Anotações - Teste da Integral e Consequências - 2023-2

Revisão da aula p-série diverge se p < 1 Converge se p > 1 Teste da integral Se f é positiva e decrescente Bônus A ideia geométrica do Teste da Integral fornece estimativas para as somas Problema: Sabemos que converge. Quantos termos são suficientes para aproximar o valor da soma com erro de no máximo 0,001? Solução: Estimar o resto A série harmônica ∑(k=1 to ∞) 1/k converge ou diverge? ∫(from 1 to n+1) 1/x dx ≤ ∑(k=1 to n) 1/k ≤ 1 + ∫(from 1 to n) 1/x dx ln(n+1) ≤ ∑(k=1 to n) 1/k ≤ 1 + ln(n) Faz n→∞, ln(n+1)→∞ ⇒ ∑(k=1 to ∞) 1/k = ∞ Portanto, a série harmônica diverge. A série harmônica ∑(k=1 to ∞) 1/k Por que esse nome? Oscilações que compõem o movimento da corda vibrante Harmônicos → Comprimento de onda Fundamental 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 ... sobretomos Problema: Para quais valores de p a série ∑ n=1 ∞ 1/n^p é convergente? Solução: Já vimos que ∑ n=1 ∞ 1/n^p converge se p=2 diverge se p=1 se p≥2 então 1/n^p ≤ 1/n^2. Logo ∑ n=1 ∞ 1/n^p ≤ ∑ n=1 ∞ 1/n^2 < ∞ Se p≤1 então 1/n^p ≥ 1/n. Logo ∑ n=1 ∞ 1/n^p ≥ ∑ n=1 ∞ 1/n = ∞ diverge ??? converge p 1 2 O que acontece se 1<p<2? Problema: Para quais valores de p a série ∑ n=1 ∞ 1/n^p é convergente? Solução: Já vimos que ∑ n=1 ∞ 1/n^p converge se p≥2 diverge se p≤1 Se p≠1 ∫ 1^t 1/x^p dx = t^(1-p) - 1/1-p → t→∞ { +∞ se p<1 1/p-1 se p>1 Portanto, ∑ n=1 ∞ 1/n^p < ∞ se p>1 e ∑ n=1 ∞ 1/n^p = ∞ se p≤1 Exemplos: ∑ n=1 ∞ 1/√n diverge (p=1/2) ∑ n=1 ∞ 1/n diverge (série harmônica) ∑ n=1 ∞ 1/n^1,001 converge ∑ n=1 ∞ 1/n^2 converge ∑ n=1 ∞ 1/n^3 converge P-Série ∑ n=1 ∞ 1/n^p diverge se p≤1 converge se p>1 Problema: ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n\ln(n)} converge ou diverge? Solução: Vamos usar o teste da integral com \ f(x)=\frac{1}{x\ln(x)}, \ x\geq2 f é positiva ✔ f é decrescente ✔ \int_{2}^{t} \frac{1}{x\ln(x)} dx = ? u=\ln(x) du=\frac{1}{x}dx \int \frac{1}{x\ln(x)}dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln(\ln(x)) + C \int_{2}^{t} \frac{1}{x\ln(x)}dx = \ln(\ln(t)) - \ln(\ln(2)) Faz \ t\to\infty \int_{2}^{∞} \frac{1}{x\ln(x)}dx = ∞ ⇒ \sum_{n=2}^{∞} \frac{1}{n\ln(n)} \ diverge Problema: Obtenha um valor aproximado para 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{1.000.000} com erro de no máximo uma unidade Solução: Das figuras... ...temos que \int_{1}^{n+1}\frac{1}{x}dx \leq \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \leq 1 + \int_{1}^{n}\frac{1}{x}dx \ln(n+1) \leq \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \leq 1 + \ln(n) Faz \ n=10^{9} \ln(10^{9}+1) \leq \sum_{k=1}^{10^{9}}\frac{1}{k} \leq 1 + \ln(10^{9}) \ln(10^{9}) = 9\ln(10) \approx 20,723 \ln(10^{9}+1) \approx 20,723 Logo 20,722 \leq \sum_{k=1}^{10^{9}}\frac{1}{k} \leq 21,724 ⇒ \sum_{k=1}^{10^{9}}\frac{1}{k} \approx 21 \ \textrm{com erro} < 1 Problema: Sabemos que ∑_{k=1}^{∞}\frac{1}{k^{3}} converge. Quantos termos são suficientes para aproximar o valor da soma com erro de no máximo 0,001? Solução: Estimar o resto R_{n}=∑_{k=1}^{∞}\frac{1}{k^{3}} - ∑_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{3}} = ∑_{k=n+1}^{∞}\frac{1}{k^{3}} R_{n} < \int_{n}^{∞}\frac{1}{x^{3}}dx