Notas de Aulas de Vibrações Mecânicas - 2ª Versão

Universidade Estadual do Oeste do Paraná UNIOESTECampus de Foz do Iguaçu Centro de Engenharias e Ciências Exatas CECE Vibrações Mecânicas Notas de Aulas 2o Versão Prof Dr Samuel da Silva Foz do Iguaçu 2009 Prefácio Este texto apresenta a 2o versão das notas de aulas da disciplina Vibrações do curso de graduação em Engenharia Mecânica do Centro de Engenharias e Ciências Exatas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná Campus de Foz do Iguaçu Esta apostila foi elaborada em 2008 e não tem a pretensão de substituir os excelentes livros textos existentes na área 7 5 10 11 ou 15 mas apenas servir como um instrumento conciso e simples para que os alunos e o professor possam seguir durante as aulas teóricas e práticas Assim é aconselhável que os alunos mais interessados busquem informações em outros livros para complementar e reforçar o assunto Espero contar com o apoio dos alunos e demais colaboradores para melhorar este texto constantemente sendo assim sugestões correções e comentários são muito bem vindos1 Gostaria de agradecer ao Prof Dr Milton Dias Junior da FEMUNICAMP por ceder algumas figuras ilustrativas presentes no capítulo 1 Também agradeço ao Prof Geraldo Carvalho Brito Jr pela cuidadosa leitura da 1o versão desta apostila e por seus comentários e correções Boa leitura e estudo Samuel da Silva setembro de 2009 1email samsilva13gmailcom 2 Sumário Lista de Figuras 5 1 Introdução 9 11 Exemplos de aplicação 9 111 Análise vibroacústica 9 112 Análise modal experimental e modificação estrutural 10 113 Manutenção preditiva por análise de vibrações 12 114 Integridade estrutural 12 12 Conceitos básicos 13 121 Graus de liberdade e coordenadas generalizadas 14 122 Componentes de sistemas mecânicos 14 123 Forças de excitação 15 124 Análise de sistemas equivalentes 19 125 Posição de equilíbrio estático 21 13 Classificação das vibrações mecânicas 21 14 Exercícios resolvidos 22 15 Exercícios 26 2 Vibrações Livres em Sistemas com 1 Grau de Liberdade 30 21 Vibrações livres nãoamortecidas 32 22 Vibrações livres amortecidas 38 221 Movimento oscilatório subamortecido ou subcrítico 0 ξ 1 41 222 Movimento superamortecido ou supercríticoξ 1 44 223 Movimento amortecido criticamente ou crítico amorte cido ξ 1 45 23 Decremento logarítmico 46 24 Exercícios 49 3 Vibrações Forçadas em Sistemas com 1 Grau de Liberdade 57 31 Vibração causada por excitação harmônica 58 3 32 Vibração causada por força de desbalanceamento em máquinas rotativas 64 33 Função de resposta ao impulso IRF 67 34 Resposta para excitação do tipo degrau unitário 69 35 Método da integral de convolução 71 36 Função de transferência e métodos freqüênciais 72 361 Transformada de Laplace 72 362 Função de resposta em freqüência FRF 74 37 Estimativa experimental de IRFs e FRFs Análise Espectral 76 38 Determinação experimental do coeficiente de amortecimento por vibrações forçadas 85 39 Métodos numéricos para solução de equações do movimento 85 391 Método de Série de Taylor 87 392 Método de RungeKutta 88 393 Método de Newmark 89 310 Vibrações em sistemas autoexcitados 92 3101 Análise de estabilidade 92 3102 Instabilidade dinâmica causada por escoamento de fluido 94 311 Exercícios 95 4 Isolamento de Vibrações Tipos de Amortecimento e Técni cas de Medição 103 41 Isolamento de Vibrações 103 411 Isolamento ativo 104 412 Isolamento passivo 106 42 Tipos de Amortecimento 109 421 Amortecimento de Coulomb 109 422 Amortecimento histerético 111 423 Amortecimento proporcional 112 43 Técnicas de Medição 113 431 Medição em campo 113 432 Medição em laboratório 114 433 Transdutores para medição de vibrações 115 5 Sistemas Mecânicos com Múltiplos Graus de Liberdade 117 51 Equações de Lagrange 118 52 Solução via modos normais análise modal analítica 121 521 Vibrações livres sistema sem amortecimento 122 522 Vibrações livres sistema com amortecimento propor cional 127 53 Vibrações forçadas 133 4 54 Introdução à análise modal experimental 137 55 Exercícios 146 Referências Bibliográficas 150 5 Lista de Figuras 11 Análise modal experimental em porta e retrovisor de carros 11 12 Alguns modos de vibrar da porta 12 13 Desabamento de ponte sobre o o rio Mississipi em 2007 13 14 Sistema torsional 15 15 Exemplo de força harmônica 17 16 Exemplo de força periódica 17 17 Exemplo de força transitória 18 18 Exemplo de força aleatória 18 19 Sistema massamolaamortecedor 19 110 Sistema mecânico como molas em paralelo 20 111 Sistema mecânico como molas em série 20 112 Exemplo 1 22 113 Exemplo 2 23 114 Exemplo 2 solução 23 115 Exemplo 3 24 116 Exemplo 3 solução 25 117 Exemplo 4 26 118 Exercício 1 27 119 Exercício 2 27 120 Exercício 3 28 121 Exercício 4 28 122 Exercício 5 29 21 Sistema massamolaamortecedor 31 22 Exemplo de resposta de sistema livre nãoamortecido com 1 gdl para várias condições iniciais diferentes 34 23 Sistema massamola com 1 gdl 35 24 Vagão batendo em uma mola 36 25 Sistema com 1 gdl 37 26 DCL do sistema 37 27 Exemplo de resposta do sistema subamortecido 42 6 28 Exemplo de resposta de sistema livre amortecido com 1 gdl com movimento subamortecido 43 29 Sistema massamolaamortecedor com dois amortecedores 44 210 Resposta do sistema superamortecido 45 211 Resposta do sistema criticamente amortecido 46 212 Resposta de sistema subamortecido evidenciando amplitudes sucessivas 47 213 Resposta livre do sistema 49 214 Resposta livre do sistema estrutural 51 215 Resposta ao impulso ht 52 216 Vista do fórmula 1 52 217 Amortecedor para uma motocicleta 53 218 Sistema 1 53 219 Sistema 2 54 220 Sistema 3 54 221 Barra rígida 55 222 Barra rígida 55 223 Eixo com turbina montada 56 31 Curvas de ampliação de amplitudes de vibração para um sis tema com 1 gdl 60 32 Exemplo de batimento para um sistema com 1 gdl 62 33 Exemplo de máquina rotativa com massa desbalanceada 64 34 Curva da função Λ r ξ 65 35 Exemplo de resposta ao impulso ht de um sistema 68 36 Exemplo de resposta ao degrau unitário para um sistema com um grau de liberdade 70 37 Funções de resposta em freqüência para um sistema com 1 grau de liberdade 77 38 Diagrama de Nyquist da FRF de mobilidade para um sistema com 1 grau de liberdade 78 39 Gráfico da parte real e imaginária da FRF compliância para um sistema com 1 grau de liberdade 79 310 Realizações de sinais medidos em um processo estocástico 80 311 Exemplo de um sinal estacionário 81 312 Distribuição de partes de um sinal estacionário 82 313 Sistema linear e invariante com o tempo representado por uma IRF discreta hn 84 314 Esquema de aceleração média constante de Newmark 90 315 Conjunto motobomba 100 316 Motor elétrico a ser instalado 101 7 317 FRF Compliância para um sistema com 1 grau de liberdade 101 318 Diagrama de Nyquist da FRF de mobilidade 102 319 Antena de carro 102 41 Exemplo de máquina montadas sobre uma base com isoladores104 42 Transmissibilidade Absoluta do sistema 106 43 Exemplo de máquina como isolamento passivo 107 51 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade 118 52 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade 120 53 Mapeamento dos pólos do sistema no plano complexo 132 54 Exemplo de sistema com dois graus de liberdade com força de excitação harmônica 134 55 Respostas do sistema mecânica para o sinal de excitação Ft aplicado na massa 1 136 56 Resposta experimental da estrutura ensaida 142 57 FRFs experimentais 142 58 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade 146 59 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade 146 510 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade 147 511 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade 147 512 Exemplo de uma viga com múltiplos graus de liberdade 148 513 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade 149 8 Capítulo 1 Introdução A meta deste capítulo é introduzir os conceitos básicos envolvidos no estudo de vibrações mecânicas Inicialmente apresentase uma lista de al gumas aplicações práticas na indústria dos conceitos envolvidos nesta dis ciplina com o propósito de motivar o leitor ao estudo de vibrações Em seguida destacase formalmente algumas definições básicas necessárias para estudar vibrações como graus de liberdade elementos de um sistema vi bratório forças de excitação análise de sistemas equivalentes e posição de equilíbrio estático Por fim é mostrada uma forma de classificar os proble mas de vibrações Ao longo deste capítulo são apresentados alguns exercícios resolvidos 11 Exemplos de aplicação Esta seção apresenta alguns exemplos de aplicações industriais que podem ser feitas a partir do conhecimento desta disciplina 111 Análise vibroacústica A análise vibroacústica apresenta uma lugar de destaque no projeto de máquinas automóveis aeronaves etc Um nível de ruído ou vibração ex cessivo em sistemas mecânicos pode comprometer o correto funcionamento de sistemas de engenharia prejudicar o conforto humano e diminuir a vida útil do sistema Portanto uma análise sobre os níveis de vibração que um sistema mecânico pode atingir é extremamente necessária e desejada em pro jetos modernos seja no momento de síntese ou análise de algum protótipo Um exemplo é a vibração de um motor de automóvel O motor é montado em cima de coxins que são presos a estrutura metálica do automóvel O es 9 tudante deve lembrar do conceito de ressonância1 estudado em física básica Assim se a freqüência de rotação do motor coincidir com alguma freqüência natural da estrutura do automóvel como as freqüências naturais do capo pode ocorrer um efeito trágico Portanto durante o projeto de um carro os engenheiros devem conhecer muito bem quais são as freqüências naturais do sistema como um todo e de seus componentes para se evitar ressonância ou mesmo ruído indesejável em painéis interior etc2 Outro exemplo interessante é o fenômeno aeroelástico de flutter que ocorre principalmente em estruturas aeronáuticas 2 Flutter é uma vibração em vôo de estruturas flexíveis causada pela energia de fluxos de ar absorvidas por superfícies de sustentação ocasionadas sobretudo devido ao despreendi mento de vortíces Este efeito conduz a uma instabilidade potencialmente destrutiva resultante de uma interação entre forças elásticas de inércia e aerodinâmicas Assim para uma aeronave ser certificada pelo CTAFAA as empresas aeronáuticas devem ter total conhecimento sobre freqüências de ressonância em função das velocidades de vôo peso altitude pressão etc Conseqüentemente as exigências básicas para os engenheiros envolvidos neste processo é ter conhecimentos básicos sólidos em vibrações mecânicas muitos deles serão apresentados durante este curso introdutório 112 Análise modal experimental e modificação estru tural A análise modal experimental AME consiste em extrair os chamados parâmetros modais de um sistema mecânico Os parâmetros modais são pa râmetros característicos do sistema e são compostos por freqüências naturais fatores de amortecimento e modos de vibrar Se forem corretamente obtidos é possível descrever o comportamento de um sistema vibratório sem necessitar de um modelo matemático A AME também é muito usada pela indústria automobilística e aeronáu tica Um exemplo interessante de aplicação é a extração dos modos naturais de uma porta de carro visando otimizar o projeto de retrovisores 8 Nesta aplicação a empresa fabricante do automóvel constatou que em determina das velocidades o retrovisor vibrava muito e refletia a luz do sol diretamente na face do motorista o que poderia provocar desconforto além do risco de acidente Com o intuito de descobrir qual a origem desta vibração em ve locidades tão características foi realizada uma AME na porta do carro com o retrovisor vista na figura 11 Depois de extraído os modos naturais 1O Cap 2 irá definir formalmente o que é ressonância 2Quem já não andou em um carro onde todo o seu interior vibra completamente 10 vistos na figura 12 constatouse que as freqüências naturais destes modos eram excitadas nesta faixa de velocidades A partir de um procedimento de otimização usando uma malha de elementos finitos foi possível propor uma modificação estrutural na porta e retrovisor visando reduzir este problema a Carro com instrumentação usada no ensaio b Detalhe da porta Fig 11 Análise modal experimental em porta e retrovisor de carros 11 Fig 12 Alguns modos de vibrar da porta 113 Manutenção preditiva por análise de vibrações Quando um componente mecânico de um máquina rotativa3 como ro lamentos mancais conexões etc apresentam algum defeito como desali nhamento desbalanceamento trinca etc o comportamento vibratório do sistema muda o seu padrão Caso se conheça algum sinal de referência da máquina é possível realizar uma comparação entre dois estados referência sem dano e com dano Assim é possível dar um diagnóstico se a máquina está ok ou não Adicionalmente com aplicação de análise espectral pode ser possível inclusive dar um diagnóstico de que tipo de dano a máquina apre senta As unidades de geração de usinas hidrelétricas como as de Itaipu são exemplos de sistemas que são monitorados periodicamente a partir de sinais de vibração para que se avalie se os níveis de vibração global estão dentro do estabelecido pelos fabricantes das máquinas 114 Integridade estrutural Integridade estrutural é o procedimento de extrair informações dinâmi cas de estruturas como pontes fuselagens de aeronaves estruturas offshore barragens etc visando detectar modificações estruturais correspondentes a falhas Esta é uma área multidisciplinar que compreende estudo de materi ais ferramentas estatísticas reconhecimento de padrões análise de tensões e 3Sistemas rotativos compreendem ventiladores industriais compressores turbinas etc 12 principalmente vibrações mecânicas Assim como na manutenção preditiva em sistemas rotativos por análise de vibrações a medição de vibração mecâ nica em grandes estruturas pode fornecer informações úteis para diagnóstico e prognóstico de saúde estrutural de sistemas de engenharia Um acidente estrutural que teve destaque recente na mídia foi a queda de uma ponte sobre o rio Mississipi na cidade de Mineápolis nos Estados Unidos figura 13 A ponte tinha sido inspecionada em 2005 e 2006 através de medidas de vibrações e na ocasião nenhum defeito estrutural foi encontrado porém um estudo conduzido anteriormente emi2001 pelo Departamento de transportes de Minnesota mostrou vários defeitos por tempo de uso4 que foram ignorados pelas autoridades O desastre teve um saldo trágico de 7 mortos e dezenas de feridos Fig 13 Desabamento de ponte sobre o o rio Mississipi em 2007 12 Conceitos básicos Vibração é definida como um movimento periódico ie uma oscilação de uma partícula um sistema de partículas ou um corpo rígido em torno de uma posição de equilíbrio A seguir alguns conceitos básicos envolvidos no estudo de vibrações mecânicas 4A ponte foi construída em 1967 13 121 Graus de liberdade e coordenadas generalizadas O número de graus de liberdade gdl usado na análise de um sistema mecânico é o número de coordenadas cinematicamente independentes ne cessárias para descrever completamente localizar e orientar o movimento espacial de toda partícula de um sistema em qualquer instante de tempo Qualquer conjunto de coordenadas é chamado de conjunto de coordenadas generalizadas Deve ficar claro para o estudante que a escolha de um con junto de coordenadas generalizadas não é única Quantidades cinemáticas como deslocamentos velocidades e aceleração são escritas em função das coordenadas generalizadas e de suas derivadas temporais 122 Componentes de sistemas mecânicos Um sistema mecânico contém componentes de inércia de rigidez e amor tecimento Os componentes de inércia têm energia cinética quando o sistema está em movimento A energia cinética de um corpo rígido5 em movimento é T 1 2mv2 1 2 Iω2 11 sendo v a velocidade do centro de massa do corpo ω a velocidade angular do eixo perpendicular ao plano de movimento m é a massa do corpo e I é o momento de inércia de massa paralelo ao eixo de rotação que atravessa o centro de massa Já um componente de rigidez uma mola linear tem uma relação força deslocamento conforme a equação abaixo F kx 12 onde F é a força aplicada e x é a mudança do comprimento A rigidez k tem dimensão de força por unidade de comprimento No SI6 a unidade de rigidez é Nm Medir experimentalmente massa e rigidez não é tão difícil agora medir amortecimento pode ser um enorme desafio pois os sistemas mecânicos po dem dissipar energia de formas diferentes O mais comum é considerar um modelo de amortecedor com amortecimento viscoso Um componente linear de amortecimento viscoso tem uma relação forçavelocidade da forma 5Lembrando que um corpo rígido é definido como um corpo onde as suas dimensões devem ser consideradas na análise dinâmica e assim o momento de inércia deve ser levado em conta 6Sistema Internacional 14 Fc 13 sendo co coeficente de amortecimento A unidade no SI é Nsm Existem outros tipos comuns de amortecimento como amortecimento de Coulomb amortecimento estrutural etc que serao descritos mais a frente durante este curso Jé quando uma coordenada angular 6 empregada como coordenada ge neralizada para um sistema linear 0 sistema pode ser modelado como um sistema torsional figura 14 k C eq eq toy Fig 14 Sistema torsional O momento aplicado na mola linear torsional é proporcional a sua rotagao angular enquanto o momento aplicado no amortecimento viscoso torsional é proporcional a velocidade angular Os valores dos coeficientes do sistema torsional equivalente sao determinados pelo caélculo da energia cinética to tal energia potencial e trabalho feito pelo amortecedor viscoso do sistema original em termos da escolha da coordenada generalizada empregada 1 sy T a leaf 14 1 V 5 Kiteg 15 02 W Cteqh dd 16 a1 123 Forgas de excitagao De acordo com a forga de excitagao que age em um sistema mecanico as respostas de vibragéo podem ter caracteristicas diferentes A seguir os tipos 15 de excitação mais comuns Força harmônica forma mais simples de excitação em sistemas mecânicos descrita pela equação F t Fsen ωt 17 sendo F a amplitude da excitação e ω a freqüência de excitação em rads Também é usual descrever as freqüências em Hertz Hz7 A freqüência em Hz é nomeada de f e descrita por f 1 T 18 sendo T o período de oscilações tempo que o movimento harmônico leva para repetir seu padrão medidos em s A relação entre as freqüên cias em Hz e rads é dada por f 1 2πω 19 Um movimento harmônico é definido completamente a partir do co nhecimento das variáveis acima Um exemplo prático de excitação harmônica aparece em rotores com massa desbalanceada A figura 15 mostra um exemplo gráfico de uma força deste tipo Força periódica Tipo de excitação que se repete após um período mas não de forma exatamente igual conforme o exemplo da figura 16 Motores de combustão interna são exemplos deste tipo de excitação Força transitória Excitação caracterizada por uma liberação de energia grande em um intervalo curto de tempo Inúmeros exemplos descre vem este tipo de força explosão impacto etc A figura 17 ilustra graficamente este tipo de excitação Força aleatória São forças de excitação que não descrevem um padrão determinístico que possa ser definido por uma equação Para tratar sistemas excitados por forças aleatórias é necessário utilizar métodos estatísticos Fenômenos aeroelásticos são exemplos de sistemas exci tados por forças aleatórias como forças em asas de aviões ventos em colunas de pontes etc A figura18 ilustra um sinal típico de excitação aleatória 7Em homenagem ao cientista alemão Hertz o primeiro a estudar as ondas de rádio que também são vibrações porém de origem elétrica 16 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 Tempo s Amplitude N Fig 15 Exemplo de força harmônica 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 Tempo s Amplitude N Fig 16 Exemplo de força periódica 17 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 Tempo s Amplitude N Fig 17 Exemplo de força transitória 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 3 2 1 0 1 2 3 Tempo s Amplitude N Fig 18 Exemplo de força aleatória 18 124 Andalise de sistemas equivalentes Todo o sistema linear de 1 grau de liberdade com amortecimento viscoso pode ser modelado como um sistema massamolaamortecedor simples como a figura 19 onde meq keg Ceq SAO a Massa equivalente rigidez equivalente e amortecimento viscoso equivalente Keg Coq Mag x Fig 19 Sistema massamolaamortecedor Denotando a varidvel x como a coordenada generalizada a energia ciné tica de um sistema linear pode ser escrita como 1 2 T gieat 110 Ja a energia potencial de um sistema linear pode ser escrita na forma I 2 V gheat 111 O trabalho realizado pela forga de amortecimento viscoso em um sistema linear entre duas localizagoes arbitrarias x e x2 podem ser escritas como x2 W Cegk dx 112 Z1 Molas em paralelo O sistema da figura 110 tem molas em paralelo que sao fixadas a um bloco com massa m A meta é definir qual a rigidez equivalente desta combinagao de molas visando modelar o sistema com uma tinica mola similar ao da figura 19 Se o bloco estiver sujeito a um deslocamento arbitrario x todas as molas sofrem este deslocamento assim 41 7 2 Assim a forcga exercida é 19 k x k Fig 110 Sistema mecanico como molas em paralelo n FHkegt hyx kor kpx Xv 113 i1 Analisando a