo devese usar a equivalência de energia potencial para determinar a constante de mola equivalente Um deslocamento vertical x do ponto B causará uma deformação x2 x cos 45o na lança constante k2 O cabo se deformará x1 x cos90o θ Pela Lei dos Cossenos o comprimento do cabo FB ℓ1 é obtido por Figura 119 Guindaste com carga A mesma Lei dos Cossenos aplicada para determinar o ângulo θ resultará em 30 Então θ 35061ο e ℓ1 12306 m Portanto a energia potencial total U armazenada nas molas é obtida por onde e Como a mola equivalente na direção vertical sofre uma deformação x a energia potencial desta mola equivalente é dada por Fazendo U Ueq obtémse a constante de mola equivalente como Exemplo 12 Um mecanismo cameseguidor mostrado na Fig 120 é utilizado para converter movimento de rotação de um eixo no movimento alternativo de uma válvula O sistema consiste de uma haste de massa mp um balancim de massa mr e momento de 31 inércia Jr em relação ao seu centro de gravidade CG uma válvula de massa mv e uma mola de massa desprezível Determinar a massa equivalente meq deste sistema came seguidor assumindo a localização de meq como a ponto A b ponto B O deslocamento linear da haste é xp e da válvula é xv Figura 120 Sistema cameseguidor Solução Devido ao deslocamento vertical da haste xp o balancim gira um ângulo l1 θr x p em relação ao ponto de pivotamento a válvula se move para baixo 1 2 2 l l l x p r xv θ e o CG do balancim se move para baixo 1 3 3 l l l x p r xr θ A energia cinética do sistema é igual à soma das energias cinéticas de cada elemento 32 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 Jr r mr xr mv xv m p x p T θ em que x p xr xv são as velocidades lineares da haste CG do balancim e da válvula respectivamente e r θ é a velocidade angular do balancim a Se meq é a massa equivalente do sistema localizada no ponto A com x p xeq a energia cinética total do sistema equivalente Teq é dada por 2 2 1 meq x p Teq e como x p xeq 1 2 l l xeq xv 1 3 l l xeq xr e 1 l xeq θr a expressão da energia do sistema pode ser reescrita como 2 2 1 2 1 2 3 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 3 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 xeq Jr mr mv m p T Jr xeq xeq mr xeq mv m p xeq T l l l l l l l l l l Portanto aplicando a Eq 17 temse 2 1 2 1 2 3 2 1 2 2 l l l l l Jr mr mv m p meq b Da mesma forma se a massa equivalente do sistema está localizada no ponto B com xv xeq a energia cinética total do sistema equivalente Teq é dada por 2 2 1 meq xv Teq 33 e como xv xeq 2 1 l l xeq x p 2 3 l l xeq xr e 2 l xeq θr a expressão da energia do sistema pode ser reescrita como 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 xeq Jr mr m p mv T Jr xeq xeq mr xeq m p mv xeq T l l l l l l l l l l Portanto novamente aplicando a Eq 17 temse 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 l l l l l Jr mr m p mv meq 34 CAPÍTULO II MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS MECÂNICOS 21 Introdução Um sistema vibratório é um sistema dinâmico para o qual as variáveis tais como as excitações causas entradas inputs e respostas efeitos saídas outputs são dependentes do tempo A resposta de um sistema vibratório depende geralmente das condições iniciais e das ações externas Isto faz com que seja necessário estabelecer um procedimento de análise que permita o entendimento das influências de cada um dos fatores O procedimento geral é o que começa com o estabelecimento de um modelo físico determinação das equações diferenciais que governam o movimento modelo matemático solução destas equações e interpretação dos resultados A partir do estabelecimento do modelo físico são utilizados os princípios da dinâmica para determinar as equações diferenciais do movimento Estas são geralmente na forma de um conjunto de equações diferenciais ordinárias para sistemas discretos e equações diferenciais parciais para sistemas contínuos As equações podem ser lineares ou não lineares dependendo do comportamento dos componentes do sistema Entre os métodos utilizados para determinar as equações do movimento os mais freqüentemente encontrados são Método de Newton 2ª Lei de Newton Método do Sistema Equivalente e Método da Energia Princípio da Conservação da Energia Dependendo da natureza do problema uma determinada técnica deverá ser usada para resolver as equações do movimento As técnicas mais freqüentemente utilizadas são as seguintes métodos de solução de equações diferenciais método da Transformada de Laplace métodos matriciais e métodos numéricos A solução das equações do movimento apresenta os deslocamentos velocidades e acelerações das várias massas do sistema Estes resultados devem ser interpretados segundo o propósito da análise que está sendo realizada e as possíveis implicações dos 35 resultados É nesta etapa que se inclui por exemplo o diagnóstico de vibrações em máquinas ou equipamentos industriais A comparação entre as características das vibrações medidas com as soluções das equações diferenciais permite importantes conclusões sobre as causas das vibrações Nesta etapa a utilização das Transformadas de Fourier é fundamental para a identificação de características nas vibrações medidas 22 Método de Newton Baseiase na aplicação da 2a Lei de Newton A taxa de variação temporal da quantidade de movimento linear angular de uma massa é igual à força resultante ao momento resultante atuando sobre ela No nosso estudo trataremos apenas do movimento plano de um corpo rígido para o qual as equações fundamentais da dinâmica newtoniana são Translação m x F 21 Rotação em torno de um eixo que passa no centro de massa C JC θ MC 22 Rotação em torno de um eixo que passando por um ponto fixo O que não seja o centro de massa C JO θ MO 23 Rotação em torno de um eixo passando por um ponto S móvel paralelo ao eixo que passa pelo centro de massa C Rs mrs c J S M S θ 24 em que de acordo com o Teorema de Steiner ou seja 2 mrs c JC J S 36 Procedimento do Método 1 Selecionar coordenadas generalizadas adequadas lineares para a descrição das translações dos centros de massa dos corpos rígidos ou angulares para a descrição das rotações dos mesmos 2 Definir as posições de equilíbrio estático do sistema e usálas como origens das coordenadas escolhidas 3 Desenhar os Diagramas de Corpo Livre DCL dos corpos rígidos para posições de deslocamentos velocidades e acelerações positivas representando todas as forças e momentos externos que atuam sobre os corpos 4 Aplicar a 2a Lei de Newton a cada corpo rígido Como exemplo de aplicação do método tomemos o sistema mostrado na Fig 21 denominado de sistema mkc com um grau de liberdade para o qual será selecionada a coordenada generalizada xt para representar o movimento de translação horizontal do corpo rígido a qual tem como referência a posição da mola k não deformada Figura 21 Movimento horizontal do sistema massamolaamortecedor com 1GDL O diagrama de corpo livre correspondente está mostrado na Fig 22 onde estão representadas todas as forças externas atuando sobre a massa m na direção x 37 Figura 22 Diagrama de corpo livre do sistema da Fig 21 Aplicando a 2a Lei de Newton Eq 21 F t kx cx mx mx cx kx F t 25 O modelo matemático ilustrado pela Eq 25 será largamente usado nos capítulos seguintes e caracteriza as vibrações forçadas amortecidas de um grau de liberdade Objetivando generalizar a abordagem para sistemas de um número maior de graus de liberdade tomemos o sistema da Fig 23 que é o mais completo sistema acoplado por molas e amortecedores Assim sendo podemos deduzir um modelo matemático para ele o qual poderá ser aproveitado para sistemas mais simples desde que tenha a mesma configuração acima Um sistema real que pode ser modelado conforme a figura acima é a composição ferroviária onde as massas representam os vagões e as molas e amortecedores representam os engates Figura 23 Sistema com N GDL acoplados por molas e amortecedores 38 Vamos usar o Método de Newton considerando uma massa genérica mi cujo DCL é apresentado abaixo Figura 24 DCL para a iésima massa Aplicando a 2a Lei de Newton à iésima massa mi mi xi xi xi ki xi ki xi xi xi ic xi xi ic Fi t 1 1 1 1 1 1 26 Ordenando a Eq 26 chegamos ao modelo matemático para a massa mi 1 1 1 1 1 1 1 1 Fi t xi ki xi ki ki ki xi xi ic xi ic ic ic xi mi xi 27 A Eq 27 é válida para a massa mi Podemos fazer i 1 2 n para obter o sistema de n Equações Diferenciais Ordinárias Lineares EDOLs que constituem o modelo matemático Tal sistema de EDOLs pode ser colocado sob a seguinte forma matricial 82 3 2 1 3 2 1 1 0 0 0 0 0 0 4 3 3 0 0 0 3 3 2 2 0 0 0 2 2 1 3 2 1 1 0 0 0 0 0 0 4 3 3 0 0 0 3 3 2 2 0 0 0 2 2 1 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 n t F t F t F t F n x x x x kn kn n k k k k k k k k k k k n x x x x cn cn n c c c c c c c c c c c n x x x x n m m m m L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L a qual pode ser escrita na forma compacta como 39 1 1 1 1 F t n k n n x n c n n x n m n n x n 29 na qual m é a matriz inercial ou matriz de massa c é a matriz de amortecimento k é a matriz de rigidez x é o vetor de deslocamento x é o vetor de velocidade x é o vetor de aceleração e Ft é o vetor de excitação A visualização das matrizes na Eq 28 sugere um método para a montagem da equação matricial sem necessidade de aplicar o Método de Newton ou seja bastando aplicar as seguintes regras válidas somente para sistemas acoplados por molas e amortecedores Vetores vetores colunas com os elementos colocados em seqüência de cima para baixo Matriz m matriz diagonal com as massas ocupando a diagonal principal em seqüência do elemento m11 ao elemento mnn Matrizes c e k matrizes simétricas com os elementos da diagonal principal sendo constituídos respectivamente pela soma dos coeficientes de amortecimento ou das rigidezes existentes antes e depois das massas que ocupam aquela mesma posição na matriz m para os elementos fora da diagonal principal posição genérica cij ou kij colocar o coeficiente de amortecimento ou a rigidez que conecta as massas mi e mj porém com o sinal negativo 23 Método do Sistema Equivalente De um modo geral um sistema com um GDL pode ser representado conforme as Figs 25 a pra translação e 25 b para rotação onde a origem O denota a posição de equilíbrio estático sendo os seus modelos matemáticos dados pelas EDOLs de 2a ordem Feq t keq x ceq x meq x 210 Meq t kteq tc eq Jeq θ θ θ 211 40 onde meq ceq keq e Jeq cteq kteq serão obtidos pelos procedimentos já estudados anteriormente A determinação de Feqt e Meqt deverá ser feita de acordo com os princípios da mecânica Portanto através deste método podemos economizar o trabalho de dedução da EDOL do sistema bastando encontrar os parâmetros do mesmo inércia equivalente coeficiente de amortecimento equivalente e rigidez equivalente Figura 25 Sistemas equivalentes com um GDL 24 Método de Energia Baseiase na aplicação do Princípio da Conservação da Energia Em conseqüência aplicase somente a sistemas conservativos ou seja aqueles em que não há acréscimo e nem perda de energia por atrito logo admitimos que a energia permaneça constante te cons U T tan 212 em que T representa a energia cinética e U a energia potencial Então podese escrever que 0 dt T U d 213 Portanto basta apenas determinar as expressões de energia cinética e potencial do sistema e aplicar a Eq 213 para se obter a EDOL do sistema 41 25 Exercícios de Aplicação Exemplo 21 Desenvolver através do método de Newton o modelo matemático para o sistema simplificado da suspensão independente de um carro onde é considerado apenas o movimento de uma das rodas do veículo conforme ilustra a Fig 26 A rigidez do pneu é modelada pela mola k1 As massas do pneu da roda e do eixo dianteiro bem como das demais