Lista - Cálculo 2 - 2023-1

1) Mostre que se \( \vec{F}(x,y) = M\hat{i} + N\hat{j} \) é um campo conservativo (\( \vec{F} = \nabla \varphi \)) continuamente diferenciável, então \( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} = 0 \), qualquer que seja o domínio aberto de \( \vec{F} \). 2) Verifique que o campo, definido em \( \mathbb{R}^2 - \{(0,0)\} \), \( \vec{F}(x,y) = \frac{-y}{x^2 + y^2} \hat{i} + \frac{x}{x^2 + y^2} \hat{j} \) é tal que \( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} = 0 \), mas não é conservativo, onde \( \vec{F}(x,y) = M\hat{i} + N\hat{j} \). 3) Encontre uma função potencial \( \varphi(x,y) \) para o campo \( \vec{F}(x,y) \) do exercício anterior no domínio \( x > 0 \) 4) Encontre a curva fechada \( C \subset \mathbb{R}^2 \) tal que maximiza a integral \( \oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \), e avalie este valor máximo, onde \( \vec{F}(x,y) = (x^2 - 2)y \hat{i} + x(1-y^2) \hat{j} \) 5) Suponha que \( \vec{F}(x,y) = M\hat{i} + N\hat{j} \) é tal que \( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \equiv 5 \) e que \( \oint_{C_1} \vec{F} \cdot d\vec{r} = 2 \) onde \( C_1 \) é o semicírculo que vai de \((-2,0)\) a \((2,0)\) no semiplano inferior \( x < 0 \). Avalie \( \oint_{C_2} \vec{F} \cdot d\vec{r} \), onde \( C_2 \) é o semicírculo que vai de \((-2,0)\) a \((2,0)\) no semiplano superior \( x > 0 \). 1) Avalie a integral \( \iint_D 4xy \ dA \), onde \( D \subset \mathbb{R}^2 \) é a região no interior do triângulo de vértices \( (2,4), (1,3) \ e \ (4,2) \). 2) Encontre o valor da integral \[ \iint_D \frac{x-2y}{2x+y} \ dA \] onde \( D = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ 0 \leq x - 2y \leq 2 \ e \ 1 \leq 2x+y \leq e \} \) 3) Encontre o volume no interior do elipsoide \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1, \) onde \( a,b,c > 0 \ e \ contido \ ainda \ no \ 1^\circ \ octante. \) 4) Encontre o ponto onde a reta normal ao paraboloide elíptico \( z = 3x^2 + 2y^2 \) no ponto \((1,2,7)\) o intercepta uma segunda vez. 5) Encontre os valores Máximos e Mínimos de \( f(x,y) = 2x^3 + y^2 \) no domínio \( R = \{ (x,y) \ t.q \ x^2 + y^2 \leq 4 \} \)