Eq 113 observase que a rigidez equivalente para um sistema com molas em paralelo é dada por n keg Sky 114 i1 Molas em série Ja o sistema da figura 111 tem molas em série que séo fixadas a um bloco com massa m Novamente a meta é definir qual a rigidez equivalente desta combinagao de molas ky k k3 Ky Fig 111 Sistema mecfnico como molas em série Definindo o deslocamento do bloco como sendo x na 7iésima mola e assumindo que cada mola nao tem massa a forga desenvolvida na extre midade de cada mola tem a mesma magnitude mas diregdes opostas Assim a forga em cada mola é F Kegt ky kot Sec Kn Xn 115 20 Sendo assim o deslocamento total sera descrito por FF F 1 2 n d a ky ko kn Resolvendo para x da Eq 115 e substituindo na Eq 116 conduz a x F 117 ist i A partir da Eq 117 podese concluir que para um sistema com molas em série a rigidez equivalente é descrita por Ieeg 118 eq yn iat ki 125 Posigao de equilibrio estatico Sistemas mecanicos como os da figura 19 tém elementos elasticos que estao sujeitos a forgas quando o sistema esta em equilibrio A deflexao re sultante no elemento eldstico é chamada de deflexao estatica geralmente nomeada por A O efeito de deflexdo estatica de um elemento eldstico em um sistema linear nao tem efeito na rigidez equivalente do sistema 13 Classificagao das vibragoes mecanicas Ha diferentes formas de classificar as vibragoes em sistemas mecanicos Quanto A excitacao As vibracdes podem ser livres ou forcadas Quanto ao amortecimento As vibragdes podem ser amortecidas ou nao amortecidas Quanto ao deslocamento Pode ser retilineo ou torsional ou combinacao de ambos 80 sistema vibra nas suas freqiiéncias naturais e nao ha forca de excitacdo externa O sistema vibra na freqiiéncia de excitacao 21 Fig 112 Exemplo 1 Quanto às propriedades físicas O sistema pode ser discreto neste caso tem um número finito de gdl ou contínuo10 neste caso tem um número infinito de gdl Quanto às equações envolvidas O sistema pode ser linear potência 0 ou 1 e não existe produto entre estas e suas derivadas ou nãolinear quando não é válido o princípio da superposição 14 Exercícios resolvidos Exemplo 11 Determine o número de graus de liberdade gdl para ser usado na análise de vibrações da barra rígida da figura 112 e especifique um conjunto de coordenadas generalizadas que pode ser usado nesta análise Solução Uma vez que a barra é rígida o sistema têm apenas um grau de liberdade Uma possível escolha para coordenada generalizada é θ deslocamento angular da barra medido positivo no sentido antihorário da posição de equilíbrio do sistema Exemplo 12 Determine o número de gdl necessários para analisar o sis tema mecânico composto por uma barra rígida com comprimento L e duas molas da figura 113 e especifique um conjunto de coordenadas generaliza das que pode ser usado nesta análise de vibrações Solução Assumese x como sendo o deslocamento do centro de massa da barra rígida medido a partir da posição de equilíbrio Infelizmente o conhecimento apenas de x é insuficiente para determinar totalmente o 10Também chamado de sistema com parâmetros distribuídos 22 Fig 113 Exemplo 2 Fig 114 Exemplo 2 solução deslocamento de qualquer partícula na barra Assim o sistema tem mais de um grau de liberdade Para descrever totalmente este movimento devese considerar também a rotação angular θ no sentido antihorário da barra com respeito ao eixo da barra em sua posição de equilíbrio Se θ é pequeno11 então o deslocamento do fim do lado direito da barra é x L2θ Portanto o sistema tem 2 gdl e x e θ são um possível conjunto de coordenadas generalizadas como ilustrado na figura 114 Exemplo 13 Dado o sistema da figura 115 encontre um modelo equiva lente composto apenas por uma mola fixa ao bloco de massa m Solução Primeiro devese substituir as combinações de molas em paralelo por rigidez equivalente usando a Eq 114 Este primeiro resultado é 11Hipótese feita para assumir que o sistema é linear 23 Fig 115 Exemplo 3 mostrado na figura 116a Em seguida calculase a rigidez equivalente do lado esquerdo do bloco 1 1 3k 1 3k 1 k 1 3k k 2 119 Por sua vez as molas fixadas do lado direito do bloco têm rigidez equivalente da forma 1 1 k 1 2k 2k 3 120 Como resultado temse o sistema da figura 116b Quando o bloco tem um deslocamento arbitrário x os deslocamentos em cada mola da figura 116b são os mesmos e a força total agindo sobre o bloco é a soma das forças desenvolvidas nas molas Assim estas duas molas se comportam como se estivessem em paralelo e portanto a rigidez equivalente do sistema é descrita por k 2 2k 3 7k 6 121 que é mostrada na figura 116c Exemplo 14 Determine a rigidez equivalente do sistema mostrado na figura 117 usando o deslocamento do bloco como uma coordenada gene ralizada Solução A deflexão da viga engastadalivre na sua extremidade livre é devido a uma carga concentrada neste ponto e é definida como δ 24 Fig 116 Exemplo 3 solução FL33EI sendo F a carga aplicada L o comprimento da viga E o módulo de elásticidade e I o momento de inércia de área Assim a rigidez equivalente da viga é dada por12 kb 3EI L3 3 210 109 15 105 253 605 105 N m 122 A rigidez da viga e a mola superior que está presa agem como se estives sem em paralelo pois a força na viga provocada pelo efeito de rigidez na viga é Fb kbx e a força na mola superior é F1 k1x assim a força total é Fb F1 Assim a deflecção no ponto de junção da extremidade livre da viga e da mola é δ x Fb F1 L3 3EI 123 12A rigidez é definida como o inverso da deflexão com uma carga unitária aplicada 25 Fig 117 Exemplo 4 o que leva a x Fb k1 3EI L3 124 Assim observase que a rigidez da viga com a mola superior agem como duas molas em paralelo Esta combinação em paralelo está em série com a mola entre a viga e o bloco Por fim esta combinação em série está em paralelo com a mola inferior entre o bloco e a parte fixa Portanto a rigidez equivalente é escrita como keq 1 1 6051055105 1 2105 3 105 469 105 N m 125 15 Exercícios Ex 11 Determine o número de gdl usados na análise do sistema mecânico da figura 118 e especifique um conjunto de coordenadas generalizadas que pode ser usado na análise deste sistema 26 Fig 118 Exercício 1 Fig 119 Exercício 2 Ex 12 Determine a massa equivalente meq e a rigidez equivalente keq do sistema mecânico da figura 119 quando x o deslocamento do bloco medido da posição de equilíbrio é usado como coordenada generalizada Ex 13 Determine a massa equivalente meq e a rigidez equivalente keq do sistema mecânico da figura 120 quando x o deslocamento do bloco medido da posição de equilíbrio é usado como coordenada generalizada Assuma que o disco é fino e rola sem atrito 27 Fig 120 Exercício 3 Ex 14 Determine a rigidez equivalente do sistema da figura 121 Fig 121 Exercício 4 Ex 15 O conceito de rigidez é um dos mais importantes em projeto de máquinas A esse respeito responda ao solicitado abaixo13 Explique em 13Questão extraída do Provão de Cursos EM 99 28 poucas palavras o que é rigidez Quais os fatores que determinam a rigidez de um componente mecânico Como a rigidez e a massa de um componente estão relacionadas com sua freqüência natural Entre os perfis apresentados na fig 122 qual você escolheria como o mais adequado à estrutura de um veículo que será submetido a carregamentos combinados de flexão e torção variáveis em direção e intensidade de modo que o mesmo possa ter rigidez satisfatória com um peso relativamente reduzido Justifique sua resposta Fig 122 Exercício 5 29 Capitulo 2 Vibracoes Livres em Sistemas com 1 Grau de Liberdade Como ja visto no capitulo 1 muitos sistemas mecanicos lineares com plexos podem ser modelados como um sistema equivalente massamola amortecedor com grau de liberdade gdl Sendo assim é necessdério saber como obter a equagao do movimento de um sistema deste tipo e como resol ver esta equacao Inimeros métodos podem ser usados para obter a equagao do movimento do sistema Um método popular é construir um diagrama de corpo livre DCL em um instante arbitrario e descrever as forgas atuantes externas e de inércia em termos de coordenadas generalizadas As leis basicas de mecfnica sao entao aplicadas no DCL conduzindo as equagoes diferenciais ordinarias que descrevem 0 movimento Para um corpo rigido 0 movimento oscilatério é descrito pelas equagdes de NewtonEuler S Fma 21 S Me 16 22 sendo F o somatorio de forgas externas Mg o somatério de mo mentos no centro de gravidade G J o momento de inércia de massa e 6 a aceleragao angular Uma versao do método DCL para corpos rigidos usa uma variagao do principio de DAlembert Nesta nova configuragao outro DCL mostrando forgas externas em um instante arbitrario um segundo DCL é desenhado em um mesmo instante mostrando as forcas efetivas do sistema As forgas efetivas para um corpo rigido sao definidas como forgas iguais a ma agindo 30 no centro de massa e um conjugado igual a I As Eqs 21 e 22 sao aplicadas na forma F F 23 So externas efetivas M M 24 A externas A efetivas aplicadas a um ponto A A figura 21 apresenta um sistema massamolaamortecedor com 1 gdl Keg Coq x Fig 21 Sistema massamolaamortecedor Considerando que esta massa sofra a acéo de uma forga Ft a equacaéo do movimento para este sistema é dada por S Fma 25 Ft kat ct mi 26 mxt ct kat Ft 27 A eq 27 6 uma equagao diferencial ordinaria EDO linear com coeficientes constantes com deslocamento xt velocidade t e aceleragao t E importante ressaltar que a forca peso mg nao entra neste balanco de forgas se a mola nao distende em relagao a linha de equilibrio estatico Com relacao aos valores da forga F e o dos coeficientes de amortecimento viscoso c podese definir os tipos de movimentos Movimento oscilatério livre naoamortecido mz kx 0 Movimento oscilatério livre amortecido mi cz kx 0 Movimento oscilatério forgado naoamortecido mi kx Ft Movimento oscilatério forgado amortecido mi czé kx Ft 31 21 Vibracoes livres naoamortecidas Considerando a fig 23 assumindo c 0 temse a equacaéo do movi mento para um sistema livre naoamortecido mxt kat 0 28 Dividindo a Eq 28 por m temse At nt 0 29 x 7 tlt 0 Definindo a freqiiéncia angular natural naoamortecida w em rads k nA 210 m 210 Substituindo a Eq 210 na Eq 29 temse t w2at 0 211 Assumindo que a resposta desta EDO é do tipo at Ce com C constante Assim at Ce 212 t Cre 213 t Cr e 214 Substituindo estes valores na Eq 211 chegase a NCe w2Ce 0 215 Ce 1 2 0 216 Uma vez que C 0 é solucao trivial e e 4 0 temse a equacao caracte ristica Mwr0 1 MSW S Ne Htiwy 217 Com estes valores obtémse a solugao da EDO que descreve 0 movimento oscilatério xt Cyn Coe ent 218 A freqiiéncia natural em Hz é dada por f 3 32 Lembrando a relagaéo de Euler e cos isen e aplicando este resultado na Eq 251 xt Cy coswpt isenwyt Co coswnt isenwpt 219 xt Cy C2 coswpt Cy C2 isenwyt 220 xt Asenwyt Bcoswyt 221 A solugao final da equagao do movimento é fungéo das constantes A e B que sao obtidas a partir das condig6es iniciais de deslocamento x0 xo e velocidade 0 vp sendo assim Xo Asenwt Bcoswt B 222 t Awcoswpt Bw senwyt v9 2 A vO 223 Wn Com isto a solugao final da EDO é dada por xt eo senwnt 9COSWpt 224 Wn Em problemas praticos é interessante também saber qual o valor maximo Xtmax das amplitudes de vibracgao Para encontrar este valor podese cal cular os pontos criticos ae 0 Apos estes calculos constatase que o valor da amplitude maxima de vibragao livre em sistemas naoamortecidos é dado por m2 2 225 Lmaz X Outra forma comum de se escrever a solugao da Eq 211 é xt Xsenwyt 226 sendo wm 2 X 22 227 Wn tan 228 Vo A fig 22 apresenta exemplos de respostas de sistemas livres nao amortecidos para diferentes valores de condigoes iniciais 33 m 12 kg k 1200 Nm X002 m Vy0 m 12 kg k 1200 Nm x0 V06 ms 002 006 0015 004 001 002 E 0005 E Bo Bo 3 0005 3 002 001 004 0015 0025 05 1 15 2 25 3 35 006 05 1 15 2 25 3 35 Tempo s Tempo s a 19 FN0e vu 0 b a Oe vu 0 m 12 kg k 1200 Nm x002 m V06 ms 008 006 004 E 002 B o02 004 006 0085 05 1 15 2 25 3 35 Tempo s c rp FV C1 0 Fig 22 Exemplo de resposta de sistema livre naoamortecido com 1 gdl para varias condigoes iniciais diferentes Exemplo 21 Dado o sistema mecénico visto na fig 23 com massa m 12 kg rigidez da mola de k 1200 Nm e com condigées iniciais de deslocamento e velocidade de x 002 m e v9 0 respectivamente pedese a freqiéncia natural naoamortecida o calculo da resposta de vibragao do sistema e a amplitude maxima de deslocamento Solugao A freqtiéncia natural é definida pela Eq 210 assim k 1200 Wn 4 445 10rads ou convertendo para Hz temse fy 159 Hz Apds a construgao de um DCL constatase que a equagao do movimento deste sistema simples é mz kx 0 com solugao dada pela Eq 221 xt Asenwt Bcoswyt 34 xt k m Fig 23 Sistema massamola com 1 gdl As constantes A e B sao descritas a partir do conhecimento das con digdes iniciats de deslocamento e velocidade B29 002m A 0 Wn Assim a resposta de oscilagao deste sistema é descrita por rt002coswt Jé a amplitude mdéxima de deslocamento é dada pela Eq 225 2 Imax 2 xe 002m A fig 22a ilustra a resposta de vibragao deste sistema onde pode se observar que o sistema vibra como uma sendide com freqtiéncia na tural de 159 Hz e com amplitude maxima de 002 m Exemplo 22 Um vagao visto na fig 24 com massa m 15000 kg se deslocando sem atrito bate em uma mola com velocidade vp A mola é defor mada em 200 mm e tem uma rigidez de 130000 Nm Com que velocidade o vagao bateu na mola 39 xt k m Fig 24 Vagao batendo em uma mola Solugao A freqiiéncia natural do sistema dada por Wy Je ad 294 rads A resposta livre do sistema massamola com 1 gdl é dada pela Eq 221 xt Asenwt Bcoswyt sendo x0 B0 0 U9 Aw Up 294A A mola foi deformada com 002 m que corresponde ao valor da ampli tude mdzima de deslocamento dada pela Eq 225 2 Tmax 002m 22 a vp 0588ms Com isto a resposta livre de oscilagao do vagao descrita por xt02sen2 94t Exemplo 23 Considere o sistema da fig 25 Calcule a freqiiéncia na tural e a equacgao do movimento deste sistema O momento de inércia da massa I Mr 36 Fig 25 Sistema com 1 gdl Solução A primeira etapa é construir um diagrama de corpo livre para este sistema especificando todas as forças e momentos externos e de inércia visto na fig 26 Fig 26 DCL do sistema Agora aplicando a equação de Newton temse 37 So Feat S Finercia 0 mikx Fy 0 229 A equacao de Euler é dada por S Meat M nercia 0 1 ye 1 gMr 6Fur0 Fu gMre 230 Substituindo a Eq 230 em 229 temse mx kx gMre 0 231 Lembrando que para adngulos pequenos send 0 temse que x 70 e portanto r Com isto a equagao do movimento descrita por 1s mx kx gMe 0 232 1 r Sar 4 ke 0 233 3M Com isto a massa equivalente deste sistema dada por Meq au e segue que a freqtiéncia natural naoamortecida do sistema ke 2k Wn Meq 3M 22 Vibracoes livres amortecidas Caso o sistema da fig 23 tenha c 4 0 0 problema é de vibragoes livres amortecidas sendo 0 seu movimento descrito pela seguinte equagao mxt cxt kat 0 235 Assumindo que este sistema tenha solucao do tipo t De sendo uma varidvel complexa assim 38 at De 236 zt ADe 237 t De Substituindo esta solugdes na Eq 235 conduz ao seguinte resultado mX De cDe k De 0 239 De md cA k 0 240 Como D 0 é a solucao trivial e e nunca é zero temos a seguinte equacao caracteristica mr cA k 0 241 que pode ser escrita como k 0 242 m m A solugao da equacgao de segundo grau na Eq 242 pode ser solucionada usando algebra simples assim c c2 k Ma 5 y5 243 i 2m 2m m Com isto a solugao final da Eq 235 é dada por at Dye Dyer 244 44 2k 2k xt Dek ant 3 X 4 Doel nV ar x 245 Colocando em evidéncia o termo e 2m temse a solucao final c r k t 2k t xt e7 2m oul 27 Doel 2 246 Algumas observagoes 1 O termo e 2m 6 uma funcao exponencialmente decrescente 39 2 2 Quando os expoentes serao ntimeros reais e nado ocorrerd ow Sem m oscilagoes caracterizando superamortecimento 2 Lon 3 Quando os expoentes serao ntimeros imaginarios e ocorrera m m poe oscilagoes caracteristica de um movimento oscilatério subamortecido 2 ae as 4 Quando tem caracteristica de amortecimento critico ou seja quando perturbado o sistema nao oscila e volta rapidamente para a sua posigao de equilibrio Neste ponto podese definir 0 coeficiente de amortecimento critico c 2 k lembrando que w Ce 2 2 Wi Co 2MWy 247 Neste caso m é igual a massa equivalente do sistema de um grau de liberdade Apos a definigéo do coef de amortecimento critico c definese o fator de amortecimento c c E2mMurn 248 Ce 249 Ewn 2m Outra forma comum de escrever o fator de amortecimento é observar que c c c c 2MwWy amy 9 km2 2 km m m Com isto os pélos da equacao caracteristica raizes da Eq 242 podem ser rescritos como c c2 k woah yey 2m 2m m EWy Vf Ow we Wy tunVE 1 251 sendo que determina a natureza da solugao se é subamortecida supe ramortecida ou amortecimento critico 40 221 Movimento oscilat6ério subamortecido ou subcri tico 0 1 Neste caso a solugao da equagao do movimento é dada por xt eS Dice Pt 4 Dye ten eH 252 Lembrando da relacdo de Euler e cos isen e substituindo na Eq 252 apds algumas manipulacgdes matematicas chegase a at eS Acoswgt Bsenwgt 253 sendo wy a freqiiéncia angular natural amortecida definida como Wy WnVl 254 As constantes A e B sao obtidas através das condigoes iniciais de deslo camento e velocidade e sao dadas por A Xo 255 Vo EWn Xo Bo 256 ole Os polos do sistema sao descritos por A12 EWn IW 257 Ai2I ur u 1 w 258 Outra forma comum de resposta é at Ce sen wat 6 259 sendo C a amplitude maxima do deslocamento e a fase definidas por v9 Wnty towa C 260 Wd ToWd tan 261 5 261 A fig 27 mostra um exemplo de resposta de sistema subamortecido com o envoltério em linha tracejada 41 m 1 kg c 5 Nsm k 1400 Nm x002 m V0 1 06 04 02 02 04 06 08 1 0 05 1 15 2 25 Tempo s Fig 27 Exemplo de resposta do sistema subamortecido Exemplo 24 Uma massa de 45 kg suspensa por uma mola de rigidez k 1400 Nm Um amortecedor com um coeficiente de amortecimento viscoso c 50 Nsm conectado ao sistema Determine o fator de amortecimento a freqtiéncia natural w e a freqtiéncia natural amortecida wg Solugao A freqtiéncia natural w descrita por Wn Vé 42 1763 rads ou em Hz fn a Wn 28 Hz Jé o coeficiente de amortecimento critico Ce dado por Co 2Mwy 2451763 15867 Nsm Com isto o fator de amortecimento dado por 500 f tee 031 Como esta no intervalo 0 1 este sistema possui movimento oscilatério subamortecido A freqtééncia natural amortecida é dada por Wy Wnrl1 1676 rads A fig 28 mostra o grafico de deslocamento deste sistema conside rando 9 002 m e vw 0 como condicgoes iniciais E importante observar que as oscilagdes vao sendo amortecidas com o tempo dentro 42 de um envoltório definido por eξωnt que é mostrado em linha tracejada na fig 28 0 05 1 15 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 Tempo s xtx0 m 45 kg c 50 Nsm k 1400 Nm x0002 m v00 Fig 28 Exemplo de resposta de sistema livre amortecido com 1 gdl com movimento subamortecido Exemplo 25 Dado o sistema da fig 29 escreva a equação do movimento e defina o fator de amortecimento Solução Após a construção de um DCL podese escrever a equação do movi mento mx c1 c2 x kx 0 262 Da Eq 262 podese observar que ceq c1 c2 e dai ξ c cc c1 c2 2mωn 263 Por fim devese notar que é possível escrever a equação do movimento de um sistema amortecido de 1 gdl em função de ωn e ξ assim x 2ξωn x ω2x 0 264 43 xt k m cl c2 Fig 29 Sistema massamolaamortecedor com dois amortecedores 222 Movimento superamortecido ou supercritico 1 Este caso acontece quando 1 o que faz com que as raizes da Eq 251 sejam um par de ntmeros reais A solugéo da equagao do movimento para esta situagao é dada por xt Ael Ve1ent Bel v P1unt 265 sendo A e B sao novamente obtidas pelas condigoes iniciais e sao dadas por Uo E 62 1 WX A TJT 266 Quy E 1 vo G VF 1 WnXo B2J 267 QW 1 A resposta de sistemas superamortecidos nao envolvem oscilagao assim quando este é perturbado este retorna a sua posicao de equilibrio de forma exponencial A fig 210 mostra um exemplo de resposta para este sistema considerando como condigoes iniciais 79 002 m e velocidade inicial de Vo 0 44 0 05 1 15 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 Tempo s xtx0 m 5 kg c 200 Nsm k 1400 Nm x0002 m v00 Fig 210 Resposta do sistema superamortecido 223 Movimento amortecido criticamente ou crítico amortecido ξ 1 Este caso especial ocorre quando ξ 1 e neste caso as raízes são um par de números reais negativos e iguais A solução da equação do movimento é dada por xt eωnt v0 ωnx0 t x0 268 Na fig 211 é mostrada a resposta para vários valores da condição inicial de v0 Um sistema amortecido criticamente quando perturbado por certas condi ções iniciais retorna à posição do equilíbrio no tempo mais rápido sem oscilar Um exemplo clássico de aplicação deste sistema é o dispositivo amortecedor em portas de elevador caso se solte a porta bruscamente esta não bate vio lentamente no batente e sim volta para a posição de equilíbrio suavemente Outro exemplo é o sistema de recolhimento de armas de fogo 45 m 5 kg c 200 Nsm k 1400 Nm x002 m VVvarias 003 vo0 1 v005 ms 002545 v005 ms 1 Noy 1 oo2k 1 1 0015 1 1 001 0005 x Nv se 3 0005 0 05 1 15 Tempo s Fig 211 Resposta do sistema criticamente amortecido 23 Decremento logaritmico Quando se esté analisando um sistema estrutural ja existente normal mente nao se conhece os valores dos parémetros de rigidez e amortecimento sendo necessario portanto determinar o valor do fator de amortecimento assumindo um sistema de 1 gdl equivalente Nestes casos é necessario realizar uma estimativa