Slide - Coordenadas Esféricas - 2023-2

Coordenadas Esf´ericas Leonardo Prange Bonorino Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Matem´atica Pura e Aplicada - IME (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 1 Defini¸c˜ao Defini¸c˜ao de Coordenadas Esf´ericas No sistema de Coordenadas Esf´ericas, a posi¸c˜ao de um ponto P no espa¸co ´e descrita pelos 3 parˆametros: x y z O P φ Q θ ρ • ρ ´e a distˆancia entre P e a origem O; ρ ≥ 0 • θ ´e o ˆangulo entre o segmento OQ e o semi-eixo positivo x (Q ´e a proje¸c˜ao ortogonal de P sobre o plano xy); 0 ≤ θ < 2π • φ ´e o ˆangulo entre o segmento OP e o semi-eixo positivo z; 0 ≤ φ ≤ π (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 2 Defini¸c˜ao Defini¸c˜ao de Coordenadas Esf´ericas No sistema de Coordenadas Esf´ericas, a posi¸c˜ao de um ponto P no espa¸co ´e descrita pelos 3 parˆametros: x y z O P ρ φ Q θ ρ • ρ ´e a distˆancia entre P e a origem O; ρ ≥ 0 • θ ´e o ˆangulo entre o segmento OQ e o semi-eixo positivo x (Q ´e a proje¸c˜ao ortogonal de P sobre o plano xy); 0 ≤ θ < 2π • φ ´e o ˆangulo entre o segmento OP e o semi-eixo positivo z; 0 ≤ φ ≤ π (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 2 Defini¸c˜ao Defini¸c˜ao de Coordenadas Esf´ericas No sistema de Coordenadas Esf´ericas, a posi¸c˜ao de um ponto P no espa¸co ´e descrita pelos 3 parˆametros: x y z O P φ Q θ ρ • ρ ´e a distˆancia entre P e a origem O; ρ ≥ 0 • θ ´e o ˆangulo entre o segmento OQ e o semi-eixo positivo x (Q ´e a proje¸c˜ao ortogonal de P sobre o plano xy); 0 ≤ θ < 2π • φ ´e o ˆangulo entre o segmento OP e o semi-eixo positivo z; 0 ≤ φ ≤ π (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 2 Defini¸c˜ao Defini¸c˜ao de Coordenadas Esf´ericas No sistema de Coordenadas Esf´ericas, a posi¸c˜ao de um ponto P no espa¸co ´e descrita pelos 3 parˆametros: x y z O P φ Q θ ρ • ρ ´e a distˆancia entre P e a origem O; ρ ≥ 0 • θ ´e o ˆangulo entre o segmento OQ e o semi-eixo positivo x (Q ´e a proje¸c˜ao ortogonal de P sobre o plano xy); 0 ≤ θ < 2π • φ ´e o ˆangulo entre o segmento OP e o semi-eixo positivo z; 0 ≤ φ ≤ π (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 2 Defini¸c˜ao Observa¸c˜oes • Os parˆametros ρ, θ e φ associadas ao ponto P s˜ao chamados de coordenadas esf´ericas de P. • Podemos denotar P por P = (ρ, θ, φ) ou P(ρ, θ, φ). • Veremos como localizar um ponto no espa¸co, conhecendo-se as suas coordenadas esf´ericas. • Diversas superf´ıcies e regi˜oes do espa¸co s˜ao descritas de forma mais simples usando o sistema de coordenadas esf´ericas. Vejamos alguns exemplos. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 3 Defini¸c˜ao Observa¸c˜oes • Os parˆametros ρ, θ e φ associadas ao ponto P s˜ao chamados de coordenadas esf´ericas de P. • Podemos denotar P por P = (ρ, θ, φ) ou P(ρ, θ, φ). • Veremos como localizar um ponto no espa¸co, conhecendo-se as suas coordenadas esf´ericas. • Diversas superf´ıcies e regi˜oes do espa¸co s˜ao descritas de forma mais simples usando o sistema de coordenadas esf´ericas. Vejamos alguns exemplos. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 3 Defini¸c˜ao Observa¸c˜oes • Os parˆametros ρ, θ e φ associadas ao ponto P s˜ao chamados de coordenadas esf´ericas de P. • Podemos denotar P por P = (ρ, θ, φ) ou P(ρ, θ, φ). • Veremos como localizar um ponto no espa¸co, conhecendo-se as suas coordenadas esf´ericas. • Diversas superf´ıcies e regi˜oes do espa¸co s˜ao descritas de forma mais simples usando o sistema de coordenadas esf´ericas. Vejamos alguns exemplos. