Capítulo 5: Sistemas com Dois Graus de Liberdade

Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 1 51 Introdução Capitulo 5 Sistemas com Dois Graus de Liberdade Sistemas que requerem 2 coordenadas independentes para descrever seu movimento são sistemas com 2 gdl Fig Sistema motorbomba sobre molas Fig Embalagem de um instrumento Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 2 Número de gdl Número de massas x Número de tipos de movimentos possíveis de cada massa Há 2 equações de movimento para um sistema com 2 gdl na forma de equações diferenciais acopladas Para uma solução harmônica a equação de movimento gera 2 freqüências naturais Um sistema com 2 gdl têm 2 modos normais de vibração Sob excitação inicial a vibração livre resultante será a sobreposição dos dois modos normais de vibração Sob uma força harmônica externa a vibração harmônica forçada resultante ocorrera à freqüência da força aplicada e teremos ressonância se ela coincidir com uma das freqüências naturais do sistema A configuração de um sistema pode ser especificada por qualquer conjunto de coordenadas independentes as mesmas são denominadas coordenadas generalizadas determinando equações de movimento acopladas É sempre possível determinar um conjunto particular de coordenadas de modo que as equações de movimento sejam não acopladas dito conjunto é denominado coordenadas principais Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 3 52 Equações de movimento para vibração forçada Slide 3 Sistema DCL Fig Um sistema massamolaamortecedor com 2 gdl Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 4 Aplicando a segunda Lei de Newton para cada massa temos Slide 4 Na forma matricial o sistema de equações diferenciais de 2a ordem acopladas é aonde Matriz Rigidez Matriz Amortecimento Matriz Massa 𝑚1 ሷ𝑥1 𝑐1 𝑐2 ሶ𝑥1 𝑐2 ሶ𝑥2 𝑘1 𝑘2 𝑥1 𝑘2𝑥2 𝐹1 𝑚2 ሷ𝑥2 𝑐2 ሶ𝑥1 𝑐2 𝑐3 ሶ𝑥2 𝑘2𝑥1 𝑘2 𝑘3 𝑥2 𝐹2 𝑚 ሷԦ𝑥 𝑡 𝑐 ሶԦ𝑥 𝑡 𝑘 Ԧ𝑥 𝑡 Ԧ𝐹 𝑡 𝑚 𝑚1 0 0 𝑚2 𝑐 𝑐1 𝑐2 𝑐2 𝑐2 𝑐2 𝑐3 𝑘 𝑘1 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑘3 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 5 Slide 5 Vetor Deslocamento Vetor Força Sendo que as matrizes massa amortecimento e rigidez são simétricas Portanto temos que Vetor Velocidade Vetor Aceleração Se 𝑐2 𝑘2 0 as equações de movimento não estão acopladas as massas não estão fisicamente ligadas A solução das equações de movimento acopladas para quaisquer forças 𝐹1 e 𝐹2 arbitrarias é difícil de ser obtida por causa do acoplamento das variáveis 𝑥1 e 𝑥2 a solução envolve 2 constantes de integração Normalmente são especificados os deslocamentos e as velocidades iniciais das massas Ԧ𝐹 𝑡 ሻ 𝐹1𝑡 𝐹2𝑡ሻ Ԧ𝑥 𝑡 ሻ 𝑥1𝑡 ሻ 𝑥2𝑡 ሶԦ𝑥 𝑡 ሻ ሶ𝑥1𝑡 ሻ ሶ𝑥2𝑡 ሷԦ𝑥 𝑡 ሻ ሷ𝑥1𝑡 ሻ ሷ𝑥2𝑡 𝑚 𝑇 𝑚 𝑐 𝑇 𝑐 𝑘 𝑇 𝑘 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 6 53 Análise de vibração livre de um sistema não amortecido Slide 6 Então