peças não suspensas distribuídas a essa roda são modeladas pela massa m1 O coeficiente de amortecimento do amortecedor viscoso e a rigidez da mola da suspensão são modelados respectivamente por c e k2 Já a massa suspensa distribuída para ¼ de suspensão é modelada pela massa m2 Figura 26 Suspensão veicular simplificada e DCL correspondente O diagrama de corpo livre do sistema mostrado na Fig 26 foi elaborado a partir da seguinte consideração sem perda de generalidade x2 x1 x0 Aplicando a 2a Lei de Newton a cada corpo rígido temse 1 1 1 2 1 2 2 0 1 1 m x x c x x x k x x k 2 2 1 2 1 2 2 m x x c x x x k Ordenando as EDOLs obtemos o seguinte modelo matemático do sistema com dois graus de liberdade 1 0 2 2 2 1 1 2 1 1 1 k x k x x k k cx cx m x 0 2 2 2 1 2 1 2 2 k x k x cx cx m x 42 o qual pode ser colocado na forma matricial permitindo a identificação dos vetores e matrizes 0 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 k x x x k k k k k x x c c c c x x m m Exemplo 22 Determinar pelo método do sistema equivalente o modelo matemático para o sistema da Fig 27 usando como coordenada generalizada o deslocamento do centro do disco xt Desprezar a massa da polia Dado momento de inércia do disco 2 2 1 mr Figura 27 Sistema constituído de disco polia mola e amortecedor 43 Determinação de meq m meq m m eq m r x mr mx eq x m JC mx eq x m Tsistema eq T 2 3 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 θ Determinação de keq k k k x kx x k U U eq eq sistema eq 3 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 Determinação de ceq ceq 0 Determinação de Feq Feq 0 Substituindo na Eq 210 fornece o modelo matemático do sistema expresso pela seguinte EDOL 0 3 2 3 x kx m Exemplo 13 Deduzir o modelo matemático para o instrumento da Fig 28 usando o método de energia Figura 28 Instrumento de medição de vibração 44 Determinamos as energias cinética e potencial elástica do sistema conforme as seguintes expressões 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 θ θ θ θ b k k a U ma T m a mx T Então usamos as Eqs 212 e 213 para escrever 0 2 2 2 1 2 2 0 2 2 2 1 2 2 0 2 2 2 1 2 2 0 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 θ θ θ θ θ θ θθ θθ θ θ θ θ θ k b k a ma k b k a ma k b k a ma b k k a ma dt d 45 CAPÍTULO III TEORIA DOS SISTEMAS COM 1 GDL 31 Introdução O estudo de sistemas vibratórios deve começar por sistemas simples que apresentem características básicas capazes de permitir a análise de uma série de fenômenos presentes em sistemas mais complexos Sistemas de um grau de liberdade são sistemas ideais capazes de representar uma reduzida parte dos sistemas reais presentes no mundo físico assim mesmo com grande simplificação Por outro lado entretanto estes mesmos sistemas apresentam características que fundamentam o entendimento da maioria dos aspectos básicos que estão presentes em sistemas mais complicados Problemas como ressonância transmissibilidade balanceamento e isolamento podem ser devidamente equacionados em sistemas de um grau de liberdade com posterior extensão dos conceitos para problemas de ordem maior Por outro lado estimativas de comportamento podem ser estabelecidas com relativa facilidade e simplicidade matemática quando se cria um modelo simples para um sistema complexo Razões como estas justificam a introdução do estudo de sistemas de um grau de liberdade em cursos de vibrações em engenharia 32 Vibrações Livres Não Amortecidas A vibração livre como já foi conceituada no Capítulo 1 ocorre quando o movimento resulta apenas de condições iniciais não havendo nenhuma causa externa atuando durante o mesmo A Fig 31 a mostra um modelo simples de um sistema de um grau de liberdade sem amortecimento o conhecido sistema massamola A partir da elaboração do DCL da massa meq mostrado na Fig 31 b podese aplicar a Segunda Lei de Newton e obter a equação do movimento como meq g est keq x meq x Δ 46 Figura 31 Sistema massamola em posição vertical Por outro lado pela condição de equilíbrio estático quando o movimento não existe sabese que keq est meq g Δ podendose escrever a equação diferencial do movimento em sua forma conhecida ou seja est g meq keq wn com wnx x ou keq x meq x Δ 0 2 0 31 A equação 31 é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem derivada de maior ordem linear todos os termos estão linearmente relacionados com x e suas derivadas de coeficientes constantes meq e keq não variam com o tempo e homogênea o termo independente é igual a 0 A solução desta equação é dada por 2 1 cos A sen wnt wnt A x t 32 As constantes A1 e A2 dependem das condições iniciais do movimento ou seja dos valores do deslocamento e da velocidade da massa meq no instante de tempo em que se começa a quantificar o movimento t 0 em relação à posição de equilíbrio estático Se os valores iniciais do deslocamento e da velocidade que representam a energia total introduzida para gerar o movimento livre são conhecidos e dados por x0 e v0 respectivamente temse 47 2 0 0 1 0 0 wnA v t x A x t x de forma que a Eq 32 tornase 0 0 cos sen wnt wn v wnt x x t 33 O movimento representado em 33 é um movimento harmônico de freqüência igual a wn Esta é a freqüência com que o sistema oscila quando está livre sem amortecimento Por este motivo é chamada de freqüência natural de oscilação Esta freqüência natural terá muita importância quando se estudar a vibração forçada sendo ela uma das características mais importantes de um sistema do ponto de vista dinâmico Tratandose de uma oscilação harmônica é importante representar a expressão 33 em uma forma mais simples contendo um seno ou coseno apenas Com o auxílio de relações trigonométricas 33 pode ser escrita como a Forma Senoidal ϕ Xsen wnt x t 34 em que 0 0 2 0 2 0 v arctg x wn e wn v x X ϕ a Forma Cossenoidal cos ϕ wnt X x t 35 em que x wn v arctg e wn v x X 0 0 2 0 2 0 ϕ A Fig 32 ilustra as duas formas de onda para os mesmos dados Notemos que a diferença reside no ângulo de fase φ sendo a amplitude X e a freqüência wn as mesmas para as duas formas de onda descritas pelas Eqs 34 e 35 48 Figura 32 Formas senoidal e cossenoidal da Eq 33 Para o caso em que o sistema de um GDL seja melhor representado por um modelo físico que expresse a vibração como sendo um movimento de rotação de um corpo rígido em torno de um eixo a coordenada generalizada usada para descrever o movimento é um ângulo de rotação θt Assim o movimento é provocado por um deslocamento angular inicial eou uma velocidade angular inicial sendo o momento restaurador fornecido pela energia potencial elástica armazenada em uma mola de torção Este modelo físico está mostrado na Fig 33 Figura 33 Sistema torcional de um GDL 49 A rigidez da mola torcional é dada por 32 4 0 0 d I sendo L GI Mt kt π θ Aplicando a 2ª Lei de Newton a partir da elaboração de um DCL fica fácil obter o modelo matemático como 0 0 2 0 0 J kt wn com wn ou kt J θ θ θ θ 36 Podemos perceber que o modelo matemático para o sistema rotacional estabelecido pela Eq 36 é idêntico àquele para o sistema translacional o qual ficou estabelecido pela Eq 31 Portanto matematicamente constituem a mesma EDOL Logo podemos aproveitar todos os desenvolvimentos já feitos para o sistema translacional e adaptálos para o sistema rotacional usando a equivalência apresentada na tabela 31 Tabela 31 Equivalência entre os sistemas translacional e rotacional SISTEMA TRANSLACIONAL SISTEMA ROTACIONAL Massa meq Momento de inércia de massa J0 Rigidez keq Rigidez kt Deslocamento xt Deslocamento θ t Velocidade xt Velocidade θt Aceleração x t Aceleração θ t 0 0 0 0 θ θ θ θ t t 0 0 0 cos J kt wn com sen wnt wn wnt t θ θ θ 37 a Forma Senoidal ϕ θ Θ sen wnt t 38 em que Θ 0 0 2 0 2 0 θ θ ϕ θ θ wn arctg e wn 50 a Forma Cossenoidal cos ϕ θ Θ wnt t 35 em que Θ wn arctg e wn 0 0 2 0 2 0 θ θ ϕ θ θ 33 Método de Rayleigh para a determinação de Freqüências Naturais Uma informação importante para a análise dinâmica de um sistema é a sua freqüência natural e ao longo deste texto foram mostradas duas formas possíveis de se obter esta informação para um sistema de um GDL ou seja o uso do método do sistema equivalente e o da Segunda Lei de Newton aplicandose a ambos a definição de freqüência natural Um outro modo alternativo de determinar a freqüência natural é a partir do Método de Rayleigh o qual apresenta a vantagem de dispensar a dedução do modelo matemático O método baseiase no Princípio da Conservação da Energia válido para todos os instantes de tempo T U constante 36 Tendo em vista que a Eq 36 é válida para todos os instantes podemos por conveniência reescrevêla para as situações seguintes 1 instante em que a massa passa pela posição de equilíbrio estático ou seja x 0 Tmax 0 constante 2 instante em que a massa passa por uma posição extrema ou seja x xmax 0 Umax constante Comparando essas duas últimas equações podemos concluir que Tmax Umax 37 51 A Eq 37 constitui o Método de Rayleigh o qual permite obter diretamente a freqüência natural do sistema conforme veremos posteriormente através de exemplo O método de Rayleigh é especialmente útil nos casos em que a dedução do modelo matemático é complicada 34 Vibração Livre Amortecida Amortecimento Viscoso O amortecimento representa a capacidade do sistema em dissipar energia Como modelo mais simples de amortecimento se apresenta o amortecimento viscoso assim chamado por representar a força dissipativa proporcionada por um fluido viscoso Esta força tem como característica principal ser proporcional à velocidade relativa entre as superfícies em movimento quando existe um fluido separandoas Esta proporcionalidade garante que a equação diferencial do movimento seja uma EDOL Figura 34 Sistema amortecido de 1 GDL amortecimento viscoso A Fig 34 a mostra o esquema de um sistema de um grau de liberdade com amortecimento Se a força de amortecimento for de natureza viscosa o diagrama de corpo livre da Fig 34 b ao se aplicar a 2ª Lei de Newton permite que se escreva a equação 0 keq x ceq x meq x ou keq x ceq x meq x 38 Uma possível solução para a Eq 38 é da forma Cest x t a qual introduzida na equação resulta 52 0 2 keq Cest ceqs meqs que tem solução não trivial quando a equação característica 0 2 keq ceqs meqs for satisfeita o que somente é possível se Δ Δ eq eq eq eq eq eq eq eq eq eq eq m k m c com m c m m k c c s 2 2 1 2 2 2 2 4 39 Como as duas raízes satisfazem a Eq 38 a solução resultante será uma combinação linear das mesmas na forma C es t C es t t x 2 1 2 1 310 341 Sistemas subamortecido criticamente amortecido e superamortecido A forma funcional da Eq 310 depende fundamentalmente da natureza das raízes expressas na Eq 39 complexas ou reais Para facilitar a notação antes de estudar a influência da natureza das raízes na forma funcional vamos definir alguns parâmetros auxiliares Constante de Amortecimento Crítico a constante de amortecimento crítico cc é definida como o valor de ceq que faz com que o discriminante Δ da Eq 39 se anule Isto porque é do sinal deste discriminante que depende a natureza das raízes Δ 0 implica em raízes reais enquanto que para Δ 0 as raízes formarão um par complexo Δ 0 se apresenta como o limite entre estas duas situações distintas Temse então meqwn cc meq keq meq cc meq eq k meq cc 2 2 0 2 2 311 53 Fator de Amortecimento a constante de amortecimento ceq dá uma indicação da relação entre a força de amortecimento e a velocidade relativa entre as partes em movimento Ela porém não proporciona uma visão da quantidade de amortecimento que atua sobre o sistema real uma vez que uma força de amortecimento pode ser grande para um sistema e pequena para outro dependendo fundamentalmente das massas envolvidas e da rigidez Definese então o fator de amortecimento que é uma quantidade adimensional e