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 3 Exemplos Exemplo 1: Esferas centradas na origem (ρ = R) • Seja S a esfera de raio R, centrada na origem. Um ponto P est´a na esfera S se, e somente se, a sua distˆancia at´e a origem ´e R. Logo ρ = R ´e a equa¸c˜ao da esfera S em coordenadas esf´ericas. Se a coordenada ρ de um ponto Q ´e maior que R, isto ´e ρ > R, ent˜ao Q est´a fora da bola de raio R. Se ρ < R, ent˜ao ele est´a dentro da bola de raio R. Ent˜ao ρ < R descreve a regi˜ao interna limitada por S, ou seja, a bola (aberta) de raio R centrada na origem. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 4 Exemplos Exemplo 1: Esferas centradas na origem (ρ = R) • Seja S a esfera de raio R, centrada na origem. Um ponto P est´a na esfera S se, e somente se, a sua distˆancia at´e a origem ´e R. Logo ρ = R ´e a equa¸c˜ao da esfera S em coordenadas esf´ericas. Se a coordenada ρ de um ponto Q ´e maior que R, isto ´e ρ > R, ent˜ao Q est´a fora da bola de raio R. Se ρ < R, ent˜ao ele est´a dentro da bola de raio R. Ent˜ao ρ < R descreve a regi˜ao interna limitada por S, ou seja, a bola (aberta) de raio R centrada na origem. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 4 Exemplos Exemplo 1: Esferas centradas na origem (ρ = R) • Seja S a esfera de raio R, centrada na origem. Um ponto P est´a na esfera S se, e somente se, a sua distˆancia at´e a origem ´e R. Logo ρ = R ´e a equa¸c˜ao da esfera S em coordenadas esf´ericas. Se a coordenada ρ de um ponto Q ´e maior que R, isto ´e ρ > R, ent˜ao Q est´a fora da bola de raio R. Se ρ < R, ent˜ao ele est´a dentro da bola de raio R. Ent˜ao ρ < R descreve a regi˜ao interna limitada por S, ou seja, a bola (aberta) de raio R centrada na origem. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 4 Exemplos Exemplo 1: Esferas centradas na origem (ρ = R) • Seja S a esfera de raio R, centrada na origem. Um ponto P est´a na esfera S se, e somente se, a sua distˆancia at´e a origem ´e R. Logo ρ = R ´e a equa¸c˜ao da esfera S em coordenadas esf´ericas. Se a coordenada ρ de um ponto Q ´e maior que R, isto ´e ρ > R, ent˜ao Q est´a fora da bola de raio R. Se ρ < R, ent˜ao ele est´a dentro da bola de raio R. Ent˜ao ρ < R descreve a regi˜ao interna limitada por S, ou seja, a bola (aberta) de raio R centrada na origem. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 4 Exemplos Exemplo 1: Esferas centradas na origem (ρ = R) • Seja S a esfera de raio R, centrada na origem. Um ponto P est´a na esfera S se, e somente se, a sua distˆancia at´e a origem ´e R. Logo ρ = R ´e a equa¸c˜ao da esfera S em coordenadas esf´ericas. Se a coordenada ρ de um ponto Q ´e maior que R, isto ´e ρ > R, ent˜ao Q est´a fora da bola de raio R. Se ρ < R, ent˜ao ele est´a dentro da bola de raio R. Ent˜ao ρ < R descreve a regi˜ao interna limitada por S, ou seja, a bola (aberta) de raio R centrada na origem. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 4 Exemplos Exemplo 2: Semi-plano com bordo no eixo z (θ = θ0) • Seja H o semi-plano com bordo no eixo z, que forma um ˆangulo θ0 com o semi-eixo positivo x. Um ponto P est´a em H se, e somente se, a coorde- nada θ dele vale θ0. Logo θ = θ0 ´e a equa¸c˜ao deste semi-plano H. O parˆametro θ ´e o mesmo que o das coordena- das cil´ındricas e o das polares. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 5 Exemplos Exemplo 2: Semi-plano com bordo no eixo z (θ = θ0) • Seja H o semi-plano com bordo no eixo z, que forma um ˆangulo θ0 com o semi-eixo positivo x. Um ponto P est´a em H se, e somente se, a coorde- nada θ dele vale θ0. Logo θ = θ0 ´e a equa¸c˜ao deste semi-plano H. O parˆametro θ ´e o mesmo que o das coordena- das cil´ındricas e o das polares. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 5 Exemplos Exemplo 2: Semi-plano com bordo no eixo z (θ = θ0) • Seja H o semi-plano com bordo no eixo z, que forma um ˆangulo θ0 com o semi-eixo positivo x. Um ponto P est´a em H se, e somente se, a coorde- nada θ dele vale θ0. Logo θ = θ0 ´e a equa¸c˜ao deste semi-plano H. O parˆametro θ ´e o mesmo que o das coordena- das cil´ındricas e o das polares. