Slide - Teste do Campo Conservativo - 2023-2

Teste do campo conservativo Joana Mohr IME-UFRGS Joana Mohr (IME-UFRGS) 1 / 11 Vimos no TFIL que se F é conservativo, isto é, existe 6: D > R tal que F(z,y) =V¢(z,y), (ay) €D e se C' for uma curva paramétrica lisa por partes qualquer, comegando em (9, yo), terminando em (21, y1), vale [ Pleu) dr = ler.) ~ (co. C Perguntas: Como checar se F’ é conservativo e como encontrar tal ¢ em caso afirmativo? Uma regi˜ao do plano D ´e dita conexa se quaisquer dois pontos desse conjunto podem ser unidos por uma curva lisa por partes que est´a inteiramente contida em D. Dizemos que uma curva param´etrica ´e simples se ela n˜ao intersecta a si mesma entre os seus pontos extremos. Joana Mohr (IME-UFRGS) 3 / 11 Seja D um conjunto conexo do plano. Dizemos que D ´e simplesmente conexo se nenhuma curva fechada simples em D envolver pontos que n˜ao perten¸cam a D. Informalmente, um conjunto conexo D ´e simplesmente conexo se este n˜ao tiver buracos. Um conjunto conexo com um ou mais buracos ´e dito multiplamente conexo. Joana Mohr (IME-UFRGS) 4 / 11 Teorema (Teste do campo conservativo). Se f(x, y) e g(x, y) forem cont´ınuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem cont´ınuas em alguma regi˜ao aberta D e se o campo vetorial F(x, y) = f(x, y)i + g(x, y)j for conservativo em D ent˜ao ∂f ∂y = ∂g ∂x (∗) em cada ponto de D. Reciprocamente, se D for simplesmente conexo e (∗) valer em cada ponto de D, ent˜ao F(x, y) = f(x, y)i + g(x, y)j ´e conservativo. Joana Mohr (IME-UFRGS) 5 / 11 Exemplo: Confirme que n˜ao ´e conservativo o campo F(x, y) = f(x, y)i + g(x, y)j = −yi + xj . ∂f ∂y = −1 ̸= ∂g ∂x = 1. Joana Mohr (IME-UFRGS) 6 / 11 Exemplo: Seja F(z, y) = f(x,y)it+ g(x, y)j = y° it 2xyj. a) Mostre que F é um campo conservativo em todo o plano xy. b) Determine ¢, 0 potencial associado a F. c) Usando o TFIL calcule a integral, (1,3) / y* dx + 2axy dy (—1,2) a) Como Of Og —(x =2y= —(a Dy | 1y) = 2y = 5 (2,y), portanto (*) vale para todo (x,y), logo é conservativo. b) Existe ¢ tal que V¢(a, y) = F(a, y) = y?i+ 2ryj, ou seja, 0G 5 = OM a —-? Queremos: encontrar ¢. Escolha uma das equacoes e integre-a: dg an oY OY) = Jv dx = xy” + k(y) onde k = k(y) é uma fungéo que depende de y, ou seja, (ay) = xy” + ky). ∂φ ∂x = y2, ∂φ ∂y = 2xy φ(x, y) = xy2 + k(y) (∗∗) Agora, vamos comparar a informa¸c˜ao obtida em (∗∗) com a segunda equa¸c˜ao. Para isto, derivamos (∗∗) com respeito a y: φ(x, y) = xy2 + k(y) =⇒ ∂φ ∂y = 2xy + k′(y) Igualando esta equa¸c˜ao e a segunda, obtemos 2xy + k′(y) = 2xy =⇒ k′(y) = 0 =⇒ k(y) = K onde K ∈ R ´e um constante. Joana Mohr (IME-UFRGS) 9 / 11 Conclusao: o(a,y) = ay? + K ) (1,3) (1,3) / y? dx + 2axy dy = wy? | = 13. (—1,2) (-1,2) Exemplo: Verifique que F(a, y) = f(x, y)i+ g(x, y)j = 5i+ $j é um campo conservativo e encontre o potencial ¢ associado a F. ‘Temos que - =0= os. Procuramos ¢ que satisfaz Od « Ob y ar 2 dye 8 = (ey) = [5 ar== + mW) Assim @(x,y) = + k(y) => $2 = k'(y). Igualando & segunda equacao de (* * *) temos que k/(y) = s, portanto ky) =£4+K = 6@,y)=S4+¥4K.