Slide - Introdução Às Funções Vetoriais - 2023-2

Introdu¸c˜ao `as fun¸c˜oes vetoriais Joana Mohr IME-UFRGS Joana Mohr (IME-UFRGS) 1 / 6 Uma fun¸c˜ao do tipo r(t) = ⟨x(t), y(t)⟩ ou r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩, onde x(t), y(t), z(t) s˜ao fun¸c˜oes suaves da vari´avel t ´e chamada fun¸c˜ao vetorial. A medida que t cresce temos uma curva em R2 ou R3 percorrida em um determinado sentido (orienta¸c˜ao da curva). A curva junto com sua orienta¸c˜ao ´e chamada de curva param´etrica e esta ´e o gr´afico da fun¸c˜ao vetorial. Joana Mohr (IME-UFRGS) 2 / 6 r(t)=<3t,5t-2> r(t)=<-3t+15,-4t+17,2t+3> r(t)=<tcos(t),tsen(t)> r(t)=<t/2cos(t),t/2sen(t),t/2> Joana Mohr (IME-UFRGS) Derivada de fun¸c˜oes vetoriais: Se r(t) = ⟨x(t), y(t)⟩ ´e uma fun¸c˜ao vetorial definimos a derivada de r com rela¸c˜ao a t como a fun¸c˜ao vetorial r′ dada por r′(t) = lim h→0 r(t + h) − r(t) h = ⟨x′(t), y′(t)⟩, para os valores de t no dom´ınio de r onde o limite existe. Joana Mohr (IME-UFRGS) 4 / 6 r′(t) ´e um vetor, logo tem magnitude dire¸c˜ao e sentido (exceto se r′(t) = 0), que ´e tangente `a curva e que aponta na dire¸c˜ao do parˆametro crescente. Joana Mohr (IME-UFRGS) 5 / 6 Seja r(t) fun¸c˜ao vetorial e P = r(t0) um ponto no seu gr´afico, se r′(t0) existe e r′(t0) ̸= 0 ent˜ao dizemos que r′(t0) ´e um vetor tangente ao gr´afico de r(t) em t0. E a reta s(t) = r(t0) + t r′(t0) ´e chamada reta tangente ao gr´afico de r(t) em t0. Joana Mohr (IME-UFRGS) 6 / 6