não depende da ordem de grandeza dos parâmetros do sistema indicando expressamente o quanto o sistema está sendo amortecido O fator de amortecimento é definido como a relação entre a constante de amortecimento do sistema e a constante de amortecimento crítica c eq c ζ c 312 Com o valor de cc dado na expressão 311 temse que n eq eq w m c ζ 2 313 Considerando que meq keq wn 2 com a Eq 313 as raízes expressas na Eq 39 podem ser escritas na forma wn s 1 2 21 ζ ζ que sendo introduzidas na Eq 310 chegase a w t C e w t C e t x n n 1 2 1 1 2 2 ζ ζ ζ ζ 314 A Eq 314 pode ser considerada como a expressão geral para o movimento vibratório de um sistema de um grau de liberdade Podese mostrar facilmente que para ζ 0 esta equação se transforma na Eq 32 que representa o movimento de um sistema de um grau de liberdade sem amortecimento A forma do movimento representado pela Eq 54 314 depende expressamente dos expoentes presentes A seguir serão apresentadas as possibilidades de movimento em função da natureza destes expoentes reais complexos ou nulos Caso 1 Sistema subamortecido ζ1 No primeiro caso analisado o sistema possui um fator de amortecimento menor que a unidade o que significa que sua constante de amortecimento é menor que a constante de amortecimento crítico Como conseqüência temse que w t i C e w t i C e t x n n 2 2 1 2 1 1 ζ ζ ζ ζ que considerando a fórmula de Euler cos α α α isen e i pode ser modificada para 2 1 2 1 2 cos 1 ζ ζ wn wd com sen wd t C i C wd t C w t C e t x n e através de relações trigonométricas chegase a ϕ ζ w t sen wd t Xe t x n 315 com 1 2 2 22 1 22 1 C C C C C C X e 2 1 2 1 C i C C C arctg ϕ As constantes de integração X e φ são obtidas aplicandose as condições iniciais 0 0 0 0 v x t e x x t diretamente na Eq 315 resultando em 2 0 0 2 0 wd x wn v x X ζ 316 x wn v x wd arctg 0 0 0 ζ ϕ 317 55 A forma do movimento representado pela Eq 315 é mostrada na Fig 35 Trata se de um movimento harmônico com forma senoidal e amplitude decrescente exponencialmente segundo a relação w t Xe ζ n Observase que o efeito do amortecimento está presente na amplitude decrescente representando a dissipação da energia vibratória Para grandes valores de t o termo 0 w t Xe ζ n A freqüência de oscilação agora não é mais a freqüência natural e sim a chamada freqüência da vibração livre amortecida ou freqüência natural amortecida dada por 1 ζ 2 wn wd Figura 35 Solução subamortecida ζ 1 Caso 2 Sistema Criticamente Amortecido ζ 1 Quando ζ 1 a constante de amortecimento ceq é igual à constante de amortecimento crítico cc implicando que as raízes dadas em 232 são reais e iguais a saber wn s s 1 2 Neste caso sendo as raízes repetidas a solução da EDOL assume a forma C t e w t C C t est C t x n 2 1 2 1 56 aplicandose as condições iniciais 0 0 0 0 v x t e x x t diretamente na equação acima as constantes de integração são obtidas como C1 x0 e C2 v0 wnx0 resultando portanto na seguinte expressão x wn t e w t v x t x n 0 0 0 ζ 318 A Fig 36 mostra o movimento criticamente amortecido juntamente com os outros tipos de movimentos amortecidos Em função do termo exponencial negativo o movimento tende a zero com o crescimento do tempo Como o movimento não é mais harmônico neste tipo de sistema não ocorrem oscilações completas a massa retorna rapidamente à sua posição de equilíbrio Figura 36 Comparação entre movimentos com diferentes tipos de amortecimento Caso 3 Sistema SuperAmortecido ζ 1 Quando ζ 1 a constante de amortecimento ceq é maior que a constante de amortecimento crítico cc implicando que as raízes são reais e dadas por wn s 1 2 21 ζ ζ 57 e a solução da equação diferencial retorna à forma dada em 314 Aplicandose as condições iniciais 0 0 0 0 v x t e x x t diretamente na Eq 314 as constantes de integração são obtidas como 1 2 2 0 1 2 0 1 ζ ζ ζ n w v x wn C e 1 2 1 2 0 2 0 2 ζ ζ ζ n n w v x w C 319 O movimento superamortecido também está mostrado na Fig 36 e se pode ver que não é oscilatório Se pode comparar os três casos descritos acima e concluir que movimento oscilatório só acontece em sistemas subamortecidos ζ 1 Sistemas criticamente amortecidos e superamortecidos apresentam como característica principal o fato de que toda a energia vibratória inicial se dissipa antes que ocorra um ciclo vibratório Conseqüência não há vibração Uma conclusão que se tira da observação da Fig 36 é que o sistema retorna mais rapidamente à posição de equilíbrio quando está criticamente amortecido do que quando está superamortecido Portanto quando se desejar fazer com que um sistema retorne rapidamente sem vibrar à sua posição inicial depois de deslocado dela se deve escolher uma quantidade de amortecimento que torne o sistema criticamente amortecido Na prática como vai ser visto mais adiante valores menores do que o amortecimento crítico ζ 07 permitem o retorno à posição de equilíbrio mais rapidamente ainda permitindose que ocorra apenas uma oscilação Este valor é usado em amortecedores de veículos pois os mesmos quando submetidos às irregularidades de ruas e estradas devem retornar o mais rapidamente à sua posição original 342 Decremento Logarítmico Um problema que se apresenta normalmente para quem estuda sistemas vibratórios é estimar o fator de amortecimento ζ Quando se possui um registro resultado de uma medição de um movimento vibratório é possível observar a queda exponencial da amplitude de vibração com o tempo O método do decremento logarítmico se fundamenta na 58 comparação entre duas amplitudes consecutivas ou não medidas de um movimento vibratório livre amortecido A Fig 36 mostra o registro de um movimento vibratório livre medido de um sistema de um grau de liberdade Em se tratando de movimento oscilatório então o sistema é subamortecido e a expressão que descreve o movimento é a Eq 315 Se x1 é o deslocamento medido no tempo t1 e x2 é o deslocamento medido no tempo t2 a relação entre x1 e x2 é dada por 2 1 2 2 1 1 2 1 ϕ ζ ϕ ζ w t sen wd t Xe w t sen wd t Xe t x t x n n Se os dois deslocamentos são medidos em tempos separados por um período inteiro então t2 t1 τd com wd Td 2π de forma que 1 2 ϕ ϕ sen wd t sen wd t o que faz com que a relação expressa anteriormente possa ser rescrita como 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 ζ πζ ζ ζ ζ ζ e e w T w T e T t w e w t e t x t x d n d n d n n Por definição o decremento logarítmico é expresso por 2 1 2 2 1 2 2 1 1 ln ζ πζ λ X X t x t x 320 Para sistemas com amortecimento muito baixo ζ1 a Eq 320 pode ser aproximada para πζ λ 2 321 A Fig 37 apresenta uma comparação entre as Eqs 320 e321 onde se pode ver que existe uma boa estimativa do amortecimento quando ζ 03 usando a Eq 321 59 Figura 37 Variação do decremento logarítmico com o amortecimento O método de estimativa do amortecimento através do decremento logarítmico funciona a partir da quantificação dos valores de X1 e X2 amplitudes consecutivas para o cálculo do decremento logarítmico λ por 320 e a seguir o fator de amortecimento ζ é calculado por 2 2 2 λ π λ ζ 322 Como em uma grande quantidade de casos é difícil distinguir entre dois deslocamentos separados por um único período o decremento logarítmico seguindo o mesmo raciocínio apresentado acima pode ser obtido a partis de duas medidas X1 e Xn1 temse 60 n wnTd e Xn Xn X X X X Xn X ζ 1 3 2 2 1 1 1 L de onde se obtém o decremento logarítmico como 1 1 ln 1 Xn X n λ 323 35 Vibrações Forçadas Amortecidas Excitação Harmônica Vibração forçada é aquela que ocorre quando o sistema sofre a ação de forças externas durante o movimento As forças que atuam sobre o sistema podem ser determinísticas ou aleatórias determinando uma característica do movimento vibratório Assim para as excitações mais comuns temos as seguintes respostas correspondentes Ft harmônica xt harmônica monofreqüencia Ft Periódica não harmônica xt harmônica multifreqüência Ft aperiódica de curta duração xt transiente Ft aleatória ou Randômica xt aleatória A excitação harmônica é freqüentemente encontrada em sistemas mecânicos como por exemplo em máquinas rotativas desbalanceadas automóveis deslocandose sobre estrada de perfil senoidal chaminés altas submetida a vórtices etc Nesta apostila estudaremos a resposta forçada de um sistema mecânico quando submetido a uma força harmônica ou torque harmônico que atua diretamente sobre a massa translacional ou rotacional Todos os conceitos e formulações que serão desenvolvidos para sistemas translacionais podem ser entendidos para sistemas rotacionais mediante as adaptações já mencionadas anteriormente 351 Excitação Harmônica Em geral são adotadas para a excitação harmônica as formas seguintes 61 ϕ ω ϕ ω ϕ ω t F t F t F sen t F t F ei t F 0 cos 0 0 324 em que F0 é a amplitude da força o valor da força quando a mesma é aplicada estaticamente ω é a freqüência com que a força é aplicada igual a zero quando de aplicação estática e φ é o ângulo de fase medido em relação ao referencial de tempo 352 Equação Diferencial do Movimento A Fig 38 mostra o modelo de um sistema de um grau de liberdade amortecido e seu respectivo diagrama de corpo livre O diagrama de corpo livre mostrado na Fig 31 b ilustra as forças atuantes na massa meq Aplicando a 2ª Lei de Newton a EDOL é obtida como sendo Ft k x c x x m eq eq eq 325 Figura 38 Sistema de 1 GDL sob ação externa Esta equação diferencial possui uma solução geral constituída de uma solução homogênea associada a uma solução particular 62 x p t xh t x t 326 A solução homogênea é obtida fazendo Ft 0 resultando na vibração livre dependente das condições iniciais que foi estudada anteriormente A solução particular representa a vibração de regime do sistema persistindo enquanto a força externa atuar A Figura 39 ilustra a composição da solução da Eq 325 A parcela do movimento que diminui com o tempo devido ao amortecimento é chamada transiente e a rapidez com que ocorre esta diminuição depende dos parâmetros do sistema meq ceq e keq Figura 39 Soluções homogênea particular e geral 63 353 Sistema Não Amortecido Sob Força Harmônica Por simplicidade estudaremos inicialmente o sistema sem amortecimento c 0 e com Ft F0 senωt A Eq 325 assume a forma 0 t F sen k x x m eq eq ω 327 A solução homogênea desta equação estudada anteriormente na seção 32 tem a forma 2 1 cos A sen wnt wnt A xh t 328 A solução particular é da forma t Xsen x p t ω 329 Se 329 é solução da Eq 327 podese aplicar a derivada para a determinação da velocidade e aceleração e substituir seus valores na Eq327 objetivando determinar o valor de X conforme segue cos t X x p t ω ω 330 2 t Xsen x p t ω ω 331 0 2 t F sen t keq Xsen t Xsen meq ω ω ω ω Dividindo a equação acima por senωt e rearranjando os seus termos temos 2 0 meqω eq k F X 332 Substituindo 332 em 329 a solução particular se torna 64 2 0 t sen meq eq k F x p t ω ω 333 A solução geral é obtida como a soma das Eqs 328 e 333 sendo igual a 2 0 2 1 cos t sen meq eq k F A sen wnt wnt A x t ω ω 334 Introduzindo as condições iniciais 0 0 0 0 v x t e x x t as constantes de integração são calculadas resultando em 2 0 0 2 0 1 ω ω eq eq n n m k F w w v A e x A 335 que introduzidas em 334 resultam na expressão cos 2 0 2 0 0 0 t sen m k F sen w t m k F w w v w t x t x eq eq n eq eq n n n ω ω ω ω 336 Dividindo o numerador e o denominador da Eq 332 por keq sendo a deflexão estática keq F X 0 0 a deformação sofrida pelo sistema quando a força é aplicada estaticamente e considerando que a freqüência natural do sistema é dada meq keq wn esta expressão pode ser rescrita na forma wn r com r n w X X R ω ω 2 1 1 2 1 1 0 337 que é chamado de fator de amplificação dinâmica 65 A Fig 310 mostra a função expressa na Eq 337 que apresenta três domínios distintos caracterizando comportamentos diferentes Figura 3 10 Fator de