Projeto de Máquinas: Dimensionamento e Análise de Eixos

Domingos de Azevedo UMC 17042023 Este trabalho é um compêndio da coletânea de informações sobre o assunto com adição de material complementar e ponderações sobre aspectos correlatos Para obter mais detalhes sobre qualquer tópico recomendase consultar os originais conforme constam nas referências Em especial Projeto de máquinas de Robert L Norton Msc Eng Domingos de Azevedo 1 SUMÁRIO DIMENSIONAMENTO DE EIXOS 3 CARGAS NO EIXO 3 MATERIAIS PARA EIXOS 4 Tabela 1 Propriedades de materiais dúcteis 5 CONEXÕES E CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES 5 Sensibilidade ao entalhe 1 8 Concentrações de tensões sob solicitações dinâmicas 9 INTRODUÇÃO Á FADIGA 12 Resistência à fadiga teórica Sf ou limite de fadiga Se estimados 16 INFLUÊNCIA DA TENSÃO MÉDIA 17 Fatores de correção para a resistência à fadiga ou limite de fadiga teóricos 19 Tabela 2 Fatores Generalizados de Resistência à Fadiga para Materiais Dúcteis curvas SN 5 e 6 20 Efeitos da Solicitação Carregamento 20 Fator de Tamanho 21 Fator de Superfície 21 Tabela 3 Parâmetros para o fator de modificação superficial de Marin 6 22 Efeitos da temperatura 6 23 Tabela 4 Efeito da temperatura de operação sobre a resistência à tração de açoST resistência à tração à temperatura de operação SRT resistência à tração à temperatura ambiente 0099 σ 0110 6 24 Fator de Confiabilidade 1 24 Diagrama de Goodman modificado 25 Determinação do coeficiente de segurança com tensões variadas 26 ETAPAS DE PROJETO PARA TENSÕES VARIADAS 30 TENSÕES NO EIXO 32 FALHA DO EIXO EM CARREGAMENTO COMBINADO 33 PROJETO DO EIXO 1 33 Projeto para flexão alternada e torção fixa 35 Projeto para flexão alternada e torção variada 36 COEFICIENTE DE SEGURANÇA 37 Tabela 5 Coeficientes de segurança segundo Norton 2004 37 Os seguintes princípios são gerais e devem ser sempre considerados 5 1 38 Exemplo1 39 Exemplo2 42 Exemplo3 50 INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES 58 Tabela 6 Limites para a Dimensão do Chanfro de rolamentos Série Métrica 7 60 Tabela 7 Raio de Canto do eixo e altura do encosto para os Rolamentos Radiais 7 61 Tabela 8 Diâmetros tolerâncias e torque para extremidades de eixos 8 62 REFERÊNCIAS64 Msc Eng Domingos de Azevedo 2 LISTA DE ILUSTRAÇÕES FIGURA 1 CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES EM UM EIXO 5 FIGURA 2 VÁRIOS MÉTODOS PARA FIXAÇÃO DE ELEMENTOS A EIXOS 1 6 FIGURA 3 VARIAÇÃO DO FATOR DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO RELATIVO À TENSÃO MÉDIA COM A TENSÃO MÁXIMA EM MATERIAIS DÚCTEIS COM POSSIBILIDADE DE ESCOAMENTO LOCAL 7 FIGURA 4 CURVAS DE SENSIBILIDADE AO ENTALHE PARA AÇOS CALCULADAS A PARTIR DA EQUAÇÃO ANTERIOR COMO ORIGINALMENTE PROPOSTO POR R E PETERSON CITADO POR 1 9 FIGURA 5 FATOR GEOMÉTRICO DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO KT PARA UM EIXO COM UM REBAIXO ARREDONDADO EM TRAÇÃO AXIAL 1 10 FIGURA 6 FATOR GEOMÉTRICO DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO KT PARA UM EIXO COM UM REBAIXO ARREDONDADO EM FLEXÃO 10 FIGURA 7 FATOR GEOMÉTRICO DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO KT PARA UM EIXO COM UM REBAIXO ARREDONDADO EM TORÇÃO 1 11 FIGURA 8 PADRÕES CÍCLICOS DE TENSÃOTEMPO DE AMPLITUDE CONSTANTE 13 FIGURA 9 DESIGNAÇÃO DOS PARÂMETROS DE TENSÃOTEMPO CÍCLICOS 13 FIGURA 10 DIAGRAMA SN COM CURVA TÍPICA 3 15 FIGURA 11 EFEITO DO TIPO DE MATERIAL NA CURVA SN 4 16 FIGURA 12 RELAÇÃO ENTRE A RESISTÊNCIA À FADIGA OBTIDA DE ENSAIOS DE FLEXÃO ROTATIVA SEM ENTALHES E A RESISTÊNCIA À TRAÇÃO DE AÇOS EXTRAÍDO DE P G FORREST FATIGUE OF METALS PERGAMON PRESS LONDRES 1962 1 17 FIGURA 13 EFEITO DA TENSÃO MÉDIA SOBRE A CURVA SN 17 FIGURA 14 DIVERSAS CURVAS DE FALHA PARA TENSÕES MÉDIAS 18 FIGURA 15 EFEITOS DA TENSÃO MÉDIA NA TENSÃO ALTERNADA DE RESISTÊNCIA A FADIGA DE VIDA LONGA DE AÇOS BASEADOS EM 107 ATE 108 CICLOS 19 FIGURA 16 TENSÕES BIAXIAIS COMBINADAS DE TORÇÃO E FLEXÃO ALTERNADAS PLOTADAS EM EIXOS DE COORDENADAS SINES E WAISMAN1959 CITADO POR NORTON 1 21 FIGURA 17 FATORES DE SUPERFÍCIE PARA DIVERSOS TIPOS DE ACABAMENTO SUPERFICIAL PARA AÇOS 1 22 FIGURA 18 GRÁFICO DO EFEITO DA TEMPERATURA DE OPERAÇÃO NA RESISTÊNCIA AO ESCOAMENTO SY E À TRAÇÃO SUT 6 23 FIGURA 19 DISTRIBUIÇÃO DE GAUSS NORMAL 24 FIGURA 20 DIAGRAMA DE GOODMAN AUMENTADO 25 FIGURA 21 DIAGRAMA DE GOODMAN COM QUATRO POSSIBILIDADES DE CARREGAMENTO 28 FIGURA 22 RESULTADOS DOS TESTES DE FADIGA PARA AMOSTRAS DE AÇO SUJEITAS À TORÇÃO E FLEXÃO COMBINADAS EXTRAÍDO DE DESIGN OF TRANSMISSION SHAFTING AMERICAN SOCIETY OF MECHANICAL ENGINEERS NEW YORK ANSIASME STANDARD B1061M1985 COM AUTORIZAÇÃO 33 FIGURA 23 EXEMPLO 1 39 FIGURA 24 EXEMPLO 2 42 FIGURA 25 DIAGRAMA DE REAÇÕES E CISALHAMENTO NO PLANO XZ 43 FIGURA 26 DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR RESULTANTE DO EIXO 44 FIGURA 27 GRÁFICO ΣA ΣM DO EXEMPLO 2 48 FIGURA 28 TENSÃO EQUIVALENTE ALTERNADA ΣEQ NO GRÁFICO ΣA ΣM 49 FIGURA 29 DIAGRAMA SN DO EXEMPLO 2 49 FIGURA 30 CONJUNTO COM PRINCIPAIS ELEMENTOS PARA UM PROJETO PRELIMINAR 50 FIGURA 31 CONJUNTO PARCIAL DO PROJETO PRELIMINAR 51 FIGURA 32 EIXO COM DIMENSÕES PRELIMINARES 51 FIGURA 35 COTAS LIMITES DE ENCOSTOS DE ROLAMENTOS 7 58 FIGURA 36 CANTOS DE EIXOS COMUNS PARA ENCOSTOS DE ROLAMENTOS 58 FIGURA 37 CANTOS DE EIXOS COM CANAL PARA ENCOSTOS DE ROLAMENTOS 59 FIGURA 38 MODIFICAÇÕES DE PROJETO PARA REDUZIR A CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES EM UM CANTO AGUDO 1 59 Msc Eng Domingos de Azevedo 3 DIMENSIONAMENTO DE EIXOS Eixos de transmissão ou simplesmente eixos são usados em praticamente todas as partes de máquinas rotativas para transmitir movimento de rotação e torque de uma posição a outra Assim o projetista de máquinas está frequentemente envolvido com a tarefa de projeto de eixos No mínimo um eixo tipicamente transmite torque de um dispositivo de comando motor elétrico ou de combustão interna através da máquina Às vezes os eixos incluem engrenagens polias ou catracas que transmitem o movimento rotativo via engrenagens acoplantes correias ou correntes de eixo a eixo O eixo pode ser uma parte integral do acionador como um eixo de motor ou eixo manivela ou ele pode ser um eixo livre conectado a seu vizinho por algum tipo de acoplamento 1 Um eixo de transmissão em rotação estará submetido ao menos á torção devido ao momento torçor torque podendo ter ou não forças transversais que lhe causarão flexão e ou forças axiais que podem causar tração ou compressão sendo estas menos comuns A rotação do eixo determina se este eixo é de transmissão ou simplesmente uma viga submetida a cargas devendo então ser dimensionado como qualquer outra viga Os eixos de máquinas submetidos a esforços de flexão e torção como ocorre com eixos de árvores de engrenagens devem ser dimensionados considerandose as tensões atuantes sobre aquela peça com aquele material escolhido e sob as condições de utilização previstas Neste trabalho apenas os projetos de eixos rotativos de transmissão serão considerados CARGAS NO EIXO O caso mais geral de carregamento de eixo é aquele de um torque variado e um momento variado em combinação Pode haver cargas axiais também se a linha de centro do eixo for vertical ou se estiver unida à engrenagem helicoidal ou cremalheira tendo uma componente de força axial Um eixo deve ser projetado para minimizar a porção de seu comprimento sujeito a cargas axiais fazendoo descarregálas através de mancais axiais o mais próximo possível da fonte de carga Tanto o momento quanto o torque podem variar com o tempo e podem ambos ter componentes médias e alternadas A combinação de um momento fletor e um torque em um eixo em rotação criam tensões multiaxiais As questões discutidas na sobre tensões multiaxiais em fadiga são portanto relevantes Se as cargas forem assíncronas aleatórias ou fora de fase então será um caso de tensões multiaxiais complexas Porém ainda que o torque e o momento estejam em fase ou 180 fora de fase este ainda pode ser um caso de tensões multiaxiais complexas O fator crítico na determinação de se o eixo tem tensões multiaxiais simples ou complexas está na direção da tensão alternada principal em um determinado elemento do eixo Se sua direção for constante ao longo do tempo então será considerado um caso de tensões multiaxiais simples Se variar com o tempo então será considerado um caso de tensões multiaxiais complexas A maioria dos eixos carregados tanto em flexão quanto em torção estará na categoria complexa Enquanto a direção da tensão alternada de flexão tenderá a ser constante a direção das componentes de torção variará à medida que o elemento girar ao redor do eixo Uma exceção a essa situação é o caso de um torque constante sobreposto a um momento variável no tempo Devido ao fato de que o torque constante não tem componente alternada para mudar a direção da tensão alternada principal este se transforma em um caso de tensão multiaxial simples Contudo nem mesmo esta exceção pode ser considerada se estiverem presentes concentrações de tensão como furos ou rasgos de chaveta no eixo porque Msc Eng Domingos de Azevedo 4 eles introduzirão tensões biaxiais locais e requererão uma análise de fadiga multiaxial complexa Quaisquer posições ao longo do comprimento do eixo que pareçam ter grandes momentos eou torques especialmente se em combinação com concentrações de tensão precisam ser examinados para verificar a existência de possíveis falhas por tensão e as dimensões transversais ou as propriedades do material ajustadas devidamente MATERIAIS PARA EIXOS Os MATERIAIS FRÁGEIS não escoam localmente uma vez que eles não sofrem deformações plásticas significativas Assim concentrações de tensão têm efeitos em seu comportamento mesmo sob solicitação estática Se a tensão no local concentrador de tensões exceder o limite de ruptura uma trinca começará a se formar Isso reduzirá o material disponível para resistir à solicitação e aumentará a concentração de tensões na estreita trinca A peça então falhará rapidamente Materiais dúcteis sob solicitações dinâmicas se comportam e falham como se fossem frágeis Então independentemente da ductilidade ou fragilidade do material o fator de concentração de tensão deve ser aplicado quando cargas dinâmicas fadiga ou impacto estão presentes Entretanto ainda devem ser levados em conta parâmetros relacionados aos materiais Embora todos os materiais sejam afetados pela concentração de tensão sob solicitações dinâmicas alguns materiais são mais sensíveis que outros Os materiais comuns mais utilizados para eixos de transmissão são os materiais com elevado módulo de elasticidade e dúcteis principalmente os aços Muitos destes aços são endurecidos e para ambientes corrosivos geralmente são utilizados aços inoxidáveis ou alumínio Raramente os ferros fundidos e outros materiais frágeis são utilizados Eventualmente um eixo em ferro pode ser fundido a outros elementos tais como engrenagens ou polias por exemplo simplificando montagens porém são pouco comuns Os materiais considerados dúcteis são aqueles que possuem alongamento maior que 5 tais como aços carbono alumínio latão etc e os materiais considerados frágeis são aqueles com alongamento abaixo de 5 tais como ferro fundido bronze baquelita vidro etc Em geral os aços laminados a frio trefilados