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 5 Exemplos Exemplo 2: Semi-plano com bordo no eixo z (θ = θ0) • Seja H o semi-plano com bordo no eixo z, que forma um ˆangulo θ0 com o semi-eixo positivo x. Um ponto P est´a em H se, e somente se, a coorde- nada θ dele vale θ0. Logo θ = θ0 ´e a equa¸c˜ao deste semi-plano H. O parˆametro θ ´e o mesmo que o das coordena- das cil´ındricas e o das polares. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 5 Exemplos Exemplo 3: Cone vertical com v´ertice na origem (φ = φ0) • Seja C o cone de revolu¸c˜ao com v´ertice na origem, que tem o semi-eixo positivo z como eixo de rota¸c˜ao e cuja abertura ´e o ˆangulo φ0. Um ponto P est´a em C se, e somente se, a coordenada φ dele vale φ0. Assim, φ = φ0 ´e a equa¸c˜ao deste cone C. Se a coordenada φ de um ponto Q vale φ1 e φ1 < φ0, ent˜ao Q est´a acima do cone. Caso φ1 > φ0, ent˜ao ele est´a abaixo de C. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 6 Exemplos Exemplo 3: Cone vertical com v´ertice na origem (φ = φ0) • Seja C o cone de revolu¸c˜ao com v´ertice na origem, que tem o semi-eixo positivo z como eixo de rota¸c˜ao e cuja abertura ´e o ˆangulo φ0. Um ponto P est´a em C se, e somente se, a coordenada φ dele vale φ0. Assim, φ = φ0 ´e a equa¸c˜ao deste cone C. Se a coordenada φ de um ponto Q vale φ1 e φ1 < φ0, ent˜ao Q est´a acima do cone. Caso φ1 > φ0, ent˜ao ele est´a abaixo de C. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 6 Exemplos Exemplo 3: Cone vertical com v´ertice na origem (φ = φ0) • Seja C o cone de revolu¸c˜ao com v´ertice na origem, que tem o semi-eixo positivo z como eixo de rota¸c˜ao e cuja abertura ´e o ˆangulo φ0. Um ponto P est´a em C se, e somente se, a coordenada φ dele vale φ0. Assim, φ = φ0 ´e a equa¸c˜ao deste cone C. Se a coordenada φ de um ponto Q vale φ1 e φ1 < φ0, ent˜ao Q est´a acima do cone. Caso φ1 > φ0, ent˜ao ele est´a abaixo de C. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 6 Exemplos Exemplo 3: Cone vertical com v´ertice na origem (φ = φ0) • Seja C o cone de revolu¸c˜ao com v´ertice na origem, que tem o semi-eixo positivo z como eixo de rota¸c˜ao e cuja abertura ´e o ˆangulo φ0. Um ponto P est´a em C se, e somente se, a coordenada φ dele vale φ0. Assim, φ = φ0 ´e a equa¸c˜ao deste cone C. Se a coordenada φ de um ponto Q vale φ1 e φ1 < φ0, ent˜ao Q est´a acima do cone. Caso φ1 > φ0, ent˜ao ele est´a abaixo de C. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 6 Casos singulares Casos singulares de “Esferas”e “Cones” • A equa¸c˜ao ρ = 0 representa a origem, pois ela ´e o ´unico ponto que est´a a uma distˆancia zero dela mesma. • A equa¸c˜ao φ = 0 ´e o “cone”de abertura 0, que ´e o semi-eixo positivo z com a origem. • A equa¸c˜ao φ = π/2 corresponde ao “cone”de abertura π/2, que ´e que o plano xy. • O caso φ = φ0, onde π/2 < φ0 < π, corresponde a um cone virado para baixo. • A equa¸c˜ao φ = π corresponde ao semi-eixo negativo z com a origem. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 7 Casos singulares Casos singulares de “Esferas”e “Cones” • A equa¸c˜ao ρ = 0 representa a origem, pois ela ´e o ´unico ponto que est´a a uma distˆancia zero dela mesma. • A equa¸c˜ao φ = 0 ´e o “cone”de abertura 0, que ´e o semi-eixo positivo z com a origem. • A equa¸c˜ao φ = π/2 corresponde ao “cone”de abertura π/2, que ´e que o plano xy. • O caso φ = φ0, onde π/2 < φ0 < π, corresponde a um cone virado para baixo. • A equa¸c˜ao φ = π corresponde ao semi-eixo negativo z com a origem. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 7 Casos singulares Casos singulares de “Esferas”e “Cones” • A equa¸c˜ao ρ = 0 representa a origem, pois ela ´e o ´unico ponto que est´a a uma distˆancia zero dela mesma. • A equa¸c˜ao φ = 0 ´e o “cone”de abertura 0, que ´e o semi-eixo positivo z com a origem. • A equa¸c˜ao φ = π/2 corresponde ao “cone”de abertura π/2, que ´e que o plano xy. • O caso φ = φ0, onde π/2 < φ0 < π, corresponde a um cone virado para baixo. • A equa¸c˜ao φ = π corresponde ao semi-eixo negativo z com a origem. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 7 Casos singulares Casos singulares de “Esferas”e “Cones” • A equa¸c˜ao ρ = 0 representa a origem, pois ela ´e o ´unico ponto que est´a a uma distˆancia zero dela mesma. • A equa¸c˜ao φ = 0 ´e o “cone”de abertura 0, que ´e o semi-eixo positivo z com a origem. • A equa¸c˜ao φ = π/2 corresponde ao “cone”de abertura π/2, que ´e que o plano xy. • O caso φ = φ0, onde π/2 < φ0 < π, corresponde a um cone virado para baixo. • A equa¸c˜ao φ = π corresponde ao semi-eixo negativo z com a origem. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 7 Casos singulares Casos singulares de “Esferas”e “Cones” • A equa¸c˜ao ρ = 0 representa a origem, pois ela ´e o ´unico ponto que est´a a uma distˆancia zero dela mesma. • A equa¸c˜ao φ = 0 ´e o “cone”de abertura 0, que ´e o semi-eixo positivo z com a origem. • A equa¸c˜ao φ = π/2 corresponde ao “cone”de abertura π/2, que ´e que o plano xy. • O caso φ = φ0, onde π/2 < φ0 < π, corresponde a um cone virado para baixo. • A equa¸c˜ao φ = π corresponde ao semi-eixo negativo z com a origem. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 7 Localiza¸c˜ao de um ponto Localiza¸c˜ao de um ponto via coordenadas esf´ericas Considere o ponto P = (ρ0, θ0, φ0). Como j´a observamos, P est´a no cone de abertura φ0, mostrado na figura ao lado, j´a que tem coordenada φ = φ0. Tamb´em est´a na esfera de raio ρ0. Logo est´a no circulo preto indicado na figura, que ´e a intersec¸c˜ao entre o cone e a esfera. Al´em disso, est´a no semi-plano θ = θ0 e, portanto, ´e a inter- sec¸c˜ao entre o semi-plano e o c´ırculo preto, como mostrado na figura. Logo, uma forma de localizar um ponto P, a partir das suas coordenadas esf´ericas, ´e achar a intersec¸c˜ao entre estas 3 su- perf´ıcies: φ = φ0 (cone), ρ = ρ0 (esfera) e θ = θ0 (semi-plano). (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 8 Localiza¸c˜ao de um ponto Localiza¸c˜ao de um ponto via coordenadas esf´ericas Considere o ponto P = (ρ0, θ0, φ0). Como j´a observamos, P est´a no cone de abertura φ0, mostrado na figura ao lado, j´a que tem coordenada φ = φ0. Tamb´em est´a na esfera de raio ρ0. Logo est´a no circulo preto indicado na figura, que ´e a intersec¸c˜ao entre o cone e a esfera. Al´em disso, est´a no semi-plano θ = θ0 e, portanto, ´e a inter- sec¸c˜ao entre o semi-plano e o c´ırculo preto, como mostrado na figura. Logo, uma forma de localizar um ponto P, a partir das suas coordenadas esf´ericas, ´e achar a intersec¸c˜ao entre estas 3 su- perf´ıcies: φ = φ0 (cone), ρ = ρ0 (esfera) e θ = θ0 (semi-plano). (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 8 Localiza¸c˜ao de um ponto Localiza¸c˜ao de um ponto via coordenadas esf´ericas Considere o ponto P = (ρ0, θ0, φ0). Como j´a observamos, P est´a no cone de abertura φ0, mostrado na figura ao lado, j´a que tem coordenada φ = φ0. Tamb´em est´a na esfera de raio ρ0. Logo est´a no circulo preto indicado na figura, que ´e a intersec¸c˜ao entre o cone e a esfera. Al´em disso, est´a no semi-plano θ = θ0 e, portanto, ´e a inter- sec¸c˜ao entre o semi-plano e o c´ırculo preto, como mostrado na figura. Logo, uma forma de localizar um ponto P, a partir das suas coordenadas esf´ericas, ´e achar a intersec¸c˜ao entre estas 3 su- perf´ıcies: φ = φ0 (cone), ρ = ρ0 (esfera) e θ = θ0 (semi-plano). (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 8 Localiza¸c˜ao de um ponto Localiza¸c˜ao de um ponto via coordenadas esf´ericas Considere o ponto P = (ρ0, θ0, φ0). Como j´a observamos, P est´a no cone