Slides Retas e Planos - Cálculo 2

Retas e Planos Universidade Federal do Espírito Santo Prof. Rocha A Ԧ𝑣 𝐴 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) P Se 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝜖 𝑟 ⇒ 𝐴𝑃 é 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑎 Ԧ𝑣 ⇒ 𝐴𝑃 = 𝑡 Ԧ𝑣 ⇒ 𝑥 − 𝑥0, 𝑦, −𝑦0, 𝑧 − 𝑧0 = 𝑡𝑎, 𝑡𝑏, 𝑡𝑐 ⇒ r ∶ ቐ 𝑥 − 𝑥0 = 𝑡𝑎 𝑦 − 𝑦0 = 𝑡𝑏 𝑧 − 𝑧0 = 𝑡𝑐 Equações paramétricas de r r A Ԧ𝑣 𝐴 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) P Seja r a reta que passa pelo ponto𝐴 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 𝑒 𝑡𝑒𝑚 𝑎 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑑𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 Ԧ𝑣 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 . 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑎𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 paramétricas são r: ቐ 𝑥 − 𝑥0 = 𝑡𝑎 𝑦 − 𝑦0 = 𝑡𝑏 𝑧 − 𝑧0 = 𝑡𝑐 S𝑒 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≠ 0 podemos isolar o valor de t em cada uma das equações e obter as seguintes equações. 𝑡 = 𝑥−𝑥0 𝑎 = 𝑦−𝑦0 𝑏 = 𝑧−𝑧0 𝑐 𝑆𝑒 𝑎 = 0 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = 𝑥0 𝑒 𝑦−𝑦0 𝑏 = 𝑧−𝑧0 𝑐 r r ∶ ቐ 𝑥 − 2 = −𝑡 𝑦 − 1 = 2𝑡 𝑧 − 0 = 3𝑡 𝑥 − 2 −1 = 𝑦 − 1 2 = 𝑧 3 Interseção de duas retas no plano r r // s (r diferente de s) ⇒ 𝑟 ∩ 𝑠 = ∅ r // s (r = s) ⇒ (𝑟 ∩ 𝑠) = 𝑟 = 𝑠 𝑟=s r concorrente com s ⇒ 𝑟 ∩ 𝑠 = {𝐼} 𝐼 Interseção de duas retas no espaço r r // s (r diferente de s) ⇒ 𝑟 ∩ 𝑠 = ∅ r // s (r = s) ⇒ (𝑟 ∩ 𝑠) = 𝑟 = 𝑠 𝑟=s r concorrente com s ⇒ 𝑟 ∩ 𝑠 = {𝐼} 𝐼 s 𝑣𝑟 𝑣𝑠 r e s não são concorrentes e não são paralelas (reversas) ⇒ 𝑟 ∩ 𝑠 = ∅ Exemplo 2 : Determine, se houver, a interseção das retas r e s: 𝑎) 𝑟: ቐ 𝑥 = 4 + 𝑡 𝑦 = 1 + 2𝑡 𝑧 = 1 − 𝑡 e 𝑠: ቐ 𝑥 = 1 − 𝑡 𝑦 = 5 + 3𝑡 𝑧 = 4 + 𝑡 𝑣𝑟 = 1,2, −1 𝑒 𝑣𝑠 = −1,3,1 𝑛ã𝑜 𝑠ã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠. Logo as retas são concorrentes ou reversas, ou seja 𝑟 ∩ 𝑠 = {𝐼} ou 𝑟 ∩ 𝑠 = ∅ . Para encontrar o ponto I basta Igualar as equações de r e s e resolver o sistema obtido. ቐ 4 + 𝑡 = 1 − 𝑘 1 + 2𝑡 = 5 + 3𝑘 1 − 𝑡 = 4 + 𝑘 ቐ −8 − 2𝑡 = −2 + 2𝑘 1 + 2𝑡 = 5 + 3𝑘 1 − 𝑡 = 4 + 𝑘 ቐ −7 = 3 + 5𝑘 … … … . . 1 − 𝑡 = 4 + 𝑘 ൞ 𝑘 = −2 𝑡 = −1. 