Lista 5-2022 2

UFBA - Departamento de Matem´atica MATA01 - Geometria Anal´ıtica Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quest˜ao 1 Verifique se o ponto P0 = (4, 1, −1) pertence `a reta r : P = (1, 0, 1) + λ(2, 1, 1), λ ∈ R. Quest˜ao 2 Determine 4 pontos distintos da reta que tem equa¸c˜ao vetorial r : P = (1, 2, 0) + λ(1, 1, 1), λ ∈ R. Quest˜ao 3 Seja s a reta que passa pelo ponto A = (4, −3, −2) e ´e paralela `a reta r :          x = 1 + 3t y = 2 − 4t z = 3 − t t ∈ R Se P = (m, n, −5) ∈ s, determinar m e n. Quest˜ao 4 Seja r a reta r : x − 1 −1 = y + 1 2 = z − 2 −2 (a) Verifique se os pontos P1 = (5, −5, 6) e P2 = (4, −1, 12) pertencem a r. (b) Dˆe um vetor diretor de r. Quest˜ao 5 Determine um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas. Al´em disso, verifique se o ponto P1 = (−1, 0, 2) pertence `as retas. (a) r : (x, y, z) = (−7, −3, −7) + λ(2, 1, 3), λ ∈ R; (b) s :      x = −3 + λ y = −1 + λ z = 2λ λ ∈ R; (c) l : x + 1 2 = y 3 = z − 4 2 . Quest˜ao 6 Considere a reta r :    y = 2x + 3 z = x − 1 e determine: 1 (a) se o ponto P0 = (0, 1, −1) pertence a r; (b) um vetor diretor de r; (c) o ponto de r que tem ordenada 9. Quest˜ao 7 Determine as equa¸c˜oes na forma vetorial, param´etrica e sim´etrica da reta que passa pelos pontos A = (1, 0, 1) e B = (0, 1, 0) Quest˜ao 8 Considere o triˆangulo de v´ertices A = (−1, 4, −2), B = (3, −3, 6) e C = (2, −1, 4). Escreva equa¸c˜oes param´etricas da reta que passa pelo ponto m´edio do lado AB e pelo v´ertice C. Quest˜ao 9 Obter as equa¸c˜oes reduzidas na vari´avel x, da reta: (a) que passa por A = (4, 0, −3) e tem a dire¸c˜ao do vetor ⃗v = (2, 4, 5); (b) que passa pelos pontos A = (1, −2, 3) e B = (3, −1, −1); (c) dada por r :          x = 2 − t y = 3t z = −5 + 4t t ∈ R Quest˜ao 10 Determine a equa¸c˜ao vetorial, as equa¸c˜oes param´etricas e sim´etricas (caso existam!) da reta que passa pelo ponto ponto A = (4, −5, 3) e tem a dire¸c˜ao do vetor diretor da reta s :    y = 2x − 3 z = x − 2 . Quest˜ao 11 Escreva equa¸c˜oes vetorial e param´etrica para os planos descritos abaixo: (a) π passa por A = (1, 1, 0) e B = (1, −1, −1) e ´e paralelo ao vetor ⃗v = (2, 1, 0); (b) π passa pelos pontos A = (1, 0, 1), B = (2, 1, −1) e C = (1, −1, 0). Quest˜ao 12 Escreva equa¸c˜oes vetorial e param´etricas para os trˆes planos coordenados. Quest˜ao 13 Determine um ponto e dois vetores diretores do seguinte plano e dˆe uma equa¸c˜ao geral dele π :      x = 1 + 2λ − β y = −2 − λ + 3β z = 3 + 5β λ, β ∈ R. 2 Quest˜ao 14 Determine um ponto, um vetor diretor e um vetor normal ao plano π nos seguintes casos: (a) π : P = (1, 0, 1) + λ(2, −1, 3) + β(1, 1, 0), λ, β ∈ R; (b) π :      x = 2 + 3λ y = 1 + 2λ − β z = −λ + 2β λ, β ∈ R; (c) π : 2x − 3y + 1 = −z. Quest˜ao 15 Encontre a equa¸c˜ao geral do plano passando pelos pontos A = (2, 1, 0), B = (3, 3, 2) e C = (1, 2, 4). Quest˜ao 16 O plano π : 3x + 2y + 4z − 12 = 0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A, B e C. Calcule: (a) a ´area do triˆangulo ABC; (b) a altura deste triˆangulo relativa `a base que est´a no plano coordenado xOz; (c) o volume do tetraedro limitado pelo plano π e pelos planos coordenados. 3