as equações de movimento são Admitindo que seja possível ter um movimento harmônico de 𝑚1 e 𝑚2 com a mesma frequência 𝜔 e o mesmo ângulo de fase 𝜙 do tipo Considerando o sistema massamola em vibração livre onde 𝑋1 e 𝑋2 são constantes que denotam as amplitudes de 𝑥1 𝑡 e 𝑥2 𝑡 DCL 𝑚1 ሷ𝑥1 𝑡 𝑘1 𝑘2 𝑥1 𝑡 𝑘2𝑥2 𝑡 0 54ሻ 𝑚2 ሷ𝑥2 𝑡 𝑘2𝑥1 𝑡 𝑘2 𝑘3 𝑥2 𝑡 0 55ሻ 𝑥1 𝑡 𝑋1 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝜙 𝑥2 𝑡 𝑋2 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝜙 56ሻ Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 7 Para uma solução não trivial para 𝑋1 e 𝑋2 temos Slide 7 Substituindo na equação de movimento temos Para qualquer 𝑡 temos que os coeficientes devem ser iguais a zero Denominada equação de freqüência ou característica e a solução dela dá as freqüências ou características do sistema As raízes da equação são Equações algébricas homogêneas simultâneas com incógnitas 𝑋1 e 𝑋2 𝑚1𝜔2 𝑘1 𝑘2ሻ 𝑋1 𝑘2𝑋2 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝜙 0 𝑘2𝑋1 𝑚2𝜔2 𝑘2 𝑘3ሻ 𝑋2 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝜙 0 𝑚1𝜔2 𝑘1 𝑘2ሻ 𝑋1 𝑘2𝑋2 0 𝑘2𝑋1 𝑚2𝜔2 𝑘2 𝑘3ሻ 𝑋2 0 𝑑𝑒𝑡 ሻ 𝑚1𝜔2 𝑘1 𝑘2 𝑘2 𝑘2 ሻ 𝑚2𝜔2 𝑘2 𝑘3 0 𝑚1𝑚2 𝜔4 𝑘1 𝑘2 𝑚2 𝑘2 𝑘3 𝑚1 𝜔2 𝑘1 𝑘2 𝑘2 𝑘3 𝑘2 2 0 𝜔1 2 𝜔2 2 1 2 𝑘1 𝑘2 𝑚2 𝑘2 𝑘3 𝑚1 𝑚1𝑚2 𝑘1 𝑘2 𝑚2 𝑘2 𝑘3 𝑚1 𝑚1𝑚2 2 4 𝑘1 𝑘2 𝑘2 𝑘3 𝑘2 2 𝑚1𝑚2 1 2 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 8 Slide 8 Os valores de 𝑋1 e 𝑋2 dependem dos valores de 𝜔1 e 𝜔2 Portanto os valores de 𝑋1 e 𝑋2 para 𝜔𝑖 determinam os chamados modos normais de vibração vetores modais do sistema para 𝜔1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 X X r X X r para 𝜔2 sendo 𝑟𝑖 Como as equações algébricas são homogêneas e dependentes somente as razões 𝑟1 e 𝑟2 podem ser determinadas Portanto o sistema têm solução não trivial da forma assumida sendo que quando 𝜔 igual de 𝜔1 e 𝜔2 são denominadas de frequências naturais do sistema Ԧ𝑋 1 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋1 1 𝑟1𝑋1 1 Ԧ𝑋 2 𝑋1 2 𝑋2 2 𝑋1 2 𝑟2𝑋1 2 𝑟1 𝑋2 1 𝑋1 1 ሻ 𝑚1𝜔1 2 𝑘1 𝑘2 𝑘2 𝑘2 ሻ 𝑚2𝜔1 2 𝑘2 𝑘3 𝑟2 𝑋2 2 𝑋1 2 ሻ 𝑚1𝜔2 2 𝑘1 𝑘2 𝑘2 𝑘2 ሻ 𝑚2𝜔2 2 𝑘2 𝑘3 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 9 A solução de vibração livre ou movimento no tempo pode ser expresso como São os modos normais de vibração conhecidos como os vetores modais do sistema Podemos fazer o sistema vibrar em seu 𝑖ésimo modo normal 𝑖 1 2ሻ sujeitandoo às condições iniciais específicas Para quaisquer outras condições iniciais gerais ambos os modos serão excitados O movimento resultante é a sobreposição linear dos dois modos normais com 𝑋 1 𝑋 2 Ԧ𝑥 1 𝑡 𝑥1 1 𝑡 𝑥2 1 𝑡 𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠 𝜔1𝑡 𝜙1 𝑟1𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠 𝜔1𝑡 𝜙1 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑜 Ԧ𝑥 2 𝑡 𝑥1 2 𝑡 𝑥2 2 𝑡 𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠 𝜔2𝑡 