amplificação dinâmico Primeiro Domínio Para 0 r 1 o denominador da Eq 337 é positivo e a resposta de regime permanente do sistema é dada pela Eq 333 Dizse que a resposta harmônica xpt está em coincidência de fase com a força externa conforme mostra a Fig 311 Figura 311 resposta harmônica em fase com a força externa 66 Segundo Domínio Para r 1 o denominador da Eq 337 é negativo e a resposta de regime permanente do sistema é t Xsen x p t ω 338 em que a amplitude do movimento é redefinida como uma quantidade positiva ou 1 2 0 r X X 339 Neste domínio a resposta harmônica xpt está em oposição de fase com a força externa conforme mostra a Fig 312 Observase também que para r a amplitude X 0 de forma que o deslocamento de um sistema sob excitação harmônica em freqüências muito altas é muito pequeno Figura 312 Resposta harmônica em oposição de fase com a força externa Terceiro Domínio Para r 1 a amplitude dada por 337 ou 339 é infinita Esta condição em que a freqüência com que a força é aplicada é igual à freqüência natural do sistema é chamada de RESSONÂNCIA Para determinar a resposta nesta condição é necessário que a Eq 336 seja escrita na forma 67 2 0 0 0 1 cos n n n n n n w w sen w t t sen X w sen w t v w t x t x ω ω ω 340 O último termo desta equação vai a infinito quando ω wn r 1 e para avaliar a função no limite é necessário aplicar a Regra de LHospital resultando 2 cos 2 1 lim tan 1 lim 1 lim 2 2 2 w t w t w t sen w w sen w t t sen to Por w d d w sen w t t sen d d w w sen w t t sen n n n n n n w n w n n w n n n w n n n ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω De forma que a Eq 340 que é a resposta do sistema se torna cos 2 cos 0 0 0 w t w t sen w t X w sen w t v w t x x t n n n n n n 341 representando um movimento cuja amplitude cresce indefinidamente com o tempo devido ao termo 2 0 X wnt ser sempre crescente como ilustra a Fig 313 68 Figura 313 Resposta harmônica na ressonância 354 Fenômeno do Batimento Quando a freqüência da força externa é muito próxima da freqüência natural ocorre uma composição de movimentos conhecida como batimento Se na Eq 336 fizermos x0 v0 0 e considerarmos que ω é aproximadamente igual a wn a mesma se torna 2 2 0 2 0 sen w t t sen w m F sen w t t sen m k F x t n n eq n eq eq ω ω ω ω wn t n t w n w meq F x t 2 cos 2 2 2cos 2 0 ω ω ω 342 Como a diferença entre as freqüências é pequena podese dizer que ω ω εω ω ε ω 2 4 2 2 2 wn n w n w 69 e a Eq 342 se torna cos cos 2 0 t t meq F x t ω ε εω 343 cujo movimento está representado na Fig 314 Figura 314 Fenômeno de batimento 355 Sistema Amortecido sob Força Harmônica Sob a atuação de uma força harmônica a equação do movimento amortecido é dada pela Eq 325 aqui repetida por conveniência Ft k x c x x m eq eq eq A solução particular resposta forçada xpt que representa a resposta permanente no tempo tomando 0 t F sen F t ω tem a forma φ ω t Xsen x p t 344 70 onde X é a amplitude da oscilação e Φ é o ângulo de fase que representa o atraso da resposta em relação à excitação Derivando 2 vezes a Eq 344 substituindo xp e suas derivadas na Eq 325 e colocando todos os termos na forma de senos obtemos 0 2 2 t F sen t keq Xsen t sen ceq X t sen meq X ω φ ω π φ ω ω π φ ω ω onde cada um dos termos representa as forças atuantes no membro esquerdo da equação temos na ordem a força de inércia a força de amortecimento e a força restauradora da mola no lado direito a força de excitação A partir dessa última equação podemos desenhar o diagrama vetorial da Fig 315 da qual tiramos aplicando o Teorema de Pitágoras Figura 315 Diagrama vetorial das forças 2 2 2 2 0 c X X meq keq X F ω ω donde chegamos à expressão para a amplitude da resposta permanente e do ângulo de fase 2 2 2 0 ω ω ceq meq eq k F X 345 71 2 ω ω φ meq eq k ceq arctg 346 Portanto a resposta permanente tem a mesma forma da excitação função harmônica a mesma freqüência da excitação ω porém está atrasada em relação à excitação de um ângulo de fase Φ conforme ilustra a Fig 316 Figura 316 Atraso da resposta em relação à excitação As Eqs 345 e 346 compõem a chamada resposta em freqüência pois a amplitude e o ângulo de fase aparecem como funções da freqüência da excitação É comum expressar essas duas equações em forma adimensional Para isso vamos dividir o numerador e o denominador das duas equações por keq 2 2 2 1 0 keq eq c keq eq m keq F X ω ω keq eq m keq eq c arctg 2 1 ω ω φ 72 Recordando que Relação de freqüência wn r ω Fator de amplificação keq F X X X R 0 0 Freqüência natural 2 meq wn keq meq keq wn Fator de amortecimento meqwn ceq meqwn eq c ζ ζ 2 2 e fazendo as devidas substituições nas equações anteriores temos 2 2 2 1 1 0 r r keq F X R ζ 347 2 1 2 r r arct ζ φ 348 A Eq 347 indica que o fator de amplificação é uma relação entre a amplitude da vibração no regime permanente X e o deslocamento devido à aplicação estática da amplitude dessa mesma força F0keq Em outras palavras é a relação entre o efeito dinâmico da aplicação da força harmônica Ft e o efeito estático da aplicação da amplitude dessa mesma força A Fig 317 ilustra os gráficos das Eqs 347 e 348 Tais curvas mostram que o fator de amortecimento tem uma grande influência na amplitude e no ângulo de fase principalmente na zona de freqüências próxima à ressonância r 1 Podemos obter uma melhor compreensão do comportamento do sistema analisando o 73 diagrama do fator de amplificação nas zonas onde r é respectivamente pequeno igual a 1 e grande Concluímos que na região da ressonância devemos usar grandes fatores de amortecimento para minimizar os efeitos da ressonância Já para r 3 o uso de amortecimento é praticamente desnecessário pois todas as curvas tendem a coincidir nessa faixa de freqüências Figura 317 Resposta em freqüência Na ressonância ou seja quando r 1 a amplitude e o ângulo de fase keq F Xres 2 0 ζ e o res 90 φ Examinando atentamente o gráfico da resposta em freqüência do fator de amplificação verificamos que o máximo valor dele e em conseqüência da amplitude da vibração ocorre um pouco à esquerda da ressonância Para determinar o valor da relação 74 de freqüências em que ocorre esse valor máximo assim como seu valor aplicamos a teoria de máximos e mínimos ou seja derivamos a Eq 347 e a igualamos a zero obtendo respectivamente 2 2 1 max ζ r 349 2 1 2 1 0 max max ζ ζ keq F X R 350 Vemos na expressão de rmax que quanto maior o valor de ζ menor o valor de rmax ou seja mais para a esquerda se localiza o valor máximo da resposta em freqüência o que é confirmado pelo gráfico 36 Exercícios de Aplicação Exemplo 31 Um rotor de turbina de alta velocidade mostrado na Fig 318 possui massa de 60 kg e momento de inércia polar de 7 kgm2 e está conectado ao rotor do gerador girando com uma velocidade angular constante através de um eixo de duas seções com diâmetros 30 e 50 mm e comprimentos 500 e 400 mm respectivamente O módulo de elasticidade torcional é G 11 x 1011 Nm2 Determinar a sua freqüência natural Figura 318 Esquema de um hidrogerador 75 Solução As constantes de rigidez torcionais dos dois eixos são kT IpGL onde o momento de inércia polar da seção é Ip πd432 Conseqüentemente para as duas seções Os dois eixos comportamse como duas molas torcionais combinadas em série de forma que a rigidez resultante é e a freqüência natural torcional é Exemplo 32 Um rolo compactador de solo consiste de um cilindro de massa m e raio r que está conectado a um trator por uma mola de constante k como mostra a Fig 319 Encontrar a equação diferencial do movimento Assumir que o rolo está livre para rolar sobre a superfície horizontal sem deslizamento Solução Aplicando a 2ª Lei de Newton ao movimento do cilindro usando como coordenada o movimento do centro de massa do mesmo F x m ou F f kx mx onde Ff é a força de atrito ainda desconhecida 76 Figura 319 Rolo compactador de solo Usando a equação 0 0 M J θ temos mx F f F f r r x mr ou F f r J 2 1 2 2 1 0 θ que substituindo na EDOL acima fornece 0 2 3 2 1 kx m ou mx kx mx Exemplo 33 Um absorvedor de choque é projetado para uma moto de massa igual a 200 kg Fig 320 a Quando o absorvedor é submetido a uma velocidade inicial devido a uma irregularidade no caminho a curva resultante deslocamento x tempo é como a mostrada na Fig 320 b Determinar as constantes de rigidez e amortecimento necessários para o absorvedor se o período de vibração amortecida é 2 seg e a amplitude x1 deve ser reduzida para ¼ em meio ciclo Determinar também a velocidade inicial mínima que produz um deslocamento máximo de 250 mm Solução Inicialmente deve ser determinado o fator de amortecimento ζ que pode ser obtido a partir do decremento logarítmico λ A constante de amortecimento pode então ser obtida A rigidez é determinada através da freqüência da vibração livre amortecida A velocidade inicial é obtida a partir da determinação do tempo correspondente ao máximo deslocamento 77 Figura 3 20 Absorvedor de choque de uma motocicleta Se x15 x14 então o deslocamento x2 correspondente a um período após x1 será x2 x154 x116 O decremento logarítmico é então 2 773 ln16 2 1 ln λ λ x x Através da expressão 246 determinase o fator de amortecimento por 0 404 0 4042 2 2 773 2 2 2 2 ζ π λ π λ ζ A freqüência natural é obtida a partir do período da oscilação amortecida τd 2 seg através da seguinte expressão 78 rd s wn Td wd wn 3 434 0 4042 1 2 2 2 1 2 2 1 π ζ π ζ Sendo meq 200 kg a constante de amortecimento crítico é dada por m N s cc meqwn cc 1374 103 3 434 200 2 2 A constante de rigidez é dada por m N keq meq wn keq 2 358 103 3 4342 200 2 O tempo em que ocorre o máximo deslocamento é o mesmo tempo em que a velocidade se anula A equação da velocidade é obtida diferenciandose a Eq 315 em relação ao tempo resultando ϕ ζ w t sen wd t Xe dt d dt t dx n cos ϕ ϕ ζ ζ wd t wd wn sen wd t w t Xe t x n que será nula se o termo entre colchetes se anular Então temos que ζ ζ ϕ ζ ϕ ϕ ϕ ϕ ζ 2 1 cos 0 cos tg wd t wn wd wd t wd t sen wd t wd n sen wd t w Considerando as Eqs 316 e 317 sendo o deslocamento inicial nulo conseqüentemente φ 0 e X v0 ωd logo s t arctg arctg wd t 0 37 404 0 0 4042 1 1 2 1 1 π ζ ζ 79 e como a solução neste caso é dada por w t sen wd t Xe t x n ζ que atinge seu valor máximo quando sen ωd t 1 no tempo t1 Como este valor máximo é 025 m temse 0 37 3 434 0 404 0 25 max 0 1 0 max 1 e w t e wd x v w t e wd v x n n π ζ ζ m s v 0 131 Exemplo 34 Um ciclista pode ser modelado como um sistema massamolaamortecedor cujos valores são respectivamente 8155 kg 50000 Nm e 1000 Nsm conforme ilustra a Fig 321 O ciclista se encontra com uma velocidade v 18 kmh quando encontra um desnível de 005 m entre os blocos de concreto Determinar o deslocamento vertical do conjunto em função do tempo Figura 321 Movimento vertical do ciclista Solução Da Fig 321 é possível discernir que o ciclista e a bicicleta caem 5 cm no ponto A como um corpo rígido Assim a massa estará sujeita às condições iniciais m x 0 0 05 e x0 0 A freqüência natural do sistema é dada por rd s wn eq m keq wn 2476 8155 50000 80 O valor do fator de amortecimento pode ser encontrado como 0 2476 2476 2 8155 1000 2 ζ ζ meq wn eq c cc ceq Como ζ 1 o sistema é subamortecido Logo a equação do movimento é dada pela Eq 315 ϕ ζ w t sen wd t Xe t x n Portanto devemos obter ainda wd X e φ rd s wd wn wd 2399 0 24762 2476 1 2 1 ζ m X wd v wn x x X 0516 0 2 2399 0 0 05 2476 0 2476 0 05 2 2 0 0 2 0 ζ rd arctg arctg x wn wn arctg x x wn v x wd arctg 132 2476 0 0 24762 1 2 1 0 0 2 1 0 0 0 0 ϕ ϕ ζ ζ ζ ζ ζ ϕ Finalmente substituindo estes valores na equação do movimento escrita anteriormente temse 132 2399 613 0 0516 t t sen e x t 81 Exemplo 35 A Fig 319 mostra uma válvula que controla a vazão de ar em uma tubulação Como entrada é usado ar sob pressão pt 10 sen 8t em psi O