P3 B - Álgebra Linear 2015 1

UNESP - Universidade Estadual Paulista J´ulio Mesquita Filho ICT - Instituto de Ciˆencia e Tecnologia Professora: L´ıliam Medeiros Curso: Engenharia Ambiental Nome: Data: / /2015 Nota: 3a Prova de ´Algebra Linear (10 pontos) 1) (3 pontos) Com rela¸c˜ao aos itens abaixo, responda as quatro perguntas, justificando as respostas: 1. Quais dos conjuntos de polinˆomios em P2 s˜ao linearmente dependentes? 2. Quais s˜ao as dimens˜oes dos espa¸cos gerados por cada conjunto de vetores descrito? 3. Quais dos conjuntos de vetores formam base para P2? 4. Quais dos conjuntos de vetores s˜ao conjunto de geradores para P2? (a) 3x2 − x + 2, −6x2 + 3x + 4; (b) 2x2 + 3x − 4, 5x2 + x + 1, x2 − 5x + 9; (c) x2 + x − 1, 2x2 + x + 4, x2 + 2x, 3x2 + x + 2. 2) (1 ponto) Sejam u = (4, −3, 2), v = (−1, 2, −1), w = (0, 2, 1) e r = (2, −5, −3). O vetor r pertence a ger{u, v, w}? Caso a resposta seja afirmativa, expresse p como uma combina¸c˜ao linear de u, v e w. 3) (1 ponto) Seja N o conjunto de todas as matrizes A de tamanho nXn tais que tr(A) = 0. Determine se N ´e subespa¸co de Mnn. 4) (1 ponto) Seja T : Mnn → R dada por T(A) = tr(A)det(A). Determine se T ´e ou n˜ao ´e uma transforma¸c˜ao linear. 5) Seja T : R4 → R3 o operador linear tal que T(e1) =   0 1 1   , T(e2) =   3 −1 0   , T(e3) =   1 2 1   , e T(e4) =   −2 3 1   , onde {e1, e2, e3} ´e a base canˆonica de R3 (a) (1 ponto) Encontre uma f´ormula para T([x1 x2 x3 x4]T) e use a f´ormula para calcular T([1 − 2 3 4]T). (b) (0,5 ponto) O vetor v = [1 1 − 1 1]T pertence ao N´ucleo de T? (c) (0,5 ponto) O vetor w = [9 6 5]T pertence `a Imagem de T? (d) (1 ponto) Determine o N´ucleo de T e encontre uma base para esse espa¸co vetorial. (e) (0.5 ponto) Determine a dimens˜ao do N´ucleo de T. (f) (0.5 ponto) Determine a dimens˜ao da Imagem de T. Obs: TODAS as quest˜oes feitas nesta prova devem ser devidamente EXPLICADAS. 1