𝑂𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑚 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑧𝑒𝑟 𝑎𝑠 𝑡𝑟ê𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠. 𝑟 ∩ 𝑠 = {𝐼} , onde I(3,-1,2) Exemplo 3: Determine, se houver, a interseção das retas r e s: b) 𝑟: ቐ 𝑥 = 4 + 𝑡 𝑦 = 1 + 2𝑡 𝑧 = 1 − 𝑡 e 𝑠: ቐ 𝑥 = 1 + 2𝑡 𝑦 = −3 + 3𝑡 𝑧 = 3 − 𝑡 𝑣𝑟 = 1,2, −1 𝑒 𝑣𝑠 = 2,3, −1 𝑛ã𝑜 𝑠ã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠. Logo as retas são concorrentes ou reversas, ou seja 𝑟 ∩ 𝑠 = {𝐼} ou 𝑟 ∩ 𝑠 = ∅ . Para encontrar o ponto I basta Igualar as equações de r e s e resolver o sistema obtido. ቐ 𝑥 = 4 + 𝑡 = 1 + 2𝑘 𝑦 = 1 + 2𝑡 = −3 + 3𝑘 𝑧 = 1 − 𝑡 = 3 − 𝑘 ൝ 4 + 𝑡 = 1 + 2𝑘 1 + 2𝑡 = −3 + 3𝑘 2 − 2𝑡 = 6 − 2𝑘 ൝ 4 + 𝑡 = 1 + 2𝑘 … … . . 3 = 3 + 𝑘 ቐ 4 + 𝑡 = 1 + 2𝑘 𝑡 = −2. 𝑘 = 0 Estes valores de t e k satisfazem as equações 2 e 3, mas não satisfazem a equação 1. Logo os sistema não possui solução. 𝑟 ∩ 𝑠 = ∅ Ângulo entre duas retas Na figura abaixo os vetores 𝒖 e 𝒗 são, respectivamente, vetores diretores r e s. Também podemos considerar 𝝎 como vetor diretor de r . O ângulo (menor ângulo) 𝜽 entre r e s é o ângulo entre o 𝒖 e 𝒗 . Considerando 𝒘 como outro vetor diretor de s , temos que o ângulo entre r e s igual ao suplementar do ângulo 𝜷 entre 𝒖 e 𝒘 . 𝛽 𝜽 𝜽 + 𝛽 = 𝜋 ⇒ 𝜽 = 𝜋 − 𝛽 = ⇒ cos 𝜽 = − 𝒄𝒐𝒔 𝛽 Portanto , o ângulo 𝜽 entre as retas r e s pode ser calculado pela fórmula 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒖 . 𝒗 𝒖 𝒗 onde 𝒖 e 𝒗 são vetores diretores de r e s s r 𝒖 𝒗 𝒘 𝒖 𝒗 𝒘 EXEMPLO 4 : Determine o ângulo entre as retas r e s: 𝑎) 𝑟: ቐ 𝑥 = 2 + 𝑡 𝑦 = 3 + 𝑡 𝑧 = 2 − 2𝑡 e s: ቐ 𝑥 = 1 − 3𝑡 𝑦 = 23 + 2𝑡 𝑧 = 12 + 𝑡 Solução: Os vetores diretores de r e s são, respectivamente 𝒖 = ( 1 , 1 , - 2 ) e 𝒗 = ( - 3 , 2 , 1 ) 𝒖 . 𝒗 = (1).(-3)+1.2+(-2)(1)= - 3 , 𝑢 = 6 Ԧ𝑣 = 14 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒖 . 𝒗 𝒖 𝒗 = −3 6⋅ 14 = 3 2 21 b) 𝑟: ቐ 𝑥 = 2 − 2𝑡 𝑦 = 3 + 𝑡 𝑧 = 2 − 3𝑡 e s: ቐ 𝑥 = 3 − 𝑡 𝑦 = 1 + 𝑡 𝑧 = 2 + 𝑡 Distância de um ponto a uma reta r P(x,y,z) s Q Procedimento: 1) Escolha um ponto genérico Q sobre r de modo que o vetor PQ seja ortogonal ao vetor diretor de r 2) A distância de P a r é a distância entre P e Q Exemplo 5: Calcule a