Slide - Series de Potencias - R e Ic - 2023-2

S´eries de Potˆencias - R e IC Profa. Virg´ınia M. Rodrigues 1 / 8 RAIO E INTERVALO DE CONVERGÊNCIA Theorem Para uma série de potências \sum_{k=0}^{\infty} c_k (x - x_0)^k exatamente uma das seguintes afirmações é verdadeira. (i) A série converge somente em x = x_0. (ii) A série converge absolutamente e, portanto, converge \forall x \in 𝑅. (iii) A série converge absolutamente e, portanto, converge num intervalo (x_0 - R, x_0 + R) e diverge se x < x_0 - R ou x > x_0 + R. Obs.: No caso (iii) o teorema nada afirma sobre a convergência ou divergência da série em x = x_0 - R ou x = x_0 + R. EXEMPLO \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} Para x \neq 0: TRCA: \text{Lim}_{k \to +\infty} \text{constante} = \text{Lim}_{k \to +\infty} \frac{1 \times |x|}{k+1} =0<1 \Rightarrow \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \text{ converge } \forall x \in \mathbb{R}. \Rightarrow R_1 = \infty , IC = (-\infty, +\infty) EXEMPLO \sum_{k=0}^{\infty} k! x^k TRCA para x \neq 0: \text{centro} \Rightarrow R=0 , IC={0} Exemplo ∞ Σ ((-1)^k x^k) / (3^k (k + 1)) k=0 TRAC para x≠0: Lim ((-1)^k+1 x^k+1) / (3^k+1 (k+2)) = Lim (-x x/3 k/k+1) k→∞ k→∞ Lim |x| (k+1)/3(k+2) = |x| Lim k+1/3(k+2) = |x| Lim 1/3 = |x|/3 k→∞ Logo, |x|/3 < 1 ⇔ |x| < 3. Portanto Rs = 3 -x = -3: Σ ((-1)^k (-3)^k) / (3^k (k+1)) = Σ 1/k+1 = 1 + 1/2 + 1/3 + ... portanto diverge x = 3: Σ ((-1)^k 3^k) / (3^k (k+1)) = Σ ((-1)^k) / (k+1) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... portanto converge Portanto, IC = (-3, 3) Exemplo ∞ Σ ((2x - 3)^4k) / (16^k) k=0 SG com r = (2x-3)^4/16 logo conv. sss |(2x-3)^4/16| < 1 ... |x-x0| < R TRAC para x≠3/2: Lim ((2x-3)^4+1 / 16^k+1) = Lim (2x-3)^4 / 16^k (2x-3)^4 / 16k = Lim (2x-3)^4 / 16 = Lim |2x-3|^4 / 16 |2x-3|^4 / 16 < 1 ⇔ |2x-3|^4 < 16 ⇔ |2x-3| < 2 ⇔ 2|x-3/2| < 2 ⇔ |x-3/2| < 1 (centro r.) x = 1/2: Σ ((-2)^4k / 16^k) = Σ 16^k / 16^k = Σ 1 Diverge pelo TD Lim 1 ≠ 0 x→∞ .x = 5/2: Σ 2^4k / 16^k = Σ (2^4k/16^k) = Σ (1) Diverge IC = (1/2, 5/2) Exemplo ∞ Σ 23^k / (k (x - 3)^3k) k=1 TRAC para x≠3: Lim (23^k(x-3)^3/x-3)^3 = (x-3)^3 / x-3)^3 (23^k)/(23^3)(x-3)^3)^k (23^k)/(23^k+1) = |(x-3)^3| < 1 (<) |x-3)^3 < 1/8 |(x-3)/ 1/8 < 1/8 (<) |x-3|< 1/2 + . : (x-3)^3 < 1/8 (x-3)^3 < 1/8 ∴ |x-3|<1/2 portanto IC = (5/2, 7/2) x=5/2: Σ 1/k = Σ diverge . EXEMPLO Considere a série de potências Σk ck(x + 2)k e suponha que a série Σk(-1)k ck converge enquanto que a série Σk 2k ck diverge. Em cada item indique se a série “converge”, “diverge” ou é “inconclusivo”. (a) Σk 3k ck D (b) Σk ck I (c) Σk(-2)k ck I (d) Σk ck 2k x+2 = 1/2 :: x = -3/2 (e) Σk ((-1)k + 2k) ck Σ(-1)k ck C → Σ((1)k + 2k) ck D