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Derivadas e Integrais de Funções Vetoriais Universidade Federal do Espírito Santo Departamento de Matemática Prof. Rocha Derivadas Definição 1: A derivada de uma função vetorial r é definida do mesmo modo como foi feito para as funções a valores reais: ⅆ𝑟 ⅆ𝑡 = 𝑟′ 𝑡 = lim ℎ→0 𝑟 𝑡 + ℎ − 𝑟 𝑡 ℎ 𝑟 𝑡 + ℎ 𝑟 𝑡 𝑟 𝑡 + ℎ − 𝑟 𝑡 𝑟 𝑡 + ℎ − 𝑟 𝑡 ℎ 𝑟′ 𝑡 é 𝑢𝑚 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝐶 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑡 𝑒 𝑇 𝑡 = 𝑟′(𝑡) ||𝑟′ 𝑡 || é 𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜. Q P 𝑟′ 𝑡 Teorema Se r 𝑡 = (𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , ℎ 𝑡 ), onde 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 e ℎ 𝑡 são funções diferenciáveis, então 𝑟′(𝑡) = (𝑓′ 𝑡 , 𝑔′ 𝑡 , ℎ′ 𝑡 ) Exemplo 1: (a) Determine a derivada de r(t)= (2 cos t, sen(t),t) (b) Encontre o vetor tangente unitário no ponto (0,1,pi/2) (c ) Determine a reta tangente no ponto (0,1,pi/2) Regras de Derivação Suponha que u e v sejam funções vetoriais diferenciáveis, 𝛼 um escalar e f uma função real. Então 1) ⅆ ⅆ𝑡 𝑢 𝑡 + 𝑣 𝑡 = 𝑢′ 𝑡 + 𝑣′ 𝑡 2 ⅆ ⅆ𝑡 𝛼 𝑣 𝑡 = 𝛼 𝑣′ 𝑡 3) ⅆ ⅆ𝑡 𝑓 𝑡 𝑢 𝑡 = 𝑓′(𝑡)𝑢 𝑡 + 𝑓 𝑡 𝑢′ 𝑡 4) ⅆ ⅆ𝑡 𝑢 𝑡 . 𝑣 𝑡 = 𝑢′ 𝑡 . 𝑣 𝑡 + 𝑢 𝑡 . 𝑣′ 𝑡 5) ⅆ ⅆ𝑡 𝑢 𝑡 x 𝑣 𝑡 = 𝑢′ 𝑡 x 𝑣 𝑡 + 𝑢 𝑡 x 𝑣′(𝑡) 6) ⅆ ⅆ𝑡 𝑢 𝑓(𝑡) = 𝑓′ 𝑡 𝑢′(𝑓 𝑡 ) Demonstração: (Item 3)Seja 𝑢 𝑡 = (𝑢1 𝑡 , 𝑢2 𝑡 , 𝑢3 𝑡 ), 𝑣 𝑡 = (𝑣1 𝑡 , 𝑣2 𝑡 , 𝑣3 𝑡 ) e 𝑓 𝑡 uma função real . Da definição de derivada vetorial temos ⅆ ⅆ𝒕 𝒇 𝒕 𝒖 𝒕 = ⅆ ⅆ𝑡 (𝑓 𝑡 𝑢1 𝑡 , 𝑓 𝑡 𝑢2 𝑡 , 𝑓 𝑡 𝑢3 𝑡 )= ( ⅆ ⅆ𝑡 [𝑓 𝑡 𝑢1 𝑡 ], ⅆ ⅆ𝑡 [𝑓 𝑡 𝑢2 𝑡 ], ⅆ ⅆ𝑡 [𝑓 𝑡 𝑢3 𝑡 ])= Pela regra do produto de derivadas = (𝑓′ 𝑡 𝑢1 𝑡 + 𝑓 𝑡 𝑢′1 𝑡 , 𝑓′ 𝑡 𝑢2 𝑡 + 𝑓 𝑡 𝑢′2 𝑡 , 𝑓′ 𝑡 𝑢3 𝑡 + 𝑓 𝑡 𝑢′3 𝑡 )= Separando em duas parcelas = (𝑓′ 𝑡 𝑢1 𝑡 , 𝑓′ 𝑡 𝑢2 𝑡 , 𝑓′ 𝑡 𝑢3 𝑡 )+ (𝑓 𝑡 𝑢′1 𝑡 , 𝑓 𝑡 𝑢′2 𝑡 , 𝑓 𝑡 𝑢′3 𝑡 )= 𝐶𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑛ⅆ𝑜 𝑓 𝑡 𝑒 𝑓′ 𝑡 em evidência 𝑓′ 𝑡 (𝑢1 𝑡 , 𝑢2 𝑡 , 𝑢2 𝑡 )+ 𝑓 𝑡 (𝑢′1 𝑡 , 𝑢′2 𝑡 , 𝑢′3 𝑡 )= 𝒇′ 𝒕 𝒖 𝒕 + 𝒇 𝒕 𝒖′(𝒕) Demonstração: (Item 5)Sejam 𝑢 𝑡 = (𝑢1 𝑡 , 𝑢2 𝑡 , 𝑢3 𝑡 ) e 𝑣 𝑡 = (𝑣1 𝑡 , 𝑣2 𝑡 , 𝑣3 𝑡 ) funções vetoriais Para facilitar vamos omitir a variável t. 