distância entre o ponto P e a reta r: 𝑎) 𝑟: ቐ 𝑥 = 4 + 𝑡 𝑦 = 1 + 2𝑡 𝑧 = 1 − 𝑡 e P(5,3,0) . O Ponto P está sobre a reta r(verifique!) , logo a distância de P a reta r é igual a zero ( d(P,r)=0) b) 𝑟: ቐ 𝑥 = 4 + 𝑡 𝑦 = 1 + 2𝑡 𝑧 = 1 − 𝑡 e P(3,5,6) Seja Q(4 + 𝑡, 1 + 2𝑡, 1 − 𝑡) 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑃𝑄 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑎𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑟. PQ=(1+t,-4+2t,-5-t) 𝑣𝑟=(1,2,-1) PQ. 𝑣𝑟 =0 ⇒. 1(1+t)+2(-4+2t)+(-1)(-5-t)=0 ⇒.6t-2=0 ⇒ .t=1/3 PQ=(4 3, −10 3 , −16 3 ) = 2 3 2, −5, −8 . d P, r = 2 3 4 + 25 + 64 = 2 3 93 Distância entre duas retas paralelas r P(x,y,z) s Q Procedimento: 1) Escolha u ponto genérico P sobre qualquer uma das retas (p. ex reta s) 2) A distância entre r e s é a distância entre P e r Q 𝑣𝑟 𝑣𝑠 x 𝑣𝑟 h Distância entre duas retas reversas 1. Escolha um ponto P sobre a reta r e um ponto Q sobre a reta s 2. Construa um paralelepípedo com os vetores 𝑣𝑠 , 𝑣𝑟 e 𝑄𝑃 3. A altura desse paralelepípedo é a distância entre as duas retas r e s. r s 𝑣𝑠 𝑣𝑟 𝑣𝑟 P Exemplo 6: Calcule as distâncias entre as retas r e s: 𝑎) 𝑟: ቐ 𝑥 = 2 + 𝑡 𝑦 = −3 + 2𝑡 𝑧 = 3 − 𝑡 e 𝑠: ቐ 𝑥 = 6 + 𝑡 𝑦 = 2 + 2𝑡 𝑧 = 5 − 𝑡 Solução: Os vetores diretores de r e são iguais. Logo r e s são paralelas. 𝑣𝑟 = 𝑣𝑠 = 1,2, −1 Vamos escolher um ponto P qualquer sobre a reta s. Para t=0 temos P(6,2,5)𝜖 𝑠 . Queremos encontrar um ponto Q sobre r de modo que o vetor PQ seja perpendicular ao vetor 𝑣𝑟= 𝑣𝑠. Q(2 + 𝑡 , −3 + 2𝑡 , 3 − 𝑡 ) , 𝑃𝑄( − 4 + 𝑡 , − 5 + 2𝑡 , − 2 − 𝑡 ) ⇒ PQ. 𝑣𝑟=0 ⇒ ( − 4 + 𝑡) 1) + (−5 + 2𝑡) 2 + (−2 − 𝑡)(−1 =0 ⇒ −4 + 𝑡 − 10 + 4𝑡 + 2 + 𝑡=0 ⇒ 6t-12=0 ⇒ ⇒ t=2 ⇒ ⇒PQ=(-2,-1,-4). d( r,s)=||PQ||= −2 2 + −1 2 + −4 2 = 21 b) 𝑟: ቐ 𝑥 = 4 + 𝑡 𝑦 = 1 + 2𝑡 𝑧 = 1 − 𝑡 e 𝑠: ቐ 𝑥 = 1 + 2𝑡 𝑦 = −3 + 3𝑡 𝑧 = 3 − 𝑡 Solução: Vimos em exemplo anterior que essas duas retas são reversas. Passo 1: Escolher um ponto em cada reta . Fazendo t=0 nas equações de r e s temos P(4,1,1) 𝜖 𝑟 e Q(1,-3,3) 𝜖 𝑠 Passo 2: Considere o paralelepípedo gerado pelos vetores diretores das retas r e s e o vetor 𝑃𝑄 . 𝑣𝑟 = 1,2, −1 , 𝑣𝑠 = 2,3, −1 e 𝑃𝑄 = −3, −4,2 Passo 3: Calcule o produto misto ҧ𝑣𝑟, Ԧ𝑣𝑠, 𝑃𝑄 ҧ𝑣𝑟, Ԧ𝑣𝑠, 𝑃𝑄 = 1 2 −1 2 3 −1 −3 −4 2 = 3 −1 −4 2 − 2 2 −1 −3 2 − 2 3 −3 −4 = 2 − 2 − 1 = −1 Passo 4: Calcule Ԧ𝑣𝑟 × Ԧ𝑣𝑠 ( área da base do paralelepípedo) Ԧ𝑣𝑟 × Ԧ𝑣𝑠 = ( 2 −1 3 −1 , − 1 −1 2 −1 , 1 2 2 3 ) = ( 1 , - 1 , - 1 ) ⇒ ⇒ Ԧ𝑣𝑟 × Ԧ𝑣𝑠 = 3 Passo 5: Calcule ℎ = 𝑣𝑟,𝑣𝑠,𝑃𝑄 𝑣𝑟×𝑣𝑠 ⇒ ⇒ ℎ = 𝑣𝑟, 𝑣𝑠, 𝑃𝑄 𝑣𝑟×𝑣𝑠 = −1 3 = 1 3 O valor de h é a distância entre r e s. é h= 1 3 Equação de um plano A P 𝜋 𝜋: plano contendo o ponto A 𝑥0, 𝑦0,𝑧0 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝜋 𝑛 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 vetor normal ao plano 𝜋 ( 𝑛 ⊥ 𝜋) O vetor AP é sempre perpendicular ao vetor 𝑛 𝐴𝑃 ⊥ 𝑛 ⇒ 𝐴𝑃 . 𝑛=0 𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0 . 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 0 ⇒ ⇒ ⇒ 𝒂 𝒙 − 𝒙𝟎 + 𝒃 𝒚 − 𝒚𝟎 + 𝒄 𝒛 − 𝒛𝟎 = 𝟎 𝑬𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒈𝒆𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒐 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 , 𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒅 = −(𝒂𝒙𝟎 + 𝒃𝒚𝟎 + 𝒄𝒛𝟎) 𝑛 Exemplo 7: Dado o plano 𝜋 de equação 2(x-1)+3(y-2)-5(z+1)=0 , determine dois pontos sobre e um vetor normal. Pontos: P(1,2,-1) Para achar outro ponto sobre 𝜋, atribuímos valores para duas variáveis e encontramos o valor da terceira. Para x=1 e y=3 encontramos z=-2/5 Q(1,3,-2/5) é também ponto de 𝜋. A P 𝜋 B C Plano que passa por três pontos não colineares Exemplo 8 : Dados três pontos não colineares A(1,2,-1), B(0,1,2) e C(2,3,1) Encontre a equação do plano que passa por esses três pontos. O vetor normal a esse plano será o produto vetorial dos vetores AB e AC 𝐴𝐵 = −1, −1,3 𝐴𝐶 = ( 1,1,2) ⇒ 𝐴𝐵𝑋 𝐴𝐶 = ( -5,5,0) 𝜋: −5 𝑥 − 1 + 5 𝑦 − 2 + 0 𝑧 + 1 = 0 𝑛 = 𝐴𝐵𝑋 𝐴𝐶 A 𝜋 B r Plano que contém duas retas concorrentes 𝑛 = 𝑣𝑟 x 𝑣𝑠 𝑣𝑟 𝑣𝑠 s Exemplo 9 : Encontre a equação do plano que contém as retas r : ቐ 𝑥 = 1 + 𝑡 𝑦 = 2 + 3𝑡 𝑧 = −1 − 2𝑡 s : ቐ 𝑥 = 2 + 4𝑡 𝑦 = −2 + 𝑡 𝑧 = 1 − 𝑡 Solução: Escolha um ponto A qualquer sobre uma das retas e considere o vetor 𝑣𝑟 x 𝑣𝑠 como vetor normal do plano . A(1,2,-1) ∈ r 𝑣𝑟 =(1,3,-2) 𝑣𝑠=(4,1,-1) 𝑛 = 𝑣𝑟 x 𝑣𝑠 =(-1,7,-11) 𝜋: -1(x-1)+7(y-2)-11(z+1)=0 A 𝜋 B 𝑛 = Plano que contém duas retas paralelas Exemplo 10 Encontre a equação do plano que