diafragma possui área 100 in2 e a mola tem rigidez de 400 lbfin O peso da válvula e da haste é igual a 20 lbf Considerando o peso da mola que vale 15 lbf achar a resposta no tempo da válvula Figura 3xx Válvula de controle de fluxo Solução Primeiramente determinaremos o valor máximo da excitação a partir do valor da pressão e a massa equivalente do sistema como De posse dos valores acima podese calcular o valor da amplitude do deslocamento como Finalmente a resposta do sistema pode ser então escrita como 8 2 5261 t sen x t t Xsen x t ω 82 CAPÍTULO IV MEDIÇÃO DE VIBRAÇÕES 41 Introdução Em engenharia mecânica uma das principais aplicações das vibrações está na manutenção de máquinas e equipamentos A existência de vibrações em máquinas e equipamentos é geralmente uma indicação de mal funcionamento A manutenção preditiva tem como um dos seus pilares a análise qualitativa e quantitativa das vibrações Basicamente o estudo das vibrações requer três passos básicos a medição da vibração a análise do sinal vibratório medido e o controle da vibração A análise das vibrações exige que as mesmas sejam perfeitamente identificadas Isto acontece por meio de um processo de medição É extremamente importante a correta medição da vibração para que o processo de análise e a conseqüente correção não sejam comprometidos A medição serve então para assegurar o bom funcionamento de uma máquina confirmar suposições teóricas auxiliar no projeto e operação de sistemas de isolamento ativos identificação de sistemas através da medição de variáveis de entrada e saída informação de vibrações originadas por terremotos ação de turbulência fluida ação de vento em estruturas irregularidades de vias e no acompanhamento do estado de máquinas no processo da manutenção preditiva O processo de medição ilustrado na Fig 41 parte da identificação de uma característica do fenômeno vibratório que possa ser medida geralmente uma variável mecânica deslocamento velocidade aceleração ou força O elemento que entra em contato com a máquina para medir esta variável é o transdutor que cumpre a função de converter o sinal mecânico em um sinal elétrico corrente elétrica que é amplificado e convertido em um sinal digital ou mostrado em um display O sinal digital pode ser armazenado em um computador Ainda antes de sofrer a conversão para digital o sinal pode ser gravado em um gravador especial Após armazenados os dados estão disponíveis para a análise 83 Figura 41 Esquema básico de medição de vibrações Uma das aplicações mais freqüentes da medição de vibração se dá quando se pretende determinar as características de ressonância de um determinado sistema A Fig 42 apresenta um esquema em que se ilustra a utilização de instrumentos para determinação de características dinâmicas de uma máquina Nela um gerador de função manda a informação para um shaker vibrador eletrodinâmico ou eletrohidráulico produzindo uma vibração com características previamente definidas A vibração gerada é analisada através de metodologia adequada a fim de determinar as características desejadas do sistema Figra 42 Esquema de medição para identificação de ressonância 42 Escolha do Instrumento de Medição Alguns aspectos devem ser considerados quando se escolhe o instrumento de medição São eles 84 1 Faixa de frequências e amplitudes Um dos principais parâmetros determinantes da escolha do instrumento adequado é a faixa de freqüências Em baixas freqüências a amplitude de deslocamento normalmente é alta o que faz com que os vibrômetros sejam adequados para medir as vibrações Já em altas freqüências as amplitudes de deslocamento são baixas e as amplitudes da aceleração são altas fazendo com que os acelerômetros apresentem maior sensibilidade Os medidores de velocidade são de aplicação geral pois apresentam desempenho razoável tanto em baixa como em alta freqüência Os medidores de velocidade são também largamente utilizados por serem de fácil e barata construção Cada instrumento pode ter suas características adequadas projeto para medir faixas específicas de amplitudes e freqüências 2 Tamanho da máquina ou estrutura Os tamanhos de máquinas e estruturas são importantes pois instrumentos que possuam grandes massas comparativamente às dos objetos de medição podem influir na medição das vibrações medidas distorcendoas 3 Condição de operação da máquina Condições de funcionamento severas experimentadas por máquinas que operam em ambientes corrosivos ou abrasivos por exemplo podem impedir que instrumentos sofisticados sejam utilizados É importante que os instrumentos não sejam danificados no ato da medição pois isto pode também distorcer os valores medidos 4 Tipo de análise dos dados A forma com que os dados gerados serão analisados é fundamental para a escolha do instrumento de medição Vários detalhes no processo de medição estão condicionados pela análise que será realizada Isto pode fazer com que determinado instrumento possa ser escolhido preterindose outro mais sofisticado por apresentar os dados de uma forma mais apropriada para a análise pretendida 43 Transdutores Os transdutores como foi dito acima transformam variáveis físicas em sinais elétricos equivalentes Os tipos de transdutores dependem fundamentalmente da variável 85 que os mesmos transformam São apresentados nesta seção os principais tipos de transdutores e o seu princípio de funcionamento 431 Transdutores Piezelétricos Transdutores piezelétricos são aqueles que utilizam materiais naturais ou artificiais como quartzo turmalina sulfato de lítio e sal de Rochelle que geram carga elétrica quando submetidos a uma deformação esta é chamada de propriedade piezelétrica A carga elétrica gerada no cristal devida a uma força Fx é dada por K p A px K p Fx Qx 41 em que Kp é chamada de constante piezoelétrica 225x1012 CN para o quartzo quando a maior face está ao longo do eixo x do cristal Fig 43 A é a área em que atua a força Fx e px é a pressão devida à mesma força A voltagem de saída do cristal é v t px E 42 é a sensibilidade de voltagem 0055 vmN para o quartzo também quando a maior face está ao longo do eixo x do cristal Fig 43 e t a espessura do cristal Figura 46 Acelerômetro piezelétrico 86 A Fig 43 b mostra o esquema de um acelerômetro piezelétrico Uma pequena massa é pressionada contra um cristal piezelétrico por meio de uma mola Quando a base vibra a carga exercida pela massa sobre o cristal varia com a aceleração e portanto a voltagem de saída gerada pelo cristal será proporcional à aceleração Os acelerômetros piezelétricos são compactos resistentes com alta sensibilidade e utilizáveis em altas faixas de freqüência 432 Transdutores Eletrodinâmicos Quando um condutor elétrico na forma de um solenóide se move em um campo magnético produzido por um imã permanente ou por um eletroimã como mostra a Fig 44 é gerada uma voltagem V neste mesmo condutor dada por D l v V 43 onde D é a densidade de fluxo magnético em Teslas l é o comprimento do condutor em metros e v é a velocidade do condutor em relação ao campo magnético em ms Em virtude da proporcionalidade entre a velocidade relativa entre imã e solenóide e a voltagem de saída os transdutores eletromagnéticos são freqüentemente utilizados em sensores de velocidade A Eq 43 pode ser escrita na forma i F v V D l 44 em que F é a força que age sobre o solenóide quando pelo mesmo passa uma corrente i Desta forma este tipo de transdutor pode também ser utilizado como um excitador de vibrações a partir de uma corrente elétrica introduzida gerase uma força mecânica 433 Transformador Diferencial Linear Variável LVDT A Fig 45 mostra um LVDT que é um transdutor que transforma deslocamento em voltagem elétrica Consiste de um enrolamento primário no centro dois enrolamentos 87 secundários nas extremidades e um núcleo magnético que se move livremente dentro dos enrolamentos na direção axial Quando uma corrente alternada é aplicada no enrolamento primário a voltagem de saída é igual à diferença entre as voltagens induzidas nos enrolamentos secundários Esta voltagem depende do acoplamento magnético entre os enrolamentos e o núcleo que por sua vez depende do deslocamento axial do núcleo Os enrolamentos secundários estão conectados em oposição de fase de forma que quando o núcleo magnético está exatamente na sua posição média as voltagens nos dois enrolamentos serão iguais e em oposição de fase Isto faz com que a voltagem de saída do LVDT seja zero Quando o núcleo é movido para qualquer lado o acoplamento magnético será aumentado em um enrolamento e diminuído no outro A polaridade da saída depende portanto do sentido do movimento do núcleo magnético Figura 44 Trandutor eletrodinâmico Figura 45 Transformador Diferencial Linear Variável LVDT Os LVDTs disponíveis no mercado abrangem faixas de deslocamento entre 00002 cm a 40 cm o que os torna de ampla aplicabilidade Estes transdutores não sofrem influência de variações de temperatura mas têm limitação em altas freqüências por possuírem o núcleo magnético Desde que o núcleo não se mova demasiadamente do centro do enrolamento primário a voltagem de saída varia linearmente com o deslocamento do núcleo originando se o nome de transformador diferencial variável linear 88 44 Sensores de Vibração Pickups Um sensor de vibração é um instrumento constituído de um mecanismo medidor associado a um transdutor A Fig 69 apresenta um instrumento sísmico montado em um corpo vibratório O movimento vibratório é medido achandose o deslocamento da massa em relação à base na qual é montado Figura 46 Instrumento sísmico O instrumento consiste de uma massa m uma mola de rigidez k e de um amortecedor de constante de amortecimento c colocados dentro de uma caixa que é ligada ao elemento vibratório Com este arranjo as extremidades da mola e do amortecedor executarão o mesmo movimento que a caixa movimento y e a sua vibração excita a massa dentro da caixa O movimento da massa em relação à caixa é z x y em que x é o movimento absoluto da massa m Assumese que o movimento vibratório é harmônico possuindo a forma t Y sen y t ω 45 A equação do movimento da massa m pode ser escrita como 0 y k x y c x mx 46 89 Definindo o movimento relativo como z x y a Eq 46 é escrita como my kz cz mz 47 e as Eq 45 e 47 conduzem a 2 t sen mY kz cz mz ω ω 48 Esta equação é idêntica à Eq 325 e a solução de regime é φ ω t Z sen z t 49 onde Z e Φ são dados por 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 r r Y r Z c m k Y Z ζ ω ω ω 410 2 1 2 2 r r arctg m k c arctg ζ φ ω ω φ 411 As Figuras 47 e 48 mostram as curvas correspondentes às Eqs 410 e 411 respectivamente O tipo de instrumento é determinado pela faixa mais adequada de freqüências da curva mostrada na Fig 47 441 Vibrômetro Um vibrômetro também chamado de sismômetro é um instrumento que mede o deslocamento de um corpo vibratório A Fig 47 mostra que Z Y 1 para ω wn 3 Nesta faixa de freqüências a amplitude do deslocamento relativo entre a massa e a base é igual à amplitude do deslocamento da base Este deslocamento é identificado pelo transdutor Para uma análise exata consideremos a Eq 410 Para esta faixa de freqüências podese escrever 90 φ ω t Y sen z t 412 se 1 2 2 2 2 1 2 r r r ζ 413 Figura 47 Resposta de um instrumento sísmico Figura 48 Ângulo de fase Uma comparação da Eq 412 com 45 mostra que zt representa diretamente o deslocamento yt com uma defasagem dada por Φ O deslocamento registrado zt então está atrasado tφ φ ϖ em relação ao deslocamento que deve ser medido yt Este tempo de atraso não é importante se o deslocamento da base yt consiste de um único componente harmônico Como wn r ω deve ser grande e ω depende da vibração medida a freqüência natural do sistema massamolaamortecedor deve ser baixa Isto implica em que