P2 - Cálculo 2 - 2023-1

1) Avalie a integral (L 4xv dA, onde Dc R²éa região no interior do triângulo de vértices (2,4), (1,3) e (4,2). 2) Encontre o valor da integral D 2x + y dA onde D = {(x, y) ER' |0 <x- 2y s2e 1 2x +y Se} 3) Encontre o volume no interior do elipsoide y' z2 azhz onde a, b, c > 0 e contido ainda no 1° octante. 4) Encontre o ponto onde a reta normal ao paraboloide elíptico z = 3x+ 2y no ponto (1,2,7) o intercepta uma segunda vez. 5) Encontre os valores Máximose Mínim0s de fa, y) = 2x3 + y? no domínio R = {(%,y)tq x² + y² 4) t=1, b2 x = 14 + 6. ( -29/236 ) = 31/118 y = 24 + 8. ( -29/236 ) = 60/59 z = 11 - ( -29/236 ) = 2625/236 P_{2} \left( \frac{31}{118}, \frac{60}{59}, \frac{2625}{236} \right) f(x, y) = 2x^3 + y^2 \ \ \ \ \, \ \ \ \ sujeito \ a \ \ g(x, y ) = x^2 + y^2 = 4 \nabla f = \lambda \nabla g (6x^2, 2y) = \lambda (2x, 2y) \left\{\begin{matrix} 6x^2 = 2\lambda x \Rightarrow 6x = 2\lambda \\ 2y = 2\lambda y \end{matrix}\right. x = \frac{1}{3} \lambda Utilizando Geogebra para analisar o gráfico da função f, sujeita a g, conclui-se que os pontos de máximo e de mínimo ocorrem quando y = 0: A = 6: \frac{1}{3} \lambda = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{3}\cdot 6 = 2 \, \ \ \ \ P_{1}(2,0) A = -6: \ \ x = \frac{1}{3} \cdot (-6) = -2 \, \ \ \ \ P_{2}(-2,0) f(2,0) = 2\cdot 2^3 + 0^2 = 16 f(-2,0) = 2\cdot (-2)^3 + 0^2 = -16 P_{1}(2,0) \rightarrow \text{máximo} P_{2}(-2,0) \rightarrow \text{mínimo} Digitalizado com CamScanner