utilizados possuem diâmetros inferiores a 100 mm e os aços laminados a quente com diâmetros maiores Aços forjados com a geometria do eixo possuem características superiores aos demais por sua resistência a fadiga elevada e são uma ótima opção para alguns tipos de eixos Msc Eng Domingos de Azevedo 5 Tabela 1 Propriedades de materiais dúcteis Material Condição Tratamento T Escoam SY 02 MPa T Res Tração Sut MPa Alonga mento Dureza HB Limite de Fadiga Sf MPa Aço ABNT 1020 Laminado a Quente 331 448 36 143 241 Recozido 296 393 36 111 138 Aço ABNT 1040 Recozido 351 517 30 149 269 Aço ABNT 1045 Laminado a Quente 310 565 16 163 Aço ABNT 1050 Recozido 365 634 24 187 365 Aço ABNT 1060 Laminado a Quente 372 676 18 200 Normalizado 899 C 421 772 26 229 Aço ABNT 4140 Recozido 788 C 421 655 18 197 Normalizado 899 C 655 1020 26 302 Temp reven 540C 985 1137 15 358 455 AÇO INOX 316 Recozido 262 586 61 77 HRb 269 Alumínio ABNT 1100 Laminado a Frio 152 165 5 44 Recozido 35 90 45 23 35 5108 Fontes 1 2 CONEXÕES E CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES Os eixos podem não ter variações de diâmetro mas em geral possuem variações ressaltos para adequarse às cargas e elementos tais como polias engrenagens acoplamentos etc Esta variação de diâmetros causa concentração de tensões no eixo se não houver um raio de concordância suavizando a variação das tensões Figura 1 Concentração de tensões em um eixo Msc Eng Domingos de Azevedo 6 Estes degraus ou ressaltos bem como ranhuras entalhes furos transversais canais rasgos de chaveta etc são concentradores de tensão e prováveis locais onde devem originar trincas que levam a falhas catastróficas do eixo Vide figura a seguir Muitas vezes alguns métodos podem ser usados para reduzir a possibilidade de concentração de tensões como por exemplo colares de engaste montagem com interferência eixos com região cônica para montagem por atrito etc Embora se não projetados adequadamente possam também ser motivo de concentração de tensão corrosão e outros problemas Figura 2 Vários métodos para fixação de elementos a eixos 1 Um fator de concentração de tensão relativo à tensão média em fadiga Kfm é definido com base no nível de tensão média local σm na concentração de tensão em relação ao limite de escoamento A Figura 3a mostra uma situação genérica de tensão variada A Figura 3b ilustra o escoamento localizado que pode ocorrer ao redor da concentração de tensão Para essa análise uma relação tensãodeformação plástica perfeitamente elástica é assumida como mostrado na parte c Existem três possibilidades baseadas na relação entre σmax e o limite de escoamento do material Sy Se σmax Sy não ocorre escoamento ver Figura 3d e o valor total de Kf é usado para Kfm Se σmax Sy mas σmin Sy ocorre escoamento local no primeiro ciclo Figura 3e após o qual a tensão máxima não pode exceder Sy A tensão local na concentração é aliviada e um valor menor de Kfm pode ser usado como definido na Figura 3g a qual plota a relação entre Kfm e σmax A terceira possibilidade é que a gama de tensão Δσ exceda 2Sy causando escoamento alternado como mostrado na Figura 3f As tensões máxima e mínima agora ficam iguais a Sy e a tensão média tornase zero ver Equação seguinte levando a Kfm 0 Equação 1 Tensão média 𝜎𝑚 𝜎𝑚á𝑥𝜎𝑚𝑖𝑛 2 Msc Eng Domingos de Azevedo 7 Figura 3 Variação do fator de concentração de tensão relativo à tensão média com a tensão máxima em materiais dúcteis com possibilidade de escoamento local Fonte Adaptado da Fig 1014 p 415 N E Dowling Mechanical Behavior of Materials PrenticeHall Englewood Cliffs N J 1993 1 Essas relações podem ser resumidas abaixo Equação 2 Msc Eng Domingos de Azevedo 8 Sensibilidade ao entalhe 1 Os materiais apresentam diferentes sensibilidades a concentrações de tensão denominadas sensibilidade ao entalhe do material Em geral quanto mais dúctil é o material menor sua sensibilidade ao entalhe Materiais frágeis são mais sensíveis a descontinuidades Como a ductilidade e a fragilidade dos metais estão fortemente relacionadas à resistência e à dureza materiais de baixa resistência e pouco duros tendem a ter menor sensibilidade a descontinuidades frente aos de alta resistência e duros A sensibilidade ao entalhe depende também do raio de arredondamento do entalhe que mede o quão bruscas são as descontinuidades À medida que o raio de arredondamento se aproxima de zero a sensibilidade ao entalhe do material decresce e também se aproxima de zero Esse fato é de certa forma inesperado pois o fator de concentração de tensão teórico Kt tende a infinito quando o raio de arredondamento se aproxima de zero Caso não houvesse uma redução na sensibilidade ao entalhe dos materiais para raios próximos de zero os engenheiros teriam dificuldades para projetar peças capazes de suportar qualquer nível de tensão nominal quando há descontinuidades presentes Neuber foi responsável pelos primeiros estudos minuciosos dos efeitos de descontinuidades e propôs uma equação para o fator de concentração de tensão em fadiga em 1937 Kuhn posteriormente revisou a equação de Neuber e experimentalmente levantou dados para a constante de Neuber uma propriedade do material necessária em sua equação Peterson subsequentemente refinou a abordagem e desenvolveu o conceito de sensibilidade ao entalhe q definido por Equação 3 𝒒 𝑲𝒇𝟏 𝑲𝒕𝟏 Onde Kt é o fator de concentração de tensões teórico estático para a geometria particular e Kf é o fator de concentração de tensões em fadiga dinâmico A sensibilidade ao entalhe q varia entre 0 e 1 Essa equação pode ser reescrita para determinar Kf Equação 4 𝐾𝑓 1 𝑞𝐾𝑡 1 O procedimento consiste em primeiro determinar a concentração de tensões teóricas Kt para a geometria e o carregamento particulares então estabelecer a sensibilidade ao entalhe apropriada para o material escolhido e usálos na Equação 4 para encontrar o fator dinâmico de concentração de tensões Kf A tensão nominal dinâmica para qualquer situação é então multiplicada pelo fator Kf para tensão de tração Kfs para tensão de cisalhamento da mesma maneira que foi feito para o caso estático Equação 5 𝜎 𝐾𝑓 𝜎𝑛𝑜𝑚 Equação 6 𝜏 𝐾𝑓𝑠 𝜏𝑛𝑜𝑚 Observe na Equação 4 que quando q 0 Kf 1 e não há aumento da tensão nominal na Equação 5 Quando q 1 Kf Kt e o efeito total do fator geométrico de concentração de tensões é observado na Equação 5 A sensibilidade ao entalhe q pode ainda ser definida a partir da fórmula de Kuhn Hardrath em termos da constante de Neuber a e do raio do entalhe r ambos em polegadas Equação 7 𝑞 1 1𝑎 𝑟 Msc Eng Domingos de Azevedo 9 Para facilitar a obtenção do coeficiente q podese utilizar o gráfico a seguir que correlaciona o raio de concordância entre os diâmetros e a tensão de resistência a tração do material Figura 4 Curvas de sensibilidade ao entalhe para aços calculadas a partir da equação anterior como originalmente proposto por R E Peterson Citado por 1 Concentrações de tensões sob solicitações dinâmicas Materiais dúcteis sob solicitações dinâmicas se comportam e falham como se fossem frágeis Então independentemente da ductilidade ou fragilidade do material o fator de concentração de tensão deve ser aplicado quando cargas dinâmicas fadiga ou impacto estão presentes Entretanto ainda devem ser levados em conta parâmetros relacionados aos materiais Embora todos os materiais sejam afetados pela concentração de tensão sob solicitações dinâmicas alguns materiais são mais sensíveis que outros Um parâmetro chamado sensibilidade ao entalhe q é definido para vários materiais e utilizado para modificar os fatores Kt e Kts para um dado material sob solicitação dinâmica As figuras a seguir contêm funções de concentração de tensões e seus gráficos baseados na literatura técnica para um conjunto de casos que representam as situações comumente encontradas no projeto de máquinas Em alguns casos expressões matemáticas aproximadas foram obtidas para representar satisfatoriamente as curvas empíricas A redução na largura de D para d no degrau cria concentração de tensões e a dimensão do raio r também é um fator Esses fatores geométricos são representados pelos coeficientes adimensionais rd e Dd O primeiro destes é usado como a variável independente da equação e o segundo determina qual das curvas será usada Os valores de A e b para várias magnitudes da segunda variável independente a variável Dd são dados na tabela junto à figura A e b para outros valores de Dd podem ser interpolados Msc Eng Domingos de Azevedo 10 Figura 5 Fator geométrico de concentração de tensão Kt para um eixo com um rebaixo arredondado em tração axial 1 Figura 6 Fator geométrico de concentração de tensão Kt para um eixo com um rebaixo arredondado em flexão Msc Eng Domingos de Azevedo 11 Figura 7 Fator geométrico de concentração de tensão Kt para um eixo com um rebaixo arredondado em torção 1 Msc Eng Domingos de Azevedo 12 INTRODUÇÃO Á FADIGA DEFINIÇÃO Fadiga é um processo de degradação das propriedades mecânicas de um material que se caracteriza pelo crescimento lento de uma ou mais trincas sob a ação de carregamento dinâmico levando eventualmente à fratura 3 Na prática da engenharia moderna cargas repetitivas cargas variáveis e cargas rapidamente aplicadas são de longe mais comuns do que as cargas estáticas Principalmente na engenharia mecânica que envolve peças de máquinas que se movimentam e transmitem ou recebem cargas Para um local particular da peça a carga varia e portanto neste local as tensões variam ao longo do tempo As tensões podem variar de tração para compressão e viceversa ou ser apenas de tração ou apenas de compressão Tensões desta natureza são conhecidas como tensões flutuantes e resultam em falha de componentes mecânicos em modo de falha por fadiga Norton 2013 Msc Eng Domingos de Azevedo 13 Padrões de carregamento cíclico de amplitude constante a b c Figura 8 Padrões cíclicos de tensãotempo de amplitude constante Figura 9 Designação dos parâmetros de tensãotempo cíclicos Msc Eng Domingos de Azevedo 14 Equação 8 Faixa de tensão 𝜎𝑟 𝜎𝑚á𝑥 𝜎𝑚𝑖𝑛 Equação 9 Tensão de amplitude 𝜎𝑎 𝜎𝑚á𝑥 𝜎𝑚𝑖𝑛 2 Equação 10 Tensão média 𝜎𝑚 𝜎𝑚á𝑥 𝜎𝑚𝑖𝑛 2 Equação 11 Razão ou Relação das tensões 𝑅 𝜎𝑚𝑖𝑛 𝜎𝑚á𝑥 Equação 12 Relação de amplitude 𝐴 𝜎𝑎 𝜎𝑚 Notese que R 1 para a condição de tensão completamente alternada com média zero Quando a tensão média é diferente de zero em geral tensões de tração são prejudiciais enquanto tensões de compressão são benéficas Esta condição é comum para grande parte dos elementos de máquinas e melhor explanada adiante na seção Efeitos da tensão média não nula sobre a fadiga Sabese que para a faixa de frequências usuais das máquinas típicas de 1 a 500 Hz a fadiga não é afetada exceto para materiais poliméricos 3 O uso destas relações pode determinar o estado de tensões usadas no corpo de prova O projeto de peças de máquinas ou estruturas sujeitas à solicitação cíclicas é normalmente realizado com base nos resultados de ensaios realizados em laboratório com corposdeprova polidos do material de interesse Os dados obtidos são apresentados em gráficos denominados curvas SN como mostrado na Figura 10 O patamar inferior é a assíntota da curva que delimita a tensão máxima para qual se acredita que o material não irá falhar por fadiga Tensões abaixo deste limite são geralmente estabelecidas como de vida infinita