de abertura φ0, mostrado na figura ao lado, j´a que tem coordenada φ = φ0. Tamb´em est´a na esfera de raio ρ0. Logo est´a no circulo preto indicado na figura, que ´e a intersec¸c˜ao entre o cone e a esfera. Al´em disso, est´a no semi-plano θ = θ0 e, portanto, ´e a inter- sec¸c˜ao entre o semi-plano e o c´ırculo preto, como mostrado na figura. Logo, uma forma de localizar um ponto P, a partir das suas coordenadas esf´ericas, ´e achar a intersec¸c˜ao entre estas 3 su- perf´ıcies: φ = φ0 (cone), ρ = ρ0 (esfera) e θ = θ0 (semi-plano). (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 8 Localiza¸c˜ao de um ponto Localiza¸c˜ao de um ponto via coordenadas esf´ericas Considere o ponto P = (ρ0, θ0, φ0). Como j´a observamos, P est´a no cone de abertura φ0, mostrado na figura ao lado, j´a que tem coordenada φ = φ0. Tamb´em est´a na esfera de raio ρ0. Logo est´a no circulo preto indicado na figura, que ´e a intersec¸c˜ao entre o cone e a esfera. Al´em disso, est´a no semi-plano θ = θ0 e, portanto, ´e a inter- sec¸c˜ao entre o semi-plano e o c´ırculo preto, como mostrado na figura. Logo, uma forma de localizar um ponto P, a partir das suas coordenadas esf´ericas, ´e achar a intersec¸c˜ao entre estas 3 su- perf´ıcies: φ = φ0 (cone), ρ = ρ0 (esfera) e θ = θ0 (semi-plano). (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 8 Exemplos de regi˜oes em coordenadas esf´ericas Algumas regi˜oes descritas em coordenadas esf´ericas Bola fechada centrada em O de raio R1. 0 ≤ ρ ≤ R1 0 ≤ θ < 2π 0 ≤ φ ≤ π Regi˜ao limitada entre 2 esferas centradas em O, de raios R1 e R2. R1 ≤ ρ ≤ R2 0 ≤ θ < 2π 0 ≤ φ ≤ π Regi˜ao limitada acima pela esfera ρ = R1, e abaixo pelo cone φ = φ1. 0 ≤ ρ ≤ R1 0 ≤ θ < 2π 0 ≤ φ ≤ φ1 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 9 Exemplos de regi˜oes em coordenadas esf´ericas Algumas regi˜oes descritas em coordenadas esf´ericas Bola fechada centrada em O de raio R1. 0 ≤ ρ ≤ R1 0 ≤ θ < 2π 0 ≤ φ ≤ π Regi˜ao limitada entre 2 esferas centradas em O, de raios R1 e R2. R1 ≤ ρ ≤ R2 0 ≤ θ < 2π 0 ≤ φ ≤ π Regi˜ao limitada acima pela esfera ρ = R1, e abaixo pelo cone φ = φ1. 0 ≤ ρ ≤ R1 0 ≤ θ < 2π 0 ≤ φ ≤ φ1 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 9 Exemplos de regi˜oes em coordenadas esf´ericas Algumas regi˜oes descritas em coordenadas esf´ericas Bola fechada centrada em O de raio R1. 0 ≤ ρ ≤ R1 0 ≤ θ < 2π 0 ≤ φ ≤ π Regi˜ao limitada entre 2 esferas centradas em O, de raios R1 e R2. R1 ≤ ρ ≤ R2 0 ≤ θ < 2π 0 ≤ φ ≤ π Regi˜ao limitada acima pela esfera ρ = R1, e abaixo pelo cone φ = φ1. 0 ≤ ρ ≤ R1 0 ≤ θ < 2π 0 ≤ φ ≤ φ1 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 9 Exemplos de regi˜oes em coordenadas esf´ericas Algumas regi˜oes descritas em coordenadas esf´ericas - continua¸c˜ao Regi˜ao limitada pela esfera ρ = R1 e pelos cones φ = φ1 e φ = φ2. 0 ≤ ρ ≤ R1 0 ≤ θ < 2π φ1 ≤ φ ≤ φ2 Regi˜ao limitada pelas esferas ρ = R1 e ρ = R2 e pelo cone φ = φ1. R1 ≤ ρ ≤ R2 0 ≤ θ < 2π 0 ≤ φ ≤ φ1 Parte da bola ρ ≤ R1 que est´a no primeiro octante. 0 < ρ ≤ R1 0 < θ < π/2 0 < φ < π/2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 10 Exemplos de regi˜oes em coordenadas esf´ericas Algumas regi˜oes descritas em coordenadas esf´ericas - continua¸c˜ao Regi˜ao limitada pela esfera ρ = R1 e pelos cones φ = φ1 e φ = φ2. 0 ≤ ρ ≤ R1 0 ≤ θ < 2π φ1 ≤ φ ≤ φ2 Regi˜ao limitada pelas esferas ρ = R1 e ρ = R2 e pelo cone φ = φ1. R1 ≤ ρ ≤ R2 0 ≤ θ < 2π 0 ≤ φ ≤ φ1 Parte da bola ρ ≤ R1 que est´a no primeiro octante. 0 < ρ ≤ R1 0 < θ < π/2 0 < φ < π/2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 10 Exemplos de regi˜oes em coordenadas esf´ericas Algumas regi˜oes descritas em coordenadas esf´ericas - continua¸c˜ao Regi˜ao limitada pela esfera ρ = R1 e pelos cones φ = φ1 e φ = φ2. 