a massa deve ser grande e a mola deve possuir uma rigidez baixa O instrumento resultante pode ser demasiado grande e pesado 91 442 Acelerômetro Um acelerômetro é um instrumento que mede a aceleração de um corpo vibratório Fig 49 Os acelerômetros são amplamente utilizados em medições de vibrações industriais e terremotos Uma das vantagens da medição da aceleração é que a velocidade e o deslocamento podem ser obtidos por integração o que é computacionalmente fácil A Eq 49 combinada com 410 pode ser escrita na forma 2 2 2 2 2 1 1 2 φ ω ω ζ t Ysen r r wn z t 414 e se 1 2 2 2 2 1 1 r r ζ 415 leva a 2 2 φ ω ω t Ysen wn z t 416 Figura 49 Acelerômetros 92 Como a segunda derivada em relação ao tempo de 45 é dada por 2 φ ω ω t Ysen y t 417 a amplitude da função harmônica expressa na Eq 416 é igual à da Eq 417 Então nestas condições o deslocamento relativo zt expressa a aceleração da base com o sinal invertido ou seja com um atraso que é função do ângulo de fase Φ e com um fator de escala determinado pela freqüência natural ao quadrado A Fig 410 mostra o gráfico da expressão 415 Podese observar que a função assume valores entre 096 e 104 para 60 0 r se o fator de amortecimento é da ordem de 065 a 07 produzindo a melhor faixa linear de funcionamento do instrumento Como a relação de freqüências r é pequena a freqüência natural do instrumento deve ser grande em comparação com a freqüência que deve ser medida Desta maneira os acelerômetros devem possuir massa pequena e grande rigidez o que permite a construção de instrumentos compactos e resistentes com alta sensibilidade Na prática são os melhores instrumentos para se medir vibrações tendo contra si apenas o custo que em virtude da necessidade de se utilizar um elemento piezelétrico e amplificadores além da tecnologia construtiva é maior que o custo de outros instrumentos de construção mais simples Figura 410 Curvas de linearidade do acelerômetro 93 443 Sensor de Velocidade Este sensor mede a velocidade do corpo vibratório Derivando a Eq 45 obtémse a velocidade do corpo vibratório como cos t Y y t ω ω 418 e a derivada da Eq 49 considerando a Eq 410 leva a cos 2 2 2 2 1 2 φ ω ζ ω t r r Y r z t 419 Se a Eq 413 é satisfeita então 419 tornase cos φ ω ω t Y z t 420 que comparada com a Eq 418 mostra que a velocidade do movimento relativo é igual à velocidade do movimento da base com um atraso determinado pelo ângulo de fase Como nesta situação o valor de r deve ser grande o instrumento deve possuir uma freqüência natural baixa Os sensores de velocidade são largamente utilizados em medição de vibração na manutenção em indústrias porque são normalmente de baixo custo por serem de fácil construção transdutores eletromagnéticos 45 Medidores de Freqüência A maior parte dos medidores de freqüência são mecânicos e baseados no princípio da ressonância Entretanto no campo das medições de vibração é muito comum o uso do estroboscópio principalmente no balanceamento de campo que é um instrumento elétrico e que será apresentado a seguir 94 451 Estroboscópio Um estroboscópio é um instrumento que produz pulsos luminosos intermitentes A freqüência com que a luz pulsa pode ser alterada e lida no instrumento Quando um ponto específico do objeto vibratório é observado através do estroboscópio este parece parado se a freqüência dos pulsos luminosos coincidir com a freqüência da vibração O estroboscópio é especialmente indicado para corpos rotativos uma vez que neste caso não é necessário o contato do instrumento com o elemento vibratório Devido à persistência da visão e menor freqüência que pode ser medida com um estroboscópio é de aproximadamente 15 Hz A Fig 411 mostra um estroboscópio típico Figura 411 Estroboscópio 46 Excitadores de Vibrações Conhecidos em laboratórios como shakers ou mais popularmente como vibradores são normalmente transdutores que funcionam na forma inversa dos medidores transformam uma grandeza elétrica em uma grandeza mecânica São utilizados para provocar vibração em um sistema com amplitude e freqüência controladas e com isto 95 determinar as características dinâmicas dos mesmos sistemas e realizar testes de fadiga em materiais Podem ser mecânicos eletromagnéticos eletrodinâmicos ou hidráulicos 461 Excitadores Mecânicos A Fig 412 ilustra a aplicação de transdutores mecânicos Constituise de um mecanismo bielamanivela que pode ser utilizado para aplicar na estrutura uma força de inércia harmônica Fig 412 a ou uma força elástica harmônica Fig 412 b São normalmente usados para produzir vibração de baixa freqüência até 30 Hz e pequenas cargas até 700 N Figura 412 Excitadores mecânicos Outro tipo de excitador mecânico mostrado na Fig 413 produz vibração originada pela força centrífuga criada por duas massas excêntricas girando com a mesma velocidade de rotação em sentidos opostos Este tipo de excitador pode gerar cargas de 250 N a 25000 N Se as duas massas m girando com velocidade angular ω com uma excentricidade R a força vertical gerada é 2cos 2 t m R F t ω ω 421 96 As componentes horizontais das duas massas se cancelam A força Ft será aplicada à estrutura em que o excitador for fixado Figura 413 Excitador de vibração de massas excêntricas 462 Excitador Eletrodinâmico O excitador eletrodinâmico ilustrado na Fig 414 funciona de forma inversa ao transdutor eletrodinâmico Quando a corrente elétrica passa em um enrolamento de comprimento l imerso em um campo magnético é gerada uma força F proporcional à corrente i e à intensidade de fluxo magnético D acelerando a base do excitador D l i F 422 O campo magnético é produzido por um imã permanente em excitadores pequenos e por um eletroimã em grandes excitadores A magnitude da aceleração da mesa depende da corrente máxima e das massas da mesa e do elemento móvel do excitador Se a corrente que passa no enrolamento varia harmonicamente corrente alternada a força produzida também varia harmonicamente Por outro lado se for utilizada uma corrente contínua será gerada uma força constante Os excitadores eletrodinâmicos também podem ser utilizados com uma inércia ou uma mola para fazer vibrar a estrutura como nos casos da Fig 412 97 Figura 414 Excitador eletrodinâmico e características Figura 415 Excitador eletrodinâmico Como o enrolamento e o elemento móvel devem executar um movimento linear devem ser suspensos por um suporte flexível com uma rigidez pequena como mostra a Fig 414 a Então o excitador eletromagnético possui duas freqüências naturais uma correspondente à freqüência natural do suporte flexível e a outra correspondente à freqüência natural do elemento móvel que pode ser tornada bastante grande Estas duas freqüências de ressonância são mostradas na Fig 418 b A faixa de freqüências de operação do excitador deve ficar entre estas duas freqüências de ressonância Os excitadores eletrodinâmicos são usados para gerar forças até 30 kN deslocamentos até 25 mm e freqüências na faixa entre 5 Hz a 20 kHz A Fig 415 mostra uma foto de um excitador eletrodinâmico utilizado na prática 98 CAPÍTULO V BALANCEAMENTO DE ROTORES 51 Introdução Uma fonte comum de esforços dinâmicos em máquinas rotativas responsável pela geração de vibração é o desbalanceamento provocado por alguns desequilíbrios de massa devido a causas inevitáveis como assimetrias tolerâncias dimensionais desvios de forma imperfeições da matéria prima e da montagem Qualquer uma destas causas ou uma combinação delas irá destruir a condição de perfeita distribuição de massa em torno do eixo de rotação do rotor gerando desbalanceamento Cada erro de massa que ocorre em um rotor provoca mudança de posição do centro de gravidade da secção transversal que contém o erro A somatória destes desvios é o afastamento do eixo principal de inércia EPI do eixo de rotação ER ou seja a massa do rotor não estará perfeitamente distribuída ao redor do eixo de rotação conforme pode ser observado na Fig 51 o que leva ao aparecimento de forças eou momentos de inércia que são responsáveis pela excitação do rotor e a conseqüente vibração resultante Figura 51 Discrepância entre ER e EPI O balanceamento consiste na técnica de correção ou eliminação das excitações de inércia indesejáveis Ele é o respaldo o toque final de todo bom projeto e assume um papel importante na linha de fabricação de elementos que giram bem como na atividade de manutenção de máquinas rotativas 99 Neste curso trataremos especificamente do balanceamento rotativo de rotores rígidos apresentando as técnicas usadas para a determinação do desbalanceamento e a aplicação das suas correções bem como apresentaremos a norma internacional que recomenda a qualidade de balanceamento para cada caso 52 Efeitos e Tipos de Desbalanceamento Os erros inevitáveis de massa em um rotor podem ser descritos por uma massa concentrada ponto pesado em pontos fora do centro de rotação da secção reta que contém o erro Assim existirão pontos pesados distribuídos de forma aleatória ao longo do comprimento do rotor Cada ponto pesado gera uma força dinâmica radial e a combinação mútua de todas estas forças associando suas intensidades direções e distancias fazem aparecer uma resultante radial em cada mancal como pode ser visualizado na Fig 52 que mostra a formação das resultantes do desbalanceamento em um rotor com 4 pontos pesados Fica nítido nesta figura que a posição relativa das forças é constante girando com o rotor o que faz com que os esforços resultantes nos mancais girem solidários com o rotor As intensidades destas resultantes são constantes suas direções são radiais e suas posições angulares podem ser referenciadas a partir de um marco característico no próprio rotor Nesta situação temse então determinadas as duas resultantes dos pontos pesados que o rotor aplica no mancal Figura 52 Combinação de forças de desbalanceamento 100 As resultantes R1 e R2 atuam sobre os mancais e representam o efeito do desbalanceamento de todo o rotor Elas são conseqüências de um conjunto de forças centrífugas e agem em planos distintos podendo seus módulos e direções serem quaisquer iguais ou não Como os módulos e direções de R1 e R2 podem ser quaisquer duas situações características podem ser imaginadas as quais representam casos limites para rotores simétricos Primeiro Caso os pontos pesados estão distribuídos uniformemente em uma linha paralela ao eixo de rotação O eixo principal de inércia EPI estará paralelo ao eixo de rotação ER e as duas resultantes serão iguais em módulo e direção Segundo Caso os pontos pesados estão divididos igualmente parte concentrados em uma extremidade e parte concentrados na outra extremidade mas no lado diametralmente oposto O EPI estará inclinado em relação ao ER cruzando com este exatamente no centro de Gravidade CG do rotor As duas resultantes terão módulos iguais e direções defasadas de 180 Um rotor enquadrado no primeiro caso apresentará em movimento uma tendência de vibração em órbita circular em fase nas duas extremidades Porém se for do tipo do segundo caso o movimento orbital das duas extremidades serão também circulares mas defasados de 180 Estes dois casos limites são mostrados na Fig 53 Figura 53 Casos limites relação entre EPI e R1 e R2 101 Estas situações limites representam dois tipos distintos de desbalanceamento Os rotores inseridos no primeiro caso apresentam um Desbalanceamento Estático pois devido apresentarem uma resultante não nula quando parados terão a ação de uma força gravitacional tentando girar o rotor colocando o lado pesado para baixo Por outro lado os rotores que estão agrupados no segundo caso apresentam uma resultante nula e os efeitos do desbalanceamento só aparecem com o rotor em rotação devido um momento resultante não nulo provocado pelas forças centrífugas e são