para aquele material No caso específico da maioria dos aços quando a falha não ocorre até 107 ciclos O início da história do estudo da fadiga como a conhecemos hoje em dia ocorreu com os trabalhos de A Wöhler Ele propôs em 1860 três leis que até hoje são relevantes são elas I Um material pode ser induzido a falhar pela múltipla repetição de tensões que isoladamente são menores que a da resistência estática ou seja dos limites de escoamento e de resistência II A amplitude de tensão é decisiva para a destruição da coesão do metal III A tensão máxima influencia apenas no sentido de que quanto maior ela for menores são as amplitudes de tensão que levam à falha ou seja um aumento da tensão média reduz a resistência à fadiga do material para uma dada amplitude de tensão Uma das principais contribuições de Wöhler para a compreensão da fadiga foi na introdução das chamadas curvas SN ou também curvas SN ou ainda curvas de Wöhler Vide figura a seguir Msc Eng Domingos de Azevedo 15 Figura 10 Diagrama SN com curva típica 3 A curva SN pode ser dividida em três regiões 3 I Para amplitudes de tensão próximas ao valor da resistência estática ou seja do limite de resistência a curva apresenta um patamar de saturação II Para amplitudes de tensão intermediárias há um aumento da resistência à fadiga com a diminuição da amplitude de tensão Este é o domínio usual de trabalho da maioria dos materiais III Para amplitudes de tensão menores que um dado valor mínimo conhecido como limite de fadiga σL a fratura passa a ocorrer num valor virtualmente infinito de ciclos Em inglês o limite de fadiga também é referido como endurance limit O limite de fadiga σL existe necessariamente para todos os materiais mas em alguns casos o trecho horizontal da curva SN pode se estabilizar em um nível de amplitude de tensão correspondente a um número muito elevado de ciclos o que inviabiliza sua determinação experimental Segundo Souza 1982 as ligas não ferrosas tais como alumínio não apresenta este patamar Nos casos em que não o patamar o ensaio deve chegar a 50 milhões de ciclos 5107 ou mesmo em certos casos a 500 milhões de ciclos 5108 dependendo do material por exemplo níquel ou duralumínio fixandose a tensão correspondente a esse valor máximo de N ensaiado como limite de fadiga desse material Msc Eng Domingos de Azevedo 16 Figura 11 Efeito do tipo de material na curva SN 4 Resistência à fadiga teórica Sf ou limite de fadiga Se estimados Se os dados publicados estiverem disponíveis para a resistência à fadiga Sf ou o limite de fadiga Se do material eles devem ser utilizados e os fatores de correção discutidos na próxima seção devem ser aplicados a esses valores Os dados de resistência à fadiga encontrados nas publicações técnicas são geralmente retirados de ensaios com carregamentos alternados em flexão ou devido a forças normais em corpos de prova polidos e de pequenas dimensões Se não existirem dados disponíveis de resistência à fadiga valores aproximados de Sf ou Se podem ser estimados a partir de valores da resistência à tração do material A figura a seguir mostra a relação entre Sut e Sf para aços Existe uma dispersão considerável e as retas são ajustadas aproximadamente para os limites superior e inferior Para materiais com altos valores de resistência à tração a resistência à fadiga tende a estabilizarse como descrito anteriormente Msc Eng Domingos de Azevedo 17 Figura 12 Relação entre a resistência à fadiga obtida de ensaios de flexão rotativa sem entalhes e a resistência à tração de aços Extraído de P G Forrest Fatigue of Metals Pergamon Press Londres 1962 1 A partir desses dados relações aproximadas podem ser especificadas entre Sut e Sf ou Se Como mostrado abaixo Equação 13 INFLUÊNCIA DA TENSÃO MÉDIA Tensões variadas e pulsantes apresentam tensões médias não nulas e devem ser consideradas na determinação do coeficiente de segurança A tensão média pode ter substancial influência na resistência à fadiga do material Tensões médias de tração irão reduzir a quantidade de ciclos até a falha e tensões médias compressivas deverão elevar a quantidade de ciclos Vide gráfico a seguir Figura 13 Efeito da tensão média sobre a curva SN Msc Eng Domingos de Azevedo 18 A figura a seguir ilustra a curva de Goodman a parábola de Gerber a curva de Soderberg e a curva de escoamento plotadas nos eixos σm x σa Enquanto a curva de Gerber é um bom ajuste aos dados experimentais a curva de Goodman é um critério de falha mais conservador e mais usado comumente em projetos de peças sujeitas a tensões médias em adição as alternadas A curva de Soderberg é usada menos frequentemente por ser conservadora demais Figura 14 Diversas curvas de falha para tensões médias Quando a tensão média é diferente de zero em geral tensões de tração são prejudiciais enquanto tensões de compressão são benéficas como visto na figura anterior Esta condição é comum para grande parte dos elementos de máquinas portanto o regime de carregamento tornase importante para se determinar os limites de segurança Vide Figura 14 O gráfico da figura a seguir mostra evidências experimentais do efeito da componente tensão média na falha quando presente em combinação com tensões alternadas Essa situação é bastante comum em elementos de máquinas de todos os tipos 1 Msc Eng Domingos de Azevedo 19 Figura 15 Efeitos da tensão média na tensão alternada de resistência a fadiga de vida longa de aços baseados em 107 ate 108 ciclos Fonte Extraido de P G Forrest Fatigue of Metals Pergamon Press Londres 1962 Citado por 1 As equações a seguir definem matematicamente as curvas de falha mencionadas Equação 14 Onde Se Tensão limite de fadiga corrigido σa Tensão alternada normal σm Tensão média normal σut Tensão última resistência Sy Tensão de escoamento Fatores de correção para a resistência à fadiga ou limite de fadiga teóricos As resistências à fadiga ou a limites de fadiga obtidos de ensaios com corpos de prova padrão ou de estimativas baseadas em testes estáticos devem ser modificadas para considerar Msc Eng Domingos de Azevedo 20 em seus valores finais as diferenças físicas entre os corpos de prova e a peça real que está sendo projetada Diferenças de temperatura e de meio ambiente umidade efeitos de corrosão etc entre as condições do ensaio e as condições a que a peça estará submetida no futuro condições reais devem ser levadas em consideração além das diferenças na maneira de aplicação do carregamento Esses e outros fatores estão incorporados dentro de um conjunto de fatores de redução da resistência que são depois multiplicados pela estimativa teórica para se obter a resistência à fadiga corrigida ou o limite de fadiga corrigido para uma aplicação em particular Equação que fornece a resistência corrigida ou limite de fadiga corrigida Equação 15 𝑆𝑒 𝑜𝑢 𝑆𝑓 𝐶𝐿 𝐶𝐺 𝐶𝑆 𝐶𝑇 𝐶𝑅 𝑆𝑒 𝑜𝑢 𝑆𝑓 Onde se representa o limite de fadiga corrigido para um material que exibe um ponto de inflexão em sua curva SN e Sf representa a resistência à fadiga corrigida definida para um número particular de ciclos N correspondente a um material que não apresenta ponto de inflexão Os fatores de redução da resistência utilizados na Equação anterior serão definidos a seguir Tabela 2 Fatores Generalizados de Resistência à Fadiga para Materiais Dúcteis curvas SN 5 e 6 Resistência a 106 ciclos limite de resistência à fadiga Cargas de Flexão Cargas Axiais Carga de Torção 𝑺𝒏 𝑆𝑛 𝐶𝐿 𝐶𝐺 𝐶𝑆 𝐶𝑇 𝐶𝑅 Onde Sn é o limite de resistência à fadiga de R R Moore Flexão Axial Torção CL Fator de Carregamento 10 085 0577 CG Fator Gradiente Tamanho Diâmetro entre 28 mm e 51 mm d7620107 10 d7620107 51 mm diâmetro 254 mm 151d0157 10 151d0157 CS Fator de Superfície Veja a Figura 17 ou Equação 16 e Tabela 3 CT Fator de Temperatura Veja a Tabela 4 CR Confiabilidade Fator 50 1000 90 0897 95 0868 99 0814 999 0753 9999 0702 99999 0659 Efeitos da Solicitação Carregamento Uma vez que as relações descritas anteriormente e a maioria dos dados publicados de resistência à fadiga se referem a ensaios sob flexão rotativa um fator de redução da resistência para a solicitação devido à força normal deve ser aplicado A diferença entre a resistência à fadiga experimentalmente obtida de ensaios sob força normal e de flexão rotativa encontrase descrita na seção anterior Com base naquela discussão sobre ensaios de fadiga sob flexão e força normal podese definir um fator devido à solicitação de redução da resistência CL Msc Eng Domingos de Azevedo 21 Sabese que os ensaios de fadiga sob torção apresentam uma resistência que é CL 0577 vezes a resistência à fadiga sob flexão rotativa como mostra a Figura 16 Para os casos de fadiga sob torção pura podese comparar a tensão aplicada tensão alternada de cisalhamento devido à torção diretamente com a resistência à fadiga sob torção Entretanto geralmente lidaremos com o caso de torção pura assim como os outros casos por meio do cálculo da tensão equivalente de von Mises a partir das tensões aplicadas Segundo Shigley há menos dados de estudos para fadiga axial e a partir dos dados de Landgraf e de Grover Gordon e Jackson adotase CL 085 e CL 1 para flexão 6 Figura 16 Tensões biaxiais combinadas de torção e flexão alternadas plotadas em eixos de coordenadas Sines e Waisman1959 citado por Norton 1 Fator de Tamanho O fator de tamanho foi avaliado usando 133 conjuntos de pontos de dados Os resultados para flexão e torção podem ser expressos como mostrado na tabela anterior Onde se percebe que não há efeito para carregamento axial Segundo Lehr citado por Niemann o aumento de diâmetros de eixos lisos de aço acarreta reduções das respectivas resistências a fadiga por flexão e por torção as quais assumem valores proporcionais O principal motivo é a maior probabilidade de ocorrência de defeitos internos no material com o aumento do tamanho tais como descontinuidades precipitados lacunas ou pequenos pedaços de material estranho oriundos dos processos de fabricação Fator de Superfície A superfície de um espécime de viga rotativa é altamente polida com um polimento final na direção axial que visa a alisar completamente quaisquer riscos circunferentes O fator de modificação depende da qualidade do acabamento da superfície da peça real e da resistência à tração do material que a constitui Para encontrar expressões quantitativas para acabamentos comuns de peças de máquina retificado usinado ou repuxado a frio laminado a Msc Eng Domingos de Azevedo 22 quente e como forjado as coordenadas dos pontos de dados foram captadas de um gráfico de limite de resistência versus resistência à tração de dados coletados por Lipson e Noll e reproduzidos por Horger O resultado da análise de regressão por Mischke foi da forma Equação 16 𝐶𝑠 𝑎 𝑆𝑢𝑡 𝑏 Em que Sut é a resistência à tração mínima e a e b são encontrados a partir da tabela a seguir Tabela 3 Parâmetros para o fator de modificação superficial de Marin 6 Fonte C J Noll e C Lipson Allowable Working Stresses Society for Experimental Stress Analysis vol 3 no 2 1946 p 29 Reproduzido por O J Horger eds Metals Engineering Design ASME Handbook McGrawHill New York Copyright 1953 The McGrawHill Companies Inc Citado por 6 Figura 17 Fatores de superfície para diversos tipos de acabamento superficial para aços 1 Msc Eng Domingos de Azevedo 23 Efeitos da temperatura 6 