a partir dos dados experimentais do comportamento vibrat6 rio do sistema quando lhe é aplicado alguma condicao inicial de perturbacao Varios podem ser os métodos empregados Neste capitulo sera apresentado o método do decremento logaritmico Nos capitulos seguintes ira se discutir outros métodos para sistemas forcados e com miltiplos graus de liberdade O decremento logaritmico 6 é definido como o logaritmo natural da razao de duas amplitudes sucessivas Considere a resposta xt do caso subamor tecido 0 1 visto na fig 212 O decremento logaritmico 6 é escrito como xt 6 ln 269 at ta sendo tq o periodo entre duas oscilagdes sucessivas onde wg a freqiiéncia angular natural amortecida Para um caso geral temse 46 19X10 8 6 4 Ee 2 9 2 4 6 0005 01 015 02 025 03 035 04 045 Tempo s Fig 212 Resposta de sistema subamortecido evidenciando amplitudes su cessivas x x Ln 5In In In 270 ry r Tn1 sendo n o namero de oscilagoes realizadas A Eq 270 pode ser rescrita da forma x x Ln Ln 2 tare Leet 271 Ly v2 Tn1 Ln Notando que 22 0212 nodese escrever a relagao n 1 2 3 Ln x er 272 Xn Com isto obtémse uma nova expressao para o decremento logaritmico 6 em fungao do ntimero de ciclos n realizados no movimento oscilatério 1 x 5 In 273 n Ln Lembrando que a resposta de um sistema subamortecido é do tipo at Xe sen wat o 274 AT Substituindo a Eq 274 na Eq 270 obtémse a seguinte equacgao x Xe Sto sen wat y 5 tn 22 in AE sen ato FON 275 X41 Xe Sent sen wat sendo t to tg onde tg a Apos algumas manipulacoes algébricas na Eq 275 chegase a expressao do decremento logaritmico 6 em fungao do fator de amortecimento 27 5 2 276 1 Ou ainda da forma 277 V4r 4 6 Assim se conheco duas amplitudes sucessivas xp e 1 ou se uma amplitude Xp e uma amplitude x apds n ciclos posso calcular o decremento logaritmico d entre elas e estimar com a Eq 277 o fator de amortecimento do sistema Exemplo 26 Considere wm sistema massamolaamortecedor com massa m 20kg e deslocamento inicial x9 001 m A fig 213 mostra a resposta livre deste sistema Estime os coeficientes equivalentes de rigidez e amortecimento viscoso deste sistema Solugao Considerando duas amplitudes sucessivas 9 001 me a 0005 m mostradas na fig 213 0 decremento logaritmico calculado a seguir x 001 5 In In P8E 0693 Com o 6 calculado empregase a Eq 277 para se estimar o fator de amor tecumento e SS 011 Vn 6 4106932 Como o fator de amortecimento esta entre 0 e 1 este sistema é subamor tecido Sabendo que o pertodo entre as duas oscilagoes sucessivas td 006 s também visto na fig 213 podese calcular a freqiiéncia angular natural amortecida Wg 1047 rads Com o uso da Eq 254 podese entado estimar qual o valor da freqiiéncia angular natural dada por Wad 1047 Wn Jle Vioi 1053 rads A rigidez do sistema pode ser escrita lembrando que Wy VE o que leva a 48 0 005 01 015 02 025 03 035 04 045 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 x 10 3 X 006 Y 0004993 Tempo s xt m X 0 Y 001 Fig 213 Resposta livre do sistema kmω2 n 20 10532 222 105 Nm Já o coeficiente de amortecimento viscoso é estimado por c2mωnξ 2201053011 463 102 Nsm 24 Exercícios Ex 21 Plote em algum software estilo Scilab a resposta para o sistema mx c x kx 0 com m 1 kg c 4 Nsm e k 5000 Nm com condição inicial de x0 003 m e v0 02 ms2 Ex 22 Resolva a seguinte equação do movimento mx kx 0 com condi ção inicial x0 1 e v0 0 Plote sua resposta assumindo valores para k e m em algum software estilo Scilab Discuta o resultado Ex 23 Resolva a seguinte equação do movimento x xx 0 com condição inicial x0 1 e v0 0 Plote sua resposta assumindo valores para k e m em alguma software estilo Scilab Discuta o resultado 49 Ex 24 Sabese que um sistema massamolaamortecedor tem os seguintes pólos λ12 1 102 01157 10472j Pedese a Estes pólos são es táveis Justifique b Qual o tipo de movimento que este sistema realiza quando este é perturbado com uma condição inicial c Determine a freqüên cia natural e o fator de amortecimento deste sistema Ex 25 Para um sistema massamolaamortecedor com m 875 kg c 14012 Nsm e k 140125 Nm quando este é sujeito a uma velocidade inicial de v0 254 ms e x0 0 pedese a Verifique o tipo de sistema subamortecido crítico ou superamortecido b O deslocamento máximo do sistema Ex 26 Um canhão tem uma massa de 1100 kg e um sistema de recolhi mento composto de uma mola k 470000 Nm e amortecedor de choque viscoso com amortecimento crítico A distância de recolhimento é de 09 m Pedese a A velocidade inicial de recolhimento b O tempo para retornar à posição 025 m da posição inicial c O deslocamento em t05 s Ex 27 Para um sistema com amortecimento viscoso com massa m 1 kg e rigidez k 4900 Nm verificase que a amplitude de vibração reduzse em 80 em 15 ciclos Determine o fator de amortecimento ξ e o coeficiente de amortecimento viscoso do sistema Ex 28 Um componente estrutural de um sistema automotivo com massa de 1 kg é perturbado para oscilar com vibrações livres A sua resposta experi mental para esta condição é vista na fig 214 Com base neste gráfico de termine os coeficientes equivalentes de rigidez e amortecimento viscoso deste sistema assumindo que ele tem apenas 1 grau de liberdade Ex 29 A resposta ao impulso de um sistema mecânico é medida experi mentalmente e mostrada na fig 215 Com base neste gráfico pedese o cálculo do coeficiente de amortecimento viscoso equivalente e do coeficiente de rigidez equivalente do sistema A massa do sistema é 20 kg Ex 210 Durante parte do Campeonato Mundial de Fórmula 1 de 2006 a Equipe Renault utilizou em seus carros absorvedores de vibração na dianteira e na traseira com o objetivo de minimizar as oscilações do chassi provocadas pela passagem sobre as zebras e consequentemente melhorar seu desem penho No detalhe da fig 216 está mostrado o dispositivo empregado na dianteira que consiste basicamente em um sistema massamolaamortecedor de 1 grau de liberdade com uma massa de 7 kg 1 apoiada sobre molas 2 e 3 de diferente rigidez com relação 1 3 inseridas em uma carcaça 4 50 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 x 10 3 Tempo s xt m Fig 214 Resposta livre do sistema estrutural de fibra de carbono e com um amortecedor regulável 5 contendo um fluido viscoso Sabendo que a freqüência natural não amortecida do absorvedor de vibração utilizado na dianteira é de 22 Hz determine a rigidez das molas empregadas2 Ex 211 O projeto de uma absorvedor de choque subamortecido para uma motocicleta para motocross de 200 kg de massa fig 217 deve atender às seguintes especificações quando o amortecedor estiver sujeito a uma veloci dade vertical inicial devido a uma saliência na estrada a curva deslocamento tempo deve ser decrescente Determine as constantes de rigidez e amorteci mento necessárias para o amortecedor se o período de vibração amortecida for Td 2 s e a amplitude tiver que reduzir em 14 em meio período De termine também a velocidade inicial mínima que resulta em um deslocamento máximo de 250 mm Ex 212 Para os sistemas das figuras 218219 e 220 determine a equação do movimento e a frequência natural nãoamortecida do sistema 2Questão adaptada do ENADE 2008 51 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Tempo s ht mm Fig 215 Resposta ao impulso ht Fig 216 Vista do fórmula 1 Ex 213 Uma haste delgada uniforme de massa m e comprimento l é ar 52 Fig 217 Amortecedor para uma motocicleta Fig 218 Sistema 1 ticulada no ponto A e está ligada a quatro molas lineares e a uma mola torcional como mostra a fig 221 Determine a frequencia natural não amortecida do sistema se k 2000 Nm kt 1000 Nmrad m 10 e l 5 m Ex 214 Determine a equação do movimento da barra rígida OA de com primento l e massa m da fig 222 Determine também a sua frequência natural 53 Fig 219 Sistema 2 Fig 220 Sistema 3 Ex 215 Desafio Uma turbina hidráulica de 1000 kg de massa e 500 kgm2 de momento de inércia de massa é montada em um eixo de aço como visto na fig 223 A velocidade operacional da turbina é 2400 rpm Ad mitindo que as extremidades do eixo sejam fixas determine os valores de d a e l tais que a frequência natural de vibrações da turbina em cada uma das direções axial transversal e radial seja maior que a velocidade operacional da turbina O momento de inércia de área do eixo é I πd464 momento de inércia de massa é definido como 54 5 k k 908 fo OUD a L A 3 ao a hy Ea i 21 k k ON ie O00 te fo Fig 221 Barra rigida Mola S Mola torcional cS linear k 6m A MB Oe Te G CG aa ky a i a Mola aT linear Fig 222 Barra rigida I rdm 278 sendo dm pdV Dica use os conceitos de energia cinética e potencial e cdlculo de massa e rigidez equivalente do sistema 59 Fig 223 Eixo com turbina montada 56 Capítulo 3 Vibrações Forçadas em Sistemas com 1 Grau de Liberdade Imagine a seguinte situação prática e bastante comum em um ambiente industrial Você trabalha em uma empresa que recebeu um compressor al ternativo de grande dimensão e precisa instalálo Para isto deve especificar uma fundação composta por absorvedores com determinada rigidez e amor tecimento para reduzir a vibração da máquina Caso isto não seja bem feito é possível que a vida útil da máquina seja reduzida devido a vibração exces siva Como proceder isto Até o final deste capítulo o estudante terá uma idéia de como realizar este projeto Na situação hipotética descrita acima e em muitas outras as máquinas e sistemas estruturais vibram devido não somente às condições iniciais e na frequência natural amortecida ou não e sim em função também de forças de excitação externa Ft que podem ser de diferentes tipos conforme visto na seção 123 Inicialmente iremos considerar apenas o caso em que a excitação é do tipo harmônica Em seguida excitações do tipo impulso unitário e degrau serão usadas Nesta primeira parte uma série de conceitos e definições im portantes em vibrações vão ser apresentadas Como aplicação se mostrará a vibração causada por força de desbalanceamento em máquina rotativa e o projeto de fundação para instalação de máquinas O caso de resposta de sistemas excitados por forças de excitação qualquer é tratado com várias abordagens usando a transformada de Laplace método da integral de con volução e transformadas de Fourier Na medida do possível buscasse ilustrar todo o conteúdo apresentado com exemplos de aplicação prática na indús tria Também são introduzidos alguns conceitos básicos de análise espectral e formas de se estimar as funções de resposta ao impulso IRF e função de resposta em freqüência FRF A abordagem de solução das equações do movimento para sistemas com 1 grau de liberdade livre ou forçado através 57 de métodos de aproximação numérica é revista em especial nas formulações baseadas em aproximação por séries de Taylor Por fim é apresentada uma discussão sucinta do fenômeno comum na prática de vibração autoexcitada em especial a instabilidade dinâmica causada por escoamento de fluido 31 Vibração causada por excitação harmônica Considere a equação do movimento de um sistema massamola amortecedor com 1 grau de liberdade com uma força de excitação Ft agindo sobre ele mx c x kx Ft 31 A Eq 31 é uma equação diferencial ordinária linear e nãohomogênea EDOLNH No caso considerado nesta seção assuma que a força Ft seja do tipo harmônica e descrita por Ft Fsen ωt 32 sendo F a amplitude de excitação unidade N e ω seja a freqüência de excitação Com isto a Eq 31 tornase mx c x kx Fsen ωt 33 A questão agora é saber como solucionar a EDOLNH para saber o mo vimento oscilatório xt Um método que pode ser usado envolve aplicar o método dos coeficientes indeterminados 3 Assim a solução da equação do movimento 33 envolve a soma de duas soluções uma primeira homogênea xht que pode ser as Eqs 253 265 ou 268 dependendo do valor do ξ do sistema e uma segunda particular xpt ou seja xt xht xpt 34 A solução homogênea xht corresponde a solução da equação quando Ft 0 e representa um termo transitório provocado pela resposta livre já a solução permanente xpt depende da freqüência de excitação e é uma res posta em regime permanente Fisicamente a solução em regime permanente xpt segue a excitação Ft com uma amplitude Xp e fase ϕ em relação a excitação1 assim a solução da parte permanente é do tipo xpt Xpsen ωt ϕ 35 1Obviamente se for assumido que o sistema é linear e que a excitação é senoidal 58 Derivando a Eq 35 e substituindo na Eq 33 chegase a amplitude de resposta X do sistema X 4 36 w22 w2 y l me c ou de uma forma mais elegante Xk 1 M 78 37 f ry 2ér sendo r a razao entre as freqiiéncias de excitagao e natural nao amortecida e M r o fator de ampliagao que é fungao da razao r e do fator de amortecimento Ja a fase y pode ser escrita como 2Er tan 38 p tor 8 38 Entao a solucao final da equacgao do movimento para um sistema suba mortecido 0 1 pode ser escrita como ut xpt xt Ewnt Fk xt Xpe S sen wat 6 sen wt y 39 r 2r sendo X a amplitude da resposta transitéria dada pela Eq 259 Exa minando a Eq 39 podese realizar duas observacgdes importantes e Quando o tempo t é grande t oo o termo transiente xt pri meiro termo da Eq 39 tornase muito pequeno e consequentemente a resposta de regime permanente zt fica predominante na resposta final xt e Caso a freqiiéncia de excitagao w seja igual ou proxima da freqiiéncia natural w arazao r 1 Este fendmeno é conhecido como ressonancia e implica que o fator de ampliacao M r possa aumentar muito de pendendo do valor do do sistema e consequentemente as amplitudes de vibragao podem ficar muito grandes O fenédmeno de ressonéncia normalmente deve ser evitado no projeto de estruturas e maquinas uma vez que grandes amplitudes de vibragao podem 59 acelerar o processo de falha por fadiga desconforto ruído dentre outros problemas Ocasionalmente o fenômeno de ressonância pode ser catástrofico dependendo do valor do fator de amortecimento ξ do sistema Entretanto o conceito de ressonância também é muito útil em teste estrutural Por exemplo toda a análise modal é baseada em medir vibrações em condição de ressonância A fig 31 ilustra como o valor da razão de freqüência r e do fator de amortecimento ξ afetam as amplitudes na condição de ressonância quando r 1 Esta figura ilustra o fator de ampliação M r ξ para vários valores de ξ Note que existe uma faixa próxima a r 1 onde existe uma ampliação nas amplitudes de vibração esta região é conhecida como faixa de ressonância É interessante também observar pela Eq 37 que quando ξ 0 e r 1 o valor de Xp 0 05 1 15 2 25 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Razão entre freqüências r Mrξ ξ15 ξ10 ξ03 ξ02 ξ01 ξ005 Fig 31 Curvas de ampliação de amplitudes de vibração para um sistema com 1 gdl O máximo valor de M r ξ é chamado de pico de ressonância e é encon trado quando 60 dM r Ww dM 58 9 poe 2 310 dr Wn O valor maximo de M r quando r 1 2 e quando 12 é dado por Mmax 311 er Podese definir também a largura de banda Bandwidth BW como sendo o valor da freqiiéncia em que a magnitude de vibracao XkF fica abaixo de 707 que corresponde a um decaimento de 30 dB A largura da banda BW pode ser relacionada ao fator de amortecimento através da expressao BW wry 1 27 V464 4 2 312 Outras duas quantidades utilizadas na discussao de vibragoes de estrutu ras e maquinas é o fator de perda 7 descrito por 9 26 313 eo valor Q ou fator de forma de ressonancia expressado através da relagao 1 1 Q 314 2g E interessante notar que quando r 1 o fator de ampliacéo M r é igual ao valo Q Outra situacao interessante acontece quando r 1 e o sistema nao é amortecido 0 Nestes casos ocorre o fendmeno de batimento ilustrado na fig 32 Um exemplo pratico do fendmeno de batimento ocorre em vibragao de transformadores Na seqtiéncia apresentase alguns exemplos sobre a aplicagao destes con ceitos em problemas praticos de engenharia Exemplo 31 Uma mdquina com 45 kg montada em cima de um isolador naoamortecido composto por quatro molas em paralelo com rigidez de 2 x 10 Nm em cada mola Quando opera a uma velocidade de 32 Hz a amplitudes em regime permanente X medida a partir de um teste experimental e corresponde a 15 mm Qual a magnitude da forca que excita esta maquina nesta velocidade 20 decibel dB é definido como sendo 20logAmplitude no caso 20log70730 dB 61 05 1 15 4 0 5 10 15 20 25 30 Tempo s Fig 32 Exemplo de batimento para um sistema com gdl Solugao A freqiiéncia natural deste sistema calculada por ke 4 2 x 10 wy 4 at je 1333 rads 315 A freqiiéncia de excitagao em rads calculada como w 2nf 2732 Com isto a razao entre freqtiéncias do sistema é calculada como w 2732 1333 316 Como o sistema montado em um isolador sem amortecimento 0 com umr 10 fator de ampliagao M r calculado pela Eq 37 de forma modificada M 151 0 ot 0781 317 jlr Jl 151 Rearranjando a Eq 37 obtémse o valor da amplitude da forga de excitagao deste sistema 62 Xyke 00015 8 x 10 pa rhea 00015 8 X10 sy 08 318 M r 151 0 0781 Exemplo 32 Uma mdquina com 120 kg montada no meio de uma viga simplesmente suportada com comprimento L 15 m modulo de elasticidade E 200 x 10 Nm e momento de inércia de drea I 153 x 10 m Um teste de vibracoes feito nesta maquina quando esta é excitada por uma fora harménica com magnitude de 2000 N para diferentes velocidades de rotagao da maquina Todas as medigoes experimentais das amplitudes de vibragao Xj em funcao das velocidades de rotagao sao gravadas e constatase analisando estes resultados que a mator amplitude corresponde a 25 mm Com esta informagao estime o coeficiente de amortecimento do sistema Solugao O primeiro passo calcular a rigidez da viga que para esta con digao de contorno simplesmente suportada definida como A8EI 48200 x 10 153 x 10 k 18 200 x 10 253 x 10 435 x 10 Nm 319 L 15 Com a rigidez calculada possivel se calcular a freqtiéncia natural w do sistema k 435 x 10 Wy 4 1904 rads 320 m 120 Como a informagao conhecida é a maxima amplitude de vibragao em regime permanente medida experimentalmente Xmax 00025 m podese calcular o fator de ampliagao maézimo Minax pela Eq 87 Xmark 00025 435 x 10 M i 254 321 Com o valor de Mmaz calculado a Eq 311 pode ser rearranjada e241 9 322 4AM ax que uma equacao quadratica em cuja ratzes sao dadas por 1 1 11 323 mon 329 Substituindo Mmax 544 e notando que o sinal positivo em leva a um fator de amortecimento maior do que 12 temse entéo que 0092 Ou seja apenas uma das ratzes da equagao acima significativa fisicamente 63 32 Vibracgao causada por forga de desbalance amento em maquinas rotativas Um caso especial de vibragoes excitadas por forgas harménicas ocorre em maquinas rotativas com massa desbalanceada Nestes casos o sistema é excitado por uma massa desbalanceada com uma velocidade angular w e com uma excentricidade e Esta forga de desbalanceamento é dada por Ft mgew sen wt 324 A fig 33 mostra uma maquina rotativa representada por um sistema massamolaamortecedor com um grau de liberdade moO e oO k C xt Fig 33 Exemplo de maquina rotativa com massa desbalanceada Neste caso a equagao do movimento do sistema é descrita por me ch ka moewsen wt 325 Assim para este caso a amplitude de vibragoes em regime permanente de uma maquina rotativa com desbalaceamento pode obtida a partir da Eq 37 Fk Xp 326 l 92 26r 64 Como a amplitude da forca de desbalanceamento é F mogew a Eq 326 pode ser reescrita x Mew 7 327 f ry 2ér sendo que moe representa a quantidade de desbalanceamento do sistema Em geral moe é obtido a partir de um teste experimental para procurar adicionar massas para corrigir este desbalanceamento uma vez que esta ex citagao em niveis muito grandes pode comprometer o funcionamento de uma maquina e diminuir sua vida util Dividindo a Eq 327 por m obtémse a expressao final conhecida como fator de ampliacao adimensional A r mx r Ar 328 moe a er A fig 34 ilustra a fungao A r para varios valores de r e 10 215 9 10 03 8 502 01 2005 6 Z 5 4 3 1 Ao Ss fon 0 aa eeeeeC 0 05 1 15 2 25 3 Razao entre freqiiéncias r Fig 34 Curva da fungao A r Notase que para um 12 o maximo valor A é 65 1 Ana 329 JIE 329 e ocorre quando a razao de freqiiéncias r é dada por 1 r 330 Amazx 7 22 Exemplo 33 Um gerador composto por um motor diesel monocilindrico de massa m 1100 kg esté montado sobre isoladores com uma rigidez equiva lente keg 15 MNm O pistao e a parte da biela equivalente tém massa de 26 kg e movemse de forma harménica na maquina no sentido vertical com curso de 045 ma 500 rpm O curso definido como curso 2e A partir de um teste experimental constatouse que a amplitude de vibragao em regime permanente do motor X de 001 m Admitindo amortecimento viscoso calcular o coeficiente de amortecimento do sistema Solugao A freqiiéncia de excitagao da maquina em rads é dada por 2 w 500 523 rads 331 A freqtiéncia natural w do sistema é dada por k 15 x 10 Vin V 1100 rads 332 A razao entre as freqiiéncias do sistema r escrita como Ww 523 141 333 Oy 3692 333 A excentricidade calculada sabendo que 0 curso 2e como o curso é de 045 m entao a excentricidade e dada por 0225 m A massa de desbalan ceamento mg 26 kg Com isto a partir da Eq 328 podese calcular o fator de amortecimento X 2 Ap 334 moe a 19 26r 1100001 141 26 Wa 335 260225 q 4412 2141 66 Com isto o valor do fator de amortecimento é dado por 0133 Lembrando do capitulo 2 que o coeficiente de amortecimento viscoso calculado por Cc 2mEwy 21100 0133 3692 105591 Nsm 336 33 Fungao de resposta ao impulso IRF Uma situagao muito comum em analise de vibragdes e em problemas de dinamica estrutural é focar na andlise transiente da resposta