ditos ter um Desbalanceamento Dinâmico A grande maioria dos rotores apresentam um efeito combinado destes dois casos limites ou seja o desbalanceamento é a soma de uma parcela puramente estática com outra puramente dinâmica Entretanto em rotores com diâmetro muito maior que seu comprimento serra circular polias engrenagens alguns ventiladores etc a parcela dinâmica do desbalanceamento pode ser negligenciada se a rotação de trabalho não for alta 53 Rotores Rígidos e Rotores Flexíveis Foi dito anteriormente que os pontos pesados geram forças centrífugas na rotação do rotor e que estas forças se somam vetorialmente produzindo as resultantes R1 e R2 Entretanto nos moldes em que isto foi colocado é necessário que os planos radiais que contêm cada uma das forças centrífugas permaneçam imóveis uns em relação aos outros Isto impõe a condição de ser o rotor rígido ou seja suas deformações elásticas que ocorrem em serviço não são suficientes para influenciar significativamente as resultantes R1 e R2 do desbalanceamento O conceito de rigidez do rotor é bastante complexo e engloba inclusive a relação entre a flexibilidade do conjunto rotoreixo e a dos mancais Quanto maior a flexibilidade dos mancais mais o rotor pode ser considerado rígido A Fig 54 mostra em escala exagerada as deformações de um rotor flexível e sua transformação em rotor rígido com o aumento da flexibilidade dos mancais Devese ressaltar que os métodos e técnicas de determinação e correção do desbalanceamento a serem apresentados neste curso só se aplicam aos rotores rígidos 102 Figura 54 Efeito da flexibilidade dos mancais 54 Fundamentos Teóricos O tipo de esforço devido ao desbalanceamento ocorre freqüentemente nas máquinas e merece nossa atenção especial Os resultados desta espécie de esforço são particularmente interessantes porque a magnitude da força depende da velocidade de rotação da máquina Tal esforço pode aparecer devido ao fato das peças rotativas giram em torno de um eixo não coincidente com o centro de massa O equacionamento do problema de desbalanceamento rotativo pode ser obtido tendo por base o modelo esquemático apresentado na Fig 55 Figura 55 Modelo físico para o desbalanceamento rotativo 103 Uma massa desbalanceada m tendo uma excentricidade e está girando com ω A máquina é ligada ao solo por meio de amortecedor e mola e apresenta uma massa total M que inclui a massa desbalanceada A magnitude da força é meω2 e este vetor força gira com velocidade angular ω Ambas as componentes destas forças horizontal e vertical são importantes mas aqui consideraremos um sistema com um grau de liberdade e devido a esta premissa trataremos apenas com a componente vertical A equação diferencial que descreve o movimento é dada por 2 t sen m e kx cx Mx ω ω 51 A solução da Eq51 é dada por φ ω t X sen x t 52 onde X e φ são respectivamente a amplitude e a fase da vibração forçada dados por 2 2 2 ω ω ω c M k m e X 53 2 ω ω φ M k c arctg 54 A Eq53 permite estabelecer que a amplitude da vibração é diretamente proporcional ao desbalanceamento me e devido a isto é possível se determinar o desbalanceamento de um rotor pela medição de vibração É com base neste fundamento que as máquinas rotativas de balanceamento estático e dinâmico funcionam e é estabelecida a técnica de balanceamento de campo muito usada por equipes de manutenção de máquinas as quais serão posteriormente apresentadas 104 55 Balanceamento de Campo Estático e Dinâmico A melhor qualidade de balanceamento é conseguida com a balanceadora dinâmica Com ela podese garantir a vida útil especificada para rolamentos e outras partes Todos os rotores novos ou recém concertados devem passar por uma balanceadora Na montagem das máquinas o rotor é conectado a acoplamentos polias etc que mesmo balanceados podem introduzir desbalanceamento no conjunto pela não concentricidade Isto exige um balanceamento para corrigir o erro introduzido Por outro lado durante o serviço do rotor sempre ocorrem em maior ou menor grau acomodamento plástico incrustações abrasões corrosão e outras coisas que destroem a perfeição da distribuição de massa gerando desbalanceamento Para corrigir os problemas de montagem os técnicos dispões dos procedimentos de balanceamento de campo que permite que a máquina seja balanceada sem necessidade de transporte demora etc Pela simplicidade o balanceamento de campo é aplicado aos próprios rotores corrigindo os efeitos de serviço mesmo sabendose que não se alcançará a qualidade dada pela balanceadora O balanceamento de campo pode ser estático um plano ou dinâmico dois ou mais planos e o equipamento necessário é composto de transdutor de sinal acelerômetro ou vibrômetro amplificador filtro indicador e sensor de fase No processo de balanceamento de campo o procedimento de correção do desbalanceamento é executado a partir da medição de vibração no mancal da máquina que se quer balancear Assim é preciso garantir que a vibração medida seja realmente devido ao desbalanceamento e devido a isto em alguns casos se torna necessário filtrar o sinal de vibração medido para que se elimine as vibrações de outras origens A força resultante dos pontos pesados do rotor cria uma vibração senoidal predominantemente radial O sistema mecânico rotoreixomancais estruturas caracterizam a resposta vibratória de forma individual modulando a amplitude e inserindo um atraso ou defasagem na resposta É preciso aplicar um método de calibração para determinar com exatidão 105 a proporção entre o tamanho da vibração e o desbalanceamento existente a relação entre a fase medida e a posição angular do ponto pesado 551 Balanceamento Estático de Campo Para se executar o balanceamento estático é necessário que se crie um novo centro de gravidade para o rotor que deverá estar localizado sobre o eixo de giração Isso é feito pela adição ou remoção de uma massa ao sistema Essa massa deve ser colocada em uma linha que passa através do centro de gravidade original do rotor e que seja perpendicular ao eixo de giração 5511 Balanceamento Estático com Medição de Fase Seja o arranjo da Fig 56 em que se observa um rotor de um ventilador que se deseja balancear estaticamente e um conjunto de medição de vibração constituído de sensor amplificador e lâmpada estroboscópica que permite a determinação da amplitude e fase da vibração induzida por desbalanceamento Figura 59 Montagem para balanceamento de campo 106 O procedimento a ser seguido para possibilitar a correção é o seguinte Coloque o ventilador em funcionamento e meça a vibração na freqüência de rotação em módulo e fase O valor medido é a vibração original do rotor devido ao desbalanceamento aqui denominada de V0 Desligue o conjunto de acionamento e fixe uma massa de teste em uma posição qualquer do rotor se possível próximo ao plano de maior massa do rotor Esta massa de teste não deve ser grande ela depende da massa do rotor e da rotação Ela deverá provocar um desbalanceamento de 5 a 10 vezes ao desbalanceamento residual permissível Acione novamente o conjunto e meça novamente a vibração em módulo V1 e fase F1 O novo valor medido é a vibração devido ao desbalanceamento original e aquele provocado pela massa de teste adicionada no rotor e será aqui denominado de V1 Determine a diferença vetorial entre V0 e V1 ou seja determine a contribuição da massa de teste através de V0 1 V Vef 55 Importante lembrar que a Eq5 é uma equação vetorial Portanto o módulo de Vef e o ângulo α que deverá ser usado para fixar a massa final de balanceamento podem ser determinados respectivamente através das leis do coseno e do seno aplicadas a um triângulo qualquer tendo por base a Fig 510 2V1V0cos β 2 V1 2 V0 Vef 56 sen β Vef 1 V arc sen α 57 onde β F1 F0 107 1 retire a massa de teste mt do rotor e fixe a nova massa de correção mc cujo valor é determinado pela equação apresentada abaixo na nova posição determinada pelo ângulo α Vef V0 mt mc 58 2 Finalmente é importante ressaltar que a rotação de funcionamento do conjunto deve ser a mesma em todas as etapas descritas anteriormente e a distância radial de fixação da massa de correção deverá ser igual àquela usada para fixar a massa de teste Figura 510 Seqüência gráfica do balanceamento estático com medição de fase É comum o erro de posicionamento da massa de correção devido à dúvida do operador quanto ao sentido de giro a partir da massa de teste Assim de modo a se evitar o erro a Fig 511 mostra de forma clara o sentido de rotação que fica perfeitamente determinado a partir das fases dos vetores V0 e V1 Nesta figura temos duas situações 108 1 Se F0 F1 posicionar a massa de correção na posição definida pelo giro correspondente ao ângulo α com início na posição da massa de teste no sentido contrário ao de rotação do rotor 2 Se F0 F1 posicionar a massa de correção na posição definida pelo giro correspondente ao ângulo α com início na posição da massa de teste no mesmo sentido de rotação do rotor Figura 11 Posicionamento correto da massa de correção 5512 Balanceamento Estático sem Medição de Fase Quando não se dispõe de equipamentos com medida de fase e é necessário se fazer o balanceamento estático podese usar o método dos três pontos que apesar de apresentar uma boa precisão permite que se amenize bem o problema de desbalanceamento O método dos três pontos tem o seguinte procedimento Gire o rotor e meça o módulo da vibração devida ao desbalanceamento este valor é V0 Pare o rotor e marque três posições separadas por um ângulo de 120 Coloque a massa de teste na posição 1 e em uma distância radial 109 conveniente para as três posições Gire o rotor e meça o módulo da nova vibração este valor é V1 Retire a massa de teste da posição 1 e a coloque na posição 2 na mesma distância anterior Gire o rotor e meça o módulo da nova vibração este valor é V2 Retire a massa de teste da posição 2 e a coloque na posição 3 na mesma distância radial Gire o rotor e meça a nova vibração este valor é V3 De posse dos valores de V0 V1 V2 e V3 podese obter o valor de Vef de modo gráfico como segue Fig 512 Escolha uma escala conveniente e desenhe um circulo de raio V0 Marque os pontos 1 2 e 3 tal como no rotor Pelo ponto 1 trace um arco de círculo com raio V1 Repita o procedimento do item anterior nos pontos 2 e 3 com os raios V2 e V3 respectivamente Figura 512 Esquema para balanceamento em três pontos 110 Localize uma pequena região limitada pelos três arcos de círculos Una o centro do círculo com o centro da região fechada linha R Meça o tamanho do segmento desta linha o qual corresponde ao módulo de Vef Finalmente determine o valor da massa de correção pela Eq 58 e para efetivar o balanceamento retire a massa de teste e fixe a massa de correção na posição em que a linha R corta o círculo 552 Balanceamento Dinâmico de Campo O balanceamento estático move o centro de gravidade para um ponto comum aos eixos de giração e inércial Entretanto esses dois eixos podem não coincidirem em toda a extensão do rotor Nesse caso o balanceamento estático foi obtido uma vez que a soma das forças inérciais é nula mas dinamicamente o rotor está desbalanceado uma vez que existe a ação de um momento inércial sobre os mancais que causa o aparecimento de vibração Para que seja obtido o balanceamento dinâmico há a necessidade de se promover uma rotação do eixo principal de inércia do rotor de modo a fazêlo coincidir com o eixo de rotação Assim é preciso a utilização de dois planos de balanceamento um a cada lado do centro de gravidade do rotor onde deverão ser posicionadas massas de correção Teoricamente as posições dos planos que receberão as massas não são importantes mas na prática elas o são pois usualmente quanto mais afastado do CG esses planos estiverem melhor serão os