contém as retas r : ቐ 𝑥 = 1 + 𝑡 𝑦 = 2 + 3𝑡 𝑧 = −1 − 2𝑡 s : ቐ 𝑥 = 2 + 𝑡 𝑦 = −2 + 3𝑡 𝑧 = 1 − 2𝑡 Solução: Escolha um ponto A reta r e um ponto B sobre a reta s . O vetor 𝐴𝐵 x 𝑣𝑠 será um vetor normal do plano . A(1,2,-1) ∈ r , B(2,-2,1) ∈ s 𝐴𝐵 = (1,-4,2) 𝑣𝑠= 𝑣𝑟=(4,1,-1) 𝑛 = 𝐴𝐵 x 𝑣𝑠 =(2,9,17) 𝜋: 2(x-1)+9(y-2)+17(z+1)=0 Plano que contem uma reta r e um ponto 𝐴 ∉ 𝑟 A r 𝑛 = Encontre a equação do plano que contém a reta r : ቐ 𝑥 = 1 + 𝑡 𝑦 = 2 + 3𝑡 𝑧 = −1 − 2𝑡 e o ponto A(2,3,1) Solução: Escolha um ponto B qualquer sobre r . O vetor normal do plano será 𝑛 =𝐴𝐵 x 𝑣𝑟 B( 1,2,-1) ∈ r 𝐴𝐵= (-1,-1,-2) podemos trocar 𝐴𝐵 por 𝐵𝐴=(1,1,2) 𝑣𝑟=(1,3,-2) 𝑛 =𝐵𝐴 x 𝑣𝑟 = ( -8,4,2) 𝜋: -8(x-1)+4(y-2)+2(z+1)=0 Exemplo 11 Determine a equação do plano que : (a) passa pelo ponto A (2,1,1)e é perpendicular ao vetor n=(-1,2,3) (b) passa pelos pontos A(-1,2,3), B(1,1,2) e C(1,-3,5) (c) passa pelo ponto A(-2,2,3) e contém a reta r ∶ ቐ 𝑥 − 1 = 3𝑡 𝑦 + 3 = −𝑡 𝑧 − 7 = 2𝑡 (d) Determine a equação do plano que contém as retas r ∶ ቐ 𝑥 − 1 = 2𝑡 𝑦 + 3 = −𝑡 𝑧 − 7 = 2𝑡 e s ∶ ቐ 𝑥 = −1 + 2𝑡 𝑦 = 3 − 𝑡 𝑧 = 2 + 𝑡 Exemplos 12: 1) Planos coordenados xy,xz e yz O plano xy passa pela origem e tem vetor normal (0,0,1). Portanto sua equação será 0(x-0)+0(y-0)+1(z-0)=0 ou seja, z=0. O plano xz tem equação y=0 e o plano yz tem equação x=0 2) Planos paralelos aos planos coordenados . Um plano paralelo ao plano xy com altura k, passa pelo ponto (0,0,k) e tem vetor normal (0,0,1). Assim, sua equação é 0(x-0)+0(y-0)+1(z-k)=0 ou seja z=k Interseção de dois planos 𝛼 ∩ 𝛽 = 𝑟 𝛼 𝛽 𝛽 𝛼 = 𝛽 𝛼 Dados dois planos temos as seguintes situações para a interseção desses planos: 1) 𝛼 ∩ 𝛽 = ∅ 2 ) 𝛼 ∩ 𝛽 = 𝛼 3) 𝛼 ∩ 𝛽 = 𝑟 1) 2) 3) Exemplo 13 : Encontre, se possível, a reta de interseção dos planos : 𝛼: 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2 e 𝛽 ∶ 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 5 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 1: 𝑛𝛼 = 2, −1,1 𝑛𝛽 = 3,2, −1 Ԧ𝑣𝑟 = 𝑛𝛼 × 𝑛𝛽 = −1, 5, 7 Ponto da reta pode ser qualquer ponto que satisfaça as duas equações dos planos. Atribua um valor a qualquer das três variáveis e determine o valor das outras. ቊ 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 