𝜙2 𝑟2𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠 𝜔2𝑡 𝜙2 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑥1 𝑡 0 𝑋1 1 𝐶𝑡𝑒 ሶ𝑥1 𝑡 0 0 𝑥2 𝑡 0 𝑟𝑖𝑋1 𝑖 ሶ𝑥2 𝑡 0 0 Ԧ𝑥 𝑡 𝑐1 Ԧ𝑥 1 𝑡 𝑐2 Ԧ𝑥 2 𝑡 ቁ 𝑥1 1 𝑡 𝑥1 2 𝑡 ቁ 𝑥2 1 𝑡 𝑥2 2 𝑡 𝑐1 𝑐2 1 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 10 Sendo Slide 10 onde as constantes Substituindo nas equações temos podem ser determinadas pelas condições iniciais Resolvendo o sistema de equações em termos de temos 𝑥1 𝑡 𝑥1 1 𝑡 𝑥1 2 𝑡 𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠 𝜔1𝑡 𝜙1 𝑋1 2ሻ 𝐶𝑜𝑠 𝜔2𝑡 𝜙2 𝑥2 𝑡 𝑥2 1 𝑡 𝑥2 2 𝑡 𝑟1𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠 𝜔1𝑡 𝜙1 𝑟2𝑋1 2ሻ 𝐶𝑜𝑠 𝜔2𝑡 𝜙2 𝑋1 1 𝑋2 1 𝜙1 𝜙2 𝑥1 𝑡 0 𝑥1 0 ሶ𝑥1 𝑡 0 ሶ𝑥1 0 𝑥2 𝑡 0 𝑥2 0 ሶ𝑥2 𝑡 0 ሶ𝑥2 0 𝑥1 0 𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠 𝜙1 𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠 𝜙2 ሶ𝑥1 0 𝜔1𝑋1 1 𝑆𝑒𝑛 𝜙1 𝜔2𝑋1 2 𝑆𝑒𝑛 𝜙2 𝑥2 0 𝑟1𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠 𝜙1 𝑟2𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠 𝜙2 ሶ𝑥1 0 𝜔1𝑟1𝑋1 1 𝑆𝑒𝑛 𝜙1 𝜔2𝑟2𝑋1 2 𝑆𝑒𝑛 𝜙2 𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠 𝜙1 𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠 𝜙2 𝑋1 1 𝑆𝑒𝑛 𝜙1 𝑋1 2 𝑆𝑒𝑛 𝜙2 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 11 Fazendo as operações respectivas conseguese estabelecer as amplitudes e as fases para cada modo 𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠𝜙1ሻ ሻ 𝑟2𝑥1 0 𝑥20 𝑟2 𝑟1 𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠 𝜙2 ሻ 𝑟1𝑥1 0 𝑥20 𝑟2 𝑟1 𝑋1 1 𝑆𝑒𝑛𝜙1ሻ ሻ 𝑟2 ሶ𝑥1 0 ሶ𝑥20 𝜔1𝑟2 𝑟1ሻ 𝑋1 2 𝑆𝑒𝑛𝜙2ሻ ሻ 𝑟1 ሶ𝑥1 0 ሶ𝑥20 𝜔2𝑟2 𝑟1ሻ 𝑋1 1ሻ 𝑋1 1ሻ 𝐶𝑜𝑠𝜙1ሻ 2 𝑋1 1ሻ 𝑆𝑒𝑛𝜙1ሻ 2 1 2 1 𝑟2 𝑟1 𝑟2𝑥1 0 𝑥20ሻ 2 𝑟2 ሶ𝑥1 0 ሶ𝑥20ሻ 𝜔1 2 1 2 𝑋1 2ሻ 𝑋1 2ሻ 𝐶𝑜𝑠𝜙2ሻ 2 𝑋1 2ሻ 𝑆𝑒𝑛𝜙2ሻ 2 1 2 1 𝑟2 𝑟1 𝑟1𝑥1 0 𝑥20ሻ 2 𝑟1 ሶ𝑥1 0 ሶ𝑥20ሻ 𝜔2 2 1 2 𝜙1 𝑇𝑎𝑛1 𝑋1 1 𝑆𝑒𝑛 𝜙1 𝑋1 1 𝐶𝑜𝑠 𝜙1 𝑇𝑎𝑛1 𝑟2 ሶ𝑥1 0 ሶ𝑥20ሻ 𝜔1 𝑟2𝑥1 0 𝑥20ሻ 𝜙2 𝑇𝑎𝑛1 𝑋1 2 𝑆𝑒𝑛 𝜙2 𝑋1 2 𝐶𝑜𝑠 𝜙2 𝑇𝑎𝑛1 𝑟1 ሶ𝑥1 0 ሶ𝑥20ሻ 𝜔2 𝑟1𝑥1 0 𝑥20ሻ Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 12 Exemplo 51 Frequências de sistema massamola Determine as frequências naturais e formas modais de um sistema massa mola mostrado na figura que esta restrito a moverse apenas no sentido vertical Considere 𝑛 1 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 13 Slide 13 Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 14 Exemplo 52 Condições iniciais para excitar modo especifico Determine as condições iniciais que precisam ser aplicadas ao sistema mostrado na figura de modo a fazêlo vibrar em a No primeiro modo b No segundo modo Capitulo 5 Sistemas com dois graus de liberdade 15 ሷ𝑥 Aceleração ሷ𝜃 Aceleração angular 𝑋 Amplitude 𝜙 Ângulo de fase 𝑐 Constante de amortecimento 𝑘 Constante elástica 𝑥 Deslocamento 𝐹 Força 𝜔 Frequência natural 𝑚 Massa 𝐽𝑖 Momento de inércia polar 𝑟 Razão da amplitude 𝑘𝑖𝑖 Rigidez torcional 𝑡 Tempo 𝑀 Torque ሶ𝑥 Velocidade Lista de símbolos