Nestes casos uma entrada do tipo impulso ocupa um lugar de destaque A resposta ao impulso basicamente tem a forma da resposta as condigoes iniciais do caso homogéneo Muitos sistemas mecanicos sao excitados por carregamentos que sao aplicados por um tempo breve Matematicamente estas situagoes sao modeladas usando uma representagao matematica chamada de impulso unitario ou fungao delta de Dirac 6t a Esta representacao matematica é definida como 0 t0 stae toa 337 sendo dtadt1 338 Assim a equacaéo do movimento para um sistema massamolaamortecedor com um grau de liberdade é descrita por mt ck kx dta 339 A resposta da Eq 339 para o caso subamortecido é escrita como eSnt senwat tea xt muon eS 340 t 0 boa 340 onde wq Wn1 é a freqiiéncia natural amortecida A resposta do sistema quando a excitacao aplicada é uma funcao impulso unitario é tao importante que nestes casos xt 6 chamada de funcao de resposta ao impulso IRF e escrita como sendo ht Quando a 0 a IRF de um sistema de um grau de liberdade é escrita como 3Do inglés Impulse Response Function 67 ht eξωntsen ωdt mωn 341 Note que a IRF ht é idêntica a resposta livre subamortecida do sistema Eq 252 quando as condições iniciais de deslocamento e velocidade são respectivamente x0 0 e v0 1 m A fig 35 apresenta um exemplo de IRF quando m 1 kg c 5 Nsm e k 1000 Nm 0 05 1 15 2 25 003 002 001 0 001 002 003 Tempo s IRF ht Fig 35 Exemplo de resposta ao impulso ht de um sistema A IRF é muito útil para realização de análise transiente de sistemas estru turais e mecânicos complexos e também para descrever a resposta de sistemas para diversos tipos de excitação O conhecimento da IRF também pode ser usado em análise modal visando extrair os parâmetros modais freqüências naturais fatores de amortecimento e modos de vibrar Algumas destas con siderações ainda serão apresentadas até o final deste capítulo assim como formas de se estimar a IRF de maneira experimental 68 34 Resposta para excitacao do tipo degrau unitario A resposta para excitacgao do tipo degrau unitdrio ut tg é util para analise de projeto de sistemas dinémicos e muito usada para especificagao de controladores A partir da resposta xt de um sistema a excitacaéo degrau unitario é possivel definir varios parametros que descrevem o comportamento dinamico de um sistema qualquer A fungao degrau unitaério é descrita matematicamente pela expressao a seguir t utto 0T todr 342 0 que leva entao para 0 tto to yo A wet 0 1S 343 Quando ty 0 a excitagéo degrau unitario é dada por ut to pt A equagao do movimento de um sistema quando aplicado como excitacao Ft ut um degrau unitario é dada por mécékx yt 344 Resolvendo a equacao diferencial dada pela Eq 344 chegase ao resul tado abaixo Ewnt e sen Wat nt 1 Senwat F 0 345 1 sendo a fase descrita como L 2 arctan 346 Um esboco da resposta ao degrau unitario para um sistema mecanico com m1kgc5 Nsme k 1000 Nm é mostrado na fig 36 Note que na fig 36 sao descritos alguns parametros que descrevem o comportamento dinaémico de um sistema e podem ser usados para analisar qualitativamente se um sistema mecanico tem comportamento adequado ou nao de acordo com especificagoes de projeto Uma destas medidas é 0 sobre sinal mais conhecido pelo termo em inglés overshoot OS Este valor é dado 69 3 1800 0001778 os 16 14 12 X 1759 Y 00009952 1 S t s 08 06 041 4 p 02 0 0 05 1 15 2 25 Tempo s Fig 36 Exemplo de resposta ao degrau unitario para um sistema com um grau de liberdade pelo maximo valor da resposta menos o valor desta quando o sistema entra em regime permanente ET OS Lmax t 1 exp aot 347 1 o overshoot ocorre exatamente em um tempo de pico t descrito como T t 348 nt Outra caracteristica importante o periodo de oscilagoes Ty dado por 27 Tq 21 349 Wyr1 p Por fim o tempo de ajuste t define o tempo em que a resposta do sistema atinge o regime permanente dentro de um intervalo de 5 Uma aproximacao para t pode ser escrita como Ha definicdes para ts quando este intervalo é 3 70 3 t 350 Wn E importante observar que a partir das equacées anteriores é possivel pro jetar um sistema com um determinado fator de amortecimento e freqiiéncia natural w de acordo com os parametros de tempo de ajuste overshoot pe riodo de oscilagoes e tempo de pico para conduzirem a uma resposta com caracteristicas e forma desejada 35 Método da integral de convolucgao A integral de convolugaéo ocupa um lugar de destaque no estudo de siste mas dinaémicos lineares A partir desta integral é possivel descrever a resposta de um sistema mecanico quando este é excitado por qualquer tipo de sinal de entrada forga Ft e quando as condicoes iniciais de deslocamento e veloci dade sao nulas 0 0 e 0 0 respectivamente Para isto é necessario se conhecer a IRF ht A convolugao entre a excitagao Ft e a IRF ht conduz a resposta do sistema 00 xt Frht 7dr 351 Co O limite inferior da Eq 351 pode ser descrito como zero pois o comum é estudar sistemas que sAo causais assim a integral de convolucao pode ser rescrita na forma 00 xt Frht 7dr Ft ht 352 0 onde o simbolo representa a operacgaéo de convolugéo entre sinais A Eq 352 mostra a importancia do conhecimento da IRF ht Caso se estime experimentalmente a IRF ht é possivel descrever a resposta de um sistema mecanico complexo a qualquer tipo de excitagao sem precisar resolver uma equacgao diferencial do movimento uma grande vantagem da integral de convolucao Em termos praticos os sinais experimentais medidos de entrada Ft e da IRF ht sao de natureza discreta Assim definese a forga e a IRF em O conceito de sistemas causais significa que um sistema s6 comeca a responder se uma entrada é aplicada em um instante ou um instante anterior t tp Jé um sistema naocausal pode responder em um instante t 4 entradas futuras to que ainda nem foram aplicadas Um exemplo de sistema naocausal é sistemas dinaémicos que descrevem o comportamento de bolsas de valores 71 termos de amostras em instantes n sendo que a distancia entre estas amostras depende da taxa de amostragem empregada Nestes casos a IRF e forca sao escritas como seqiiéncias hn e Fn e a integral de convolugéo da Eq 352 é escrita na forma discreta como uma soma de convolugao N xn S hn kFk hn Fn 353 k0 sendo N N N 1 0 nimero de amostras contidas no sinal discreto xn onde Np é 0 ntimero de amostras no sinal de forca Fn e Np o nimero de amostras da IRF discreta hn 36 Funcao de transferéncia e métodos frequén clais Até este ponto toda a andalise de vibracdes empregada se baseou em téc nicas temporais Outra abordagem é analisar vibracoes em outros dominios como no dominio da varidvel de Laplace s ou no dominio da freqiiéncia Nes tes casos as equacoes diferenciais ordindrias lineares podem ser descritas de forma algébrica além de ser em alguns casos mais facil se extrair informacoes dinamicas de um sistema mecanico quando este esta representado no dominio 8 OU jw 361 Transformada de Laplace A transformada de Laplace é uma ferramenta matematica para mudanca de dominios entre sistemas continuos A transformada de Laplace é definida para sistemas lineares causais e continuos descritos por uma IRF ht como sendo 00 HsLht e htdt 354 0 Se aplicarmos a transformada de Laplace na equacgao do movimento Eq 31 com condigoes iniciais nulas obtémse Xs ms es k Fs 355 que pode ser organizada como uma relagao entre sinais de entrada e saida Esta relacao fornece a transformada de Laplace da IRF Hs Definida com cuidado para se evitar o fendmeno de aliasing 72 Xs 1 ny XO Fs mscsk A fungéo Hs comumente chamada de fungao de transferéncia do sis tema e é uma caracteristica intrinseca do sistema dinamico em estudo Im portante fazer algumas observacoes sobre a funcgao de transferéncia Hs e A funcao de transferéncia FT é a mesma qualquer que seja a excitacao aplicada e O conhecimento da FT de um sistema ajuda a descrever a resposta a qualquer excitacao e O denominador da FT é a ja definida equagao carateristica e As raizes do denominador da FT sao valores singulares chamados de polos e para um sistema subamortecido sao dados por s JWnr 1 A contrapartida no dominio s de Laplace para a integral de convolugaéo da Eq 352 é dada por Xs HsFs 357 ou seja é possivel descrever a resposta de um sistema devido a um sinal qualquer usando uma simples relagao algébrica entre os dados de entrada e saida em vez de calcular uma integral de convolugao ou mesmo resolver uma equacgao diferencial Esta 6 uma das grandes vantagens de se trabalhar com transformadas Note que a varidvel s é complexa Existe também uma contrapartida para o caso discreto usando a soma de convolucao nesta situagao se emprega a transformada z que infelizmente ainda nao é estudada em detalhes em um curso convencional de graduagao em Engenharia Mecanica A tabela 31 resume as situagdes para os casos continuos e discretos A FT também pode ser descrita em fungao de wy e 1m Hs tim 358 s 2EWyS w2 Em problemas de engenharia de controle a FT é descrita apenas como a razao entre sinais de entrada e saida sem grande preocupacao com as grandezas fisica envolvidas nesta razao Porém em problemas de anélise de vibragoes e dinamica estrutural comum se medir a grandeza fisica de 73 Tab 31 Tipos de andlise de sistemas mecanicos usando transformadas Xs HsFS Xz HzFs Transformada de Laplace Transformada z nt fo FM 1dr ain Yo hn KFIR Integral de convolugao Soma de Convolugao aceleragao usando acelerémetros nestes casos a relagéo entradasaida é dada por sHs e 6 chamada de inertancia A tabela 32 mostra os varios tipos de FT que podem ser aplicadas em dinamica de estruturas dependendo do tipo de medida efetuada Tab 32 Varios tipos de fungao de transferéncia empregadas na analise dinamica Resposta medida Funcao de Transferéncia Inverso da FT Hs Compliancia Rigidez dinaémica Velocidade sHs Mobilidade Hs Inertancia Note que uma vez conhecida a inertancia ou qualquer outra fungao de transferéncia é possivel transformar de uma a outra a partir ou de multipli cagoes ou divisoes pela varidvel de Laplace s 362 Fungao de resposta em freqtiéncia FRF Do ponto de vista experimental o que se faz é trabalhar com a transfor mada de Fourier Assim uma vez conhecido o sinal de entrada excitacao no dominio do tempo Ft e considerando um mapeamento da funcgao de transferéncia Hs em s jw sendo w uma freqtiéncia que varia em um inter valo de andlise obtémse a entao chamada fungao de resposta em freqtiéncia FRE Hjw Hw Em particular com sua variante no dominio discreto A Tranformada Discreta de Fourier SQue pode ser medido com o auxilio de células de carga Do inglés Frequency Response Function 74 1 1 Ajw 2 359 Ww mjwcjwtK kw2m jew 359 Interessante observar que a FRF Hw nada mais é do que a aplicagao da transformada de Fourier na fungao de resposta ao impulso IRF ht no dominio continuo ou da aplicagao da transformada discreta de Fourier na IRF discreta hn Sendo assim também é possivel escrever a relagéo entre entrada e saida dada pela Eq 357 no dominio da freqiiéncia w Xw HwFw 360 Note na Eq 354 que se considerarmos s jw obtémse a expressao para a transformada de Fourier da IRF conduzindo a FRF 00 Hw e Jhtdt 361 0 Assim como a FT a FRF também pode ser descrita em fungao dos sinais de aceleragao velocidade e deslocamento A tabela 33 mostra estes casos onde observase que a relacaéo entre estas FRFs sao em relagao a dividir ou multiplicar Hw pela freqiiéncia w Tab 33 Varios tipos de FRFs empregadas na andlise dinamica Resposta medida Inverso da FRF Hw Compliancia Rigidez dinamica Velocidade jwHw Mobilidade FFF Ho Inertanca Devese notar também que a FRF Hw é uma grandeza complexa des crita por uma parte real e imaginaria Hw RHw jSHw 362 sendo sua magnitude descrita por JH w VRHW SH 363 e sua fase escrita como SH o SiH w 364 RHw 75 Podese representar uma FRF graficamente de diferentes formas A mais comum é 0 chamado diagrama de Bode que consiste em descrever o médulo e a fase da FRF com a amplitude em dB A fig 37 apresenta as FRFs do sistema com m 1 kg c 5 Nsm e k 1000 Nm considerando inertancia mobilidade e compliancia Outro grafico comum é escrever a parte imaginaéria em fungao da parte real Neste caso o grafico tem a forma de um circulo com centro em e raio caso se empregue a FRF de mobilidade A fig 38 apresenta um exemplo deste tipo de grafico Esta representagao é conhecida como diagrama de Nyquist e muito usada em teoria de controle para estudo de estabilidade de sistemas Em analise modal este diagrama é usado para estimativa do fator de amortecimento e da freqiiéncia natural w com um método conhecido como Curve Fitting que sera estudado nos préximos capitulos Por fim outra forma de representar sistemas dinamicos é com o uso dos graficos da parte real e imaginaria da resposta em freqiiéncia A fig 39 mostra estas representagoes 37 Estimativa experimental de IRFs e FRFs AnAalise Espectral Uma FRF pode ser obtida experimentalmente caso se conhecga um sinal qualquer de resposta medida aceleragao velocidade ou aceleragao e o sinal de forga aplicada que pode ser medido com a ajuda de uma célula de carga Um dos métodos é aplicar a transformada de Fourier nos sinais de saida xt e Ft que sao definidos no dominio continuo como 00 X w e Jxtdt 365 toc Fw ei PE dt 366 0 Porém na pratica a aplicacéo da transformada continua de Fourier in tegral acima nao é muito efetiva uma vez que os sinais sao normalmente amostrados em intervalos de tempo O mais sensato entao é aplicar a trans formada discreta de Fourier nos vetores discretizados seqiiéncias xn e Fn N X wp 5 ener 367 n0 76 0 5 10 15 150 100 50 0 50 Freqüencia Hz Inertância dB 0 5 10 15 0 1 2 3 4 Freqüência Hz Phase rad a Inertância 0 5 10 15 100 80 60 40 20 0 Freqüencia Hz Mobilidade dB 0 5 10 15 2 1 0 1 2 Freqüência Hz Phase rad b Mobilidade 0 5 10 15 80 70 60 50 40 Freqüencia Hz Compiância dB 0 5 10 15 4 3 2 1 0 Freqüencia Hz Phase rad c Compliância Fig 37 Funções de resposta em freqüência para um sistema com 1 grau de liberdade 77 01 fo Lee oe bees OB RE EEO ost KN 008 NS WUD SS pnp ns pcp pbs nen ee Cee enn ne cn nee arene nen enenenes B oooh W004 008 won SRE EEE EE tks eee 0 002 004 006 008 01 012 014 016 018 02 RealjoHja Fig 38 Diagrama de Nyquist da FRF de mobilidade para um sistema com 1 grau de liberdade N F wp S0 Fnje 368 n0 sendo w o valor discreto de freqtiéncia em uma posigao k dado por wz tk e N o ntmero de amostras calculadas E importante observar que pela natureza do processo de amostragem o sinal no dominio da freqtiéncia é periodizado portanto se os sinais tem N amostras temporais somente N2 amostras séo usadas para descrevelos frequencialmente Assim a FRF pode ser obtida pela razao entre X w e Fwx X wr Hu 369 Fwx Este método é 0 mais simples e é conhecido como o de varredura em freqtééncia Infelizmente esta forma de se estimar a FRF também nao conduz a bons resultados em geral uma vez que a razao entre ruidos nos sinais de entrada e saida pode ser amplificada pela Eq 369 Na pratica esta estimativa é feita usando conceitos de processamento de sinais aleatdérios e se empregando alguns conceitos basicos de estatistica Toda esta area é conhecida como Andlise Espectral 78 0 5 10 15 3 2 1 0 1 2 3 4 x 10 3 Freqüência Hz RealHjω 0 5 10 15 7 6 5 4 3 2 1 0 x 10 3 Freqüência Hz ImagHjω Fig 39 Gráfico da parte real e imaginária da FRF compliância para um sistema com 1 grau de liberdade 79 Fig 310 Realizações de sinais medidos em um processo estocástico A meta de análise espectral é descrever a distribuição sobre freqüência da potência contida em um sinal com base em um conjunto finito de amostras Estas ferramentas são úteis em análise modal vibroacústica telecomunica ções identificação de sistemas processamento de imagens etc Assumese que os sinais tanto de entrada como de saída de um sistema linear qualquer são aleatórios ou seja não se consegue prever seus estados futuros Estes sinais também não são periódicos e nem transientes portanto a rigor não podemos utilizar diretamente as ferramentas de análise de Fourier estudadas até o momento Vários termos utilizados em análise espectral são novos para a maioria dos alunos de graduação portanto é interessante fazer uma definição de alguns termos básicos Processo Estocástico graficamente pode ser expresso por um conjunto de testes com amostras aleatórias xkn com k 1 2 K realizações e n 1 2 N pontos cada ou seja só é possível analisar as caracterís ticas médias deste processo A fig 310 mostra um exemplo gráfico de processo estocástico Momentos estatísticos métricas utilizadas para descrever as característi cas de processos estocásticos Por exemplo o valor médio de um sinal xn é chamado de momento de 1o ordem 80 K ol mk lim raln 370 k1 Entre os momentos estatisticos mais importantes se destacam as fun goes de autocorrelagéo FAC Rernm i Rexnm im Ke x nxn m 371 e fungoes de correlagoes cruzadas FCC i Rerznm im K Fi njan m 372 sendo m o nimero de atrasos temporais E interessante notar que a FAC é a média do produto entre xn e xn m e a FCC é a média do produto entre duas seqtiéncia diferentes Fn e xn m Processo estacionario um processo é dito estacionario se suas proprieda des estatisticas nao variam com o tempo se mantém constante A fig 311 apresenta um sinal estacionério Caso se divida este sinal em varias partes e se calcule a distribuicao de probabilidade em cada uma destas partes irA se constatar que a distribuicao estatistica é a mesma conforme a fig 312 Talk Gd af os i I ze WE 1a asl ey Ppp bag ee Fig 311 Exemplo de um sinal estacionario 81 12 15 10 g 10 1 6 4 5 2 K N a 2 l 0 1 2 ar 5 2 1 0 1 Zz 3 10 12 A 10 8 i 6 5 2 2 1 1 ne oe NN 4 2 0 2 4 4 2 0 2 4 Fig 312 Distribuigao de partes de um sinal estacionario Processo ergédico Um processo é dito ergddico quando as propriedades médias calculadas no tempo para qualquer realizacao sao iguais As pro priedades calculadas a partir das médias do conjunto Assim as FAC e FCC de processos estacionarios e erg6dicos se tornam dependentes ape nas dos atrasos m assim Rmn Ry2m e Rrznm Rrzm Existem varios métodos temporais para se estimar as correlagoes pois dificilmente elas sao conhecidas por serem baseadas na definigao de um limite Um dos métodos mais conhecidos é 0 método de Levinson Durbin A rigor deveriamos utilizar os termos fungéo de autocovarian cia e funcao de covariancia cruzada que sao iguais as FAC e FCC mas retirando o efeito da média Apos estas definicgoes basicas é possivel descrever 0 espectro de poténcias de um sinal aleatério discreto xn descrito por um processo estocastico es tacionario e ergédico através da transformada de Fourier da FAC Rm em fungao da freqiiéncia w CO Sew S Reeme 373 Mo0o 82 sendo w arZ onde F é a taxa de amostragem em Hz e f o vetor de freqiiéncias também em Hz Assim oe 27rjf A partir do espectro de poténcias é possivel escrever a densidade espetral de poténcia PSD Pf do sinal xn Sxef A PSD representa a poténcia contida em um sinal em uma banda de freqiiéncia infinitesimal daf a definigao densidade A unidade da PSD é po téncia do sinal eg Watts por unidade de freqiiéncia Na pratica o calculo da PSD a partir da FAC nao é usual Alternativamente se usam méto dos naoparamétricos Periodograma Welch Correlgorama etc métodos paramétricos Modelos autoregressivos Equagées de YuleWalker etc e métodos de subespaco O estimador espectral naoparamétrico mais usado e simples é 0 Periodo grama definido como XA Pf 376 n 376 sendo Xf a transformada discreta de Fourier do sinal aleatério xn com L pontos Jé a PSD cruzada entre dois sinais xn e yn é obtida por A XfYf P 377 A 377 sendo Yf o complexo conjugado da transformada discreta de Fourier do sinal yn Infelizmente 0 periodograma obtido a partir da operacao acima fornece estimativas pobres devido a problemas relacionados 4 resolugao po larizagao e varidncia A solucaéo é a utilizagado de janelas o que dé origem ao Periodograma Ponderado eou diviséo em segmentos o que da origem ao Periodograma de Welch Maiores detalhes nestes métodos podem ser obtidos no livro 14 Uma das aplicagoes mais comuns de PSD é estimar de forma nao paramétrica fungoes de transferéncia de sistemas lineares e invariantes com o tempo a partir de dados de entradasaida obtidos de testes experimentais fig 313 Ou seja conhecidos os sinais de excitacao xn Fn e de resposta yn qual o sistema hn 83 xn yn hn Fig 313 Sistema linear e invariante com o tempo representado por uma IRF discreta hn Podese mostrar que a FCC entre a excitacao Fn e a resposta znl Rri igual a convolugéo discreta entre a IRF hn e a FAC de Fn Rppli Esta relagao é conhecida como equagao de WienerHopf Rroli S Ali Reeli J 378 j0 Assim através da estimativa das FAC e FCC podese calcular hn a partir da Eq 378 Este método é conhecido como Método das correlagées 1 Esta estimativa também pode ser feita em termos espectrais utilizando a PSD e a PSD cruzada entre os sinais Fn e xn Um dos estimadores espectrais classicos de fungoes de transferéncia é o estimador H definido como Pr olf Ayf 379 Pref 379 este estimador H é utilizado principalmente quando o ruido afeta mais os sinais de resposta Outro estimador usual é 0 Hz usado quando o ruido afeta mais o sinal de entrada Praf A2f 380 Um estimador espectral de FRFs mais genérico é o H usado quando o ruido afeta tanto os sinais de entrada quanto os sinais de saida A f Vv Ay fHef 381 Uma forma efetiva de conferir se uma estimativa espectral de FRF foi bem realizada é calcular a fungao