Slide - Planos no Espaço Tridimensional - 2023-2

Planos no espaço tridimensional Joana Mohr IME-UFRGS Um plano no espaço tridimensional fica determinado se conhecemos um ponto P₀ do plano e um vetor perpendicular ao plano. Tal vetor é chamado vetor normal ao plano. v = <x, y, 0> , k = <0, 0, 1> v . k = <x, y, 0> . <0, 0, 1> = 0 plano xy k = <0, 0, 1> P₀ P(x, y, 0) v = <x, y, 0> P₀(x₀, y₀, z₀) ∈ π e n = <a, b, c> normal ao plano, P(x, y, z) ∈ π P₀P = <x - x₀, y - y₀, z - z₀> 0 = n . v = <a, b, c> . <x - x₀, y - y₀, z - z₀> = a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0 a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0 Exemplo 1: Considere o ponto P_0(-1/2, -2, 1) e o vetor n =<-2, 2, 2>, o plano que passa por P_0 e tem n como vetor normal é -2(x+1/2)+2(y+2)+2(z-1)=0 -2x+2y+2z-1+4-2=0 -2x+2y+2z+1=0 2x-2y-2z=1 A equação a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0 é chamada forma ponto-normal do plano que passa pelo ponto (x_0, y_0, z_0) e tem vetor normal <a, b, c>, enquanto que a equação ax + by + cz = d é chamada forma geral de um plano com vetor normal <a, b, c>. Teorema Suponha que a, b, c são constantes não todas nulas e d constante, então a equação ax + by + cz = d tem como gráfico um plano cujo vetor normal é n =<a, b, c>. Se a≠0, se y=z=0 ax=d => x=d/a P(d/a, 0, 0) pertence ao plano. a(x-d/a) + b y + c z = 0 <=> ax+by+cz=d Outras formas de determinar um plano: Se conhecemos um ponto e dois vetores não colineares u e v, que são paralelos ao plano: n = u x v n vetor normal ao plano Se temos três pontos, A, B, C não colineares do plano: \( \mu = \vec{AB} \) \( \nu = \vec{AC} \) \( \mathbf{m} = \mu \times \nu \) Exemplo 2: Considere os pontos \( A(-2, -2, 1), B(1, -1, 1) \) e \( C(2, 2, 3) \), então \( \vec{u} = \vec{AB} = \langle 3, 1, 0 \rangle \), \( \vec{v} = \vec{AC} = \lt 4, 4, 2 \gt \) \( \mathbf{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 2i - 6j + 8k = \langle 2, -6, 8 \rangle \) \( 2(x+2) - 6(y+2) + 8(z-1) = 0 \) \( 2x - 6y + 8z + 4 - 12 - 8 = 0 \) \( 2x - 6y + 8z = 16 \) Seja \( \pi \) um plano e \( r \) uma reta, \( r \) intercepta esse plano \( \pi \)? \( \mathbf{n} \cdot \vec{v_1} \neq 0 \) \( \mathbf{n} \cdot \vec{v_2} = 0 \) \( \mathbf{n} \cdot \vec{v_3} = 0 \) \( r_1 \) intercepta \( \pi \) em um único ponto \( r_2 || \pi \) e não intercepta \( \pi. \) \( r_3 || \pi \) e está contida em \( \pi. \) Exemplo 3: Considere o plano 3x + 2y - z = 4 e as retas r : x = 5 + 2t, y = 2 - 2t, z = 3 + 2t e s : x = 1 + 2t, y = -t, z = -1 + t. As retas r e s interceptam o plano? Em caso afirmativo encontre o ponto de interseção. r tem vetor direcional v = <2, -2, 2> m = <3, 2, -1> , m \cdot v = 6 - 4 - 2 = 0, logo r é paralela ao plano. P(5, 2, 3), 3.5 + 2.2 - 3 = 16 \neq 4 P não pertence ao plano, assim r não intercepta o plano. Joana Mohr (IME-UFRGS) Exemplo 3: Considere o plano 3x + 2y - z = 4 e as retas r : x = 5 + 2t, y = 2 - 2t, z = 3 + 2t e s : x = 1 + 2t, y = -t, z = -1 + t. As retas r e s interceptam o plano? Em caso afirmativo encontre o ponto de interseção. m = <3, 2, -1>, v_s = <2, -1, 1> m \cdot v_s = 6 - 2 - 1 = 3 \neq 0, s cruza o plano. P_0(x_0, y_0, z_0), existe t_0 tal que x_0 = 1 + 2t_0, y_0 = -t_0, z_0 = -1 + t_0 3(1 + 2t_0) + 2(-t_0) - (-1 + t_0) = 4 3 + 6t_0 - 2t_0 + 1 - t_0 = 4 \Rightarrow 3t_0 = 0 x_0 = 1, y_0 = 0, z_0 = -1 , P_0(1, 0, -1). Joana Mohr (IME-UFRGS) Exemplo 4: Encontre uma equação para a intersecção dos planos y + z = -1 e 2x - y + z = 0. \pi_1 \pi_2 \mathbf{m_1} = <0, 1, 1> \mathbf{m_2} = <2, -1, 1> v paralelo a \pi_1 v \cdot m_1 = 0 v paralelo a \pi_2 v \cdot m_2 = 0 v = m_1 \times m_2 = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 2i + 2j - 2k = <2, 2, -2> Joana Mohr (IME-UFRGS) Exemplo 4: Encontre uma equação para a interseção dos planos y + z = -1 e 2x - y + z = 0. Como v =<2,2,-2>, a reta L não é paralela ao plano xy, pois v ⋅ k =<2,2,-2> ⋅ <0,0,1> = -2 ≠ 0, portanto L cruza o plano xy. y = -1, 2x + 1 = 0 => x = -1/2 P(-1/2,-1,0) pertence à interseção dos planos. {x = -1/2 + 2t y = -1 + 2t z = -2t z = 0 equação da reta de interseção dos planos Joana Mohr (IME-UFRGS)