Slide - Séries Alternadas e Convergêcia Absoluta - 2023-2

S´eries alternadas e convergˆencia absoluta Joana Mohr IME-UFRGS Joana Mohr (IME-UFRGS) 1 / 18 Séries Alternadas Sdo as séries cujos termos se alternam entre positivos e negativos. Por exemplo, co 1 1 1 1 1 dt gata k=1 Em geral escrevemos, para uma série alternada, CO So(-1)\ tha =aj—agtaz—aqt::: (*) k=1 ou CO So(-1)k a =—-ajt+ag—agtagt::: (**), k=1 onde ax sao todos termos positivos. Teorema (Teste da série alternada). Uma série alternada da forma (*) ou (**) converge se as duas condi¢ées a seguir forem satisfeitas: ay @ a) a >a >ag>-:-: @ b) lim a =0 k-400 P| | So S4 Ss S583 S4 a,-a,taz-a,ta,-agt..... Note que essas condi¢des nao sao suficientes para uma série que nao é alternada. co a A 1. ow Por exemplo, a série harménica y k satisfaz as condi¢des a) e b) mas k=1 nao converge. Exemplo. Mostre que sao convergentes: ~ 1 k41 a) (-12 k=1 Note que 1 5 1 i i 1 0 an = — > —— =a im a, = lim —~= RK kT OT ce Keto kk Logo a série converge, pelo teste da série alternada. CO k+2 b -1 kf1 ST 4 ee aD k=1 Note que: ax41 < apr a <1, Akt. k+3 k(k+1) _ k? + 3k <1 a (kK+1)(kK+2) k4+2 9 k244k4+4 °° entao ax > aK41 Ainda, temos lim a lim k+2 lim k 0 l = I ——— ——- = l —_ = k— 00 k k— 00 k(k + 1) k—s00 k2 Logo, pelo teste da série alternada, a série converge. Teorema: Aproximando a soma de s´eries alternadas. Se uma s´erie alternada satisfaz as hip´oteses do teste da s´erie alternada, e se S for a soma dessa s´erie, vale que: a) O valor S est´a entre duas somas sucessivas, ou seja, sn ≤ S ≤ sn+1 ou sn+1 ≤ S ≤ sn dependendo de qual soma parcial for maior. b) Se S for aproximada por sn, ent˜ao o erro absoluto |S − sn| ´e tal que |S − sn| ≤ an+1 com o sinal do erro S − sn igual ao do coeficiente de an+1. Joana Mohr (IME-UFRGS) 6 / 18 Exemplo. Mais adiante no curso, sera4 mostrado que CO 1 1 1 1 1 1 S(-aytt_ ee — (k+1)! 2! 3! 4! OS! e a) Encontre uma cota superior da magnitude do erro que resulta se i for aproximado pela soma dos 4 primeiros termos da série. Temos 1 1 F ~ 5a| < a5 = — ©0,0014 e 6! Usando uma calculadora podemos conferir isto: 1 1 1 1 44 11 1 —-—-—4—-—-—=-— = — #0, 36666667, — = 0,36787944 2! 3! + 4! 5! 120 30 , 7 e , Dai 1 1 il —— 94] = |— — —| © 0,0012 F | F 30 , o que esta abaixo da cota superior (0,0014) dada acima. b) Encontre uma soma parcial que aproxime ; com trés casas decimais de precisdo (até o milésimo mais prdéximo, veja o apéndice). Isto significa escolher um valor de n tal que 1 -4 F _ Sn| < 5x10~4 = 0,0005 e Queremos 2 — Sn| < 0,0005 e sabemos que |S — s,| < an41. Basta encontrar n tal que } < 0,0005 ant. = ———— n+1 (n + 2)! 9 1 1 10000 = 2)l > ——_ = ——_ = ——_ = 9000 ("+ 2)! > oQo05 = Bxi0-4 como 6! = 720 < 2000 e 7! = 5040 > 2000 => n=5. Logo, a soma parcial ss ira fornecer a precisdo desejada. Convergéncia absoluta Dizemos que uma série co S UK = Uy + U2 + uU3g4+--: k=1 converge absolutamente se a série de valores absolutos CO So luk | = ur] + lua] + Jus] +> k=1 convergir. E dizemos que a série dada diverge absolutamente se a série de valores absolutos divergir. Exemplo. Determine se converge absolutamente: 1 − 1 4 − 1 9 + 