de coeréncia entre os sinais de excitagao F e resposta xn 84 Srew Cr w 382 Spel Seale ee O resultado da fungao de coeréncia é sempre um valor real entre 0 e 1 Se a coeréncia de um sinal é proxima 4 1 para uma determinada banda de freqiiéncia significa que nesta faixa obtevese uma boa estimativa da FRF do sistema mecanico de interesse quando este recebe como entrada um sinal F e produz na saida um sinal xn Ou seja as estimativas de H e H2 sao proximas 38 Determinacao experimental do coeficiente de amortecimento por vibracoes forcadas Uma forma de se estimar o coeficiente de amortecimento em testes for cados é empregar a Eq 37 vista nas segoes anteriores Em resumo caso se conhecga a amplitude da forga de excitagao F e da vibragao em regime permanente X a razao de freqiiéncias r e a rigidez do sistema k podese estimar o fator de amortecimento A metodologia usando o decremento logaritmico 6 também pode ser empregada a partir de um teste experimental de aplicagao de um impulso caso se tenha em maos um martelo de impacto com célula de carga ou se extrairmos experimentalmente a FRF ou a IRF usando os métodos descritos na segao anterior Um método popular de se estimar o fator de amortecimento com base na FRF do sistema é medir as duas freqiiéncias w e w2 em torno de um pico de ressonéncia com freqiiéncia w quando a ampitude em w e WwW da FRF sao 0707 ou seja 30 dB este valor é conhecido como ponto de meia poténcia O fator de amortecimento pode ser estimado por 4 1 Wy Wy 383 63 454 383 Este método é chamado de Quadrature peak picking e é valido para sis temas levemente amortecidos 39 Métodos numéricos para solugao de equa coes do movimento Equagoes diferenciais aparecem com enorme frequéncia em diversos pro blemas de modelagem de fenédmenos fisicos 12 Exemplos sao equagdes que 85 descrevem escoamento de fluidos transferência de calor e massa química dinâmica e vibrações em sistemas mecânicos etc Uma equação diferencial é definida como uma equação que envolve deri vadas das funções A ordem de uma equação diferencial é descrita em função da maior ordem p da derivada envolvida Dois tipos básicos podem aparecer o primeiro envolve equações diferen ciais ditas ordinárias Neste caso existe apenas uma variável independente yx dy dx x y 384 Equações diferenciais ordinárias contém parâmetros físicos concentrados O segundo tipo acontece quando existe mais de uma váriavel indepen dente por exemplo ux y sendo o deslocamento u em uma placa em função de x e y 2u x2 2u y2 2u 0 385 sendo 2 o Laplaciano Esta equação é um exemplo de equação diferencial parcial Este tipo de equação envolve parâmetros distribuídos Neste texto iremos focar apenas a solução numérica de equações diferenciais ordinárias EDO Um fato interessante é constatar que EDOs não possuem apenas uma solução e sim uma família ou conjunto de soluções possiveis Para parti cularizar a solução de uma EDO é essencial se definir valores de condições suplementares Caso estes valores sejam especificadas no mesmo ponto tem se uma condição inicial e neste contexto o problema é classificado como de valor inicial PVI Por outro lado se for especificada em mais de um ponto temse um problema de valor de contorno PVC As equações diferenciais podem ser lineares ou nãolineares dependendo se é válido ou não o princípio da superposição Um exemplo de equação diferencial ordinária nãolinear é ux u2x 1 386 A grande preocupação dos matemáticos é garantir a existência e unici dade da solução de PVI e PVC Um problema de PVC normalmente é mais complexo pois em inúmeros exemplos não se garante unicidade da solução Em problemas de dinâmica de sistemas mecânicos a aplicação da 2o lei 86 de Newton gera sistemas de EDOs que são essencialmente nãolineares10 Ao menos para casos bem particulares no geral linearizados e com aplicação de hipóteses simplificadoras a solução analítica destas equações pode se tor nar inviável Assim justificase a aplicação e implementação de métodos numéricos 13 A ideia básica de grande parte deste métodos numéricos é ser capaz de construir uma solução para uma equação do tipo xt fx t dada uma condição xt0 x0 O que se busca é definir uma sequência de valores t1 t2 tn não necessariamente espaçados e calcular aproximações numéricas para xiti baseado em informações passadas Se apenas uma informação passada é empregada o método é conhecido com sendo da classe passo sim ples Por outro lado se usarmos vários valores passados o método é de passo múltiplo Alguns métodos clássicos usados envolvem a aproximação numérica da série de Taylor como será apresentado na sequência 391 Método de Série de Taylor A série de Talyor pode ser usada para resolver qualquer tipo de EDO porém os resultados em termos de eficiência computacional são limitados para EDOs de ordem baixa A ideia consiste em aproximar a função xt em um ponto em torno de t tn1 por uma série11 xtn1 xtn xtnt xtnt2 2 387 sendo t tn1 tn o passo de integração que não necessariamente precisa ser uniforme entre todos os pontos Obviamente que a equação acima terá um erro de truncamento Observase claramente que uma redução de t faria com que a solução convirja mais rápido para a solução exata Porém do ponto de vista computacional uma redução grande de t pode não conduzir na prática à um aumento da precisão uma vez que existe uma maior propagação de erros de truncamento além do tempo de processamento ficar elevado Um caso particular é realizar uma aproximação de 1o ordem xtn1 xtn xtnt 388 neste caso a série de Taylor de 1o ordem é chamada de método de Euler 10Estas EDOs são as equações do movimento e no nosso curso de vibrações na maioria das vezes linearizamos assumindo pequenas oscilações 11Que neste caso específico é truncada em termos de 2o ordem 87 O procedimento para obter a solução de uma EDO é conhecer os condições iniciais no instante t0 e prosseguir na aproximação em instantes t1 t0 t até tN t0 Nt sendo N o número de amostras a avaliar Assim para uma EDO do tipo xt xt xt 0 389 com condições iniciais xt0 e xt0 conhecidas temse que xt0 é xt0 xt0 xt0 390 Para um instante t1 t0 t devese aproximar quem são as funções xt1 e xt1 Usando a aproximação com o método de Euler xt1 xt0 t xt0 xt0t 391 xt1 xt0 t xt0 xt0t 392 E portanto a função xt1 será aproximada usando estes resultados xt1 xt1 xt1 393 e assim por diante até atingir tN tendo as respostas numéricas que solu cionam a EDO em estudo A maior desvantagem do uso da série de Taylor é a necessidade de se verificar valores das derivadas de ordem mais alta da função xt a aproxi mar Assim apesar de ser teoricamente possível resolver qualquer EDO os resultados computacionais só são eficientes para EDOs de ordem baixa 1o ou 2o ordem O método de RungeKutta resolve em partes esta deficiência 392 Método de RungeKutta O método de RungeKutta foi proposto por dois matemáticos alemães em 1902 visando Aproveitar as qualidades da série de Taylor para aproximar xt Eliminar a necessidade de cálculo das derivadas de xt na aproximação por exemplo lembre que para aproximar via método de Euler xt1 necessito conhecer xt0 e xt0 O preço pago na família de métodos12 de RungeKutta é calcular xt fx t em vários pontos 12O termo família é usado pois existem métodos de RungeKutta de várias ordens 88 O método de RungeKutta de 1o ordem é uma aproximação pelo método de Euler da forma xtn1 xtn ftn xtnt 394 Um dos métodos mais populares13 de RungeKutta é o de 4o ordem descrito por xtn1 xtn 1 6 k1 2k2 2k3 k4 395 sendo as constantes calculadas para cada passo t k1 tftn xtn 396 k2 tftn t2 xtn k12 397 k3 tftn t2 xtn k22 398 k4 tftn t xtn k3 399 393 Método de Newmark O sistema de equações diferenciais de segunda ordem em dinâmica estru tural pode ser resolvido por qualquer método considerando a existência de alguma excitação F externa sendo aplicado no sistema ou mesmo condição inicial de deslocamento e velocidade em algum nó Entre estes o método de Newmark é um dos mais versátil e popular14 para solução de grandes sistemas de equações diferenciais de segunda ordem Aqui não será dada nenhuma prova Apenas apresentado sucintamente o método e mostrado um algoritmo efetivo para solução do sistema de EDOs Considerando a equação do movimento do sistema descrita pelas matrizes de massa e rigidez e com o amortecimento sendo do tipo proporcional a massa eou rigidez Mx C x Kx F 3100 sendo x x e x os vetores aceleração velocidade e deslocamento respec tivamente A equação acima pode ser integrada usando algum método numérico Em essência a integração numérica direta é baseada em duas ideias Na primeira ao invés de tentar satisfazer a equação acima em todo tempo t 13Consulte o comando ODE45 no Matlab R 14O integrador do software de elementos finitos Ansys R é baseado neste procedimento 89 buscase satisfazela apenas em intervalos discretos de tempo At A segunda ideia consiste em variar os deslocamentos velocidades e aceleragoes dentro do intervalo de tempo At assumido Em seguida considerase que os vetores deslocamento velocidade e ace leragaéo no tempo inicial to denotados por x0 x0 e x0 respectivamente sao conhecidos e implementase a solugao das equagoes de equilibrio para um tempo de to até ty Na solugao todo 0 tempo considerado é dividido em N intervalos iguais AtAt tyN e o esquema de integragéo empre gado estabelece uma solucao aproximada para os tempos At 2At 3At t t At Ty O esquema geral no método de Newmark assume que xt At xt At 1 yxt yxt At 3101 1 xt At xt Atxt 5 3 Xt Oxt An At 3102 As constantes y e 2 sao conhecidas como parametros de Newmark e sao determinados visando obter exatidao e estabilidade numérica Na literatura existem muitas variagoes deste algoritmo Newmark originalmente propés o esquema conhecido como aceleragaéo média constante conhecida como regra trapezoidal neste caso y 12 e G 16 A fig 314 mostra o esquema de integracgao Porém outros esquemas podem ser usados como por exemplo y 12 e G 14 que sera empregado na rotina computacional do final desta segao 1 teat U 5 Cbeas tT t t At Fig 314 Esquema de aceleragao média constante de Newmark A ideia é fazer com que a equacao do movimento eq 3100 seja valida nos intervalos de tempo de 0 até ty 90 Mx0 Cx0 Kx0 F0 Mxt Cxt Kxt Ft Mxt At Cxt At Kxt At Ft At 3103 Mxty Cxty Kxty Fty Com base nesta ideia e no esquema de integragao de Newmark podese es crever um algoritmo computacional para integragao de equacoes diferenciais de segunda ordem de sistemas lineares descrito por quatro passos basicos e Inicializagao e Predigao e Equagao de equilibrio e Corregao Escrevendo explicitamente cada passo temos 1 Dados do problema MC K 2 Inicializagao 0 MF0 Cx0 Kxo 3104 3 Incremento temporal thoy ty At 3105 4 Predigao l w Xtpay Xt Atx 5 BAP 3107 91 5 Equação de equilíbrio S M γtC βt2K 3108 xtk1 S1 Ftk C xtk Kxtk 3109 6 Correção xtk1 xtk tγxtk 3110 xtk1 xtk t2βxtk 3111 7 Critério de parada atingir tN 310 Vibrações em sistemas autoexcitados Até o momento o sistema dinâmico em estudo era forçada por uma fonte externa e independente do movimento Porém existem inúmeros casos práti cos em que as forças que excitam o sistema são dependentes da cinemática do movimento Este tipo de sistema é conhecido como autoexcitado uma vez que o próprio movimento é responsável pela excitação Exemplos práticos de sistemas autoexcitados incluem Instabilidade de eixos rotativos em velocidades críticas Tremulação de pás de turbinas e hélices Vibrações em tubulações induzidas por escoamento de fluidos ou des cargas Vibrações em pneus de automóveis Vibrações em pontos por fenômenos aerodinâmicos 3101 Análise de estabilidade Nos capítulos anteriores vimos que um sistema dinâmico linear é dito estável se sua resposta transiente de sistemas amortecidos vibração livre converge ao equilíbrio Isto significou que o movimento decresce com o tempo seguindo eξωnt Se este movimento divergir o sistema é dito instável ou seja com o passar do tempo as amplitudes em regime transiente aumentam Um 92 sistema mecanico pode se tornar instavel se houver alimentacgao de energia ao sistema por autoexcitagao Para visualizar bem isto é interessante verificar as raizes da equacao carac teristicas que conforme ja foi discutido sao chamadas de pdélos do sistema Para o caso de sistema de 2 ordem que é 0 mais comum de ocorrer em vibragoes temos c 1 c2 k Ma 5 5 4 3112 Me 2m 2 m m Nesta condigoes o sistema é estavel nas situacoes e Raizes reais e negativas para 1 e Raizes conjugadas complexas com parte real negativa para 0 1 Esta situagao é alcangada se e x sao constantes positivas Assim no caso de um sistema instavel sendo p e q nimeros reais de modo que A Ay A Ag A Ay AgA ALA c k 4 0 3114 m m Onde podese observar que c k 2 Ay A2 2p Ai A2 p q 3115 m m A eq 3115 ilustra que se p for negativo é positivo e para pq deve ser positiva Admitimos que a massa m sempre é positiva c e k devem ser positivos para o sistema ser estavel Um exemplo bem interessante de vibracao autoexcitada ocorre em freios de absorcgao com correia e polia e cursores de maquinas ferramentas 11 Uma maquinaferramenta torno pode sofrer algum solavanco mesmo o cursor tendo um movimento suave Assuma um maquina com massa m e a conexao bancadacursor de avango como uma mola com rigidez k e amortecimento viscoso c Existe um coeficiente de atrito js entre a bancada e superficie do cursor que varia em fungao da velocidade de deslizamento A equacgao do movimento da bancada pode ser descrita como 93 a mr ct kx mg 10 v3 3116 mg sendo a uma constante A equagao anterior pode ser descrita como mécatkx 0 3117 onde vése claramente que se a c 0 sistema é instavel 3102 Instabilidade dinaémica causada por escoamento de fluido A vibragao causada por escoamento de fluido ao redor de corpos é muito comum Exemplos e Vibracao em linhas de transmissao causada por vento e Vibragao em antenas de automéveis causada por vento e Vibragao em chaminés ou torres altas e Vibragoes em pas de turbinas hidraulicas e Tubos de compressores de ar e Tubulagoes de dleo Todos estes sistemas podem vibrar violentamente sob certos regimes de escoamento O que ocorre é que estes sistemas podem extrair energia da fonte induzindo vibragoes cada vez maiores Varios fendmenos fisicos podem ser os responsaveis por esta indugao de vibragoes Grande parte podem ser resultado da emissao de redemoinhos conhecidos como vortices de Karman Vortices de Karman ocorrem alternadamente em sentido horario e anti horario quando despreendidos por um escoamento de fluido ao redor de um corpo sdlido Estes vérticeces provocam forgas de elevagaéo com variagao harménica e perpendiculares 4 velocidade do fluido Testes experimentais em ttnel hidrodinaémico eou de vento mostram que a emissaéo de vortices de Karman é muito grande na faixa de nimero de Reynolds Re entre 60 a 5000 O nimero de Reynolds nesta faixa é calculado como Vd Re 3118 jl 94 sendo d o diâmetro de um cilindro ao redor do qual o fluido escoa ρ a densidade V a velocidade e µ a viscosidade do fluido Para Re 1000 a frequência adimensional de emissão de vórtices pode ser expressa em função do número de Strouhal St St fd V 021 3119 sendo f a frequência de emissão de vórtices em Hz A força de eleva ção Ft harmônica induzida pelo escoamento perpendicular a velocidade do fluído é Ft 1 2cρV 2Asenωt 3120 sendo c uma constante dependente da geometria do corpo para cilindros c 1 A a área projetada do cilindro perpendicular à direção de V ω a frequencia ângular de emissão dos vórtices Assim o escoamento de fluidos ao redor de um corpo pode produzir vi bração autoexcitada Para projeto temse que garantir A magnitude da força Ft deve ser baixa para que não ocorra falha Perfil aerodinâmico adequado pode ser usado para reduzir esta força Mesmo a magnitude da força ser baixa a frequência de emissão não pode produzir fadiga na estrutura mecânica A frequência de emissão dos vórtices de Karman não pode coincidir com a frequência de ressonância do sistema15 Em termos práticos vários são as técnicas usadas para reduzir estas ins tabilidades Por exemplo em grandes estruturas esbeltas e altas é comum a instalação de spoilers ou reforços Spoilers quebram o padrão de emis são de vórtices de tal forma que nenhuma excitação harmônica bemdefinida seja aplicada Em aerofólios buscase criar forças aerodinâmicas voltadas ao contrário da força Ft buscando minimizala e garantir estabilidade 311 Exercícios Ex 31 Uma máquina com 110 kg é montada em uma fundação elástica com rigidez de 2 106 Nm Quando a máquina opera com uma velocidade de 150 rads esta é sujeita a uma força harmônica com magnitude de 1500 15A causa do colapso da ponte Takoma foi causada por não atender a esta especificação 95 N A amplitude em regime permanente Xp medida em um teste de vibração nesta situação é encontrada ser de 19 mm Qual o fator de amortecimento ξ desta fundação Ex 32 Uma máquina ferramenta com 82 kg é montado em uma fundação elástica Um teste experimental é realizado para estimar as características de rigidez e amortecimento desta base Quando a ferramenta é excitada com uma força harmônica com magnitude de 8000 N em várias freqüências a máxima amplitude em regime permanente obtida é dada por 41 mm na freqüência de excitação de 40 Hz Usando estas informações estime o fator de amortecimento ξ e o coeficiente de rigidez desta fundação Ex 33 Uma máquina de 45 kg é montada na extremidade livre de uma viga engastadalivre de aço com comprimento L 25m e módulo de elasticidade E 210 109 Nm2 A rigidez da viga engastadalivre é calculada por k 3EI L3 sendo I o momento de inércia de área A máquina é sujeita a excitação harmônica com magnitude de 1000 N em uma velocidade de rotação de 40 rads Suponha que sua meta é limitar a amplitude de vibração em regime permanente desta máquina para no máximo 15 mm Para isto você precisa especificar um perfil para a viga engastadalivre com base em um catalogo comercial em função do momento de inércia de área desejado Para quais valores do momento de inércia de área I a exigência de projeto é satisfeita Ex 34 Uma máquina industrial de serrar com 65 kg tem um desbalancea mento m0e de 015 kgm A máquina opera em uma velocidade de 125 Hz e é montada sob uma fundação com rigidez equivalente de k 2 106 Nm e fator de amortecimento ξ 012 Qual a amplitude de vibração em regime permanente desta máquina Ex 35 Um ventilador industrial com 40 kg tem um desbalanceamento m0e de 01 kgm Este ventilador é montado na extremidade livre de uma viga engastadalivre com comprimento L 12 m módulo de elasticidade E 200 109 Nm2 e momento de inércia de área de I 13 106 m4 A rigidez da viga engastadalivre é calculada por k 3EI L3 A viga foi confec cionada para adicionar amortecimento viscoso Como a rotação de trabalho do ventilador é variável foi notado que a máxima amplitude de vibração em regime permanente é dada por 203 mm Qual é a amplitude de vibração em regime permanente do ventilador quando este opera em 1000 rpm Ex 36 Considere uma máquina com 120 kg montada sob uma viga engasta livre com comprimento L 08 m módulo de elasticidade E 200 109 Nm2 e momento de inércia de área de I 45 106 m4 A rigidez da viga 96 engastadalivre é calculada por k 3EI L3 A partir de um teste experimental de vibrações livres constatase que a razão entre duas amplitudes sucessivas em um ciclo é de 25 para 1 Determine a resposta da máquina devido a um desbalanceamento m0e de 025 kgm quando a máquina opera em uma rotação de 2000 rpm e o amortecimento é assumido ser viscoso Ex 37 Considere o conjunto motobomba visto na fig 315 A bomba tem uma massa de 123 kg e o motor 390 kg Constatouse que em ope rações normais de trabalho a vibração do conjunto era muita alta e acima do nível máximo tolerado que é 4 mms Neste primeiro teste o nível de vibrações do conjunto era 13 mms Após um enrijecimento da base feito a partir de suportes de uma chapa dobrada em L com um reforço interli gando as abas mão francesa de chapa de mesma espessura constatouse que a vibração reduziuse para 95 mms Mesmo assim ficou acima do nível máximo tolerado mostrando que esta mudança não foi suficiente A rotação da bomba é 3000 rpm Para simplificação dos cálculos assuma que o sistema tem um amortecimento estrutural ξ nulo Lembrese que xt Xpsenωt e xt ωXpcosωt Baseado nestas informações pedese16 a Calcule uma estimativa da mudança ocorrida na rigidez do sistema com a modificação estrutural proposta e implementada b Quanto deveria ser esta mudança para que o nível de amplitude de vibra ções ficasse abaixo do valor máximo permitido 4 mms Ex 38 O motor elétrico de acionamento de um sistema mecânico possui massa de 20 kg e deve ser instalado sobre quatro absorvedores de vibração conforme ilustrado na fig 316 Esse motor deve operar na faixa de 100 a 1000 rpm e seu rotor possui um desbalanceamento representado pela força Fo 0 05ω2 onde Fo é expressa em N e ω é a rotação do motor em rads Considere os três tipos de absorvedores disponíveis apresentados na tabela 34 despreze qualquer efeito dissipativo e admita apenas o movimento vi bratório na direção vertical17 a Determine as frequencias de ressonância do sistema correspondentes aos três tipos de absorvedores de vibrações apresentados obtendo os resultados em rpm 16Caso real ocorrido na Itaipu Binacional 17Questão tirada do Provão Eng Mec 2001 INEP 97 Tab 34 Constantes elásticas dos absorvedores de vibração disponíveis