Slide - Testes da Comparação e da Razão -2023-2

Testes da compara¸c˜ao e da raz˜ao Joana Mohr IME-UFRGS Joana Mohr (IME-UFRGS) 1 / 17 A expressao CO y UK = Uy + Ug+ UZ4.... FUR +... k=1 é chamada série infinita. Enquanto que n Sp = y UK = Uy +ueg+u3g+....+ Un k=1 é chamada n-ésima soma parcial da série. {Sn}°2, € uma sequéncia, que pode convergir (se lim s, = S) ou divergir. n->co ; hs oo a Dizemos que a série } °°, ux Converge se a sequéncia {s,} converge para um limite S. Caso contrdrio dizemos que a série diverge. Algumas séries importantes: CO fries: \. 1, di 0 <1 p-séries: S° Zp. Converge se p > 1, diverge se0 <p <1. k=1 <1 Série harmGnica: S° ko 1+ $ + 5 + ; t..+ t +... diverge. k=1 CO Série geométrica: S° ark =atartar+...4ark+... (240): k=0 converge se |r| < 1, diverge se |r| > 1. Teorema: Teste da comparacao bs b4 45 _ ie. b3 1 | | 4% Bet 4 y Sejam >> ax e >> by séries de termos nado negativos e suponha que ay S bi, ag <b, a3 < bs, +++ ag < by,... @ Se > by convergir entao >> ax, também convergird. @ Se >> a,x divergir entdo >> bg também divergird. Como usar o teste: Seja )> uz, uma série de termos nao negativos. Fa¢a uma conjectura sobre a convergéncia ou divergéncia desta série. Dai encontre outra série, Cujo Comportamento seja conhecido, para provar tal conjectura. | us Se a conjectura | 7 for que >> ux diverge, devemos |, encontrar uma série ) > a, divergente | a” cujos termos sejam menores ou a . a - iguais aos termos correspondentes de ux. SO b Por outro lado, se a conjectura | b 4 Uu for que >> ux Converge, devemos b, || > by, b 3 encontrar uma série ) > b, convergente “4 Te "4 7 13 u . . . 2 cujos termos sejam maiores ou mn 7m iguais aos termos correspondentes de Ux. Le wee 1 2 3 4 5 k Dois princ´ıpios informais nos ajudam a usar o teste da compara¸c˜ao. 1. Termos constantes no denominador de uk podem geralmente ser descartados sem afetar a convergˆencia ou divergˆencia da s´erie. 2. Se um polinˆomio em k aparecer no numerador ou denominador de uk ent˜ao todos os termos do polinˆomio exceto o termo dominante podem ser geralmente descartados, sem afetar a convergˆencia da s´erie. Joana Mohr (IME-UFRGS) 7 / 17 Exemplo. Analise 0 comportamento das seguintes séries: CO 1 a) aT 1 k=1 Vk — 3 provavelmente tem o mesmo comportamento que Ys k=1 Vk De fato, note que 1 1 ——.— > —, k=1,2,... Vk _ 5 Vk’ ’ ’ co E dado que Ss" — é uma p-série (p = 1/2) divergente, concluimos k=1 “1 pelo teste de comparacao que S° Vea diverge. k=1 3 ~ 1 b a )d Ak? + 5k? +2 provavelmente tem o mesmo comportamento da série Ses 4Ak3 4 4 3 k=1 k=1 que converge (p-série com p > 1). De fato, note que 1 1 —.—5—~ < —5, k=1,2,... Ak3 + 5k? +2 ~ 4k3 logo concluimos, pelo teste da comparacao, que ES 3 2 it Ak? + 5k*+2 converge. Teorema: Teste da comparacao no limite Sejam >> ax, e >> by duas séries de termos positivos e defina lim ak = I — p k—0o bx Se 0 < p < o& entdo ambas as séries convergem ou ambas divergem. Exemplo. Determine se convergem ou divergem. CO 1 2) Eas k fo Kt 5 1 1 Escolhendo a, = ; € bk = Kas: Temos que _ ¢ — 1 k+5 kK +5 p= lim in lim kl lim > =h k- oo kis k- 00 k-oo Logo ambas divergem, dado que }°;°, ax diverge. “il b se ) Hea k=1 __1 _ 1 ‘ Escolha ay = qa—q © by = Gaz, assim a 1 Ak? Ak? p= lim AK =k fim —— . = lim ——— = 1 k- oo a k-s00 4k2 — k 1 k-s00 4k2 — k ‘ Logo ambas convergem, dado que )-7<, bx converge. 3 2k° + 3k? —2 . k©— 247 | k=1 Escolhendo a, = 232 e b= 2h = 2. Aplicando o teste da comparac¢ao no limite obtemos _ 2k°4+3k?-2 k _ 2k® + 3k3 — 2k k300 k®o— k#+7 2 k—00 2k® — 2k* +14 Logo ambas divergem, dado que )~?-_, by diverge. O prdoximo teste nado requer uma conjectura inicial sobre convergéncia e nem a descoberta de uma série de comparac¢ao. Teste da razao Seja >> ux uma série de termos positivos, defina . Uk+1 p= lim kth k-roo Uk @ Se p < 1 entdo a série converge. e Sep>1ou p=o entao a série diverge. e@ Se p = 1 0 teste é inconclusivo. Exemplo. Determine se convergem ou divergem CO 1 2) EGS <I k+5 Temos p = limg +00 “nt = liMk_+00 EE . kis = liMk-s00 we = 1. Logo o teste é inconclusivo (diverge pelo teste da compara¢ao no limite). CO 3k b) ea k=1 Temos . 3k+ 3) k! 3k + 3)k! p= lim Uk+L fing (3k +3) KI _ lim (3k + 3)kE k>0o =U k— 00 (k + 1)! 3k k— 00 (k + 1)k!3k 3k+3 1 = lim — ,—— = lim —=0<1 kvo0 3K2 43k k-v00 k Logo, a série converge pelo teste da razao. — k c) Dek k=1 Temos _ Ukyt — k+1 5% 1 k+l 1 = lim —= = lim ——.— = = lim —— == <1. pe Uk kre BRL kB Kook 5 Logo, a série converge pelo teste da razao. CO (k)! d) ak k=1 Temos _ Unt. (K+1)! 3% (kK +1) pe Uk kapoo 3(k+1) sk! ke 3 °° Logo, a série diverge pelo teste da razao. e) > Vk 3 a ke +1 Temos im UktL fin Vk+1 ke+1 = l —_ = I = Ooo OOO p k>0o «=U k00 k3 + 3k2 +3k+2 Vk . k+1 ke +1 = lim ,/ —— - ~——.~———. 1, k—+00 k — -k3. + 3k? + 3k +2 portanto o teste da razdo é inconclusivo. Usando o principio informal segundo o qual constantes no denominador podem ser descartadas, podemos aplicar o teste da comparacao no limite com a série S° <n Ss" Pepe que converge (p-série, com p > 1). k=1 k=1 Seja a, = vk, by = AS. temos que i ak i Vk k+1 1 = lim — = lim —~ -——= p k— 00 by kc0 k3 Vk , portanto pelo teste da comparacao no limite ambas as séries convergem.