Resistência e ductilidade ou fragilidade são propriedades afetadas pela temperatura do ambiente operacional O efeito da temperatura nas propriedades estáticas do aço é tipificado pelo diagrama de resistência contra temperatura da Figura 18 Observe que a resistência à tração muda somente uma pequena quantidade até uma certa temperatura ser alcançada Nesse ponto ela cai rapidamente A resistência ao escoamento contudo decresce continuamente à medida que a temperatura ambiental é aumentada Há uma elevação substancial na ductilidade como se poderia esperar a temperaturas mais altas Muitos ensaios foram feitos de metais ferrosos sujeitos a cargas constantes por longos períodos de tempo a elevadas temperaturas Descobriuse que os espécimes ficaram deformados permanentemente durante os ensaios embora às vezes as tensões reais fossem menores que a resistência ao escoamento do material obtida de ensaios de curta duração realizados à mesma temperatura Quando as temperaturas operacionais estão abaixo da temperatura ambiente a fratura frágil é uma forte possibilidade e portanto deve ser investigada primeiramente Quando as temperaturas operacionais são mais altas que a temperatura ambiente o escoamento deve ser investigado a princípio pois a resistência a ele cai muito rapidamente com a temperatura ver Figura 18 onde se tem um gráfico dos resultados de 145 ensaios de 21 aços carbono e de liga mostrando o efeito da temperatura de operação na resistência ao escoamento Sy e na resistência à tração Sut A ordenada é a razão da resistência à temperatura de operação para a resistência à temperatura ambiente Os desviospadrão foram 00442 σSy 0152 Sy e 0099 σSu 011 para Sut Qualquer tensão induzirá fluência em um material operando a altas temperaturas de modo que esse fator deve também ser considerado Por fim pode ser verdade que não haja limite de fadiga para materiais operando a altas temperaturas Em virtude da reduzida resistência à fadiga o processo de falha é até certo ponto dependente do tempo Figura 18 Gráfico do efeito da temperatura de operação na resistência ao escoamento Sy e à tração Sut 6 Fonte E A Brandes edj Smithells Metal Reference Book 6a ed Butterworth London 1983 p 22128 a 22131 Citado por 6 Msc Eng Domingos de Azevedo 24 Tabela 4 Efeito da temperatura de operação sobre a resistência à tração de açoST resistência à tração à temperatura de operação SRT resistência à tração à temperatura ambiente 0099 σ 0110 6 Fonte de dados Figura 18 Da divisão de ST por SRT obtêmse o fator de temperatura CT conforme a tabela anterior Onde se percebe que de 20C até 300C não há variação significativa do fator Fator de Confiabilidade 1 Alguns dados publicados sobre propriedades de materiais representam os valores médios de muitas amostras testadas Outros dados são declarados como valores mínimos A dispersão dos resultados dos testes publicados às vezes é declarada às vezes não A maioria das propriedades dos materiais varia em torno do valor médio de acordo com alguma distribuição estatística como a distribuição de Gauss ou normal mostrada na Figura 19 Há uma considerável dispersão dos resultados de testes múltiplos do mesmo material sob as mesmas condições de teste Observe que há uma probabilidade de 50 de que as amostras de qualquer material que você vá comprar tenham uma resistência inferior ao valor médio publicado do material Assim você pode não querer usar apenas o valor médio como prognóstico da resistência de uma amostra escolhida ao acaso desse material Figura 19 Distribuição de Gauss normal Msc Eng Domingos de Azevedo 25 A Tabela 2 mostra fatores de redução para confiabilidade baseados na suposição de que CR 008 μ para vários valores da confiabilidade Observe que uma confiabilidade de 50 tem um fator de 1 e que o fator se reduz conforme se escolhe uma confiabilidade mais alta O fator de redução é multiplicado pelo valor médio de uma propriedade relevante do material Por exemplo se você deseja que 9999 de suas amostras atinjam ou excedam a resistência assumida multiplique o valor médio da resistência por 0702 Diagrama de Goodman modificado A Figura 20 mostra um gráfico da tensão alternada σa em função da tensão média σm o qual é referido como um diagrama de Goodman modificado aumentado É um melhoramento da curva de Goodman modificada mostrada na Figura 14 As curvas de escoamento e a região de tensão média de compressão estão incluídas Vários pontos de falha estão registrados No eixo de tensão média σm o limite de escoamento Sy e o limite de ruptura Sut do material particular estão definidos nos pontos A E e F Figura 20 Diagrama de Goodman aumentado No eixo de tensão alternada σa a resistência à fadiga corrigida Sf em um certo número de ciclos ou o limite de fadiga corrigido Se e o limite de escoamento Sy do material particular estão definidos nos pontos C e G Isto é o diagrama de Goodman modificado é normalmente desenhado para o caso de vida infinita ou de altociclo N 106 No entanto ele pode ser desenhado para qualquer seção ao longo do eixo N representando uma situação de vida finita menor As curvas definindo falha podem ser traçadas ligandose vários pontos no diagrama A curva CF é a curva de Goodman e pode ser estendida até a região compressiva mostrada tracejada com base em dados empíricos No entanto convencionase traçar a curva horizontal mais conservadora CB para representar a curva de falha na região de compressão Isso de fato ignora os efeitos benéficos da tensão de compressão média e considera essa situação como sendo idêntica ao caso completamente alternado da seção anterior Na região de tração a curva GE define escoamento estático e o contorno de falha é definido pelas curvas CD e DE considerandose tanto falha por fadiga como por escoamento Se as componentes médias de tensão forem muito elevadas e as componentes alternadas muito baixas a combinação delas poderia definir um ponto na região DEF que seria seguro com Msc Eng Domingos de Azevedo 26 relação à curva de Goodman porém escoaria no primeiro ciclo A região de falha é definida pelas curvas contornando a área sombreada denominada ABCDEA Qualquer combinação de tensão média e alternada que caia nessa região isto é na área sombreada seria segura Combinações que caiam nessas curvas estão em falha e se estiverem fora dessa região já terão falhado No intuito de determinar o coeficiente de segurança de qualquer estado flutuante de tensões serão necessárias expressões para as curvas que definem as fronteiras da região de falha mostrada na Figura 20 A curva AG define escoamento em compressão e é Equação 17 A curva BC define falha por fadiga em combinação com tensão média de compressão e é Equação 18 A curva CF define falha por fadiga em combinação com tensão média de tração e é Equação 19 A curva GE define escoamento em tração e é Equação 20 Essas equações são mostradas na Figura 20 Determinação do coeficiente de segurança com tensões variadas As tensões locais aplicadas com os efeitos de concentração de tensão em fadiga incluídos são usadas para calcular as tensões médias e alternadas de von Mises Esse cálculo é feito separadamente para as componentes médias e alternadas σa e σm Essas componentes de von Mises serão usadas para calcular o coeficiente de segurança A Figura a seguir mostra quatro vistas da face de tensão do diagrama de Goodman modificado aumentado e também mostra a combinação de tensões médias e alternadas de von Mises no ponto Z representando uma peça sujeita a tensões variadas O coeficiente de segurança para qualquer estado de tensões variadas depende da maneira como as componentes médias e alternadas possam variar entre si em serviço Há quatro casos possíveis a considerar como mostrado na Figura 21 Msc Eng Domingos de Azevedo 27 1 A tensão alternada irá permanecer essencialmente constante ao longo da vida da peça porém a tensão média pode aumentar sob as condições de serviço Curva YQ na Figura 21a 2 A tensão média irá permanecer essencialmente constante ao longo da vida da peça porém a tensão alternada pode aumentar sob as condições de serviço Curva XP na Figura 21b 3 Ambas as componentes alternada e média podem aumentar sob as condições de serviço porém sua razão permanecerá constante Curva OR na Figura 21c 4 Ambas as componentes alternada e média podem aumentar sob as condições de serviço porém não há conhecimento da relação entre os valores desse aumento Curva ZS na Figura 21d O coeficiente de segurança para cada um desses casos é calculado diferentemente Observe que Sf será usado nas expressões seguintes para representar tanto a resistência à fadiga corrigida para um número de ciclos definido quanto ao limite de fadiga corrigido Portanto Se pode substituir Sf em qualquer uma dessas expressões se for apropriado para o material usado Msc Eng Domingos de Azevedo 28 Figura 21 Diagrama de Goodman com quatro possibilidades de carregamento Para o primeiro caso a falha ocorre no ponto Q e o coeficiente de segurança é a razão dos segmentos YQYZ Para expressar isso matematicamente podese resolver a Equação 20 para o valor de σmQ e dividilo por σmZ Msc Eng Domingos de Azevedo 29 Equação 21 Para o segundo caso a falha ocorre no ponto P e o coeficiente de segurança é a razão entre as curvas XPXZ Para expressar isso matematicamente podese resolver a Equação 19 para o valor de σaP e dividir o resultado por σaZ Equação 22 Para o terceiro caso a falha ocorre no ponto R e o coeficiente de segurança é a razão entre os segmentos OROZ ou por semelhança de triângulos as razões σmR σmZ ou σaR σaZ Para expressar isso matematicamente podese resolver as Equação 19 e a equação da reta OR simultaneamente para o valor de σmR e dividir o resultado por σmZ Equação 23 Este terceiro caso é o mais comum para eixos rotativos que em geral estarão submetidos a torção e flexão proporcionais Para o quarto caso onde a relação entre as componentes médias e alternadas de tensão é aleatória ou desconhecida o ponto S na curva de falha mais próximo do estado de tensões em Z pode ser tomado como uma estimativa conservadora do ponto de falha O segmento ZS é ortogonal a CD portanto sua equação pode ser escrita e resolvida simultaneamente com a da curva CD para encontrar as coordenadas do ponto S e o comprimento ZS que são Equação 24 Msc Eng Domingos de Azevedo 30 Há também a possibilidade de que o ponto S recaia na curva DE e não na curva CD e nesse caso Equação 20 deve substituir a Equação 19 na solução acima ETAPAS DE PROJETO PARA TENSÕES VARIADAS Um conjunto de etapas de projeto similar àquele listado para o caso de tensões alternadas pode ser definido para o caso de tensões variadas 1 Determine o número de ciclos de carregamento N ao qual a peça estará submetida ao longo de sua vida esperada em operação 2 Determine a amplitude dos esforços alternados aplicados da média ao pico e do esforço médio Ver Equação 8 a Equação 12 3 Crie um projeto preliminar da geometria da peça para suportar o carregamento aplicado com base em boas práticas de engenharia 4 Determine os fatores de concentração de tensão Kt em entalhes na geometria da peça Tente é claro minimizálos por meio de um bom projeto 5 Converta os fatores geométricos de concentração de tensão Kt em fatores de concentração em fadiga Kf usando o q do material 6 Calcule