Tipo de Absovedor Constante elástica Nm A 200000 B 20000 C 445 b Especifique o tipo de absorvedor que deve ser utilizado para atender a requisitos de montagem que limitam em 1 mm o deslocamento vibratório ver tical máximo do motor Ex 39 Em um teste experimental se estimou uma função de resposta em freqüência FRF com base no sinal de deslocamento Esta FRF é vista na fig 317 Estime a freqüência natural e o fator de amortecimento ξ que este sistema contém Ex 310 A fig 318 mostra o diagrama de Nyquist da FRF de mobilidade obtido através de um teste experimental Com base neste gráfico estime o coeficiente de amortecimento viscoso equivalente c do sistema Ex 311 Considere um sinal de excitação Fn obtido experimentalmente que é composto por 5 amostras F0 05 F1 025 F2 03 F3 065 e F4 10 Quando este sinal de força é aplicado para excitar um sistema mecânico a resposta medida com um sensor de deslocamento é dada pelo sinal discreto xn também formado por 5 amostras x0 02 x1 03 x2 025 x3 07 e x4 01 Estes dois sinais são discretizados com uma taxa de amostragem de Fs 100 Hz 100 amostras por segundo Com base nestas informações pedese a Calcule a transformada discreta de Fourier Fωk e Xωk para os sinais Fn e xn com 5 amostras b Calcule a densidade espectral de potência Pxxf e PFxf destes sinais c Estime as FRFs usando os estimadores H1 H2 e Hv d Calcule a função de coerência desta estimativa e comente os resultados e Estime a IRF hn e confira os resultados a partir de xn hn Fn Ex 312 Uma estrutura de aço tem 20 m de altura 075 m de diâmetro interno e 08 m de diâmetro externo Determine a velocidade do fluxo de vento ao redor desta estrutura que induzirá vibração transversal da chaminé 98 na direcao do fluzo de ar Dica frequencia natural fundamental da viga em balango pode ser escrita como w 1875104EIpAl Ex 313 As duas primeiras frequencias naturais de uma antena de carro fig 319 sdo 30 Hz e 70 Hz Determine se a emissdo de vortices ao redor da antena ira causar instabilidade na faixa de velocidades de 100 a 120 kmhora do automovel 99 a Vista geral do conjunto b Detalhe da base Fig 315 Conjunto motobomba 100 Fig 316 Motor elétrico a ser instalado 0 5 10 15 80 70 60 50 40 Freqüencia Hz Compiância dB 0 5 10 15 4 3 2 1 0 Freqüencia Hz Phase rad Fig 317 FRF Compliância para um sistema com 1 grau de liberdade 101 0 002 004 006 008 01 012 014 016 018 02 01 008 006 004 002 0 002 004 006 008 01 RealjωHjω ImagjωHjω Fig 318 Diagrama de Nyquist da FRF de mobilidade Fig 319 Antena de carro 102 Capítulo 4 Isolamento de Vibrações Tipos de Amortecimento e Técnicas de Medição Mesmo uma máquina sendo montada em cima de uma base rígida proje tada para apresentar níveis adequados de vibrações a força transmitida da máquina para a base ou da base para o sistema pode ser elevada e isto pode causar problemas Nestes casos é necessário isolar o sistema Este capítulo visa apresentar alguns conceitos relacionados ao projeto de isoladores ativos e passivos de vibrações No decorrer deste capítulo também são discutidos tipos comuns de amortecimento usados para descrever sistemas mecânicos amortecimento de Coulomb histerético e proporcional Por fim são apre sentados alguns equipamentos básicos utilizados para medir condicionar e analisar sinais de vibrações a partir de testes experimentais 41 Isolamento de Vibrações Isolar é interpor entre um sistema máquina e sua base elementos com características k e c bem definidas de maneira que as forças transmitidas do sistema para sua base e viceversa sejam as menores possíveis O isolamento pode ocorrer de duas maneiras primeiro isolar a base e conseqüentemente o meio das forças de vibração transmitidas pela máquina Em segundo isolar a máquina da vibração proveniente da base A seguir são apresentados alguns comentários sobre os dois tipo de isolamento e é apresentado o conceito de transmissibilidade absoluta 103 411 Isolamento ativo O isolamento ativo consiste em isolar a base das vibragoes provenientes da maquina Para isto é necessario determinar as forgas transmitidas pelos amortecedores e molas em regime permanente vistos na fig 41 m ft xt k Cc ftrt Fig 41 Exemplo de maquina montadas sobre uma base com isoladores As amplitudes das forgas nas molas e amortecedores em regime perma nente sao dadas por Finola kx kXpsen wt 6 41 Faumort ck cw Xpcos wt 42 E interessante observar que Finota Famort 40 ortogonais dai a amplitude total da forca transmitida F pode ser calculada por F FY ola Femort V kX cwXp Cw kX14 43 lembrando que r c 2mw ek mw temse que Fi kKXpV1 2r44 104 A transmissibilidade absoluta TR é portanto definida como sendo a razao entre as amplitudes das forgas transmitidas e de excitagao Fin Tr 45 Feve Relembrando do capitulo anterior que a amplitude da forga de excitacgao pode ser calculada com base na amplitude de vibracgao em regime permanente FkX1r 2r 46 Substituindo as Eqs 46 e 44 na Eq 45 obtémse a transmissibi lidade absoluta 1 2r r 47 Va 92 2r E importante observar que Fj TFexc ou seja a forca de excitacao é transmitida proporcionalmente a transmissibilidade absoluta Tr Assim é desejavel que o valor de Tr seja o minimo possivel Na pratica devese definir qual a transmissibilidade Tr adequada para o sistema e com isto calcular qual arazao r que pode ser utilizada para se ter esta transmissibilidade A fig 42 mostra o valor de Tp em fungao da razaéo r Onde observase que para valores r V2 representam Tp 1 0 que significa que o que é transmitido a base 6 menor que a amplitude gerada Esta faixa representa a faixa de isolamento Por outro lado para r V2 representa Tp 1 0 que representa a faixa de ampliacgao Exemplo 41 Uma maquina rotativa tem massa de 500 kg e um desbalan ceamento moe 58 kgm Quando sao usados amortecedores com fator de amortecimento 02 especifique as molas para montagem tal que somente 10 da forca de desbalanceamento seja transmitida ao chao Determine tam bém a intensidade da forca transmitida O ventilador gira a uma velocidade de 1000 rpm Solugao A rotagao da mdquina em rads dada por 27 w 1000 x 0 1047 rads 48 A transmissibilidade Tr desejada de 10 assim a razao r necessdria calculada por yl 26r Tk 01 49 Vl 12 2r 105 12 E215 10 03 10 202 01 2005 8 oR 6 4 A NX i TT 0 05 1 15 2 25 3 Razao entre freqiiéncias r Fig 42 Transmissibilidade Absoluta do sistema Resolvendo a equacaéo acima chegasse a r 472 V2 que corresponde a faixa de isolamento Apds o r calculado obtémse a freqiiéncia natural wy NECESSATLA 1047 Wn 72 2218 rads 410 Lembrando que a rigidez dada por k mw temse que mola deve ter uma rigidez k 246198 Nm Por fim a intensidade da forcga transmitida é Fy Tr 01 Fir 01 Fore 01 moew 63604 N 411 412 Isolamento passivo O isolamento passivo por sua vez corresponde a isolar a excitagao da base para a maquina A fig 43 mostra um sistema com isolamento passivo Neste caso xt representa a vibracao da maquina yt a vibracao da base e zt a vibracao relativa zt xt yt 412 106 L xcty m k c ztxtyt Y yt Fig 43 Exemplo de maquina como isolamento passivo Assim as forgas nas molas e amortecedores sao dada por Frnola kz kx y ka ky 413 Fumort CZ C4 Yy ch cy 414 A equacgéo do movimento para o sistema maquinabase é descrita por micakx cyky 415 onde assumese que a base tem um movimento do tipo harménico yt Y sen wt mé cé kx cwY cos wt kY sen wt 416 Assim a transmissibilidade absoluta TR para este caso é dada por yb 2r r 417 Vr 2r Exemplo 42 Um grupo motorventilador montado sobre duas viga I de aco com E 210 x 10Nm 2 metros de comprimento cada uma com momento de inércia I 27000 cm O grupo tem 7300 kg e massa e gira 107 a 900 rpm a Suponto 005 qual a da forga de excitagao que é transmitida a estrutura que suporta as vigas b Interpondo entre a viga e o grupo em série isoladores de molas helicoidais de rigidez total de 4000 kgfcm qual a redugao da amplitude Solugao a A rotagao em rads pode ser calculada por 27 w 9005 943 rads 418 A rigidez total das duas vigas em paralelo é obtida a partir de 48EI 210 x 10 x 27 x 107 Keg 2X a 2 x 5 68 x 10 Nm 419 Uma vez a rigidez keg calculada podese obter a freqiiéncia natural wy Rea 965 rad 420 Wy 965 rads m Conhecidas as freqténcias r 098 V2 que corresponde a uma faira de ampliagao Por fim a transmissibilidade absoluta é dada por vy bt 2r l 951 421 l 9 26r que corresponde a um valor muito alto b Como a transmissibilidade muito alta devese instalar molas como iso ladores para diminuir Tr O primeiro ponto calcular a rigidez equivalente entre a rigidez das duas vigas e das molas dos isoladores que estao em série a keg 377 x 10 N 422 S e m keg 68107 4x 108 4 A nova freqtiéncia natural do sistema entao calculada por Keq 377 x 106 oe Vim V 7300 rads 423 A razao entre as freqiiéncias para esta configuracao é dada por 943 414 V2 424 227 v2 424 108 A nova transmissibilidade entao dada por 1 2r I 0072 425 f 26r A amplitude de vibragao em regime permanente antes de colocar os isoladores dada por mx r 098 See 426 moe 1 12 2r 41 0982 2098 Depois de colocar as molas dos isoladores a amplitude de vibragao em regime permanente deve ser descrita por mxX r 414 a 427 moe 1 12 2ry1 4142 2414 Assim a razao entre as amplitudes antes e depois de colocar os isoladores é dada por X 256 X 012X 428 Xpi Com isto a reducao conseguida na amplitude de vibragao do sistema quando se aplica os isoladores de 88 42 Tipos de Amortecimento Além do amortecimento do tipo viscoso existem varios outros modelos para simular o efeito de dissipagao de energia em sistemas vibratorios Os mais comuns sao 0 amortecimento de Coulomb amortecimento histerético e amortecimento estrutural Abaixo a descrigaéo detalhada de cada um deles 421 Amortecimento de Coulomb Uma aproximagao da resposta de um sistema com amortecimento de Cou lomb excitado por uma forga harménica é obtido modelando o sistema usando amortecimento viscoso com uma razao de amortecimento equivalente 9 cal culada tal que o trabalho feito sobre um ciclo de movimento com amorteci mento de Coulomb é 0 mesmo do trabalho feito pelo sistema com amorteci mento viscoso com o coeficiente de amortecimento equivalente Assim 109 2L eq 429 é qd arM sendo r e Pr 430 F 430 onde Fy é a amplitude da forga de atrito Coulomb Fy wmg e Fo é a amplitude da forga de excitagao O fator de ampliagao M para este caso é calculado a partir de 1 v aon a esta expressao 6 valida para u 7 Exemplo 43 Calcule a amplitude de vibragao em regime permanente de um sistema massamola com amortecimento de Coulomb sabendo que a massa 100 kg a rigidez é 10 Nm e 008 e a forca de excitagao F 300sen 40t Solugao A freqiiéncia natural naoamortecida dada por Vi A 316 d 432 Wy 1 316 rads m A razao entre as freqtiéncias Ww 40 197 433 on B16 433 Razao entre as amplitudes das forcgas de atrito e excitagao Py pemg 0262 434 Fy 300 434 Com isto o fator de ampliagao M é dado por 1 4 M 1G 1588 435 r Lembrando que o fator M ae temse que FoM X 46 mm 436 110 422 Amortecimento histerético Evidéncias empiricas mostram que a energia dissipada em um ciclo do movimento devido ao amortecimento histerético é independente da freqiién cia mas proporcional ao quadrado da amplitude A resposta livre de um sistema com amortecimento histerético é similar a de um sistema com amor tecimento viscoso Um coeficiente de amortecimento histerético adimensional h é determinado do decremento logaritmico 6 6 h 437 1 Para um sistema forgado a razao de amortecimento viscoso equivalente é h 438 beq or que leva ao fator de ampliagao Xk 1 M a 439 11 h2 ou ainda no caso de desbalanceamento de maquinas rotativas Xym r A 440 moe 1 r2 h Exemplo 44 Uma bomba com 125 kg é instalada em cima de um suporte formado por uma viga engastalivre de ago com 08 m de comprimento e perf T com momento de inércia de drea de 45 x 106 m Quando um teste de vibracgoes livre é feito a razao de amplitudes em ciclos sucessivos de 251 Determine a resposta da maquina ao desbalanceamento 025 kgm quando a bomba opera a 2000 rpm e 0 amortecimento assumido ser histerético Solugao A rigidez equivalente do sistema para a condigao de contorno dada é 3EI 6 com isto podese calcular a freqiiéncia natural do sistema k Wy 4 2053 rads 442 m 111 e a razao entre as frequéncias de excitagao e natural w 22000 r SS 102 443 Wn 2053 O decremento logaritmico pode ser estimado pela informacao dada sobre a razao entre amplitudes de vibragao em ciclos sucessivos x 25 56 In In 0916 444 Xo 1 Portanto o coeficiente de amortecimento histerético 6 h 0292 445 7 Por fim a amplitude em regime permanente é dada por Moe r Xp oe 706 mm 446 Vid r h 423 Amortecimento proporcional O amortecimento proporcional é um tipo comum de amortecimento usado para modelar sistemas na pratica e de uma forma empirica A idéia é assumir que o amortecimento é proporcional ao paradmetro de rigidez equivalente e massa do sistema cam Bk 447 sendo a e 2 duas constantes obtidas no geral a partir de testes experimen tais e usando técnicas de ajuste de modelos e otimizagao Deve ficar claro que este mecanismo de amortecimento é usado apenas para ajustar melhor res postas experimentais e te6ricas simuladas e nao significa que 0 mecanismo real de amortecimento tem esta caracteristica fisicamente falando Este tipo de amortecimento é muito empregado em softwares de elementos finitos co merciais para modelar amortecimento em estruturas complexas uma vez que nao existem modelos de elementos FEM para amortecimento O fator de amortecimento para sistemas com amortecimento proporcional é escrito em fungao das constantes a e 3 1 B aw 448 65 a 448 112 Além disto devese destacar que em sistemas com múltiplos graus de liberdade o problema de autovalor e autovetor em sistemas com amorteci mento proporcional são idênticos a problemas com amortecimento viscoso o que simplifica bastante o problema em simulações 43 Técnicas de Medição A mediação de vibrações ocupa um lugar de destaque em diversas áreas e aplicações Portanto o emprego de técnicas adequadas que garantam uma correta análise é de fundamental importância Esta seção tem como propó sito fornecer algumas informações básicas sobre qual o hardware necessário para medição de sinais de vibração Em primeiro lugar deve ficar claro ao estudante que existem duas formas de se medir sinais de vibrações Medidas somente de resposta em máquinas operando em condições de trabalho onde no geral se desconhece exatamente quais são os sinais de entrada que excitam o sistema máquina Medidas realizadas em ambiente de laboratório onde o sinal de excita ção é simulado a partir de um excitador O primeiro tipo de medição é mais usado em aplicações de manutenção preditiva por análise de vibrações ou ainda em análise modal operacional Já o segundo tipo de medição é empregado comumente em análise modal experi mental análise dinâmica visando modificação estrutural testes de produtos e protótipos etc A seguir se apresenta uma descrição mais detalhada do instrumental de cada caso 431 Medição em campo A medição em campo significa obter as respostas de vibração através de sensores diversos1 quando a máquina ou o sistema se encontra operando em condições reais de trabalho Nestas condições normalmente a força de excitação é desconhecida exatamente2 Neste caso podese medir os sinais usando os chamados coletores comerciais de grandes fabricantes Estes co letores são compostos por um sistema de aquisição com conversor AD fil tro antialiasing analógico condicionador de sinais e sensor acoplado tudo no mesmo sistema Alguns modelos têm inclusive softwares analisadores de 1sensores de proximidade acelerômetros etc 2Deve ficar claro ao estudante que a natureza da excitação pode ser muito bem conhe cida agora o valor exato deste sinal não 113 sinais sendo possível dar algum diagnóstico e informação prévia sem necessi tar descarregar em algum computador Outro tipo comum de medição pode ser feita agrupando todos os elementos acima em hardwares separados por exemplo ter um sensor um condicionador um filtro antialiasing analógico uma placa AD um sistema de aquisição de sinais e um computador para análise dos dados O uso de condicionadores de sinais é obrigatório pois o sinal analógico de vibração é convertido em grandeza elétrica pelos sensores transdutores No geral a intensidade deste sinal é muito baixa sendo necessária amplificar e condicionar este sinal Este procedimento é realizado pelo aparelho con dicionador de sinais O filtro antialiasing é necessário para limitar o sinal até uma freqüência máxima para poder amostralo em uma taxa correta e evitar os problemas nocivos de aliasing A placa de conversão AD discretiza o sinal tanto em freqüência quanto em amplitude dividindo pelo número de bits do conversor Assim se uma placa de aquisição tem 12 bits isto significa que em amplitude ocorrerá uma divisão em 212 níveis de tensão quantizadas número de quantas Após o sinal digitalizado este pode ser analisado em algum software específico em um computador para se dar algum diagnós tico Destacase que todo o hardware empregado em medições deve estar previamente calibrado 432 Medição em laboratório A medição em laboratório se caracteriza por ser realizada em um ambi ente controlado Além de toda a instrumentação discutida anteriormente ser usada podese empregar também um gerador de sinais analógicos ou mesmo digital com um conversor DA um amplificador de potência e um excita dor que pode ser eletrodinâmico tipo mais comum magnético hidráulico piezocerâmico muito usado em controle ativo de vibrações em estruturas inteligentes etc Acoplado ao excitador é comum se empregar um sensor de força composto por uma célula de carga A saída desta célula de carga pode estar acoplada a um sistema de aquisição de dados Neste caso específico o sinal de excitação seria medido Portanto poderíamos estimar FRFS IRFs de sistemas mecânicos em laboratório e extrair parâmetros modais Os principais fabricantes mundiais de softwares sensores placas de aqui sição de dados para vibração etc são BK LMS PCB National Instruments LabView dentre outros 114 433 Transdutores para medicgao de vibragoes Quando se emprega um transdutor para medir vibracgoes 0 que estamos fazendo é medir o deslocamento relativo entre duas coordenadas generaliza das Considere a medida de movimento relativo zt do sistema da fig 43 Sabese que 7 ye ML Fnola Fumort 449 mi kax ky ct cy 450 mziczkz my 451 Lembrando que os sinais podem ser assumidos do tipo harménico yt Ysen wt 452 yt Ywsen wt 453 Assim a Eq 451 pode ser escrita como mz ci kz mYwsen wt 454 Entao Fksen wt yt 455 Vb ry 2ér 2Er t 456 and 456 e 2 t 2t rgersen wt 9 457 ky 1 1 2r Assim a razao entre as duas amplitudes z e y é dada por 2 458 Yo l 9 26r Existem dois tipos de transdutores instrumentos com baixa freqtiéncia natural e alta freqiiéncia natural Em transdutores com baixa freqtiéncia 115 natural têmse que ω ωn 1 ou seja que a freqüência da máquina ou sis tema a ser medida é muito maior do que a freqüência natural do transdutor Um exemplo de sensor deste tipo são os vibrômetros e sismômetros Nesta situação a Eq 458 fica z y 1 z y 459 sendo y a amplitude a ser medida e z a amplitude fornecida pelo instru mento de medição No outro tipo com alta freqüência natural o mais comum é o emprego de acelerômetros Um acelerômetro basicamente é composto de uma pequena massa sobre uma base com dois cristais piezelétricos um acoplado na massa e o segundo acoplado na base O movimento relativo entre estes cristais é convertido em tensão elétrica que é enviada a um condicionador de sinais por cabos e posteriormente para um sistema de aquisição Exemplo 45 Um transdutor com ωn 1 Hz é usado para medir uma vibra ção de ω 4 Hz A amplitude indicada pelo transdutor é de 1 3 mm qual a amplitude correta ξ 0 Solução Primeiramente calculamos a razão entre freqüências r ω ωn 4 1 4 460 O que significa que o transdutor tem alta freqüência natural assim z y 1 3 y r2 1 r2 y 1 22 mm 461 116 Capítulo 5 Sistemas Mecânicos com Múltiplos Graus de Liberdade Inúmeros sistemas mecânicos são descritos apenas como tendo um grau de liberdade Porém em muitas situações de análise esta simplificação não se torna válida Por exemplo imagine que você queira descrever o com portamento vibratório de um capo de um carro quando este sofre excitação do ruído proveniente do motor Neste exemplo pode ser muito difícil anali sar totalmente o comportamento dinâmico do sistema assumindo apenas um grau de liberdade Sendo assim tornase necessário empregar um modelo de sistema mecânico com múltiplos graus de liberdade MDOF1 Ao se modelar um sistema como sendo MDOF em vez de termos apenas uma freqüência natural e um fator de amortecimento iremos trabalhar com várias freqüências naturais e fatores de amortecimento No caso de vibrações livres o sistema vibra como uma combinação de todas estas freqüências na turais e não apenas em uma como no caso de sistema com 1 dof estudado nos capítulos anteriores Além destes fatos outra variável extremamente importante irá aparecer os modos de vibrar ou formas modais de uma es trutura Cada modo é associado diretamente com sua respectiva freqüência natural e fator de amortecimento Esta capítulo introduz todos estes conceitos básicos Inicialmente é apre sentado um método efetivo para obtenção de equações do movimento de sistemas MDOF usando as equações de Lagrange Este método evita ter que construir um diagrama de corpo livre para cada