𝑢 𝑡 x 𝑣 𝑡 = 𝑢2 𝑢3 𝑣2 𝑣3 , − 𝑢1 𝑢3 𝑣1 𝑣3 , 𝑢1 𝑢𝟐 𝑣1 𝒗2 . Por definição de derivada vetorial temos ⅆ ⅆ𝒕 𝑢 𝑡 x 𝑣 𝑡 = ⅆ ⅆ𝒕 𝑢2 𝑢3 𝑣2 𝑣3 , − 𝑢1 𝑢3 𝑣1 𝑣3 , 𝑢1 𝑢𝟐 𝑣1 𝒗2 = ⅆ ⅆ𝒕 𝑢2 𝑢3 𝑣2 𝑣3 , − ⅆ ⅆ𝒕 𝑢1 𝑢3 𝑣1 𝑣3 , ⅆ ⅆ𝒕 𝑢1 𝑢𝟐 𝑣1 𝒗2 = Calculando separadamente a derivada em cada componente acima, temos ⅆ ⅆ𝒕 𝑢2 𝑢3 𝑣2 𝑣3 = ⅆ ⅆ𝒕(𝑢2 𝒗𝟑 − 𝑢𝟑 𝒗𝟐). Pela regra do produto para derivadas de funções reais = 𝑢′2 𝒗𝟑+ 𝑢2 𝒗′𝟑-(𝑢′𝟑 𝒗𝟐+ 𝑢𝟑 𝒗′𝟐)= 𝑢′2 𝑢′3 𝑣2 𝑣3 + 𝑢2 𝑢3 𝑣′2 𝑣′3 De maneira análoga, ⅆ ⅆ𝒕 𝑢1 𝑢3 𝑣1 𝑣3 = 𝑢′1 𝑢′3 𝑣1 𝑣3 + 𝑢1 𝑢3 𝑣′1 𝑣′3 e ⅆ ⅆ𝒕 𝑢1 𝑢𝟐 𝑣1 𝒗2 = 𝑢′1 𝑢′𝟐 𝑣1 𝒗2 + 𝑢1 𝑢𝟐 𝑣′1 𝒗′2 . Substituindo essas derivadas na expressão inicial, obtemos ⅆ ⅆ𝒕 𝑢 𝑡 x 𝑣 𝑡 =( 𝑢′2 𝑢′3 𝑣2 𝑣3 + 𝑢2 𝑢3 𝑣′2 𝑣′3 , -( 𝑢′1 𝑢′3 𝑣1 𝑣3 + 𝑢1 𝑢3 𝑣′1 𝑣′3 ) , 𝑢′1 𝑢′𝟐 𝑣1 𝒗2 + 𝑢1 𝑢𝟐 𝑣′1 𝒗′2 )= =( 𝑢′2 𝑢′3 𝑣2 𝑣3 , − 𝑢′1 𝑢′3 𝑣1 𝑣3 , 𝑢′1 𝑢′𝟐 𝑣1 𝒗2 ) + ( 𝑢2 𝑢3 𝑣′2 𝑣′3 , - 𝑢1 𝑢3 𝑣′1 𝑣′3 , 𝑢1 𝑢𝟐 𝑣′1 𝒗′2 )= 𝑢′𝑥𝑣 + 𝑢𝑥𝑣′ ⅆ ⅆ𝒕 𝑢 𝑡 x 𝑣 𝑡 =[ ⅆ ⅆ𝒕 𝑢 𝑡 ] x 𝑣 𝑡 + 𝑢 𝑡 x[ ⅆ ⅆ𝒕 𝑣 𝑡 ] Integrais A integral definida de uma função vetorial contínua pode ser definida da mesma forma que para a função real, exceto que a integral resulta em um vetor. Mas podemos expressar a integral de r como a integral de suas funções componentes f, t e h como segue. (Utilizamos a notação do Capítulo 5, no Volume I.) Teorema: Se 𝑟 𝑡 =(𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , ℎ 𝑡 ) então න 𝑎 𝑏 𝑟 𝑡 ⅆ𝑡 = න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑡 ⅆ𝑡 , න 𝑎 𝑏 𝑔 𝑡 ⅆ𝑡 , න 𝑎 𝑏 ℎ 𝑡 ⅆ𝑡 𝑃𝑒𝑙𝑜 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝐹𝑢𝑛ⅆ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 ⅆ𝑜 𝐶á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ׬𝑎 𝑏 𝑟 𝑡 ⅆ𝑡= 𝑅 𝑏 - 𝑅 𝑎 , onⅆe 𝑅′ 𝑡 = 𝑟(𝑡) Exemplo 3 : Calcule a integral Lista de Exercícios do Livro Texto: Seção 13.2 Exercícios: 1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,52,54,55,58 ඲ 𝟎 𝟏 𝟑 𝟏 + 𝒕𝟐 , ⅇ𝒕, 𝟐𝒕 𝟏 + 𝒕𝟐 ⅆ𝒕 ⋅ ඲ 𝟎 𝟏 𝟑 𝟏 + 𝒕𝟐 , ⅇ𝒕, 𝟐𝒕 𝟏 + 𝒕𝟐 ⅆ𝒕 ⋅= න 𝟎 𝟏 𝟑 𝟏 + 𝒕𝟐 ⅆ𝒕 , න 𝟎 𝟏 𝒆𝒕 ⅆ𝒕 , න 𝟎 𝟏 𝟐𝒕 𝟏 + 𝒕𝟐 ⅆ𝒕 = = (𝟑𝑨𝒓𝒄𝑻𝒂𝒏 𝒕 , 𝒆𝒕, 𝒍𝒏(𝟏 + 𝒕𝟐))|𝟎 𝟏 = (𝟑𝝅 𝟐 , 𝒆 − 𝟏, 𝒍𝒏𝟐)