as amplitudes de tensão de tração nominal alternada σa ver Figura 8c em locais críticos da peça devido a esforços alternados de carregamento baseado nas fórmulas para cálculo de tensões e incremente as tensões tanto quanto for necessário com os fatores de concentração de tensão em fadiga apropriados da Equação 3 a Equação 6 Calcule os valores da tensão nominal média nos mesmos pontos críticos e aumenteos tanto quanto for necessário com os fatores de concentração de tensão adequados relativos à tensão média em fadiga Kfm da Equação 2 7 Calcule os valores da tensão principal e da tensão equivalente de von Mises para os pontos críticos com base em seus estados de tensões aplicadas Faça isso separadamente para as componentes de tensão média e alternada 8 Escolha um material preliminar para a peça e encontre suas propriedades de interesse como Sut Sy Se ou Sf para a vida requerida e sensibilidade ao entalhe q de acordo com os próprios dados levantados com a literatura disponível ou com estimativas como descritas anteriormente 9 Determine os fatores adequados de modificação de resistência à fadiga para o tipo de carregamento tamanho da peça superfície etc Observe que o fator de carregamento CL irá variar conforme haja esforços axiais ou de flexão valores da Tabela 2 Se o esforço for puramente de torção então o cálculo da tensão equivalente de von Mises o converterá em uma tensão de tração equivalente e o CL deve então ser definido como 1 10 Defina a resistência à fadiga corrigida Sf na vida cíclica exigida N ou o limite de fadiga Se para a vida infinita se for apropriado Faça o diagrama de Goodman modificado como mostrado na Figura 20 usando a resistência à fadiga corrigida Sf do material obtido da curva SN no número de ciclos de vida desejado N Observe que para situações de vida infinita nas quais o material apresenta um limite de fadiga na curva SN Sf Se Escreva a Equação 17 a Equação 20 para as curvas de Goodman e de escoamento Msc Eng Domingos de Azevedo 31 11 Plote as tensões médias e alternadas de von Mises para o ponto sob maior tensão no diagrama de Goodman modificado e calcule um coeficiente de segurança para o projeto por uma das relações mostradas na Equação 17 a Equação 21 12 Dado o fato de que o material foi apenas preliminarmente escolhido e que o projeto pode ainda não estar tão refinado quanto possível o primeiro resultado da execução dessas etapas será provavelmente um projeto inadequado cujo coeficiente de segurança é muito alto ou muito reduzido Serão necessárias iterações como sempre são para melhorar o projeto Qualquer subconjunto de etapas pode ser repetido quantas vezes forem necessárias para se chegar a um projeto aceitável A tática mais comum é retornar à etapa 3 e aumentar a geometria da peça para reduzir tensões e concentrações de tensão eou reconsiderar a etapa 8 para escolher um material mais adequado Às vezes será necessário voltar à etapa 1 e redefinir uma vida aceitável menor para a peça Os esforços de projeto podem ou não estar sob o controle do projetista Normalmente eles não estão a não ser que os esforços sobre a peça sejam decorrentes de forças inerciais em cujo caso aumentar a massa do componente visando adicionar resistência irá piorar a situação pelo fato disso aumentar proporcionalmente os esforços O projetista pode querer reduzir a peça sem comprometer excessivamente sua resistência com o intuito de reduzir as forças inerciais Quaisquer que sejam as circunstâncias características o projetista deve estar preparado para repetir essas etapas diversas vezes antes de convergir para uma solução aplicável Ferramentas para a resolução de equações que permitem recálculo rápido das equações é um grande auxílio nesta situação Se o solucionador de equações for capaz também de fornecer uma solução reversa permitindo que variáveis sejam trocadas de entrada para saída do cálculo a geometria necessária para que se alcance um coeficiente de segurança desejado pode ser diretamente calculada colocandose o coeficiente de segurança como entrada de dados e a variável de geometria como resultado A melhor maneira de demonstrar o uso dessas etapas para projeto em fadiga com tensões variadas é com um exemplo O exemplo anterior será repetido modificandose seu padrão de carregamento Msc Eng Domingos de Azevedo 32 TENSÕES NO EIXO Com o entendimento de que as seguintes equações terão que ser calculadas para uma multiplicidade de pontos no eixo e para seus efeitos multiaxiais combinados também considerados devemos primeiro encontrar as tensões aplicadas em todos os pontos de interesse As tensões de flexão média e alternada máxima estão na superfície externa e são encontradas a partir de Equação 25 Onde kf e kfm são fatores de concentração de tensão de fadiga por flexão para componentes média e alternante respectivamente ver Equação 4 e Equação 2 Como um eixo típico é de seção transversal sólida redonda podemos substituir c e I Equação 26 Dando Equação 27 Onde d é o diâmetro local do eixo na seção de interesse As tensões torcionais de cisalhamento média e alternante são dadas por Equação 28 Onde Kfs e Kfsm são fatores de concentração de tensão torcional de fadiga para componentes média e alternante respectivamente ver a Equação 4 para Kfs use as tensões aplicadas de cisalhamento e resistência ao escoamento por cisalhamento na Equação 2 para obter Kfsm Para uma seção transversal sólida redonda podemos substituir r e J Equação 29 Dando Equação 30 Uma carga de tração axial Fz se alguma estiver presente terá tipicamente apenas uma componente média como o peso das componentes e poderá ser encontrada por Equação 31 Msc Eng Domingos de Azevedo 33 FALHA DO EIXO EM CARREGAMENTO COMBINADO Extensos estudos de falha por fadiga de ambos os aços dúcteis e ferros fundidos frágeis sob flexão e torção combinados foram feitos originalmente na Inglaterra nos anos 1930 por Davies Gough e Pollard Esses resultados pioneiros estão mostrados na Figura 22 que foi tomada da Norma B1061M1985 da ANSIASME sobre o Projeto de Eixos de Transmissão Design of Transmission Shafting Resultados de pesquisas posteriores também estão incluídos nesses gráficos Descobriuse que a combinação da torção e flexão em materiais dúcteis em fadiga geralmente segue a relação elíptica como definida pelas equações na figura Descobriu se que materiais fundidos frágeis não mostrados falham com base na tensão principal máxima Essas descobertas são similares àquelas das tensões flexionais e torcionais combinadas em carregamento completamente reversos mostrados na Figura 16 Figura 22 Resultados dos testes de fadiga para amostras de aço sujeitas à torção e flexão combinadas Extraído de Design of Transmission Shafting American Society of Mechanical Engineers New York ANSIASME Standard B1061M1985 com autorização PROJETO DO EIXO 1 Precisam ser consideradas tanto as tensões quanto as deflexões para o projeto do eixo Frequentemente a deflexão pode ser o fator crítico porque deflexões excessivas causarão desgaste rápido dos mancais do eixo Engrenagens correias ou correntes comandadas pelo eixo podem também sofrer por desalinhamentos introduzidos pelas deflexões do eixo Observe que as tensões no eixo podem ser calculadas localmente para vários pontos ao longo do eixo com base nas cargas conhecidas e nas seções transversais supostas Entretanto os cálculos de deflexão requerem que a geometria inteira do eixo seja definida Assim um eixo é tipicamente projetado pela primeira vez usando considerações de tensão e as deflexões são calculadas uma Msc Eng Domingos de Azevedo 34 vez que a geometria esteja completamente definida A relação entre as frequências naturais do eixo tanto em torção quanto em flexão e o conteúdo de frequência das funções força e torque com o tempo também pode ser fundamental Se as frequências das funções de força forem próximas às frequências naturais do eixo a ressonância pode criar vibrações tensões elevadas e grandes deflexões Considerações gerais Algumas regras gerais para o projeto de eixos podem ser enunciadas como segue 1 Para minimizar as tensões e deflexões o comprimento do eixo deve ser mantido o menor possível e os trechos em balanço ser minimizados 2 Uma viga em balanço terá uma deflexão maior que uma viga bi apoiada para o mesmo comprimento e as mesmas carga e seção transversal de modo que se deve usar a viga bi apoiada a menos que o uso do eixo em balanço seja ditado por restrições de projeto A Figura 2 mostra uma situação em que uma seção saliente ou em balanço de um eixo é requerida por razões práticas A polia na extremidade direita do eixo carrega uma correia em V Se a polia fosse montada entre os mancais então todos os anexos ao eixo teriam que ser desmontados para mudar a correia o que é indesejável Em tais casos o eixo em balanço pode ser a escolha menos prejudicial 3 Um eixo vazado tem um razão melhor de rigidezmassa rigidez específica e frequências naturais mais altas que aquelas de um eixo comparavelmente rígido ou sólido mas ele será mais caro e terá um diâmetro maior 4 Tente colocar concentradores de tensão longe das regiões de grandes momentos fletores se possível e minimize seu efeito com grandes raios e aliviadores de tensão 5 Se a principal preocupação é minimizar a deflexão talvez o material mais indicado seja o aço de baixo carbono porque sua rigidez é tão alta quanto aquela de aços mais caros e um eixo projetado para pequenas deflexões tenderão a ter tensões baixas 6 As deflexões nas posições de engrenagens suportadas pelo eixo não devem exceder cerca de 0005 in e a inclinação relativa entre os eixos da engrenagem deve ser menor que cerca de 003 7 Se forem usados mancais planos de luva a deflexão do eixo ao longo do comprimento do mancal deve ser menor que a espessura da película de óleo no mancal 8 Se forem usados mancais de rolamento não autocompensadores a inclinação do eixo nos mancais deve ser mantida menor que aproximadamente 004 9 Se estiverem presentes cargas axiais de compressão elas deverão ser descarregadas por meio de um único mancal para cada direção de carga Não divida as cargas axiais entre mancais axiais pois a expansão térmica do eixo pode sobrecarregar os mancais 10 A primeira frequência natural do eixo deve ser pelo menos três vezes a frequência máxima da carga esperada em serviço e preferencialmente muito mais Um fator de 10 ou mais é preferido mas normalmente é difícil conseguir isso em sistemas mecânicos Msc Eng Domingos de Azevedo 35 Projeto para flexão alternada e torção fixa Este caso de carregamento é um subconjunto do caso geral de flexão variada e torção variada e por causa da ausência de um componente alternativo da tensão torcional é considerado um caso de fadiga multiaxial simples Contudo a presença de concentrações de tensão localizadas pode causar tensões multiaxiais complexas Esse caso de carregamento simples foi investigado experimentalmente e existem dados para a falha de peças assim carregadas como mostrado na Figura 22 A ASME definiu um método para o projeto de eixos carregados dessa maneira A começar pela relação para o envelope de falha mostrado na Figura 22a Equação 32 Introduza um fator de segurança Nf Equação 33 Relembre a relação de von Mises para Sy Equação 34 E substituaa na Equação 33 Equação 35 