elemento parte de um sistema Na seqüência se apresenta a solução via modos normais também conhecida com análise modal analítica Esta parte está dividida aqui em dois casos primeiro o caso de vibrações livres sem ou com amortecimento 1Do inglês Multiple degrees of freedom 117 proporcional e depois o caso de vibrações forçadas Exemplos de aplicação são solucionados no decorrer do capítulo Por fim é introduzido ao estu dante conceitos básicos de análise modal à partir de dados experimentais Este tópico é ilustrado através de um exemplo mostrando todos os passos envolvidos na extração dos parâmetros modais usando uma técnica clássica no domínio da freqüência 51 Equações de Lagrange A fig 51 mostra um exemplo de sistema MDOF Neste caso a equação do movimento vai ser descrita por um sistema de equações diferenciais do tipo Mx C x Kx F 51 sendo M C e K as matrizes de massa rigidez e amortecimento do sis tema x x1 x2 xnT o vetor deslocamento em cada coordenada ge neralizada2 e F o vetor correspondente as forças que excitam o sistema quais dofs são excitados A questão é Como obter as matrizes M C K Uma forma efetiva é a aplicação das equações de Lagrange Fig 51 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade Para obter as equações de Lagrange é necessário primeiro se obter as equações para descrever a energia cinética T x1 x2 xn x1 x2 xn e potencial V x1 x2 xn 2Coordenadas generalizadas representam as coordenadas referentes a determinação do número de dofs do sistema 118 1 1 T m4 1 0 52 init 5 62 1 2 sendo a velocidade na 7 coordenada generaliza J o momento de inércia de massa do 72 corpo m a massa do corpo 7 k a rigidez do corpo ie 6a velocidade angular em rads no caso de um corpo rigido Também podese calcular os termos de energia que sao essencialmente dissipadas A energia dissipativa no caso de amortecimento viscoso é dada por 1 Ey ade 54 Podese agora definir o Lagrangiano L como LTV 55 Entao a equacao de Lagrange por ser obtida pela expressao geral d OL OL Q i12n 56 Englobando o termo dissipativo e expandindo podese obter a equacao de Lagrange para o caso geral d OT OT OV OE 42 4Q 12n 57 sendo a forga externa aplicada na 7 coordenada do sistema A partir da Eq 57 é possivel descrever a equacgaéo do movimento de um sistema MDOF sem precisar realizar um diagrama de corpo livre de cada termo do sistema Com isto podese obter a matriz de massa M amorteci mento C e rigidez K do sistema de interesse A seguir um exemplo explica melhor como proceder isto Exemplo 51 Obtenha a equacao do movimento para o sistema da fig 52 usando as equacgées de Lagrange Assuma que uma forga Ft atua na massa my Solugao A primeira coisa a fazer é calcular os termos de energia cinética T e poténcial V para este sistema Assim 119 xit X2t kl k2 k3 ml m2 cl c2 c3 Fig 52 Exemplo de sistema com miultiplos graus de liberdade 1 oo 1 os T 41 2 git gina 58 1 1 2 4 V x1 2 yt ae x1 X2 a hs2 59 O termo de energia dissipativa Eq para este sistema pode ser calculado como 14 1 2 1 9 Ea a1 42 pied 52 f 2 5032 510 O termo Q para descrever os esforgos externos neste caso é Q F pois apenas uma forga age na massa m Assim a equagao de Lagrange Eq 57 pode ser aplicada para as duas coordenadas x1 X32 a Equagao de Lagrange aplicada a coordenada x1 d oT OT OV OE 42447 511 dt onal Ox Ox Ox Com base nos valores de T V e Eq e apds solucionar a expressao acima a gente pode chegar na equagao do movimento para esta coordenada m1X41 cy C2 Ly Cok ky kz vy koxe F 512 b Equagao de Lagrange aplicada a coordenada x3 d oT OT OV OE 449 513 dt 0x5 0x2 OX OX Com base nos valores de T V e Eg e apds solucionar a expressao acima a gente pode chegar na equagao do movimento para esta coordenada 120 MX co C3 2 C201 ke kz v2 kx 0 514 A equagao final do movimento dada por um conjunto de duas equacoes diferenciais acopladas que podem ser escritas na forma matricial Mx CxKx F 515 sendo o vetor deslocamento x to 516 o vetor forca r 7 517 0 a matriz de massa M My 0 m 0 m 518 a matriz de amortecimento viscoso C Ci Cg C2 C 519 C2 C2 C3 ea matriz de rigidez K ky ke kp K 520 Hhy ky hs 520 Note no exemplo acima que a solugao via um diagrama de corpo livre daria o mesmo resultado porém teriamos que isolar os dois corpos e colocar todas os esforcos internos e externos aplicar a lei de agao e reagao e a segunda lei de Newton para cada massa para af entao realizar a montagem do sistema de equagoes diferenciais final 52 Solucao via modos normais analise modal analitica Agora que vimos uma forma de obter a equacgéo do movimento de um sistema MDOF devemos resolver este conjunto de EDOs Uma questao que deve ficar clara de antemao é que o sistema representado pela Eq 51 121 corresponde a um sistema acoplado de equagoes 0 que pode dificultar deter minadas andlises além de nao podermos fazer uma generalizagao direta com sistemas mais simples de um grau de liberdade Nestes casos a transformagao do sistema para uma outra base de coordenadas pode ser muito ttil Dentre as varias coordenadas a do tipo modal ocupa um lugar de destaque em dina mica estrutural Este topico é muitas vezes referenciado na literatura como analise modal analitica Nas proximas subsecoes iremos apresentar como tra tar um problema de vibragoes livres e forgadas como base nos paraémetros modais 521 Vibracoes livres sistema sem amortecimento Considere que um sistema descrito pela Eq 51 possui amortecimento nulo C 0 e nao possui excitagaéo externa alguma F 0 Assim a equacaéo do movimento se reduz ao seguinte Mx Kx 0 521 Uma forma de solucionar este problema é propor uma solugao do tipo x Be 522 Sendo o vetor formado por amplitudes que indicam quais as formas modais do problema Substituindo a Eq 522 dentro da Eq 521 obtém se wMe Kbe 0 523 que apds uma simples manipulagao tornase ec K wM 6 0 524 uma vez que e 4 0 temos o seguinte problema a solucionar K wM 0 525 A Eq 525 representa um problema classico de autovalor e autovetor Este problema também pode ser descrito como MK MI 0 526 3Freqiiéncia naturais fatores de amortecimento e modos de vibrar 122 sendo I matriz idéntidade de ordem n x n sendo n o nimero de graus de liberdade empregados e w Agora o problema de autovalor e autovetor pode ser escrito em uma forma padrao M K 527 A 528 sendo A M7K Os autovalores sao dados por w e neste caso sao relacionados diretamente as freqiiéncias naturais dos sistemas Os auto vetores sao dados por e representam os modos de vibrar ou formas mo dais e nada mais sao do que uma razao de amplitudes A solugao do pro blema de autovalor e autovetor pode ser feita via inimeros métodos nu méricos por exemplo o método de Choleski porém aqui sera resolvido de forma classica a partir do célculo do determinante Assim det MK AI 0 529 ou ainda a partir de det K wM 0 530 O problema de autovalor leva A uma equacao algébrica em w Como os coeficientes M e K sao normalmente reais e simétricos teremos n raizes reais o que implicara em n freqiiéncias naturais Se o sistema for estavel K é definida positiva e as raizes sao positivas Um sistema naorestringido apresentara modos de corpo rigido correspondendo a freqiiéncias naturais nulas Importante constatar que os modos de vibrar representam uma base orto gonal no espaco Assim a matriz modal apresenta as seguintes propriedades para iF j T M 0 531 K 0 532 533 sendo 0 iésimo modo associado com a 7ésima freqtiéncia natural wy e o jésimo modo associado com a jésima freqiiéncia natural w Assim 4Consulte o help do comando Matlabr eig para maiores informacées 123 ΦT i MΦi 1 534 ΦT i KΦi ω2 i 535 Neste caso os modos Φ são normalizados em relação a matriz massa o que implica que a matriz modal é ortonormal5 A matriz modal Φ contém as formas de vibrar Φ1 quando o sistema é excitado na primeira freqüência natural ωn1 Φ2 quando o sistema é excitado na segunda freqüência natural ωn2 e assim por diante assim esta matriz é dada por Φ Φ1 Φ2 Φn 536 Um vez calculados os modos de vibrar e as freqüência naturais podese substituir estes valores na solução proposta Eq 522 e obter a solução da resposta de vibração do sistema se conhecendo as condições iniciais x0 O sistema mecânico de MDOF de coordenadas físicas também pode ser convertido em coordenadas modais através da transformação da base física para a base modal representada pela matriz modal Φ tal que x Φq 537 sendo q o vetor deslocamento em coordenadas modais Substituindo a Eq 537 dentro da Eq 521 e prémultiplicando por ΦT temse ΦTMΦq ΦTKΦq 0 538 Assumindo que a matriz modal Φ é normalizada em relação a matriz de massa M e com a propriedade de ortonormalidade ΦTMΦ I 539 ΦTKΦ Ω 540 sendo Ω diagω2 1 ω2 2 ω2 n Aplicando o resultado acima dentro da Eq 538 chegase a equação para o sistema MDOF livre e sem amorteci mento escrita em uma base modal que é dada por q Ωq 0 541 5Na maioria das vezes é necessário normalizar a matriz Φ para se ter esta propriedade 124 Note que a equacao acima significa que o sistema de equacgoes diferenciais ordinarias representado pela Eq 521 é totalmente desacoplado em varios sistemas de 1 dof caso se resolva escrevelo em coordenadas modais Exemplo 52 Para o sistema mecénico da fig 52 considere que os termos de amortecimento viscoso sao cy Co 0 kj ko kg k e my mM m Calcule as freqiiéncia naturais e os modos de vibrar deste sistema Solugao Como ja visto anteriormente para este sistema simples a matriz de massa dada por m O M 42 io on 542 ea matriz de rigidez por 2k k K 543 eo 648 Para se calcular as freqiiéncia naturais e os modos de vibrar deste sistema devese resolver o problema de autovalor freqiiéncia naturais e autovetor modos de vibrar associado com as matrizes de massa e rigidez Assim det K AM 0 544 sendo w Efetuando estes cdlculo 2k Am k A wa 222 yechy 0 oo O que conduz a seguinte equacgao caracteristica det K M 2k Am k 0 546 Expandindo este termo chegase a seguinte expressao k k 4 3 0 547 m m Resolvendo esta simples equacgao de segunda ordem encontrase os valores de X42 Lembrando que 12 Wrie encontramse os valores das freqtiéncia naturais do sistema Ou seja caso representeo em outra base ortogonal ou ortonormal no caso especifico da matriz modal estar normalizada com relacgao a matriz de massa do sistemas 125 k Wri4 1 freqiiéncia natural 548 m 3k a Wr 14 2 fregtiéncia natural 549 m Agora resta calcular os autovetores do sistema associados as formas de vibrar deste sistema simples de 2 ordem Cada freqtiéncia natural auto valor esté associada a um modo de vibrar autovetor Assim temos duas situacoes distintas 1 Modo de vibrar associado a 1 freqiiéncia natural Caso se subs titua Wy J dentro da Eq 525 obtémse k k D1 PEEL Bd oc 50 sendo que o 1 modo de vibrar é definido como um vetor i sendo que 1 e g sao os valores das amplitudes nas coordenadas genera lizadas 1 e 2 respectivamente A solucao do problema de autovetor fornece apenas uma razao entre as amplitudes e 2 Solucionando o sistema linear acima chegase que Oi 1 551 by 551 Portanto os autovetores nao sao tinicos uma vez que se pode propor infinitos vetores Bi Bo que satisfazem as Eqs 550 e 551 Uma solugao é propor que o primetro modo de vibrar dado por 1 Os valores de 1 e Pg terem o mesmo sinal significa dizer que no 1 modo de vibrar as massas vao oscilar em completa fase e com a mesma intensidade Note que outra solucao seria 05 05 553 e infinitas outras 2 Modo de vibrar associado a 2 freqiiéncia natural Caso se subs titua Wp dentro da Eq 525 obtémse 126 k k D2 04 sendo que o 2 modo de vibrar é definido como um vetor 1 o9 sendo que Py e Pg sao os valores das amplitudes nas coordenadas genera lizadas 1 e 2 respectivamente A solucao do problema de autovetor fornece apenas uma razao entre as amplitudes 2 e Bog Solucionando o sistema linear acima chegase que 14 1 555 by 555 Portanto os autovetores nao sao tinicos uma vez que se pode propor infinitos vetores 1 e Bg que satisfazem as Eqs 554 e 555 Uma solugao propor que que o segundo modo de vibrar é dado por 1 O 4 556 Agora repita o problema anterior e encontre uma matriz modal que seja normalizada com relagao a matriz de massa M Também é interessante solu cionar o problema anterior usando algum pacote computacional por exemplo o Matlab O comando Matlab para calcular o problema de autovalor e autovetor é a rotina ezg 522 Vibracoes livres sistema com amortecimento pro porcional Considere agora que um sistema mecénico sem excitagao tenha o seu movimento vibratério descrito pela seguinte equagao diferencial Mx Cx Kx 0 557 sendo C a matriz de amortecimento assumida ser do tipo proporcional a matriz de massa e rigidez CaM 6K 558 sendo a e 3 constantes determinadas a partir de métodos especificos de ajuste de modelos Neste exemplo o problema de autovalor e autovetor associado a solugdo da Eq 557 ira envolver solug6es que serao complexas Assim as raizes da equacao caracteristica associada iré envolver pares de polos complexos conjugados para cada modo de vibrar do sistema 7 Assumindo o caso de sistema subamortecido em todos os modos 0 1 127 sendo i 12n nm o nimero de modos do sistema 0 fator de amortecimento modal associado ao iésimo modo de vibrar e w a iésima freqiiéncia natural do sistema Para o caso particular de amortecimento do tipo proporcional os fatores de amortecimento modal podem ser aproxi mados pela seguinte equacao 1 B aW 560 2 Wni Para solucionar o problema de autovalor e autovetor de um sistema com amortecimento do tipo proporcional é interessante reescrever a Eq 557 de uma forma mais conveniente A principal diferenga neste caso é que os autovalores e autovetores sao complexos ou seja os autovalores estao re lacionados diretamente aos fatores de amortecimento e freqiiéncia natural para cada modo e os autovetores aos modos de vibrar que neste caso por serem complexos devem ser descritos por uma amplitude e uma fase 0 que significa dizer que os modos de vibrar apresentam uma fase na mesma co ordenada Isto tudo é induzido pela presenga de amortecimento no sistema Deve ficar claro que é muito comum se desconsiderar o efeito do amorteci mento no calculo de modos de vibrar e freqiiéncias naturais caso a estrutura seja levemente amortecida e o fator de amortecimento possa ser aproximado a zero o que significa dizer que os pélos do sistema estao muito préximos do eixo imaginario A seguir se discute duas formas padrao muito usadas para solucgaéo do problema de autovalor e autovetor de um sistema com amortecimento pro porcional Forma 1 Em vez de solucionar o problema de autovalor e autovetor do sistema com amortecimento proporcional a partir da Eq 557 é conveniente escrever a equacao do movimento dobrando o ntimero de equagoes e diminuindo uma ordem assim My Ky 0 561 sendo ard 0M M 562 M C 128 M 0 K 0K 563 matrizes simétricas com ordem 2n x 2n e y o vetor de estados definido como x y x 564 A solugaéo da equagao neste caso caso é dada por yWe 565 sendo os 2n autovalores e W a matriz modal com ordem 2n x 2n determinados da solugao do problema de autovalor e autovetor envolvendo as matrizes M e K Assim como o caso anterior sem amortecimento neste caso a matriz modal W satisfaz a relagao de ortogonalidade MwW 0 iFxj 566 Forma 2 Uma segunda forma de resolver o problema de autovalor e autovetor em um problema com vibragoes forgadas é descrever a equagao do movi mento a partir da realizagao no espaco de estados Assim isolando o vetor de aceleragao X dentro da Eq 557 obtémse xx 567 M7Kx MCx 568 Definindo o vetor de estados como sendo x Z x 569 Podese entao chegar a realizagao no espago de estados da equagao de movimento do sistema para o caso de vibragoes livres z Az 570 sendo A a matriz dinaémica dinaémica do sistema fungao das matrizes de massa M amortecimento proporcional C e rigidez K e dada por 129 0 I sendo I a matriz identidade com ordem n x n As freqiiéncias naturais modos de vibrar e fatores de amortecimento modal sao extraidos diretamente do conhecimento da matriz dinamica A a partir da solugao do problema de autovalor e autovetor det A XI 0 572 que conduz ao seguinte resultado AWW 573 Exemplo 53 Considere o sistema mecdnico da fig 52 comm m2 1 kg Cy cg 20 Nsm e ky ky k3 1500 Nm Pedese o cdlculo das frequéncias naturais w dos fatores de amortecimento modal e dos modos de vibrar do sistema Solugao As matrizes de massa amortecimento e rigidez sao dadas por 1 0 meh m4 40 20 ed 05 3000 1500 K 1500 3000 576 Escrevendo as matrizes auailiares através da Eq 561 temse 00 1 0 at 0M 00 0 1 M yy 1 0 40 20 577 0 1 20 40 1 0O 10 0 M 0 O 1l 0 0 K 0 K 0 0 3000 1500 578 0 0 I1500 3000 8Este problema pode ser resolvido com o Matlab com o auxilios dos comandos eig ou damp 130 sendo o vetor de estados neste caso XI J y yu 579 X2 O problema de autovalor e autovetor entao solucionado por det MK I 0 580 Assim 40A 20 3000 1500 20 402A 1500 3000 det 4 0 0 0 581 0 1 0 X que apds solucionar leva aos seguintes autovalores Ay 10 374 582 Ag 10 3747 583 A3 30 607 584 Aq 30 607 585 Agora facil constatar que os parémetros modais neste sistema sao Wri 387 rads 0258 586 Wn2 671 rads 0447 587 A fig53 mostra 0 mapeamento dos polos deste sistema mecénico no plano S Os autovalores calculados através da Eq 573 sao dados por wv Ww Wy W3 W 588 sendo 0707 0707 Y 60047 0017 589 00047 0017 131 40 35 30 25 20 15 10 5 0 60 40 20 0 20 40 60 01 005 016 023 032 044 06 084 01 005 016 023 032 044 06 084 10 20 30 40 50 60 70 10 20 30 40 50 60 70 Pole Map Real Axis Imaginary Axis Fig 53 Mapeamento dos pólos do sistema no plano complexo Ψ2 0707 0707 00047 0017j 00047 0017j 590 Ψ3 0707 0707 00047 0009j 00047 0009j 591 Ψ4 07070 0707 00047 0009j 00047 0009j 592 É importante notar que neste caso a matriz modal Ψ é complexa o que sig nifica que os modos de vibrar possuem módulo e fase Também é interessante observar que a matriz modal apresenta razão tanto entre amplitudes de des locamento como entre as amplitudes de velocidade daí sua ordem ser 2n2n e não n n como no caso da matriz Φ Agora repita o exemplo anterior porém resolvendo através da matriz dinâmica A 132 53 Vibracgoes forgcadas O caso de vibragoes forgadas em sistemas com miultiplos graus de liber dade considera solucionar o problema dado pela Eq 51 que é repetida a seguir Mx CxKx F 593 sendo F o vetor de forga de excitagao que pode ser harménica ou em um caso mais geral puramente aleatoéria Podese solucionar esta equacao de varias formas possiveis Uma forma seria resolver numericamente usando alguma técnica de solugao para resolugao de sistemas de equacoes diferenciais ordinarias e lineares como a familia de algoritmos RungeKutta ou o Algo ritmo de Newmark Esta abordagem nao sera estudada neste curso Uma segunda abordagem é empregar o uso de transformadas tanto a de Laplace quanto a de Fourier Inicialmente vamos aplicar a transformada Laplace na Eq 593 assu mindo condigoes iniciais nulas dos vetores de deslocamento x0 e velocidade x0 Assim as transformadas de Laplace dos vetores de resposta x e forcga F sao dadas por Xs Lxt 594 Fs Ft 595 Substituindo as express6es anteriores na Eq 593 obtémse a equacgao do movimento escrita em fungao da varidvel de Laplace s Ms Cs K Xs Fs 596 A equagao anterior pode ser escrita como ZsXs Fs 597 sendo Zs a matriz de impedancia mecdnica também conhecida como matriz de rigidez dinamica Zs Ms Cs K 598 A solugao do sistema pode ser obtida invertendose a matriz de impedan cia Zs Xs Zs 1 Fs 599 133 A inversa da matriz de impedancia é chamada de matriz de receptancia ou compliancia do sistema Hs Zs7 5100 Uma vez obtido Xs aplicase a transformada inversa de Laplace obtendo assim a resposta do sistema no dominio temporal Exemplo 54 Considere o sistema mecénico com dois graus de liberdade mostrado na fig 54 Considere que my 1 mg 2 ky ky 100 Nm c2 Nsm as condigoes iniciais sejam nulas e a excitagdo na massa 1 seja F Fosenwt sendo a freqtiéncia de excitagdo w 10 rads Fit x1t 2t k1 k2 m1 m2 cl Fig 54 Exemplo de sistema com dois graus de liberdade com forcga de excitagao harmonica Solugao Para este exemplo as matrizes de massa rigidez e amortecumento sao dadas por 1 0 M 0 2 5101 2 0 C 0 0 5102 200 100 K 100 100 5108 Efetuando a montagem da matriz de impedancia mecdanica Zs do sistema obtémse 134 s2s200 100 Zs 100 2s 100 5104 Entdao a relagao entradasatda pode ser escrita no dominio s como s2s200 100 Xis f Fis 5105 100 2s 100 Xos f 0 Através da inversdo da matriz de impedancia Zs chegase a matriz de re cepténcia do sistema 1 s 50 50 1 Hs Zs 75 504 s 2s 200 5106 sendo Ds a equagao caractertstica do sistema fornecendo as freqtiéncias naturais e os fatores de amortecimento do sistema Ds s 2s 250s 100s 5000 5107 A transformada de Laplace do sinal de forca aplicada é dada por 10Fo Fs e300 5108 O passo final é aplicar a transformada de Laplace inversa a partir da expan sao em fragoes parciais de Xs obtendo assim xt A fig 55 mostra a resposta obtida quando se emprega Fy 10 N de amplitude na forca de excitagao na freqtiéncia w 10 rads E interessante observar que a Eq 597 pode ser escrita no dominio da freqiiéncia a partir do mapeamento de s jw assim ZjwXjw Fjw 5109 Neste caso a matriz de fungao de resposta em freqtiéncia FRF é dada por Hw Zw 5110 Assim existem duas formas basicas para se obter a matriz de FRFs A primeira é a partir do conhecimento da matriz de rigidez dinamica Zw que basicamente significa obter as FRFs com o conhecimento das matrizes estruturais que definem o seu sistema matrizes de massa M