5 para x=1⇒ ൜ 2 − 𝑦 + 𝑧 = 2 3 + 2𝑦 − 𝑧 = 5 ⇒ ቊ−𝑦 + 𝑧 = 0 2𝑦 − 𝑧 = 2 ⇒ ቊ𝑦 = 2 𝑧 = 2 P(1,2,2) ⇒ ) 𝑟: ቐ 𝑥 = 1 − 𝑡 𝑦 = 2 + 5𝑡 𝑧 = 2 + 7𝑡 Exemplo 14 : Encontre, se possível, a reta de interseção dos planos : 𝛼: 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2 e 𝛽 ∶ 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 5 Solução 2: Resolva o sistema ቊ 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 5 eliminando variáveis. Somando as duas equações obtemos 5𝑥 + 𝑦 = 7 ⇒ 𝑦 = 7 − 5𝑥. Multiplicando a primeira equação por 2 e somando com a segunda obtemos 7𝑥 + 𝑧 = 9 ⇒ 𝑧 = 9 − 7𝑥 𝑟: ቐ 𝑥 = 𝑡 𝑦 = 7 − 5𝑡 𝑧 = 9 − 7𝑡 (Compare com a equação encontrada na solução 1) Ângulo entre dois planos 𝛽 𝛼 𝑛𝛼 𝑛𝛽 O ângulo 𝜃 entre os planos 𝛼 e 𝛽 é o menor ângulo entre os vetores normais , ou seja, 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒏𝜶⋅𝒏𝜷 𝒏𝜶 𝒏𝜷 Ângulo entre dois planos 𝛽 𝑟 ⊂ 𝛼 O ponto de interseção de uma reta r e um plano 𝛼 é um ponto que satisfaz as equações da reta e do plano 𝑟 ∩ 𝛼 = 𝑟 𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 à 𝛼 r ∩ 𝛼 = 𝜙 r 𝐼 Ângulo entre um plano e uma reta 𝛽 𝛼 𝑛𝛼 O ângulo 𝜃 entre a reta r e o planos 𝛼 é igual ao complementar do menor ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano , ou seja, 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝒏𝜶⋅𝒗𝒓 𝒏𝜶 𝒗𝒓 𝜃 𝑟 Distância de um ponto P a um plano 𝛼 𝛼 𝑛𝛼 𝑃 𝑄 Dado um ponto P a um plano 𝛼, se P𝜖𝛼 𝑑𝑖𝑧𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 d(P, 𝛼) =0. Se 𝑝 ∉ 𝛼, 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑃 𝑢𝑚𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝛼, 𝑁𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟 é 𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 normal do plano. Encontramos o ponto Q da interseção de r com 𝛼. A distância entre o ponto e a reta será igual ao comprimento do vetor 𝑃𝑄. d(P, 𝛼)= 𝑃𝑄 Distância entre dois planos paralelos 𝛼 𝛽 Escolha um ponto P qualquer em um dos planos e calcule a distância desse ponto ao outro plano usando o método anterior, ou seja, d 𝑑(𝛼, 𝛽)=𝑑(𝑃, 𝛽) onde P é um ponto em 𝛼 Exercícios do livro texto: Seção 2.5 1. Ìmpares de 1 a 21 2. Múltiplos de 3 de 24 a 66