0 ≤ ρ ≤ R1 0 ≤ θ < 2π φ1 ≤ φ ≤ φ2 Regi˜ao limitada pelas esferas ρ = R1 e ρ = R2 e pelo cone φ = φ1. R1 ≤ ρ ≤ R2 0 ≤ θ < 2π 0 ≤ φ ≤ φ1 Parte da bola ρ ≤ R1 que est´a no primeiro octante. 0 < ρ ≤ R1 0 < θ < π/2 0 < φ < π/2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 10 Rela¸c˜oes entre as coordenadas Rela¸c˜ao entre coordenadas esf´ericas e cil´ındricas Seja P um ponto do espa¸co. Em coordenadas esf´ericas, P = (ρ, θ, φ). Em coordenadas cil´ındricas, P = (r, θ, z). x y z P φ θ ρ z r r r z ρ φ cos(φ) = cat. adj. hipot. = z ρ ∴ z = ρ cos(φ) sen(φ) = cat. op. hipot. = r ρ ∴ r = ρ sen(φ) Por outro lado, tg(φ) = cat. op. cat. adj. = r z ∴ tg(φ) = r z Pit´agoras ⇒ ρ = √ r 2 + z2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 11 Rela¸c˜oes entre as coordenadas Rela¸c˜ao entre coordenadas esf´ericas e cil´ındricas Seja P um ponto do espa¸co. Em coordenadas esf´ericas, P = (ρ, θ, φ). Em coordenadas cil´ındricas, P = (r, θ, z). x y z P φ θ ρ z r r r z ρ φ cos(φ) = cat. adj. hipot. = z ρ ∴ z = ρ cos(φ) sen(φ) = cat. op. hipot. = r ρ ∴ r = ρ sen(φ) Por outro lado, tg(φ) = cat. op. cat. adj. = r z ∴ tg(φ) = r z Pit´agoras ⇒ ρ = √ r 2 + z2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 11 Rela¸c˜oes entre as coordenadas Rela¸c˜ao entre coordenadas esf´ericas e cil´ındricas Seja P um ponto do espa¸co. Em coordenadas esf´ericas, P = (ρ, θ, φ). Em coordenadas cil´ındricas, P = (r, θ, z). x y z P φ θ ρ z r r r z ρ φ cos(φ) = cat. adj. hipot. = z ρ ∴ z = ρ cos(φ) sen(φ) = cat. op. hipot. = r ρ ∴ r = ρ sen(φ) Por outro lado, tg(φ) = cat. op. cat. adj. = r z ∴ tg(φ) = r z Pit´agoras ⇒ ρ = √ r 2 + z2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 11 Rela¸c˜oes entre as coordenadas Rela¸c˜ao entre coordenadas esf´ericas e cil´ındricas Seja P um ponto do espa¸co. Em coordenadas esf´ericas, P = (ρ, θ, φ). Em coordenadas cil´ındricas, P = (r, θ, z). x y z P φ θ ρ z r r r z ρ φ cos(φ) = cat. adj. hipot. = z ρ ∴ z = ρ cos(φ) sen(φ) = cat. op. hipot. = r ρ ∴ r = ρ sen(φ) Por outro lado, tg(φ) = cat. op. cat. adj. = r z ∴ tg(φ) = r z Pit´agoras ⇒ ρ = √ r 2 + z2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 11 Rela¸c˜oes entre as coordenadas Rela¸c˜ao entre coordenadas esf´ericas e cil´ındricas Seja P um ponto do espa¸co. Em coordenadas esf´ericas, P = (ρ, θ, φ). Em coordenadas cil´ındricas, P = (r, θ, z). x y z P φ θ ρ z r r r z ρ φ cos(φ) = cat. adj. hipot. = z ρ ∴ z = ρ cos(φ) sen(φ) = cat. op. hipot. = r ρ ∴ r = ρ sen(φ) Por outro lado, tg(φ) = cat. op. cat. adj. = r z ∴ tg(φ) = r z Pit´agoras ⇒ ρ = √ r 2 + z2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 11 Relacao entre coordenadas esféricas e cartesianas e Esféricas + Cartesianas a a = = =z DNAS Coordenadas Esféricas 12 | Relacao entre coordenadas esféricas e cartesianas e Esféricas + Cartesianas Do sistema de coordenadas cilfndricas, x =rcos(@), y=rsen(@) e z=z. a a = = =z DNAS Coordenadas Esféricas 12 a Relacao entre coordenadas esféricas e cartesianas e Esféricas —> Cartesianas Do sistema de coordenadas cilindricas, x =rcos(@), y=rsen(@) e z=z. Mostramos no slide anterior que r=psen(d) e | z = pcos() | oy «gi = = = Hac Coordenadas Esféricas 12 ee Relacao entre coordenadas esféricas e cartesianas e Esféricas —> Cartesianas Do sistema de coordenadas cilindricas, x =rcos(@), y=rsen(@) e z=z. Mostramos no slide anterior que r=psen(d) e | z = pcos() | Entao x = rcos(@) = (psen(¢)) cos(A) y = rsen(@) = (psen(¢)) sen(@) o> «a => «Er B Nae Coordenadas Esféricas 12 SCS Relacao entre coordenadas esféricas e cartesianas e Esféricas —> Cartesianas e Cartesianas — Esféricas Do sistema de coordenadas cilindricas, x =rcos(@), y=rsen(@) e z=z. Mostramos no slide anterior que r=psen(d) e | z = pcos() | Entao x = rcos(@) = (psen(¢)) cos(A) y = rsen(@) = (psen(¢)) sen(@) o> «a => «=> BE Nae Coordenadas Esféricas 2 SCS Relacao entre