amortecimento proporcional C e rigidez K Neste caso se obtermos os autovalores e auto vetores diretamente destas matrizes se estara trabalhando dentro do contexto 135 01 015 005 01 E E 005 Se S x a 0 005 005 01 01 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 Tempo s Tempo s 1 1 w 05 ao 05 S 0 S 0 N 3 3 05 05 1 1 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 Tempo s Tempo s Fig 55 Respostas do sistema mecanica para o sinal de excitagao Ft apli cado na massa 1 de analise modal analitica Uma segunda abordagem é estimar a matriz de FRFs Hw a partir do conhecimento dos sinais de resposta e excitacao e utilizar conceitos de andlise espectral como estimadores H Hz ou H eo emprego da fungao de coeréncia do sistema Estes t6picos foram introduzidos aos estudantes no final do capitulo 3 desta apostila Neste caso se os auto valores e autovetores sao extraidos a partir do conhecimento do sinal nao paramétrico da matriz de FRFs estaremos empregando ferramentas de andlise modal experimental No caso de um sistema com dois graus de liberdade a matriz de FRFs receptancia no caso de se medir o sinal de deslocamento é composta pela combinagao de dois sinais de entrada e dois sinais de resposta assim Hw sendo 2 0 ponto em que é feita a medida e 7 0 ponto onde o sistema é medido No caso de dois graus de liberdade temse Au Ar Hw 5111 How Ho2w 136 Observe que a situação quando o ponto de excitação é igual ao ponto que é medido indica que i j Esta condição é chamada de drive point É muito comum se excitar e medir no mesmo ponto para se verificar a existência de freqüências de antiressonâncias Antiressonância é uma freqüência locali zada entre duas freqüências naturais onde o movimento osciliatório é anulado Se excitase e medese no mesmo ponto deve existir antiressonância entre todas as freqüências naturais Outra propriedade interessante diz respeito a reciprocidade de Maxwell que significa que H12ω H21ω 5112 ou seja a propriedade de linearidade é válida Caso a constatação acima não seja possível significa que o sistema não responde de forma linear e por tanto as ferramentas de análise modal como apresentadas neste texto não são válidas A próxima seção traz algumas considerações básicas sobre a estimativa experimental dos parâmetros modais com base em dados reais de medição experimental Será apresentado apenas um método clássico no domínio da freqüência considerado o mais simples e fácil de ser implementado na prática 54 Introdução à análise modal experimental Diversos métodos podem ser empregados para identificação de parâme tros modais de estruturas eou componentes mecânicos exemplos são os métodos de realização de autosistemas ERA exponencial complexa mé todo de Prony método de Ibrahim todos estes no domínio do tempo e métodos freqüências como o curve fitting exponencial complexa no domí nio da freqüência método usando a máxima resposta em freqüência dentre inúmeros outros Aqui nesta seção será apresentado apenas uma introdução e um exemplo envolvendo a identificação dos parâmetros modais freqüências naturais fa tores de amortecimento e modos de vibrar com base no conhecimento das FRFs O primeiro ponto é definir quantos pontos serão empregados ou seja Será necessário ter um conhecimento completo da matriz de respostas em freqüências FRFs Hω A resposta a esta pergunta é não Basta definir claramente qual será o número de modos que se irá buscar identificar Em uma aplicação envolvendo uma estrutura real por exemplo a asa de uma aeronave ou uma pá de turbina de um hidrogerador a dinâmica é muitas vezes extremamente complexa e com diversos modos de vibrar associados Sendo assim a primeira coisa é ficar bem exposto pelo analista qual será a faixa de freqüências a ser investigada 137 Baseado no que foi discutido no parágrafo anterior fica subentendido que basta se conhecer ou uma linha ou coluna ou diagonal da matriz de FRFs Hω Lembrando que a matriz de FRFs é composta por respostas em freqüência Hij onde as linhas i representam os pontos onde as respostas são medidas e as colunas j os pontos onde são aplicados os esforços de excitação Aqui iráse considerar que apenas um ponto fixo j é usado como excitação e o ponto da resposta i é variante ou seja irá se considerar a medição apenas das colunas da matriz de FRFs Deve ficar claro para o estudante que esta escolha prática está relacionado com qual aparato experimental hardware se tem em mão para efetuar as medidas Por exemplo suponha que você disponha de apenas um acelerômetro e de um martelo de impacto instru mentado com uma célula de carga Neste caso pode ser mais interessante se medir apenas uma linha da FRF variando a posição de entrada facilmente executada com o martelo e mantendo a resposta do acelerômetro em um ponto fixo Mas tudo isto depende muito dos equipamentos que o analista ou a equipe de análise modal tenha em mãos Para obter uma FRF existe dois caminhos ou você dispõe de um ana lisador comercial que já fornece a estimativa da FRF via estimador H1 H2 ou Hv em um faixa específica de freqüência e sua qualidade com a utili zação da função de coerência Com isto basta gravar estes sinais e rea lizar o pósprocessamento para extração dos parâmetros modais da estru turamáquinacomponente de interesse Já para o caso de não haver um analisador comercial será necessário realizar o préprocessamento para a ob tenção das FRFs usando alguns conceitos que foram introduzidos rapida mente no capítulo 3 desta apostila Ressaltase que caso os elementos da matriz de FRF Hω não sejam bem estimados toda a identificação modal fica completamente comprometida Os estudantes interessados em um maior enfoque neste assunto podem consultar as referências 6 4 ou 9 Após obtida os termos da matriz de FRFs podese determinar os máximos picos de ressonância e a freqüência natural amortecida de cada modo pico ωdi9 O método Peak Point de análise modal consiste em definir graficamente qual é esta freqüência Caso o sistema seja levemente amortecido podese aproximar a freqüência de ressonância por esta freqüência ou seja ωdi ωni i 1 2 n sendo n o número de modos de vibrar do sistema Para esti mar o fator de amortecimento neste modo basta definir quais as freqüências laterais a este pico onde a amplitude é 0707 de Hijω ou seja as freqüências onde a amplitude decai de 30 dB Estas freqüências são conhecidas como pontos de meiapotência Podese denotar estas freqüências de ω1i e ω2i As 9Na verdade esta freqüência corresponde a freqüência onde ocorre o máximo pico de amplitude da FRFs para o par ij 138 sim o fator de amortecimento para o 7ésimo modo é dado aproximadamente por Et 5113 QWri Considere 0 caso em que se tenha um sistema com 2 dofs e que tenhamos em maos as FRFs Hy1w e H2 Nesta situagao iremos ter a definigaéo de duas freqiiéncias naturais diferentes uma estimada no grafico Hw e outra no grafico Hpw E claro que ambas as estimativas seraéo proximas e 0 mesmo se pode dizer sobre a estimativa do fator de amortecimento Assim para o caso pratico podese realizar uma média geométrica das estimativas das freqiiéncias naturais w e dos fatores de amortecimento modal em cada curva de FRF Hw No caso geral quando se tem N pontos de medidas 1i On F So wit 5114 k1 Le G7 SS 5115 k1 sendo W a 7ésima freqiiéncia natural estimada experimentalmente a partir das medidas das FRFs wy a iésima freqiiéncia natural estimada da késima medida de FRF o 7ésimo fator de amortecimento estimado experimentalmente e 0 iésimo fator de amortecimento estimado da k ésima medida de FRF Devese observar que é plenamente possivel obter as freqiiéncias naturais e os fatores de amortecimento de um sistema com base apenas em um termo da matriz de FRFs Hw Porém para determinacao dos modos de vibrar autovetores do sistema é necessério mais do que uma FRF A razao para isto vem do proprio fato do modo de vibrar ser uma rela cao entre amplitudes em coordenadas diferentes exigindo assim informagoes de medidas de entrada eou saidas em varios pontos diferentes A tarefa de se extrair os modos de vibrar de forma experimental pode se tornar bastante complexa dependendo do tipo de estruturasistema mecanico que se ird analisar Do ponto de vista freqiiéncial o conhecimento da matriz de recepetancial expandida em uma série de fracdes parciais onde o deno minador é formado por fungoes de 2 ordem na freqiiéncia de excitagao w traz uma informagao importante nos residuos que sao associados diretamente com os modos de vibrar do sistema Matematicamente 10Matriz de FRF quando a resposta medida é 0 deslocamento 139 n 667 Hj w 4 5116 4 d w2 29Wppw w sendo que neste caso o sistema é considerado subamortecido com n modos A magnitude de H w medida no pico de w dada por Fij nr ees 5117 7 War vee w 256 W Ww Consequentemente bo7 ul Hijwnr 26 w2 5118 Aqui o valor medido na maxima fungao de resposta em freqiiéncia em W Wry no ponto de resposta 7 e entrada 7 é devido apenas a resposta para a freqtiéncia de ressonancia A Eq 5118 é chamada de constante modal que é definida como a magnitude do ijésimo elmento de 7 A Eq 5118 resulta na hipotése basica de assumir que a curva da FRF vem da curva de um sistema com um grau de liberdade em cada modo sistema desacoplado Este método é muito limitado pois somente permite identificar modos de vibrar de sistemas bem desacoplados e sem dominancia modal em determinadas faixas E um método totalmente naoparamétrico baseado apenas em curvas graficas e portanto o seu interesse atual é mais didatico Porém com esta formulagao é possivel na pratica se identificar os parametros com uma relativa acuracia dada as devidas simplificagoes O principal vilao acaba sendo a estimativa correta do fator de amortecimento modal O subscrito ij denota a coordenada relativa as posigdes de saida e de excitagao Em outras palavras a quantidade H w representa o médulo da funcgao de transferéncia entre o ponto de saida 72 e a resposta medida em j quando o sistema é excitado na condigao de ressonancia Neste caso a estimativa dos autovetores ou modos de vibrar pode ser calculada fazendo uma série de medidas em pontos diferentes aplicando a Eq 5118 e obtendo as constantes modais e examinando a fase relativa dos picos de Hw Com isto um sistema linear pode ser montado e os modos de vibrar calculados de maneira experimental A seguir sao ilustrados dois exemplos dos conceitos explicados anteriormente Exemplo 55 Considerando o sistema da fig 54 pedese a expansao em fracgoes parciais da receptancia em Hi1w Solugao Como ja obtido antertormente sabese que para este exemplo 140 H11s s2 50 s4 2s3 250s2 100s 5000 5119 Decompondo em frações parciais obtémse H11s R1 s 08637 15j R 1 s 08637 15j R2 s 0136 468j R 2 s 0136 468j sendo R1 e R2 os resíduos para o primeiro e o segundo modo de vibrar e o sobreescrito o complexo conjugado Para este caso têmse que R1 00011 00287j 5120 R2 00011 0014j 5121 É importante observar que os resíduos são valores complexos e portanto pos suem módulo e fase O próximo exemplo mostra a obtenção dos resíduos e das constantes modais a partir diretamente de uma FRF obtida experimen talmente Exemplo 56 Considere que foram medidos dois sinais de resposta em um sistema mecânico qualquer nos pontos 1 e 2 quando se aplica uma excita ção puramente aleatória no ponto 1 A fig 56 apresenta as respostas de deslocamento medidas experimentalmente Com o auxílio de um analisador comercial foi então obtido as FRFs ex perimentais com o emprego do estimador H1 A fig 57 apresenta esta estimativa Sabese que a fase do pico do 1o modo em H11ω é de 180o do pico do 1o Modo em H21ω é 180o do pico do 2o modo em H11ω é 180o e do pico do 2o modo em H21ω é 360o Com base nos gráficos da fig 57 pedese a estimativa das freqüências naturais dos fatores de amortecimento e dos modos de vibrar do sistema de forma experimental Solução A primeira questão é analisar a estimativa da FRF para validar se está ok Neste exemplo os dados experimentais apresentam ruídos e con sequentemente a estimativa das FRFs não fica 100 Outro ponto que deve ficar claro é que o pico exato pode não ser possível de ser obtido assim como os valores das freqüência de meiapotência Como o método que iráse em pregar é totalmente nãoparamétrica em essência a estimativa das FRFs tem 141 0 10 20 30 40 50 60 70 04 02 0 02 04 Tempo s x1t m 0 10 20 30 40 50 60 70 04 02 0 02 04 Tempo s x2t m Fig 56 Resposta experimental da estrutura ensaida 0 5 10 15 150 100 50 0 Frequencia Hz H11 dB ref Nm 0 5 10 15 150 100 50 0 Frequencia Hz H21 dB ref Nm Fig 57 FRFs experimentais 142 total influéncia Como neste exemplo assumese que as FRFs ja sao forne cidas diretamente por uma analisador comercial nao temos controle da suas estimativas e assumese que nao hé nenhum erro Com base nos valores de pico de Hyw e Haiw obtémse as fregtiéncias naturais do sistema A andlise graffornece as seguinte freqtiéncias naturais para o sistema Wn 381 Hz 1 freqtiéncia natural 5122 Wn 996 Hz 2 freqgiiéncia natural 5123 A estimativa dos fatores de amortecimento 2 sdo wm pouco mais com plicadas pois dependem das definicoes das frequiéncias de meiapoténcia com a Eq 5118 1 3828 3794 a 3 Ca 0004 1 modo 5124 1 997 9949 000105 2 modo 5125 5 996 5125 Estas estimativas sao comparadas com os valores do modelo matemédtico de referéncia que foi usado para gerar os dados de simulagdo A tab 51 apresenta a comparagao entre as estimativas e os valores de referéncia Tab 51 Comparagao das estimativas feitas Valor Real Valor identificado da FRF 581 Tz 581 Tz 1x10 0004 997 Tz 996 Tz g32x107 000105 Com a andlise da tab 51 podese constatar 0 enorme erro na estimativa do fator de amortecimento Este erro é causado pelo fato de nao se conhecer exatamente a amostra onde o sistema decai 3 dB com relagao a amplitude do pico Qualquer modificagao por menor que seja pode causar um enorme erro no valor da freqtiéncia de meta poténcia que gera uma diferenca enorme na estimativa do fator de amortecimento O ideal para estimar o fator de amortecimento se empregar alguma técnica temporal Uma satda filtrar os dados nas faizas em torno de um modo aplicar a transformada de Fourier 143 inversa e analisar diretamente a IRF ht Neste caso podese aplicar o método do decremento logaritmico como estudados nos capttulos anteriores Porém isto s6 posstvel em sistemas onde nao existe modos sobrepostos ou muito préximos uns dos outros Agora resta estimar os modos de vibrar Para isto necessario se definir as amplitudes dos picos em Wp Wn2 nas FRFs HyweHow H11Wni 2101dB 0089 5126 Ho1Wn1 1686dB 01436 5127 111 Wn2 2405dB 00599 5128 H21wWn2 2865dB 003713 5129 Com o auxilio da Eq eqctemodal é possivel calcular as constantes modais relacionadas aos restduos e modos de vibrar do sistema 2117 ul Hy wy1 2w 0408 5130 21017 4 Hy wn1 26w 0658 5131 22 Hy1wn2 2w 04926 5132 262 Ho wy2 22 03054 5133 E importante frisar que as freqtiéncias naturais usadas para calcular as cons tantes anteriores sao convertidas para rads O primeiro modo entdo cal culado como 0408 1 06387 5134 8 0658 Bi 103 5135 Jé o segundo modo calculado por 5 04926 2 0701 5136 5 Bo 08054 Bo 04356 5137 Uma vez que a fase das FRFs para o secundo pico segundo modo pos suem defasagem de 180 0 segundo modo esta fora de fase A matriz modal identificada experimentalmente entao dada por Lembrese que dB 20logi9Amplitude 144 06387 0701 wl 103 04356 5138 Importante notar que a razao entre amplitude do 1 modo é 062 e para o 2 modo 160 Tao importante quanto identificar experimentalmente os modos de vibrar é validar se esta estimativa esta coerente Varios métodos podem ser empre gados para este propdsito Um dos mais utilizados 0 Modal Assurance Criteria MAC Os valores MAC fornecem uma medida precisa de correla cao entro modos analiticos extraidos a partir do conhecimento de matrizes estruturais do sistema e modos experimentais extraidos de dados de ensaio de vibragdes Como bem se sabe o produto escalar entre dois vetores que formam uma base ortonormal deve ser 1 ou 0 dependendo de qual par de vetor é usado assim os valores MAC nada mais sao do que aT T Bret MC 7 OOo 5139 d exp exp d Bret BE BF Bre sendo 7 9 iésimo modo do modelo e 0 iésimo modo extraido experimentalmente Caso i j 0 valor MAC deve ser 1 ou préximo de 1 em fungao da qualidade da estimativa Caso i 4 7 0 valor MAC deve ser 0 Assim para o exemplo sabendo que a matriz modal obtida com os valores analiticos das matrizes de massa e rigidez é dada por 05257 08507 pred 14 08507 05257 5140 Comparando a razao de amplitude dos modos analiticos podese observar que para o 1 modo esta razao é 06179 e para o 2 modo é 16182 bem proximos ao obtido com a identificagaéo experimental Calculando os valores MAC com a equagao anterior concluise que a matriz de valores MAC é 1 0 MC 141 c a 5141 Sendo assim constatase que se a matriz de valores MAC for proxima da matriz identidade a matriz modal identificada é proxima da matriz modal analitica Esta abordagem é muito usada buscando otimizagao estrutural Os valores MAC sao usados como fungao objetivo de um problema de otimizagao onde a meta é ajustar os parametros do modelo matematico da estrutura de tal forma que 0 comportamento dinaémico do modelo fique idéntico ao comportamento dinamico da estrutura experimental real 145 55 Exercícios Ex 51 Para o sistema da fig 58 calcule as freqüências naturais e os modos de vibrar Normalize a matriz modal pela matriz de massa e comprove as propriedades de ortogonalidade dos modos de vibrar Escreva a equação do movimento em coordenadas modais Fig 58 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade Ex 52 Considere o sistema mecânico da fig 59 pedese a obtenção via equações de Lagrange da equação do movimento do sistema e o cálculo das freqüências naturais e modos próprios Fig 59 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade Ex 53 Considere o sistema mecânico da fig 510 com três graus de liber dade pedese a obtenção via equações de Lagrange da equação do movimento do sistema e o cálculo das freqüências naturais fatores de amortecimento e modos próprios 146 Fig 510 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade Ex 54 A fig 511 mostra o exemplo de um modelo matemático que pode ser usado para modelar um prédio com três andares Assuma que m1 m2 m3 m e que as rigidez das paredes entre os pisos é k sendo que as duas paredes atuam como molas em parelelo Para este sistema obtenha o sistema de equações do movimento usando as Equações de Lagrange Calcule as freqüências naturais e os modos de vibrar deste sistema Trace um gráfico dos modos próprios de vibração para visualização física deles Fig 511 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade Ex 55 A fig 512 mostra uma viga modelada com três graus de liberdade Para este exemplo a matriz de massa é dada por 147 M m 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5142 Já a matriz de rigidez é dada por K EI L3 256 3 768 11 768 7 768 11 48 1 768 11 768 7 768 11 256 3 5143 Para esta viga calcule as freqüência naturais e os modos normais de vi bração Trace um gráfico dos modos próprios obtidos Fig 512 Exemplo de uma viga com múltiplos graus de liberdade Ex 56 Para o sistema mecânico de 2 dofs abaixo calcule a equação do mo vimento usando as equações de Lagrange e extraia as freqüências naturais e os modos de vibrar do sistema Ex 57 Considere uma viga engastada livre onde 3 pontos de medida de deslocamento foram obtidos quando a excitação era aplicada em um ponto fixo As FRFs são estimadas com o estimador H1 e as freqüências naturais e fatores de amortecimento são extraídos diretamente destas FRFs ξ1 001 ωn1 2 5144 ξ2 02 ωn2 10 5145 ξ3 001 ωn3 12 5146 As amplitudes das FRFs em escala absoluta em H13 são 148 Fig 513 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade H13 ωn1 1 5147 H13 ωn2 2 5148 H13 ωn3 3 5149 Já em H23 são H23 ωn1 3 5150 H23 ωn2 2 5151 H23 ωn3 4 5152 e por fim em H33 são H33 ωn1 5 5153 H33 ωn2 2 5154 H33 ωn3 2 5155 Com base nestas informações obtenha os modos de vibrar do sistema real 149 Referências Bibliográficas 1 L A Aguirre Introdução à Identificação de Sistemas Técnicas Line ares e NãoLineares Aplicadas a Sistemas Reais Editora UFMG 2o edition 2004 2 R L Bisplinghoff H Ashley and R L Halfman Aeroelasticity AddisonWesley Publishing Company USA 1996 3 W E Boyce and R C DiPrima Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems New York John Wiley 1986 4 D J Ewins Modal Testing Theory and Practice New York John Wiley 1984 5 J P Den Hartog Mechanical Vibrations Dover 1984 6 D J Inman Vibration with control measurement and stability Pren tice Hall 1989 7 D J Inman Engineering Vibrations Prentice Hall 3rd edition 2007 8 M Dias Jr Análise modal experimental Notas de aula da disciplina de Pósgraduação em Engenharia Mecânica da FEMUNICAMP 2005 9 N M M Maia Theoretical and Experimental Modal Analysis Research Studies Press 1st Edition 1997 10 L Meirovitch Elements of Vibration Analysis McGrawHill 2nd edi tion 1986 11 S Rao Vibrações Mecânicas Prentice Hall 4o edition 2008 12 M A G Ruggiero and V L R Lopes Cálculo Numérico Aspectos Teóricos e Computacionais Makron Books 1996 13 I F Santos Dinâmica de Sistemas Mecânicos Makron Books 2001 150 14 P Stoica and R L Moses Introduction to Spectral Analysis Prentice Hall 1997 15 W T Thomson Theory of Vibration with Applications Prentice Hall 3rd edition 1988 151