Substitua as expressões para σa e τm das Equação 25 a Equação 30 respectivamente Equação 36 Que pode ser organizada para calcular o diâmetro do eixo d como Msc Eng Domingos de Azevedo 36 Equação 37 Projeto para flexão alternada e torção variada Quando o torque não é constante sua componente alternada criará um estado de tensão multiaxial complexo no eixo Nesse caso pode ser usado o enfoque que computa as componentes de von Mises das tensões alternantes e média Um eixo rodando em flexão combinada com torção tem um estado biaxial de tensão que permite que a versão bidimensional da Equação 38 seja usada Equação 38 O coeficiente de segurança como definido pela Equação 23 é portanto Equação 39 Se agora também supusermos que a carga axial no eixo é zero e substituirmos a Equação 27 Equação 30 e Equação 38 na Equação 39 obteremos Equação 40 Que pode ser usada como uma equação de projeto para determinar um diâmetro de eixo para qualquer combinação de carregamento de flexão e torção com as suposições mencionadas anteriormente de carga axial zero e uma razão constante entre os valores da carga alternante e média no tempo Msc Eng Domingos de Azevedo 37 COEFICIENTE DE SEGURANÇA Para encontraremse quais as tensões admissíveis para uma peça em uma determinada situação precisase considerar além dos tipos de esforços estáticos as quais a peça a ser dimensionada estará submetida onde as forças atuarão os tipos de apoios que a peça possui e também o Coeficiente de segurança Para encontrarse o Coeficiente de segurança Nf devemse considerar os Fatores que influenciam a segurança do perfeito funcionamento da peça Alguns dos fatores são Dados das propriedades dos materiais Condições Ambientais Modelos analíticos para forças e tensões Algumas orientações para a escolha de um coeficiente de segurança para projetos de máquinas podem ser definidas com base na qualidade e disponibilidade de dados adequados sobre as propriedades dos materiais nas condições ambientais esperadas em comparação com aquelas nas quais os dados de teste do material foram obtidos bem como na precisão dos modelos de solicitação e de tensão desenvolvidos para análises A Tabela 5 mostra um conjunto de fatores para materiais dúcteis que podem ser escolhidos em cada uma das três categorias listadas com base no conhecimento ou julgamento do projetista sobre a qualidade das informações utilizadas O coeficiente global de segurança é tomado como o maior dos três fatores escolhidos Dadas as incertezas envolvidas o coeficiente de segurança geralmente não deve ser assumido com precisão maior que a de uma casa decimal Tabela 5 Coeficientes de segurança segundo Norton 2004 Ndúctil MAX F1 F2 F3 Msc Eng Domingos de Azevedo 38 A ductilidade ou fragilidade do material é também uma preocupação Os materiais frágeis são projetados pelo limite de ruptura de modo que falha significa ruptura Os materiais dúcteis sob carregamento estático são projetados pelo limite de escoamento e esperase que deem algum sinal visível de falha antes da ruptura a menos que trincas indiquem a possibilidade de uma ruptura pela mecânica da fratura Por essas razões o coeficiente de segurança para materiais frágeis é geralmente duas vezes o coeficiente que seria usado para materiais dúcteis na mesma situação Nfrágil MAX F1 F2 F3 Vale lembrar que materiais frágeis não são indicados para eixos rotativos pois os prejuízos e custos dos materiais envolvidos seriam muito maiores Os seguintes princípios são gerais e devem ser sempre considerados 5 1 1 Os eixos devem ser tão curtos quanto possível com os mancais próximos das cargas aplicadas Esta condição reduz os deslocamentos e os momentos devido à flexão e aumenta as velocidades críticas 2 Se possível coloque os necessários concentradores de tensões longe das regiões do eixo com as mais altas tensões Não sendo possível utilize raios maiores e bons acabamentos superficiais Considere a utilização de processos que aumentem a resistência superficial local como jateamento ou laminação a frio 3 Utilize os aços mais baratos quando as deformações do eixo são críticas uma vez que todos os aços possuem essencialmente o mesmo módulo de elasticidade 4 Quando o peso é crítico considere o emprego de eixos vazados Por exemplo os eixos de acionamento das rodas dianteiras de um automóvel são vazados de modo a se obter a baixa relação pesorigidez necessária para se manter as velocidades críticas acima das faixas de operação O deslocamento máximo admissível de um eixo é geralmente determinado por requisitos associados à velocidade crítica às engrenagens ou aos mancais Os requisitos relacionados à velocidade crítica variam muito com a aplicação específica Os deslocamentos admissíveis dos eixos para um desempenho satisfatório das engrenagens e dos mancais variam com o projeto desses componentes e com a aplicação porém as considerações a seguir podem ser utilizadas como guia geral 1 Os deslocamentos não devem causar uma separação dos dentes das engrenagens superior a 013 mm 0005 in e também não devem propiciar uma variação na inclinação relativa dos eixos das engrenagens superior a cerca de 003 2 A deflexão do eixo ao longo do plano de um de seus mancais deve ser pequena comparativamente à espessura do filme de óleo Caso o deslocamento angular seja excessivo o eixo irá emperrar a menos que os mancais sejam autoalinhados autocompensadores 3 Em geral a deflexão angular do eixo junto aos mancais de esfera ou de roletes não deve exceder a 004 a menos que os mancais sejam autoalinhados autocompensadores Msc Eng Domingos de Azevedo 39 Geralmente o projeto de um eixo parte de uma avaliação inicial do fator que será crítico para seu dimensionamento a resistência ou os deslocamentos O projeto preliminar é baseado nesse critério em seguida o fator remanescente a resistência ou os deslocamentos é verificado Exemplo1 Problema Dimensionar o assento de um eixo submetido exclusivamente a torção com possibilidade de reversão para vida infinita Dados O eixo deve ter extremidades iguais e um diâmetro central maior conforme mostrado na figura a seguir Também deve ter arredondamentos nos cantos entre as pontas e o corpo central com diâmetro maior adequado aos rolamentos O eixo deve ser feito em aço carbono laminado a quente ABNT 1020 retificado e apoiado em rolamento fixo de esfera em uma de suas extremidades e acoplada ao eixo do motor por interferência na outra Transmitir potência de 75 kW a 1750 rpm Em ambiente com temperatura de até 50 C Ver figura a seguir Figura 23 Exemplo 1 As dimensões da figura estão em milímetros mas os componentes não estão necessariamente em escala Solução Coeficiente de segurança mínimo Dados representativos de testes do material estão disponíveis conforme Tabela 1 portanto F1 2 O ambiente de operação é diferente daquele comum aos laboratórios de testes pois a temperatura pode chegar a 50 C portanto F2 3 O modelo representa aproximadamente o sistema portanto F3 3 O maior dos fatores F1 F2 e F3 é 3 portanto o coeficiente de segurança a utilizar é Nf 3 Torque no eixo P T ω portanto 𝑇 𝑃 𝜔 7500 𝑊 1750 2𝜋 60 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝑟𝑝𝑚 4093 Nm Para Potência em Watts e frequência em rpm A unidade mais adequada para o torque é no dimensionamento é Newtonmilímetro portanto T 40 930 Nmm 40 40 150 D d Assento do eixo a calcular Msc Eng Domingos de Azevedo 40 Limite de fadiga corrigido O limite da resistência à fadiga não corrigido é encontrado na Tabela 1 com valor Sf 241 MPa bem como o limite de resistência a tração Sut 448 MPa Este valor de resistência à fadiga deve ser corrigido para levar em conta as diferenças entre a peça eixo e o espécime de ensaio 𝑺𝒇 𝑆𝑓 𝐶𝐿 𝐶𝐺 𝐶𝑆 𝐶𝑇 𝐶𝑅 Conforme Tabela 2 para carregamento por torção CL 0577 O coeficiente de Gradiente Tamanho não pode ser estabelecido com grande aproximação pois é objetivo do dimensionamento determinálo mas se sabe que o diâmetro do eixo do motor elétrico é 35mm podese então estimar para o nosso eixo um diâmetro próximo a este Portanto se CG d7620107 para a faixa entre 28mm e 51 mm CG 085 A superfície deverá ser usinada com exatidão retificada em ambas as extremidades para receber o rolamento e para ajuste com interferência por tanto usando a Equação 16 𝐶𝑠 𝑎 𝑆𝑢𝑡 𝑏 e a Tabela 3 temse CS 096 A temperatura de operação difere da temperatura de ensaio portanto usando a Tabela 4 obtémse CT 1010 A confiabilidade para um projeto preliminar pode ser menor e depois se necessário ajustado para um valor maior ficando geralmente a critério do engenheiro estabelecer um valor conforme sua confiabilidade na maior ou menor aproximação da condição de uso ambiente material operação etc Neste exemplo usaremos CR 0814 para uma confiabilidade de 99 definido na Tabela 2 𝑺𝒇 241 0577 085 096 1010 0814 Sf 933 MPa Fator de concentração de tensão Para o diâmetro de eixo de até 40 mm o raio do arredondamento deve ser no máximo 03 mm para se adequar ao rolamento a ser usado E adotandose uma relação entre diâmetros de Dd 11 temse Kts 165 conforme equação e tabela da Figura 7 Consultandose o gráfico da Figura 4 obtémse q 056 e utilizando a Equação 4 temse 𝐾𝑓𝑠 1 𝑞𝐾𝑡𝑠 1 𝐾𝑓𝑠 1 056165 1 Kfs 136 Tendose que Kfs max nom Sy então Kfsm Kfs Diâmetro do eixo O diâmetro do eixo pode ser calculado com a Equação 40 conforme teoria de Goodman Msc Eng Domingos de Azevedo 41 Como não haverá momento fletor ou tração no eixo pois este estará submetido apenas a torção constante podese suprimir as parcelas correspondentes aos momentos portanto 𝑑 32𝑁𝑓 𝜋 3 4 𝐾𝑓𝑠𝑇𝑎 2 𝑆𝑓 3 4 𝐾𝑓𝑠𝑚𝑇𝑚 2 𝑆𝑢𝑡 1 3 Substituindo pelos valores obtidos temse 𝑑 32 3 𝜋 3 4 136 40 9302 933 3 4 136 40 9302 448 1 3 𝑑 96 𝜋 482071 933 482071 448 1 3 𝑑 305651669 10761 1 3 d 267mm Uma vez conhecido o diâmetro mínimo podese rever os cálculos com o valor compatível com o diâmetro mais próximo de rolamento ou diâmetro e normalizado conforme da Tabela 8 portanto o diâmetro final será d 28 mm e assim certificarmos que o diâmetro é adequado Por exemplo verificar o raio de canto do rolamento o diâmetro mínimo de encosto etc conforme Tabela 7 e recalcular o valor de Kt Kfs q e também recalcular o diâmetro Exercício 1 Realize esta verificação considerando o valor final do eixo Para esta verificação considere que as tensões nominais para este caso são calculadas por Que as tensões combinadas para os casos em geral são E que o coeficiente de segurança pode ser obtido por Msc Eng Domingos de Azevedo 42 Este valor de coeficiente de segurança deve ser maior que o coeficiente do projeto Exemplo2 Problema Projetar a ponta de eixo submetido à torção variada e flexão alternada para vida infinita Dados O eixo deve ser feito em aço carbono laminado a quente ABNT 1045 usinado e apoiado em rolamentos fixos de esferas nos locais indicados A e B e a ponta do eixo a ser projetada receberá uma polia conforme mostrado na figura a seguir Transmitir potência de 15 kW a 1200 rpm Em ambiente com temperatura próxima a de um laboratório As forças no eixo devidas à transmissão pela polia são FEH 328 N na direção X e FEV 65 N na direção Y Figura 24 Exemplo 2 As dimensões da figura estão em milímetros mas os componentes não estão necessariamente em escala O eixo deve ter um ressalto de encosto para apoio da polia com diâmetro próximo a 12d e um