P1 - Cálculo 2 2021 1 Earte

DMAT/CCE/UFES - EARTE 2021/1 Primeira Avaliacgéo - MAT09574 - TO1-CIV - Calculo 2 Envio: as 08:00 do dia 19/8/2021 - Devolugao: até as 23:59 do dia 22/8/2021 1. [1p] Determine todos os nimeros s € R para os quais a integral | ue(x)e** dx 0 é convergente e aqueles para os quais ela é divergente. Calcule o valor da integral nos casos em que ela é convergente. Aqui, a fungao u,(«) é definida por 1, sex>c uc(x) = 0 sex<ec ec > 0 é uma constante real. 2. [1,5p] Esboce e determine a area da regiao que esta dentro de ambas as curvas polares r = 3+ 2cos(A) e r = 3+ 2sen(@) Escolha uma dessas curvas e determine os pontos nos quais a tangente é horizontal ou vertical. 3. Encontre uma equacéo para a cOnica que satisfaz as condigdes dadas e, em seguida, esboce-a: (a) [1p] A parabola que tem vértice V(—2,—1) e diretriz « + 2y —1=0; (b) [1p] A hipérbole com excentricidade ¢ = 2 cujos focos coincidem com os da elipse 9x? + 25y? — 225 = 0; (c)[1ip] A elipse com excentricidade « = 5 que possui um foco em F'(3,0) e cuja diretriz corresponde a esse foco é aretax+y—1=0. 4. Considere os quatro pontos A(2,3,1), B(4,1,—2), C(6,3,7) e D(—5, —4, 8): (a) [1p] utilize vetores e calcule o comprimento da altura do tetraedro ABCD baixada do vértice D; (b) [1p] calcule o trabalho realizado pela forca F = (248 —34D) x (-34B + 24D) para mover uma particula em linha reta do ponto B para o ponto C. 5. (a) [1p] Considere as retas determinadas pelas equagdes y z Qo: v=y= lz: l= =-. 1 T=yrz e 2 r+ 9 3 Mostre essas retas sao reversas e determine a distancia entre elas. (b)[1,5p] Use cortes para identificar e esbocar as superficies definidas pelas seguintes equacoes: Si: 4x? + 9y? — 36=0 e So: a? —y?— 2? —4r —-274+3=0