P3 - Álgebra Linear 2016 1

UNESP - Universidade Estadual Paulista J´ulio Mesquita Filho ICT - Instituto de Ciˆencia e Tecnologia Professora: L´ıliam Medeiros Curso: Engenharia Ambiental Nome: Data: / /2016 Nota: 3a Prova de ´Algebra Linear (10 pontos) 1) (1 ponto) Seja N o conjunto de todos os polinˆomios p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 tais que a0 + a1 + a2 + a3 = 0. Determine se N ´e ou n˜ao subespa¸co de P3. 2) (3 pontos) Para os itens (a), (b) e (c) abaixo, responda as quatro perguntas, justificando as respostas: (a) (1, −1, 4), (−2, 2, −7); (b) (−1, 2, 4), (5, 2, 7), (10, −2, 2); (c) (3, 1, 2), (1, 2, −1), (4, 3, 2), (2, −1, 3). 1. Esses vetores s˜ao linearmente dependentes ou linearmente independentes? 2. Quais ´e a dimens˜ao do espa¸co gerado por este conjunto de vetores? 3. Determine se esse conjunto de vetores forma uma base para R3. 4. Esse conjunto vetores gera o espa¸co R3? 3) (2 pontos) Sejam p1(x) = 2x2 − x + 1, p2(x) = 2x − 3, p3(x) = 3x2 + 2x + 3 e p(x) = 2x2 + 8x + 1. p ∈ ger{p1, p2, p3}? Caso a resposta seja afirmativa, expresse p como uma combina¸c˜ao linear de p1, p2 e p3. 4) (1 ponto) Seja T : M33 → R definida por T(A) = tr(A). Determine se T ´e ou n˜ao ´e uma transforma¸c˜ao linear. 5) Seja A =   5 6 2 0 −1 −8 1 0 −2  . (a) (1 ponto) Encontre a equa¸c˜ao caracter´ıstica de A. (b) (2 pontos) Encontre os autovalores de A e as bases dos seus auto-espa¸cos. Obs: TODAS as quest˜oes feitas nesta prova devem ser devidamente EXPLICADAS. 1