resultados e daí se usar os planos que correspondem as extremidades do rotor Embora o balanceamento dinâmico possa ser na prática obtido através do procedimento de balanceamento estático em um plano e em seguida no outro plano tornando a se aplicar no primeiro plano em virtude da necessidade de correção do efeito cruzado ou seja o efeito em um plano provocado pela colocação da massa no outro plano isto pode ser um processo demorado e para alguns equipamentos proibitivo devido aos problemas de aquecimento 111 provocado pelo número de partidas do equipamento durante a correção do desbalanceamento Assim a seguir apresentaremos um procedimento de balanceamento em dois planos levandose em conta o efeito cruzado A notação usada a seguir representa o vetor completo ou seja módulo e fase bem como o plano no qual as medidas de vibração foram efetuadas e o plano em que a massa de teste foi fixada Assim V10 representa um nível de vibração módulo e fase medido no plano 1 sem massa de teste fixada no rotor índice 0 V12 representa um nível de vibração no plano 1 com a massa de teste fixada no plano 2 e assim por diante A Fig 513 mostra o rotor a ser balanceado bem como os planos de correção já com as marcas dos ângulos de 0 a 360 O procedimento de balanceamento segue as seguintes etapas Figura 513 Rotor a ser balanceado dinamicamente 1 Fazemse as medidas de vibração para os dois planos devido ao desbalanceamento original obtendose Plano 1 V10 vibração no plano 1 devido o desbalanceamento original Plano 2 V20 vibração no plano 2 devido o desbalanceamento original 112 2 Fazemse as medições de vibrações com a massa de teste mt1 colocada no plano 1 obtendose Leitura no Plano 1 Plano 1 V11 vibração no plano 1 devido a massa de teste no plano 1 Plano 2 V21 vibração no plano 2 devido a massa de teste no plano 1 Note que V11 V10 e V21 V20 representam respectivamente os efeitos ou influências da massa de teste colocada no plano 1 sobre os planos 1 e 2 3 Fazemse as medições de vibrações com a massa de teste mt2 colocada no plano 1 a massa de teste fixada no plano 1 deve ser retirada obtendose 113 Plano 1 V12 vibração no plano 1 devido a massa de teste no plano 2 Plano 2 V22 vibração no plano 2 devido a massa de teste no plano 2 Note que V12 V10 e V22 V20 representam respectivamente os efeitos ou influências da massa de teste colocada no plano 2 sobre os planos 1 e 2 A Fig 514 mostra o Plano 1 com a vibração correspondente ao desbalanceamento original juntamente com os efeitos das massas de teste mt1 e mt2 sobre esse plano Portanto a partir desta figura podese visualizar o efeito resultante R1 das duas massas de teste sobre o plano 1 Se R1 V10 0 ou seja R1 V10 as massas de teste balanceariam esse plano isto é elas anulariam o efeito do desbalanceamento original sobre o plano 1 Figura 514 Efeito resultante sobre o plano 1 das massas de teste Pela Fig 514 é evidente que o equilíbrio não aconteceu Assim para que o a condição de equilíbrio seja atendida é necessário mudar os valores de mt1 e mt2 bem como 114 suas respectivas posições Dessa maneira os efeitos V11 V10 e V12 V10 deverão variar de tal maneira que a soma deles seja igual a V10 Para impor essa condição utilizamse dois operadores vetoriais Q1 e Q2 de tal forma que 10 V 10 V 12 Q2V 10 V 11 Q1V 59 A Fig 515 mostra o Plano 2 com a vibração correspondente ao desbalanceamento original juntamente com os efeitos das massas de teste mt1 e mt2 sobre esse plano Portanto a partir desta figura podese visualizar o efeito resultante R2 das duas massas de teste sobre o plano 2 Se R2 V20 0 ou seja R2 V20 as massas de teste balanceariam esse plano isto é elas anulariam o efeito do desbalanceamento original sobre o plano 2 Figura 515 Efeito resultante sobre o plano 2 das massas de teste Pela Fig 515 é evidente que o equilíbrio não aconteceu Assim para que o a condição de equilíbrio seja atendida é necessário mudar os valores de mt1 e mt2 bem como suas respectivas posições Dessa maneira os efeitos V21 V20 e V22 V20 deverão variar de tal maneira que a soma deles seja igual a V20 Para impor essa condição utilizamse dois operadores vetoriais Q1 e Q2 de tal forma que 115 V20 V20 Q2V22 V20 Q1V21 510 Deve ficar claro que os valores de Q1 e Q2 nas Eq 59 e 510 são os mesmos uma vez que a massa de teste colocada em um dos planos afeta evidentemente as medições nos dois planos ou seja existe o efeito cruzado Assim estamos de frente de um sistema de equações vetoriais com duas incógnitas Estas equações podem ser resolvidas obedecendose as regras de operações com números complexos para Q1 e Q2 Resolvendo para Q2 temos 10 V 11 V20V V22 10 V 12 V20V 21 V V20 10V21 V 10 V 11 V20V Q2 511 Para Q1 temos V10 11 V V10 12 Q2V V10 Q1 512 Uma vez obtidos Q1 Q1 e γ1 e Q2 Q2 e γ2 as massas de correção são calculadas por 1 1 1 Q mt mc colocada a γ1 graus da posição de mt1 no sentido de rotação 2 2 2 Q mt mc colocada a γ2 graus da posição de mt2 no sentido de rotação 56 Avaliação do Desbalanceamento O desbalanceamento de um rotor provoca na máquina tensões mecânicas e vibrações cada uma delas com suas conseqüências sempre más As tensões mecânicas não são vistas ou sentidas pelo operador que somente verão seus efeitos quando estes acontecerem As vibrações porém dão informações imediatas do desbalanceamento 116 permitindo ao usuário com critério a atitude corretiva A medida de vibração permite avaliar o grau de desbalanceamento do rotor Infelizmente existem outras fontes de vibração nas máquinas o que confunde a avaliação Contudo vários pesquisadores dedicaram muito esforço e estabeleceram vários critérios válidos para avaliar as vibrações das máquinas incluindo o desbalanceamento Se o balanceamento é feito em máquinas balanceadoras o desbalanceamento residual em g x mm é obedecido e a vibração resultante estará sempre baixa Entretanto no balanceamento de campo não é possível quantificar o desbalanceamento residual e a vibração resultante poderá ser alta mas terá contribuição de desalinhamento lubrificação etc A Carta de Severidade da IRD apresentada na Fig 516 pode ser usada para avaliar vibrações com freqüência de até 10000 rpm medidas nos mancais e filtradas Isto quer dizer que não se pode usar vibrações de banda larga uma vez que para o desbalanceamento a freqüência da vibração corresponde à rotação do rotor Uma outra Carta de Severidade de Vibrações que pode ser usada é apresentada na Fig 517 a qual foi proposta pelo Prof Dr Márcio Tadeu de Almeida FUPAI que é indicada para máquinas rotativas excitadas por desbalanceamento eou desalinhamento tais como motores elétricos bombas ventiladores exaustores compressores rotativos turbinas etc 57 Exemplos de Cálculos Exemplo 51 Balanceamento Estático com Medição de Fase Para fixação dos conceitos até aqui apresentados vamos realizar o cálculo de balanceamento estático para o sistema mostrado na Fig 59 Nesta figura o rotor a ser balanceado gira a 1200 rpm e possui 32 kg de peso distribuídos por uma geometria de 550 mm de diâmetro O equipamento de medição usado é um vibrômetro com luz estroboscópia levantou os seguintes parâmetros V0 38 mms 110 fase medida pela coincidência da referência fixa com a posição próxima ao número 4 117 Colocada uma massa de teste mt de 50 g a 250 mm do centro do eixo na face do rotor posição 9 o resultado foi V1 344 mms 65 posição próxima ao número 2 Figura 516 Carta de severidade da IRD Figura 517 Carta de Severidade de Almeida Solução β F1 F0 β 65 110 β 45 1V0cos β 2V 2 1 V 2 V0 Vef 118 2x38x344xcos45 3 442 382 Vef Vef 279 mms sen β Vef 1 V arc sen α 279 sen 45 arc sen 344 α α 607 A massa de correção será Vef V0 mt mc 279 38 50 mc 681 g mc Como F1 F0 a massa de correção deverá ser colocada a 607 da posição da massa de teste com giro no mesmo sentido de rotação do rotor e distante 250 mm do centro do rotor Na prática retirase a massa de teste posicionada na posição identificada pelo número 9 e fixase a massa de correção na posição identificada com o número 7 o que corresponde a um ângulo de 60 e portanto muito próximo do valor calculado A Fig 518 mostra a resolução vetorial do exemplo de cálculo aqui apresentado Exemplo 52 Balanceamento Estático sem Medição de Fase Balancear o rotor da Fig 512 pelo método dos três pontos São dados V0 15 μm mt 40 g V1 25 μm V2 1025 μm V3 3407 μm Solução Para se obter a solução pelo método gráfico apresentado anteriormente é necessário inicialmente a escolha de uma escala conveniente por exemplo 1 μm para 2 mm Em seguida trace os círculos tomando como raio os valores das vibrações medidas e identifique a região delimitada pelos três arcos de círculos cujos os raios são V1 V2 e V3 Trace a linha R unindo o centro do círculo cujo raio é V0 ao centro da região fechada 119 Figura 518 Resolução vetorial do exemplo apresentado Feito o desenho é possível determinar Vef 203 μm comprimento de R e então determinar a massa de correção como Vef V0 mt mc 203 15 40 mc 30 g mc Para efetivar o balanceamento basta colocar a massa de correção na posição da linha R ou seja a 90 da posição 1 É possível se colocar a massa de correção em uma distância radial diferente da distância usada pela massa de teste mas é necessário corrigir a massa de correção de acordo com a seguinte equação cr mc cr mc 513 onde cr é a nova distância radial em que deverá ser fixada a massa corrigida c m Exemplo 53 Balanceamento em Dois Planos com Efeito Cruzado As medidas de vibração obtidas num procedimento de balanceamento dinâmico com efeito cruzado são 120 V10 72 mms 238 V20 135 mms 296 V11 49 mms 114 V21 92 mms 347 V12 40 mms 79 V22 120 mms 292 mt1 25 g 90 mt2 25 g 90 Solução Os valores da medição são fornecidos em coordenadas polares Vγ Para resolver as Eq 12 e 13 é conveniente escrever os valores de V em coordenadas cartesianas como V a j b a V cos γ e b Vsem γ Por outro lado é bom relembrar as regras das operações aritméticas com números complexos SOMA a j b c j d a c j b d SUBTRAÇÃO a j b c j d a c j b d MULTIPLICAÇÃO a j bc j d ac bd j bc ad DIVISÃO d2 2 c ad jbc d2 2 c bd ac jd c jb a Escrevendo os valores de vibração medidos na forma cartesiana e substituindo na Eq511 temos j1060 j100182 142 j1005 j1006458 304 j1006 j612304 382 j1060 j1213182 592 Q2 121 obtendose Q2 01598 j 11264 ou Q2γ2 11376 819 Do mesmo modo para a Eq 13 temos j1060 j100182 142 j1005 j1006458 304 j1006 j612304 382 j1060 j1213182 592 Q2 obtendose Q1 07468 j 09033 ou Q1γ1 1172 505 Lembrese que para converter Q1 e Q2 em coordenadas polares devemos usar b2 a2 Q para a 0 a γ arc tg b 90 γ 90 para a 0 a arc tg b 180 γ 90 γ 270 Assim considerando que a mesma massa teste foi usada em cada plano e na mesma posição de 90 as massas de correção e suas respectivas posições são 1 1 1 t c Q m m mc1 1172 x 25 mc1 293 g que deve ser colocada a 504 da posição de mt1 no sentido de rotação portanto em 1404 90 504 contados da referência zero 2 2 2 t c Q m m mc2 11376 x 25 mc2 284 g que deve ser colocada a 819 da posição de mt2 no sentido oposto à rotação portanto em 81 90 819 contados da referência zero As figuras a seguir apresentadas ilustram as posições das massas de teste e correção para os dois planos 122 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALMEIDA M T e GÓZ R D Curso de Balanceamento de Rotores Itajubá FUPAI 1993 DIMAROGONAS A D and HADDAD S Vibration for Engineers New Jersey Prentice Hall Inc Englewood Cliffs 1992 EHRICK F E Handbook of Rotor Dynamics New York Mc Graw Hill 1993 INMAN D J Engineering Vibration 3th ed New Jersey Pearson Education Inc Upper Saddle River 2008 RAO S S Mechanical Vibrations 4th ed New Jersey Pearson Education Inc Upper Saddle River 2004 SOEIRO N S Notas de Aula de Vibrações Mecânicas Belém UFPAITECFEM 2007