diâmetro central maior conforme mostrado na figura anterior Também deve ter arredondamentos nos cantos entre os ressaltos No caso particular da polia este arredondamento pode ser de até 1 mm Solução Coeficiente de segurança mínimo Dados representativos de testes do material estão disponíveis conforme Tabela 1 portanto F1 2 O ambiente de operação é próximo ao dos laboratórios de testes portanto F2 2 O modelo representa aproximadamente o sistema portanto F3 3 O maior dos fatores F1 F2 e F3 é 3 portanto o coeficiente de segurança é Nf 3 FEV FEH Msc Eng Domingos de Azevedo 43 Torque no eixo O torque ocorre entre a ponta onde se encontra a polia devido à força causada por esta ao eixo e daí até a outra extremidade sem variar P T ω portanto 𝑇 𝑃 𝜔 1500 𝑊 1200 2𝜋 60 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝑟𝑝𝑚 1194 Nm Para Potência em Watts e frequência em rpm A unidade mais adequada para o torque é no dimensionamento é Newtonmilímetro portanto T 11 940 Nmm Reações no eixo Considerando que as forças efetivas aplicadas na polia sejam aplicadas no seu centro e calculamos as reações nos pontos de apoio A e B nas direções X e Y usando F 0 e M 0 e as dimensões preliminares mostrados da figura No plano horizontal 𝐹𝑋𝑍 𝑅𝐴𝐻 𝑅𝐵𝐻 𝐹𝐸𝐻 0 𝑀𝐴 322 𝑅𝐵𝐻 322 393 𝐹𝐸𝐻 0 Portanto 𝑅𝐵𝐻 222 𝐹𝐸𝐻 e 𝑅𝐴𝐻 122 𝐹𝐸𝐻 Uma vez que FEH 328 N RBH 72816 N e RAH 40016 N Figura 25 Diagrama de reações e cisalhamento no plano XZ No plano YZ vertical as reações são proporcionalmente iguais às do plano XZ horizontal pois ocorrem nos mesmos locais Portanto 𝑅𝐵𝑉 222 𝐹𝐸𝑉 e 𝑅𝐴𝑉 122 𝐹𝐸𝑉 Uma vez que FEV 65 N RBV 1443 N e RAV 793 N As resultantes de cisalhamento são 𝑅𝐵 𝑅𝐵𝐻 2 𝑅𝐵𝑉 2 7283 N Msc Eng Domingos de Azevedo 44 𝑅𝐴 𝑅𝐴𝐻 2 𝑅𝐴𝑉 2 4002 N Momento fletor no eixo No plano XZ 𝑀𝐵 393 𝐹𝐸𝐻 12 8904 𝑁𝑚𝑚 No plano XY 𝑀𝐵 393 𝐹𝐸𝑉 2555 𝑁𝑚𝑚 Resultante de momento fletor em B 𝑀𝐵 𝑀𝐵𝑋𝑌 2 𝑀𝐵𝑋𝑍 2 12 8929 𝑁 𝑚𝑚 Resultante de momento fletor em C 𝑀𝐶 𝑀𝐵 93 393 3 051 𝑁 𝑚𝑚 Figura 26 Diagrama de momento fletor resultante do eixo Limite de fadiga corrigido O limite da resistência a tração consta na Tabela 1 Sut 565 MPa mas o limite de resistência à fadiga não consta portanto usase a Equação 13 com valor Se 05 Sut 2825 MPa Este valor de resistência à fadiga deve ser corrigido para levar em conta as diferenças ente a peça e o espécime de ensaio 𝑺𝒆 𝑆𝑒 𝐶𝐿 𝐶𝐺 𝐶𝑆 𝐶𝑇 𝐶𝑅 Conforme Tabela 2 para carregamento por torção CL 0577 por ser mais seguro que para flexão que também ocorre naquele ponto O coeficiente de Gradiente Tamanho não pode ser estabelecido com grande aproximação pois é objetivo do dimensionamento determinálo mas se sabe que o diâmetro do eixo do motor elétrico é 22mm podese então estimar para o nosso eixo um diâmetro próximo a este Portanto se CG d7620107 para a faixa entre 28mm e 51 mm CG 0893 A superfície deverá ser simplesmente usinada sem necessidade de muita exatidão mas apenas para receber a polia por tanto usando a Equação 16 𝐶𝑠 𝑎 𝑆𝑢𝑡 𝑏 e a Tabela 3 temse CS 0841 A temperatura de operação é próxima da temperatura de ensaio portanto usando a Tabela 4 obtémse CT 10 A confiabilidade para um projeto preliminar pode ser menor e depois se necessário ajustado para um valor maior ficando geralmente a critério de o engenheiro estabelecer um valor conforme sua Msc Eng Domingos de Azevedo 45 confiabilidade na maior ou menor aproximação da condição de uso ambiente material operação etc Neste exemplo usaremos CR 0814 para uma confiabilidade de 99 definido na Tabela 2 𝑺𝒆 2825 0577 0893 0841 10 0814 Se 996 MPa Fator de concentração de tensão Para o diâmetro de eixo na ponta admitiuse que o raio do arredondamento deva ser no máximo 1 mm E adotandose uma relação entre diâmetros de Dd 12 e conforme equação e tabela da Figura 6 temse para tensões de momento fletor A 097098 e b 021796 𝐾𝑡 𝐴 𝑟 𝑑 𝑏 097098 1 22 021796 Kt 1905 Para torção A 083425 e b 021649 conforme equação e tabela da Figura 7 temse 𝐾𝑡𝑠 𝐴 𝑟 𝑑 𝑏 083425 1 22 021649 Kts 1629 Consultandose o gráfico da Figura 4 obtémse q 072 para flexão e utilizando a Equação 4 para momento fletor temse 𝐾𝑓 1 𝑞𝐾𝑡 1 𝐾𝑓 1 0721905 1 Kf 1651 Assumindose que Kf σmax nom Sy então Kfm Kf Consultandose o gráfico da Figura 4 obtémse q 076 para torção e utilizando a Equação 4 temse 𝐾𝑓𝑠 1 𝑞𝐾𝑡𝑠 1 𝐾𝑓𝑠 1 0761629 1 Kfs 1478 Assumindose que Kfs max nom Sy então Kfsm Kfs Msc Eng Domingos de Azevedo 46 Para Kfm e Kfsm estamos assumindo que os produtos com as tensões são menores que a tensão de escoamento Sy entretanto é conveniente verificar após encontrar o valor do diâmetro se esta hipótese e verdadeira calculandose as tensões e o produto com os fatores Diâmetro do eixo O diâmetro do eixo no ponto C pode ser calculado com a Equação 40 conforme teoria de Goodman 𝑑 32𝑁𝑓 𝜋 𝐾𝑓𝑀𝑎 2 3 4 𝐾𝑓𝑠𝑇𝑎 2 𝑆𝑓 𝐾𝑓𝑚𝑀𝑚 2 3 4 𝐾𝑓𝑠𝑚𝑇𝑚 2 𝑆𝑢𝑡 1 3 Considerandose que não haverá tração no eixo pois este estará submetido à torção constante e que alternante e média igual é igual ao máximo e o momento fletor alternante é igual ao valor máximo no ponto C e substituindo pelos valores obtidos temse 𝑑 32 3 𝜋 1652 3 0512 3 4 1478 11 9402 996 1652 3 0512 3 4 1478 11 9402 565 1 3 𝑑 96 𝜋 16 0927 996 16 0927 565 1 3 𝑑 30561616 285 1 3 d 1797 mm Note que os cálculos se referem apenas ao eixo e não houve avaliação quanto ao fato de neste diâmetro haver um rasgo de chaveta e grande concentração de tensão causada por este rasgo Isto deve ser feito separadamente e não será abordado neste instante Uma vez conhecido o diâmetro mínimo podese rever os cálculos com o valor do diâmetro mais próximo padronizado portanto d 18 mm da Tabela 8 e assim certificarmos que o diâmetro é adequado Por exemplo recalcular o valor de Kt e Kf e verificar se as tensões não são superiores á de escoamento como também se possui vida suficientemente longa conforme necessidade do projeto Revisão de cálculo As tensões nominais são 𝜎𝑛𝑜𝑚 32 𝑀𝑐 𝜋 𝑑3 32 3051 𝜋 183 53 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑛𝑜𝑚 16 𝑇𝑐 𝜋 𝑑3 16 11 940 𝜋 183 104 𝑀𝑃𝑎 Msc Eng Domingos de Azevedo 47 Recalculando Kt 𝐾𝑡 𝐴 𝑟 𝑑 𝑏 097098 1 18 021796 1823 Recalculando Kf 𝐾𝑓 1 𝑞𝐾𝑡 1 𝐾𝑓 1 0721823 1 Kf 1593 Recalculando Kts 𝐾𝑡𝑠 𝐴 𝑟 𝑑 𝑏 083425 1 18 021649 Kts 1560 Recalculando Kfs 𝐾𝑓𝑠 1 𝑞𝐾𝑡𝑠 1 𝐾𝑓𝑠 1 0761560 1 Kfs 1425 Verificando que Kf σmax nom Sy para usar Kfm Kf 159353 84 310 𝑆𝑌 Verificando que Kfs max nom Sy então Kfsm Kfs 1425 104 148 310 𝑆𝑌 Portanto podemse usar as igualdades citadas Verificando a condição de fator de segurança e vida Usando as seguintes equações Equação 27 Equação 30 e Equação 38 𝜎𝑎 𝐾𝑓 32 𝑀𝑎 𝜋 𝑑3 1593 32 3051 𝜋 183 85 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑚 0 𝜏𝑎 𝜏𝑚 𝐾𝑓𝑠 16 𝑇𝑎 𝜋 𝑑3 1425 16 11 940 𝜋 183 149 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑎 𝜎𝑎2 3 𝜏𝑎2 𝜎𝑎 852 3 1492 272 𝑀𝑃𝑎 Msc Eng Domingos de Azevedo 48 𝜎𝑚 𝜎𝑚 𝜎𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 2 3 𝜏𝑚 2 𝜎𝑚 0 02 3 1492 258 𝑀𝑃𝑎 Uma vez adotado o diâmetro d18mm o valor do coeficientes de correção do tamanho passa a ser CG 0912 e consequentemente o limite de resistência a fadiga passa a ser Se1018 MPa Figura 27 Gráfico σa σm do exemplo 2 Uma vez que as forças torque e momento são sempre proporcionais as tensões σa e σm mantém razão constante O real coeficiente de segurança pode então ser calculado usandose o limite de fadiga corrigido estimado Se com a Equação 23 aqui repetida 𝑁𝑓 𝑆𝑒 𝑆𝑢𝑡 𝜎𝑎 𝑆𝑢𝑡 𝜎𝑚 𝑆𝑒 𝑁𝑓 1018 565 272 565 258 1018 32 Como as tensões σa e σm se comparadas a resistência a tração Sut a tensão equivalente alternada de von Mises σeq é também pequena Conforme mostrada no gráfico e calculada a seguir Msc Eng Domingos de Azevedo 49 Figura 28 Tensão equivalente alternada σeq no gráfico σa σm tan 𝛼 𝜎𝑎 𝑆𝑢𝑡 𝜎𝑚 272 565 258 0050445 𝜎𝑒𝑞 𝜎𝑎 𝜎𝑚 tan 𝛼 272 258 0050445 285 𝑀𝑃𝑎 Sabendo o valor da tensão equivalente alternada σeq 285 MPa e comparando com o limite de resistência a fadiga estimado e corrigido Se 1018 MPa presumese que a vida estimada do eixo é infinita quanto a possibilidade de falha por fadiga pois em geral os aços possuem vida infinita após alcançar entre 106 e 107 ciclos e para isto a tensão equivalente alternada deve ser inferior ao limite de fadiga A figura a seguir mostra graficamente isto no diagrama SN Figura 29 Diagrama SN do exemplo 2 Exercício 2 Dimensione o diâmetro de encosto da polia a partir do ponto lembrandose que é o mesmo ambiente e material e portanto possui as mesmas propriedades mecânicas mas as cargas e demais dimensões não são iguais àquelas do ponto C Dados Considere que o diâmetro central deva ser 12d Msc Eng Domingos de Azevedo 50 O raio do arredondamento deva a princípio ser r 03 mm em função do rolamento que estará ali colocado Como neste diâmetro será colocado um rolamento considere a superfície como retificada comercialmente Exemplo3 Problema Projetar um eixo submetido à torção flexão e cisalhamento adequado para uma vida infinita Devem ser dimensionados os 5 diâmetros Vide figuras a seguir Dados O eixo deve ser feito em aço carbono laminado a quente ABNT 1060 retificado nos assentos dos rolamentos fixos de esferas e usinagem simples no restante O acionamento deverá ser realizado por uma polia que deve transmitir potência de 55 kW a 500 rpm no eixo Em ambiente com temperatura de até 30 C Ver figura a seguir Figura 30 Conjunto com principais elementos para um projeto preliminar Msc Eng Domingos de Azevedo 51 Figura 31 Conjunto parcial do projeto preliminar Figura 32 Eixo com dimensões preliminares As dimensões das figuras anteriores estão em milímetros mas os componentes não estão necessariamente em escala Considerações iniciais O eixo deve ter dimensões preliminares conforme mostrado na figura anterior Também deve ter arredondamentos nos cantos adequados ao componente que será assentado naquele diâmetro As superfícies dos diâmetros d1 e d4 receberão rolamentos e portanto devem ser retificados No diâmetro d3 deverá ser colocada a engrenagem e pode ter uma usinagem simples assim como o diâmetro d2 e d5 que deverá ser o primeiro a ser dimensionado pois estará submetido a flexão torção e cisalhamento Solução Msc Eng Domingos de Azevedo 52 Coeficiente de segurança mínimo Dados representativos de testes do material estão disponíveis conforme Tabela 1 portanto F1 2 O ambiente de operação é essencialmente igual ao laboratório de testes mas a temperatura pode chegar a até 30 C portanto F2 2 O modelo representa aproximadamente o sistema portanto F3 3 O maior dos fatores F1 F2 e F3 é 3 portanto o coeficiente de segurança a utilizar é Nf 3 Torque no eixo P T ω portanto 𝑇 𝑃 𝜔 5500 𝑊 500 2𝜋 60 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝑟𝑝𝑚 10505 Nm Para Potência em Watts e frequência em rpm A unidade mais adequada para o torque é no dimensionamento é Newtonmilímetro portanto T 105 050 Nmm Este torque só ocorre entre a polia e a engrenagem Forças e reações nos eixo O acionamento da polia pelas correias gera as forças ativa e resistiva que resultam em uma força efetiva na horizontal Feh e outra na vertical Fev que tem função do sentido de giro tem as direções e sentidos como mostrado na Figura 31 A força que faz a polia girar provoca um torque entre a polia e a engrenagem Na engrenagem as forças atuantes são a força tangencial Ft e radial Fr conforme direção e sentido mostrados também na mesma figura e são reações às forças que este