1 16 + 1 25 − 1 36 − · · · Como a s´erie de valores absolutos associada ´e a p-s´erie, com p=2 1 + 1 22 + 1 32 + 1 42 + 1 52 + 1 62 + · · · que converge. Logo, a s´erie dada converge absolutamente. Joana Mohr (IME-UFRGS) 11 / 18 Exemplo. Determine se converge absolutamente: 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − · · · A s´erie de valores absolutos ´e 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + · · · , a s´eria harmˆonica, que diverge. Logo, a s´erie alternada dada diverge absolutamente. Note que a s´erie original converge pelo teste da s´erie alternada. Terminologia. Uma s´erie que converge, mas diverge absolutamente, ´e dita condicionalmente convergente. Portanto, a s´erie do exemplo anterior ´e condicionalmente convergente. Joana Mohr (IME-UFRGS) 12 / 18 Teorema. Se a série CO y |ux| = \ur| + |u2| + fu3| +--- k=1 convergir entao também converge a série co S UK = Uy + U2 + uU3g4+--: k=1 Em palavras: a convergéncia absoluta de uma série implica na convergéncia da série. Note que j4 vimos que a reciproca nao é verdadeira em geral. Teste da razao para a convergéncia absoluta Seja 5°, uz uma série de termos nao nulos e defina . |Uk+1 = lim Wk! k- oo |ux| @ Se p < 1entdo a série )>, ux converge. @ Sep >1o0u p=o entao a série >, ux diverge. e@ Se p = 1, nenhuma conclusdo pode ser tirada sobre a convergéncia ou convergéncia absoluta desta série. Note que se p < 1 entao )°, ux, converge absolutamente e portanto converge pelo teorema anterior. Exemplo: Determine se converge. o° k ‘oD a) 5 (—1) B k=1 =r Uqsal _ 55K kB ey 5k3 _ p= limos Hest! = lim soo Gens * fF = NM sco waa = 5> 1 Logo a série diverge. co k2 k b) 5 (—1) ek k=1 . ul . k+1)?_— ek . 1 k?4+2k+1 _ 1 p = lig soo Met! = limp soo KE. £5 = imp soo 2 K#3K+1 = 1 <1. Logo a série converge. Co Co «_vk c) Dou = (-I)" a ke +1 k=1 k=1 p= lim [Weta] lim — Vk+ 1 Ke +1 k— 00 |ux| k— 00 (k + 1)2 +1 Vk _ [k+l K+] lim 4/ —— - 73-4755 = 1. Logo devemos tentar outro teste. k—s00 k k# + 2k* +2 Note que a série dos valores absolutos 77°, |ux| = P24 AS parece se comportar como a série }07° 5 vk = S772, ax, aplicando o teste da comparacao no limite temos que . : 2 Z p = limp—s00 wy = liMK-s00 vk . va = 1, portanto, como S7?°, ax é convergente, também é convergente a série de valores absolutos )>7~_, |ux| que por sua vez implica que a série }> 7°, ux € convergente. Apˆendice: Aproxima¸c˜ao de um n´umero a com precis˜ao de n casas decimais: Dizemos que um n´umero x ´e uma aproxima¸c˜ao de n´umero a com precis˜ao de n casas decimais se |a − x| ≤ 5x10−(n+1). Por exemplo, se queremos aproximar a com 2 casas decimais de precis˜ao, |a − x| ≤ 0.005, assim x ∈ [a − 0.005, a + 0.005], note que este intervalo tem comprimento 2x0.005 = 0.01, assim as casas decimais podem variar no m´aximo em uma unidade at´e a segunda casa. Joana Mohr (IME-UFRGS) 17 / 18 Exemplo: suponha que a = 0.9999, uma aproxima¸c˜ao com uma casa decimal de precis˜ao deve pertencer ao intervalo [a − 0.05, a + 0.05] = [0.9499, 1.0499], note que qualquer valor neste intervalo tem uma varia¸c˜ao de no m´aximo uma unidade at´e a primeira casa decimal. Joana Mohr (IME-UFRGS) 18 / 18