Anotações - Sequências Monótonas - 2023-2

Advertência: Estas anotações são super resumidas. Recomandamos que você assista ao vídeo correspondente. Como material para leitura recomendamos o livro-texto. Sequências monótonas Definição: Uma sequência {an}n=1^∞ é dita crescente se an ≤ an+1 para todo n estritamente crescente se an < an+1 para todo n decrescente se an ≥ an+1 para todo n estritamente decrescente se an > an+1 para todo n Nesses casos dizemos que a sequência é monótona Exemplos (a) 1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ... é estritamente decrescente (b) 1, 1, 2, 2, 3, 3, ..., [n+1/2], ... é crescente, mas não estritamente (c) 1, -1, 1, -1, ..., (-1)^n+1, ... não é monótona Como verificar monotonicidade? Ex 1) an = n/(n+1), n=1,2,... é monótona? Solução: Método 1: Analisar an+1 - an an+1 - an = (n+1)/(n+2) - n/(n+1) = ((n+1)^2 - n(n+2))/((n+2)(n+1)) = 1/((n+2)(n+1)) > 0 ⇒ {an} é estritamente crescente. Como verificar monotonicidade? Ex 1) a_n = n/(n+1), n = 1, 2, ... é monótona? Solução: Método 2: Analisar a_(n+1)/a_n (a_(n+1)/a_n) = a_(n+1) * (1/a_n) = (n+1)/(n+2) * (n+1)/n = (n^2 + 2n + 1)/(n^2 + 2n) > 1 ⇒ {a_n} é estritamente crescente. Como verificar monotonicidade? Ex 1) a_n = n/(n+1), n = 1, 2, ... é monótona? Solução: Método 3: Analisar f(x) = x/(x+1), x > 1 f'(x) = [(x+1) - x] / (x+1)^2 = 1/(x+1)^2 > 0 ⇒ f é estrit. crescente ⇒ {a_n} é estrit. crescente Ex 2) { 10/n! }_{n=1}^∞ é monótona? Solução: a_n = 10/n! (a_(n+1)/a_n) = (10/(n+1)!) * (n!/10^n) = 10/(n+1) > 1 se n < 8 < 1 se n ≥ 10 Não é. Mas é monótona a partir de um certo termo. {a_n} é decrescente a partir de um certo termo. Sequências Limitadas Definição: Uma sequência \{a_n\}_{n=1}^{∞} é dita limitada superiormente se existir M tal que a_n ≤ M, pra todo n limitada inferiormente se existir L tal que a_n ≥ L, pra todo n \{a_n\}_{n=1}^{∞} é dita limitada se L ≤ a_n ≤ M pra todo n ⇔ |a_n| ≤ K pra algum K Monotonicidade ≠ convergência Exemplo: a_n = n é monótona e diverge Limitação ≠ convergência Exemplo: a_n = (-1)^n é limitada e diverge Monotonicidade e Limitação ⇒ convergência Teorema: Seja \{a_n\} uma sequência crescente a partir de um certo termo e limitada superiormente, a_n ≤ M. Então \{a_n\} é convergente. a_n → L ≤ M. Teorema: Seja {an} uma sequência crescente a partir de um certo termo e limitada superiormente. Então {an} é convergente. Teorema: Seja {an} uma sequência decrescente a partir de um certo termo e limitada inferiormente. Então {an} é convergente. Ex. Mostre que \left\{ \frac{10^n}{n!} \right\} é convergente e obtenha o limite. Solução: a_n = \frac{10^n}{n!} , vimos que \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{10}{(n+1)} \Rightarrow \{a_n\} é decrescente a partir de um certo termo. além disso a_n \geq 0. Portanto a_n \to L \geq 0. L = ? a_{n+1} = \frac{10}{(n+1)} a_n , faz n \to \infty , obtém L = 0 \cdot L \Rightarrow L = 0 Um exemplo importante a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n Onde aparece? Capital inicial R$1,00 Dá pra mostrar: {a_n} é crescente a_n < 3 \forall n \Rightarrow a_n converge \lim \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2,71828 Juros | Montante depois de um ano 100% ao ano 1+1 = 2 50% ao semestre (1,5)^2 = 2,25 100/3% ao quadrimestre (1+\frac{1}{3})^3 \approx 2,37 25% ao trimestre (1+\frac{1}{4})^4 \approx 2,44 assim sucessivamente... Veremos que e e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + ... e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ... 1/e = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - ...