P1 - Cálculo 2 2022 1

Cálculo II - Prova 1. Professores: Riedson Baptista DMA/CEUNES/UFES 1. Utilize integração por partes para calcular as seguintes integrais: a) \( \int e^x \cos x \ dx. \) b) \( \int x^2 e^x \ dx. \) 2. Calcule as seguintes integrais: a) \( \int \frac{-2x + 4}{(x^2 + 1)(x - 1)^2} \ dx. \) b) \( \int (\sen (3x) \cos (5x)) \ dx. \) c) \( \int \frac{1}{\sqrt{25x^2 - 4}} \ dx. \) d) \( \int_0^3 \frac{1}{x - 1} \ dx. \) 3. Mostre que a integral \[ \int_1^\infty \frac{\sen^2 x}{x^2} \ dx, \] é divergente. Obs.: A resolução tem que ser entregue até as 16:00. Correção Prova 1 10 pts 1.a) \( \int e^x \cos x \ dx \) Sejam \( u = e^x \Rightarrow du = e^x \ dx \quad e \quad dv = \cos x \ dx \Rightarrow v = \sen x \) Logo, \( \int e^x \cos x \ dx = e^x \sen x - \int e^x \sen x \ dx + C_1 \) Para a segunda integral no lado direito, tomamos \( u = e^x \Rightarrow du = e^x \ dx \quad e \quad dv = \sen x \ dx \Rightarrow v = -\cos x, \) Logo, \( \int e^x \cos x \ dx = e^x \sen x - \left\{ -e^x \cos x - \int e^x (-\cos x) \ dx \right\} + C_2 \) \( = e^x \sen x + e^x \cos x - \int e^x \cos x \ dx + C_2 \) Reagrupando os termos, temos, \( 2 \int e^x \cos x \ dx = e^x (\sen x + \cos x) + C_3 \) Portanto \( \int e^x \cos x \ dx = \frac{e^x (\sen x + \cos x)}{2} + C \) 10 pts 1.b) \( \int x^2 e^x \ dx \) Sejam \( u = x^2, \) implica \( du = 2x \ dx, \) e \( dv = e^x \ dx \) implica \( v = e^x \) Assim, \( \int x^2 e^x \ dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \ dx + C_1 \) Para a segunda integral à direita tomamos \( u = 2x \Rightarrow du = 2 \ dx \quad e \quad dv = e^x \ dx \Rightarrow v = e^x \) Logo, \( \int x^2 e^x \ dx = x^2 e^x - \left\{ 2xe^x - \int 2e^x \ dx \right\} \) \( = x^2 e^x - 2xe^x + 2e^x + C \) \( = e^x (x^2 - 2x + 2) + C \) @ \_ #ít "A*0=0 0 /{ tR-C+}=0 r @ A-n^q+C =-ú , @ *C+D =4 @ -J',{=/.r*3)í"-r\*+e(. l\o}(x'*t\ _ -[n (\ (rF - l?i í- â* =] lvxti- = r -o_--a- -]-e J (x{-111x_*f__ _ U I xv*r x-.r _ --_GJ): l @[ I L § (,osGx) d' = ,(^l.s (V'\ - Jns (tr.\ * C . ---- *le - _g' \*, Loç,- V^77 U^ ô1. -/el< -\: ÍÂ\v -Dara- eotn eay-re§:--_c :rsdrLayr-áo-l*- Âr*^--Ãt^Í- fn tr*o srrbs-[4or*§: - - i -X = d -§sc9----2 -çi x"-----d-:ee 0 5s e &*, _0<0 < t ú i -{..e"nnos W, \ I- @ â- Â-y\aôÀ jtn=*!a:J- -mn-e- J*{yri- -e-rn" X = d, - a i"te€râI G.er-m*- .-e.- iwrpnl.p.La**Àss]sft l-t+l *,t I