coordenadas esféricas e cartesianas e Esféricas —> Cartesianas e Cartesianas — Esféricas Do sistema de coordenadas cilindricas, Do sistema de coordenadas cilindricas, x =rcos(@), y=rsen(0) e z=Zz. r= (e+ y?, e z=zZ. Mostramos no slide anterior que r=psen(d) e | z = pcos(¢) | Entao x = rcos(@) = (psen(¢)) cos(A) y = rsen(@) = (psen(¢)) sen(@) o> «a => «=> BE Nae Coordenadas Esféricas L Relacao entre coordenadas esféricas e cartesianas e Esféricas + Cartesianas e Cartesianas — Esféricas Do sistema de coordenadas cilindricas, Do sistema de coordenadas cilindricas, x= reos(@), y= rsen() © 2=2. r= Vere, [te(0)=2] @ zH2. Mostramos no slide anterior que Mostramos antes que r=psen(d) e |z=pcos(¢) |. r p=vVr+z? e tg(o)=-. Entao Z x = rcos(@) = (psen(¢)) cos(A) “. |x = psen(¢@) cos(0) y = rsen(@) = (psen(¢)) sen(@) .. |y = psen(¢) sen(6) oy «4 = z = ac Coordenadas Esféricas 6 Relacao entre coordenadas esféricas e cartesianas e Esféricas + Cartesianas e Cartesianas — Esféricas Do sistema de coordenadas cilindricas, Do sistema de coordenadas cilindricas, x =rcos(@), y=rsen(0) e z=Zz. r= (ery, tg(0) = ~ e z=z. Mostramos no slide anterior que Mostramos antes que r=psen(d) e |z=pcos(¢) |. r p=vVr+z? e tg(o)=-. Entao Z L x = rcos(@) = (psen(¢)) cos(A) ose pH=VP4+2= /(x? + y?) + z? “. |x = psen(¢@) cos(0) y = rsen(@) = (psen(¢)) sen(@) p tyt “. |y = psen(¢) sen(6) r heey zp ye tg(¢) = = = ~——___..._ | tg(¢) = ——— z z z oy «4 = z = ac Comrdensdae EXGiGSE 1B Resumo das relacoes entre os sistemas de coordenadas Esféricas — Cilindricas Esféricas —> Cartesianas r = psen(¢) x = psen(¢)cos(A) ¢6= 6 y = psen(¢) sen(6) z = pcos(d) z = pcos(d) Cilindricas > Esféricas Cartesianas — Esféricas p= / x2 + y? + z2 pos vere te(0 y 6 = 0 8) = x * r 2 2 tag) = 5 “te(d) = Very Zz * Também podemos calcular ¢ usando a relacdo z = pcos(¢): cos(¢) = 2 7? , p VPP V/xepyr +72 o> «8 => <B> EB HA0 CSREES 7 Exercicio 1 - Mudanca de coordenadas de um ponto Considere os pontos do espago, em coordenadas cartesianas, A = (1,2,0) e B = (-1,-1, V2). Ache as coordenadas esféricas destes pontos. o> «a = = = ac Coordenadas Esféricas 14 Exercicio 1 - Mudanca de coordenadas de um ponto Considere os pontos do espago, em coordenadas cartesianas, A = (1,2,0) e B = (-1,-1, V2). Ache as coordenadas esféricas destes pontos. Solugao: ep=Vetyt+2a=VPF24RP=V5 = o> «4 = = = Nac Coordenadas Esféricas 14 Exercicio 1 - Mudanca de coordenadas de um ponto Considere os pontos do espago, em coordenadas cartesianas, A = (1,2,0) e B = (-1,—1, V2). Ache as coordenadas esféricas destes pontos. Solugdo: ep=-Vretyr4+2=VP4F240=V5 = y 2 SS ere Eee 2 ete) == 4 Como (1,2) esta no 1° quadrante, 0 = arctg(2) = 1.107rad * 63, 43° ..| 6 = 1.107rad o a = = =z DNAS Coordenadas Esféricas 14 Exercicio 1 - Mudanca de coordenadas de um ponto Considere os pontos do espaco, em coordenadas cartesianas, A = (1,2,0) e B = (-1,—1, V2). Ache as coordenadas esféricas destes pontos. Solucao: ep=Vety4+2e=VP4FV4R=V5 = y 2 tg(0) =—-==-=2 ete) = 7 Como (1,2) esta no 1° quadrante, 6 = arctg(2) = 1.107rad = 63, 43° ..| 8 © 1.107rad /2 4 v2 /T2 4.32 e tg(¢) = vate = eS =?? Interpretando tg(¢) = “+ co”, temos ¢ = 7/2. Ou podemos usar cos(¢) = a 0 = Vrety tz? Vvie+22 +0? Logo, em coordenadas esféricas, i ~ (v5. 1.107, 5): Exercicio 1 - continua¢ao Solucdo: | Ponto B = (—1, —1, V2) ep= Very re = y/(-1P+(-1P + (v2P = V4 = o> «a = = = ac Coordenadas Esféricas 15 Exercicio 1 - continua¢ao Solucdo: | Ponto B = (—1, —1, V2) ep= Very re = y/(-1P+(-1P + (v2P = V4 = y -l —--=>—-I] ete) == , o nw Sm ° 57 Como (—1, —1) esta no 3° quadrante, 6 = 7 + arctg(1) = a+ 47 iad = 225° ../0= iad oO} sr «Er cer = HAO CSREES 5 Exercicio 1 - continua¢ao Solucdo: | Ponto B = (—1, —1, V2) ep= Very re = y/(-1P+(-1P + (v2P = V4 = ~¥ tL * tg(0) = = = =1 Como (—1, —1) esta no 3° quadrante, 6 = 7 + arctg(1) = a+ . = or rad = 225° »./0= or rad _Vve+y — V-1et+ClpP _ A _f e tg(¢) = ye =1>0=5 ¢=arctg(1) = re oO} sr «Er cer = HAO ETE r5 Exercicio 1 - continua¢ao Solucdo: | Ponto B = (—1, —1, V2) ep= Very re = y/(-1P+(-1P + (v2P = V4 = y -l => >+- => —_ = 1 ete) == s o nw Sm ° 57 Como (—1, —1) esta no 3° quadrante, 6 = 7 + arctg(1) = a+ 47 iad = 225° ../0= iad Very _ JEFF? ‘ n * tg(¢) = WO z > 046 =arctg(1) = 4 . 