pinhão aplica sobre a engrenagem coroa não mostrada nesta figura As intensidades destas forças são Feh 1 450 N Fev 67 N Ft 1 500 N Fr 550 N Considerando que as forças efetivas aplicadas na polia sejam aplicadas no seu centro assim como as forças Ft e Fr e calculamos as reações nos pontos de apoio A e C onde ficarão os rolamentos nas direções X e Y usando F 0 e M 0 e as dimensões preliminares mostradas da Figura 31 e Figura 32 No plano vertical YZ 𝐹𝑌𝑍 𝑅𝐴𝑉 𝐹𝑅 𝑅𝐶𝑉 𝐹𝐸𝑉 0 𝑀𝐴𝑦𝑧 0 63 𝐹𝑅 63 65 𝑅𝐶𝑉 178 𝐹𝐸𝑉 0 63 550 128 𝑅𝐶𝑉 17867 0 𝑅𝐶𝑉 34650 11926 128 17753 𝑁 Msc Eng Domingos de Azevedo 53 𝑅𝐴𝑉 𝐹𝑅 𝑅𝐶𝑉 𝐹𝐸𝑉 0 𝑅𝐴𝑉 550 17753 67 30547 𝑁 Portanto 𝑅𝐴𝑉 30547 𝑁 e 𝑅𝐶𝑉 17753 𝑁 Momento fletor no eixo plano YZ No ponto B 𝑀𝐵𝑦𝑧 38 𝑅𝐴𝑉 11 6079 𝑁𝑚𝑚 No ponto C 𝑀𝐶𝑦𝑧 128 𝑅𝐴𝑉 65 𝐹𝑅 3 350 𝑁𝑚𝑚 No ponto D 𝑀𝐷𝑦𝑧 25 𝐹𝐸𝑉 1 675 𝑁𝑚𝑚 Figura 33 Diagramas de cisalhamento e momento fletor do eixo no plano YZ No plano horizontal XZ 𝐹𝑋𝑍 𝑅𝐴𝐻 𝐹𝑇 𝑅𝐶𝐻 𝐹𝐸𝐻 0 𝑀𝐴 0 63 𝐹𝑇 63 65 𝑅𝐶𝐻 178 𝐹𝐸𝐻 0 63 1 500 128 𝑅𝐶𝐻 178 1 450 0 Msc Eng Domingos de Azevedo 54 𝑅𝐶𝐻 94 500 258 100 128 2 75469 𝑁 𝑅𝐴𝐻 𝐹𝑇 𝑅𝐶𝐻 𝐹𝐸𝐻 0 𝑅𝐴𝐻 1 500 2 75469 1 450 19531 𝑁 Portanto 𝑅𝐴𝐻 19531 𝑁 e 𝑅𝐶𝐻 2 75469 𝑁 Momento fletor no eixo plano XZ No ponto B 𝑀𝐵𝑥𝑧 38 𝑅𝐴𝐻 7 42178 𝑁𝑚𝑚 No ponto C 𝑀𝐶𝑥𝑧 50 𝐹𝐸𝐻 72 500 𝑁𝑚𝑚 No ponto D 𝑀𝐷𝑥𝑧 25 𝐹𝐸𝐻 36 250 𝑁𝑚𝑚 Figura 34 Diagramas de cisalhamento e momento fletor do eixo no plano XZ Resultante de momento fletor em D 𝑀𝐷 𝑀𝐷𝑋𝑍 2 𝑀𝐷𝑌𝑍 2 𝑀𝐷 36 2502 1 6752 36 28868 𝑁 𝑚𝑚 Msc Eng Domingos de Azevedo 55 DIMENSIONAMENTO DO DIÂMETRO d5 Ponto D O diâmetro d5 receberá a polia então é recomendável ter o diâmetro d4 pelo menos 12d5 para um bom encosto e arredondamento entre estes diâmetros poderá ser de 1 ou 2 mm pois é possível chanfrar a polia para ter um bom assentamento O diâmetro do eixo do motor é de 413 mm então se pode adotar inicialmente este diâmetro como ponto de partida para o dimensionamento Limite de fadiga corrigido O limite da resistência à fadiga não corrigido é encontrado na Tabela 1 com valor Sf desconhecido e limite de resistência a tração Sut 676 MPa Este valor de resistência à fadiga deve ser corrigido para levar em conta as diferenças entre a parte e o espécime de ensaio O limite da resistência a tração consta na Tabela 1 Sut 676 MPa mas o limite de resistência à fadiga não consta portanto usase a Equação 13 com valor Se 05 Sut 338 MPa 𝑺𝒆 𝑆𝑒 𝐶𝐿 𝐶𝐺 𝐶𝑆 𝐶𝑇 𝐶𝑅 Conforme Tabela 2 para carregamento por torção CL 0577 por flexão CL 10 Por segurança usaremos por torção CL 0577 O coeficiente de Gradiente Tamanho não pode ser estabelecido com grande aproximação pois é objetivo do dimensionamento determinálo mas se sabe que o diâmetro do eixo do motor elétrico é 413mm podese então estimar para o nosso eixo um diâmetro próximo a este Portanto se CG d7620107 para a faixa entre 28mm e 51 mm CG 0835 A superfície deverá ser simplesmente usinada para receber a polia portanto usando a Equação 16 𝐶𝑠 𝑎 𝑆𝑢𝑡 𝑏 e a Tabela 3 temse CS 0802 A temperatura de operação aproximadamente igual à da temperatura de ensaio portanto usando a Tabela 4 obtémse CT 1003 A confiabilidade para um projeto preliminar pode ser menor e depois se necessário ajustado para um valor maior ficando geralmente a critério de o engenheiro estabelecer um valor conforme sua confiabilidade na maior ou menor aproximação da condição de uso ambiente material operação etc Neste exemplo usaremos CR 0814 para uma confiabilidade de 99 definido na Tabela 2 𝑺𝒆 338 0577 0835 0802 1003 0814 Se 1066 MPa Fator de concentração de tensão Para o diâmetro de eixo neste ponto o raio do arredondamento deve ser no máximo pelo menos 1 mm E adotandose uma relação entre diâmetros de Dd 12 temse Kt 2185 conforme equação e tabela da Figura 6 e Kts 1867 conforme equação e tabela da Figura 7 Consultandose o gráfico da Figura 4 obtémse q 076 para flexão e utilizando a Equação 4 também para flexão temse 𝐾𝑡 𝐴 𝑟 𝑑 𝑏 097098 1 413 021796 2185 𝐾𝑓 1 𝑞𝐾𝑡 1 𝐾𝑓 1 0762185 1 Msc Eng Domingos de Azevedo 56 Kf 1900 Supondo que Kf σmax nom Sy então Kfm Kf Com q 080 com 20kpsi e utilizando a Equação 4 para torção temse 𝐾𝑡𝑠 𝐴 𝑟 𝑑 𝑏 083425 1 413 021649 1867 𝐾𝑓𝑠 1 𝑞𝐾𝑡𝑠 1 𝐾𝑓𝑠 1 0801867 1 Kfs 1694 Supondo que Kfs max nom Sy então Kfsm Kfs Diâmetro do eixo O diâmetro do eixo pode ser calculado com a Equação 40 considerando que o torque é constante e o valor a ser utilizado é o máximo resultante no ponto Substituindo pelos valores obtidos temse 𝑑 32 3 𝜋 1900 36 288682 3 4 1694 105 0502 1066 190036 288682 3 4 1694 105 0502 676 1 3 𝑑 96 𝜋 168 8336 1066 168 8336 676 1 3 𝑑 30561 5838 2498 1 3 d 383 mm Note que os cálculos se referem apenas ao eixo e não houve avaliação quanto ao fato de neste diâmetro haver um rasgo de chaveta e concentração de tensão causada Isto deve ser feito separadamente e não será abordado neste instante Uma vez conhecido o diâmetro mínimo podese rever os cálculos com o valor compatível com o diâmetro mais próximo padronizado portanto d5 38 mm da Tabela 8 e assim certificarmos que o diâmetro é adequado Por exemplo recalcular os valores de Kt Kts e Kf Kfs e verificar se as tensões não são superiores á de escoamento como também se possui Msc Eng Domingos de Azevedo 57 vida suficientemente longa conforme necessidade do projeto pela comparação da tensão Se com a tensão real Exercício 3 Realize esta verificação considerando o valor final do eixo Exercício 4 Dimensione o diâmetro d4 Dimensione o diâmetro de encosto da polia a partir do ponto C lembrandose que é o mesmo ambiente e material e portanto possui as mesmas propriedades mecânicas mas as cargas acabamento superficial e demais dimensões não são iguais àquelas do ponto D Msc Eng Domingos de Azevedo 58 INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES Muitas vezes dimensionamse eixos para colocar rolamentos e para recebêlos há necessidade de produzir superfícies bemacabadas em geral com retificado comercial para obter as tolerâncias e ajustes adequados para assentar o rolamento Na grande maioria dos casos é necessário também ter apoios laterais que devem ser suficientes para esta função e um arredondamento com raio igual ou menor que aquele do rolamento possibilitando o encosto adequado Obviamente existem soluções que podem permitir raios maiores Vide figuras e tabelas a seguir Figura 35 Cotas limites de encostos de rolamentos 7 Figura 36 Cantos de eixos comuns para encostos de rolamentos Msc Eng Domingos de Azevedo 59 Figura 37 Cantos de eixos com canal para encostos de rolamentos Na figura a seguir são mostradas algumas soluções para reduzir a concentração de tensões nos eixos que em geral são feitas no encosto do eixo para rolamentos Figura 38 Modificações de projeto para reduzir a concentração de tensões em um canto agudo 1 Na tabela a seguir são mostradas as cotas comuns para os cantos de rolamentos radiais e eixos Msc Eng Domingos de Azevedo 60 Tabela 6 Limites para a Dimensão do Chanfro de rolamentos Série Métrica 7 Nota A Tabela 6 traz limites apenas para rolamentos radiais exceto Rolamentos cônicos Na tabela a seguir assim como na tabela anterior são mostradas as dimensões dos raios dos rolamentos e eixos bem como as alturas mínimas de encosto no eixo e alojamento Msc Eng Domingos de Azevedo 61 Tabela 7 Raio de Canto do eixo e altura do encosto para os Rolamentos Radiais 7 Dimensões Nominais dos chanfros Raio do rolamento Eixo ou Alojamento Raio de canto Altura do encosto h mínimo Vertical e horizontal Máximo Rolamentos Fixo de esferas Autocompensador de esferas de rolos cilíndricos e de agulhas Rolamentos de contato angular de rolos cônicos e autocompensador de rolos 005 005 02 008 008 03 01 01 04 015 015 06 02 02 08 03 03 1 125 06 06 2 25 1 1 25 3 11 1 325 35 15 15 4 45 2 2 45 5 21 2 55 6 25 2 6 3 25 65 7 4 3 8 9 5 4 10 11 6 5 13 14 75 6 16 18 95 8 20 22 12 10 24 27 15 12 29 32 19 15 38 42 Notas 1 e 2 Os casos com carga axial pesada necessitam de altura de encosto maior Na Tabela 8 da norma ISOR 775 1969 a seguir são mostradas as dimensões recomendadas de extremidades de eixos segundo a norma ISO 3 de números preferenciais primeira coluna Nesta tabela também são mostradas as tolerâncias recomendadas e capacidades máximas de torque transmissíveis válidas apenas para aços com resistência a tração entre 500 e 600 MPa Msc Eng Domingos de Azevedo 62 Tabela 8 Diâmetros tolerâncias e torque para extremidades de eixos 8 Notas 1 As dimensões dos diâmetros são compatíveis com a norma ISO 3 de números preferenciais 2 Ver recomendações da norma ISO 286 parte 1 Diâmetro da extremidade do eixo d mm 1 Tolerância 2 Torque transmissível Nm 3 Diâmetro da extremidade do eixo d mm Tolerância 2 Torque transmissível Nm 3 a b c a b c 6 j6 0307 0145 90 m6 5600 4120 1900 7 0530 0250 95 6500 4870 2300 8 0850 0400 100 7750 5800 2720 9 128 0600 110 10300 8250 3870 10 185 0875 120 13200 11200 5150 11 258 122 125 15000 12800 6000 12 355 165 130 17000 14500 14 600 280 140 21200 19000 16 975 450 150 25800 24300 18 145 670 160 31500 30700 19 175 825 170 37500 37500 20 212 975 180 45000 22 290 136 190 53000 24 400 185 200 61500 25 462 212 220 82500 28 690 315 240 106000 30 206 875 400 250 118000 32 k6 250 109 500 260 136000 35 325 150 690 280 170000 38 425 200 925 300 206000 40 487 236 112 320 250000 42 560 280 132 340 300000 45 710 355 170 360 355000 48 850 450 212 380 425000 50 950 515 243 400 487000 55 m6 1280 730 345 420 560000 56 1360 775 355 440 650000 60 1650 975 462 450 690000 63 1900 1150 545 460 750000 65 2120 1280 600 480 850000 70 2650 1700 800 500 950000 71 2720 1800 825 530 1150000 75 3250 2120 1000 560 1360000 80 3870 2650 1250 600 1650000 85 4750 3350 1550 630 1900000 Msc Eng Domingos de Azevedo 63 3 Os valores de torque transmissíveis foram calculados das fórmulas arredondadas para números da série excepcional R 80 a Transmissão de torque puro b Transmissão de torque e momento fletor ambos conhecidos c Transmissão de torque conhecido e momento fletor indeterminado Obs Nas três situações assumese que a resistência a tração do aço está entre 500 e 600 MPa Msc Eng Domingos de Azevedo 64 REFERÊNCIAS 1 NORTON R L Projeto de máquinas Uma abordagem integrada 2a Porto Alegre Bookman 2004 p 931 2 STEPHENS Ralph I et al Metal Fatigue in Engineering 2a New York John Wiley Sons Inc 2001 ISBN 0471510599 3 SCHÖN C G Mecânica dos materiais Teoria da plasticidade e da fratura dos materiais São Paulo USP 2010 4 SOUZA Sérgio Augusto de Ensaios mecânicos de materiais metálicos Fundamentos teóricos e práticos 5 São Paulo Edgar Blücher 1982 p 290 5 JUVINALL Robert C Fundamentos do projeto de componentes de máquinas trad Fernando Ribeiro da Silva 4 Rio de Janeiro LTC 2013 p 518 ISBN 97885216 15781 6 SHIGLEY Joseph E MISCHKE C R e BUDYNAS R G Projeto de engenharia mecânica trad J B Aguiar e J M Aguiar 7 Porto Alegre Bookman 2005 ISBN 97885363 05622 7 Rolamentos FAG Ltda Catálogo de Rolamentos FAG WL 41 5203 PB São Paulo sn 1999 8 ISO ISOR 775 1969 Cylindrical and 110 conical shaft ends sl ISO 1969 9 COLLINS J A Projeto mecânico de elementos de máquinas uma perspectiva de prevenção da falha 1 Rio de Janeiro LTC 2006 85216414756 10 FAIRES Virgil Moring Elementos Orgânicos de Máquinas sl LTC 1975 11 NIEMANN Gustav Elementos de máquinas São Paulo Edgard Blücher 19712004 ISBN 8521200331 12 CHILDS Peter Mechanical design 2 Burlington Elsevier 2004 p 373