Slide - Diagonalização de uma Matriz 2021 2

Diagonalização de uma Matriz Seção 5.2 - Diagonalização Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. Problema da Diagonalização (versão matricial): Dada uma matriz A de tamanho nxn, existe uma matriz invertível P tal que P-1·A·P é uma matriz diagonal? O Problema da Diagonalização Matricial Problema dos Autovetores: Dada uma matriz A de tamanho nxn, existe uma base de Rn consistindo de autovetores de A ? Definição. Uma matriz quadrada A é dita diagonalizável se existir uma matriz invertível P tal que P-1·A·P é uma matriz diagonal, ou seja, se P-1·A·P = D, sendo D uma matriz diagonal. Neste caso, dizemos que P diagonaliza A. Matrizes Diagonalizáveis Teorema 1. Se A for uma matriz nxn, as seguintes afirmações são equivalentes: (a) A é diagonalizável. (b) A tem n autovetores linearmente independentes. Matrizes Diagonalizáveis Obs. Pelo teorema acima, pode-se ver que é necessário que a matriz A tenha n autovetores l.i. para ser diagonalizável. Teorema 2. Seja A uma matriz nxn. Se v1, v2, ..., vk forem autovetores distintos associados a autovalores distintos, então {v1,v2, ...,vk} é um conjunto l.i. Como saber se A tem n autovetores l.i.? Obs. Lembrando que cada autovalor de A está associado a um autoespaço que tem uma base de autovetores l.i. de A. O teorema acima diz que quando unimos todas as bases de autoespaços distintos de A, teremos um conjunto l.i. de autovetores de A. Teorema 3. Se uma matriz A de tamanho nxn tem n autovalores distintos, então A é diagonalizável. Um teorema que pode ajudar (em alguns casos) Passo 1. ▪ Confirme se a matriz é realmente diagonalizável verificando se ela possui n autovetores l.i.. ▪ Para isso, obtenha uma base para cada autoespaço de A, e faça a união de todas essas bases, formando um conjunto S que já será l.i.. ▪ Se S tiver menos do que n elementos, A não será diagonalizável. Passo 2. Se A for diagonalizável, forme a matriz P = [v1 v2 ... vn] , cujas colunas são os vetores de S, ou seja, os n autovetores l.i. de A. Passo 3. A matriz P-1·A·P será diagonal, cujos elementos em sua diagonal são os autovalores λ1, λ2, ..., λn de A, correspondentes aos autovetores v1, v2, ..., vn, na mesma ordem em que estiverem dispostos como colunas na matriz P. Procedimento para diagonalizar uma matriz A de tamanho nxn, quando possível... Exemplo. A matriz A é diagonalizável? Se sim, encontre uma matriz P tal que P-1·A·P = D, sendo D uma matriz diagonal. Encontre a matriz D também. Solução (Passo1). Já vimos na aula 69 (Autoespaços) que essa matriz A tem autovalores λ1 = 2 e λ2 = 1, e portanto, A tem dois autoespaços: 1) O autoespaço associado ao autovalor λ1 = 2 tem base: A = 0 0 -2 1 2 1 1 0 3 -1 0 B1 = 0 , 1 1 0 Essa base tem dois autovetores l.i. associados ao autovalor λ1= 2 da matriz A 2) O autoespaço associado ao autovalor λ2 = 1 tem base: Unindo as duas bases de autoespaços de A associados aos diferentes autovalores de A, temos o conjunto S de autovetores l.i. de A: Como S tem 3 elementos e A tem tamanho 3x3, então A é diagonalizável. -2 B2 = 1 1 Essa base tem um autovetor l.i. associado ao autovalor λ2= 1 da matriz A -1 0 -2 S = 0 , 1 , 1 1 0 1 Passo 2. Sendo A diagonálizável e sendo S um conjunto l.i. de autovetores de A: Podemos construir a matriz P que diagonaliza A colocando em suas colunas esses 3 autovetores l.i. de A: -1 0 -2 S = 0 , 1 , 1 1 0 1 v1 v2 v3 Autovetor associado ao autovalor λ2= 1 de A Autovetores l.i. associados ao autovalor λ1= 2 de A O Teorema 2 dessa aula atual garante que esses 3 vetores são l.i. P = -1 0 -2 0 1 1 1 0 1 Passo 3. Como os vetores na coluna de P são l.i., e por P ser uma matriz quadrada, então P é invertível. Daí: P-1·A·P = D, sendo D uma matriz diagonal. Para construir a matriz D, podemos calcular a inversa de P e depois fazer a multiplicação P-1·A·P. Mas há um modo mais fácil de fazer isso, indicado no Passo 3: P = -1 0 -2 0 1 1 1 0 1 v1 v2 v3 Autovetor associado ao autovalor λ2= 1 de A Autovetores l.i. associados ao autovalor λ1= 2 de A D = 2 0 0 0 2 0 0 0 1 Cuidado! A ordem em que se coloca os autovalores na diagonal de D deve respeitar a ordem em que aparecem os autovetores nas colunas de P ! Passo 3. Como os vetores na coluna de P são l.i., e por P ser uma matriz quadrada, então P é invertível. Daí: P-1·A·P = D, sendo D uma matriz diagonal. Para construir a matriz D, podemos calcular a inversa de P e depois fazer a multiplicação P-1·A·P. Mas há um modo mais fácil de fazer isso, indicado no Passo 3: Obs. Encontre P-1 e verifique que P-1·A·P = D !!! P = -1 0 -2 0 1 1 1 0 1 D = 2 0 0 0 2 0 0 0 1 Obs. Leia o exemplo 2 da Seção 5.2 do nosso livro texto. Este exemplo apresenta o caso de uma matriz que não é diagonalizável.