Slide - Espaços Vetoriais e Aplicações 2022 2

Espaços Vetoriais e Aplicações Capítulo 10 Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. 2 Espaços Vetoriais ✓ Espaços vetoriais ✓ Subespaços vetoriais ✓ Dependência e independência linear ✓ Coordenadas e bases ✓ Dimensão ✓ Transformações lineares ✓ Autovalores e autovetores ✓ Diagonalização Aplicações 4 Espaços Rn: Tomografia Computadorizada Pré-requisitos: Geometria de operadores lineares de R² Espaço euclidiano Rⁿ Logaritmos naturais Compreensão intuitiva de limites Fractais na Natureza Genética PRÉ-REQUISITOS: Autovetores e autovalores Diagonalização de uma matriz Compreensão intuitiva de limites Gênotipo dos pais (pai, mãe) (A, AA) (A, Aa) (a, AA) (a, Aa) (a, aa) Descendente Macho A 1 0 1 \(\frac{1}{2}\) 0 a 0 \(\frac{1}{2}\) 0 \(\frac{1}{2}\) 1 Fêmea AA 1 \(\frac{1}{2}\) 0 0 0 0 Aa 0 \(\frac{1}{2}\) 1 0 \(\frac{1}{2}\) 0 aa 0 0 0 \(\frac{1}{2}\) 1 Autovalores Nota histórica Olga Taussky-Todd foi uma das mulheres pioneiras na Análise Matricial e a primeira mulher a ocupar um cargo de professora no Instituto Tecnológico da Califórnia. Ela trabalhou no Laboratório Nacional de Física, em Londres, durante a Segunda Guerra Mundial, onde foi encarregada de estudar as vibrações em aeronaves supersônicas. Ela logo observou que alguns resultados sobre os autovalores de uma certa matriz complexa 6 × 6 poderiam ser usados para responder questões fundamentais sobre o problema dessas vibrações que, de outra forma, exigiriam cálculos trabalhosos. Depois da Segunda Guerra Mundial, ela continuou seu trabalho em assuntos relacionados a matrizes e ajudou a trazer muitos resultados conhecidos, mas discrepantes, sobre matrizes para um assunto coerente, que hoje conhecemos como a teoria de matrizes. [Imagem: cortesia dos Arquivos do California Institute of Technology] Autovetores Nota histórica Os métodos da Álgebra Linear estão sendo utilizados no novo campo do reconhecimento facial computadorizado. Os pesquisadores da área estão trabalhando com a ideia que toda face humana num certo grupo racial é uma combinação de umas poucas dúzias de formatos primários. Por exemplo, analisando as imagens tridimensionais escaneadas de muitas faces, pesquisadores da Universidade Rockefeller produziram tanto um formato facial médio do grupo caucásico, denominado face média (à esquerda na linha superior na figura dada), quanto um conjunto de variações padronizadas daquele formato, denominadas autofaces (15 das quais estão exibidas na figura dada). Essas formas são assim denominadas por serem autovetores de uma certa matriz que armazena a informação facial digitalizada. Os formatos faciais são representados matematicamente como combinações lineares das autofaces. [Imagem: Cortesia Dr. Joseph Atick, Dr. Norman Redlich e Dr. Paul Griffith.] 10 Crescimento Populacional por Faixa Etária Colheita de Populações Animais PRÉ-REQUISITO: Crescimento populacional por faixa etária A população antes do período de crescimento Crescimento A população depois do período de crescimento A população não colhida A população colhida Colheita Criptografia PRÉ-REQUISITOS: Matrizes Eliminação gaussiana Operações matriciais Independência linear Transformações matriciais (Seção 4.9) Cifras O estudo da codificação e decodificação de mensagens secretas é denominado criptografia. Embora os códigos secretos remeta aos primórdios da comunicação escrita, tem havido um aumento recente de interesse no assunto devido à necessidade de manter a privacidade da informação transmitida ao longo de linhas públicas de comunicação. Na linguagem da criptografia, os códigos são denominados cifras, as mensagens não codificadas são textos comuns e as mensagens codificadas são textos cifrados ou criptogramas. O processo de converter um texto comum num cifrado é denominado cifrar ou criptografar, e o processo inverso de converter um texto cifrado num comum é denominado decifrar. Deformações e Morfismos PRÉ-REQUISITOS: Geometria de operadores lineares de R² Independência linear Bases de R² Deformações e Morfismos