2 2 Calculo alternativo: —cos(¢) = = v2 = v2 => |¢= 7 rad Vre+y2+z2 vV(-n+(-1P (v2? 2 4 5a 7 ~ Logo, |B=(2, Pas * Caso tg(¢) = a < 0, entédo ¢=7 + arctg(a). oO} sr «Er cer = HAO ETE r5 Exercicio 2 - Mudanca de coordenadas de um ponto Considere o ponto do espaco, em coordenadas esféricas, A = (2, ar ar). Calcule as coordenadas cartesianas e cilindricas deste ponto. o a = = =z DNAS Coordenadas Esféricas 16 Exercicio 2 - Mudanca de coordenadas de um ponto Considere o ponto do espaco, em coordenadas esféricas, A = (2, ar ar). Calcule as coordenadas cartesianas e cilindricas deste ponto. Solucgdo: Primeiro note que p = 2, d= 2m eg= x o a = = =z DNAS Coordenadas Esféricas 16 Exercicio 2 - Mudanca de coordenadas de um ponto Considere o ponto do espaco, em coordenadas esféricas, A = (2, ar ar). Calcule as coordenadas cartesianas e cilindricas deste ponto. Solucgdo: Primeiro note que p = 2, d= 2m eg= x Pela relacao entre os sistemas de coordenadas, Coordenadas Cartesianas e x = psen(¢) cos(6) 3 2 2 -1 2 = 2sen(*~) cos(J) = 2: we ‘y= -#2 a a = = =z DNAS Coordenadas Esféricas 16 Exercicio 2 - Mudanca de coordenadas de um ponto Considere o ponto do espaco, em coordenadas esféricas, A = (2, ar ar). Calcule as coordenadas cartesianas e cilindricas deste ponto. Solucgdo: Primeiro note que p = 2, d= 2m eg= x Pela relacao entre os sistemas de coordenadas, Coordenadas Cartesianas e x = psen(¢) cos(6) 3n Qn 2 -1 2 = 2sen(*~) cos(J) = 2: we ‘y= -#2 ° y =psen(¢) sen(9) 3n 2a 2 3 6 = 2sen(==)sen(=) =2- v2 . 8 = ve a a = = =z DNAS Coordenadas Esféricas 16 Exercicio 2 - Mudanca de coordenadas de um ponto Considere o ponto do espaco, em coordenadas esféricas, A = (2, ar ar). Calcule as coordenadas cartesianas e cilindricas deste ponto. Solucgdo: Primeiro note que p = 2, d= 2m eg= x Pela relacao entre os sistemas de coordenadas, Coordenadas Cartesianas e x = psen(¢) cos(6) = 2sen(**) cos(2#) = 2- v2 sa -#2 ° y =psen(¢) sen(9) = 2sen(3") sen(27) = 2.2.3 = ve e z=pcos(¢) = 2cos(37) =2- =¥2 =-v2 .. Em cartesianas | A = (-¥, v2) o> «@ => <B> EB HA0 CSREES 77 Exercicio 2 - Mudanca de coordenadas de um ponto Considere o ponto do espaco, em coordenadas esféricas, A = (2, aE at), Calcule as coordenadas cartesianas e cilindricas deste ponto. Solucao: Primeiro note que p = 2, 0 = 2m eg= ar Pela relacdo entre os sistemas de coordenadas, Coordenadas Cartesianas Coordenadas Cilfndricas e x = psen(¢) cos(0) = 2sen(**) cos(2#) = 2- v2 sa -# e y = psen(¢) sen(@) = 2sen(**) sen(4) = 2- v2 : 3 = ve e z= pcos(¢) = 2cos(3*) =2- =¥2 =-Vv2 ., Em cartesianas | A = (-¥, v2) Exercicio 2 - Mudanca de coordenadas de um ponto Considere o ponto do espaco, em coordenadas esféricas, A = (2, ar at), Calcule as coordenadas cartesianas e cilindricas deste ponto. Solucao: Primeiro note que p = 2, 0 = 2m eg= ar Pela relacdo entre os sistemas de coordenadas, Coordenadas Cartesianas Coordenadas Cilfndricas e x = psen(¢) cos(0) e r= psen(¢) = 2sen( 3) cos(%F) = 2-9 St = —F = 2sen(2F) = 2. =v2 e y = psen(¢) sen(@) = 2 sen(3*) sen( 2) =2. v2 . 3 = ve e z= pcos(¢) = 2cos(3*) =2- =¥2 =-Vv2 ., Em cartesianas | A = (-¥, v2) Exercicio 2 - Mudanca de coordenadas de um ponto Considere o ponto do espaco, em coordenadas esféricas, A = (2, ar at), Calcule as coordenadas cartesianas e cilindricas deste ponto. olucao: Primeiro note que p = 2, 0 = = e @ = *. Pela relacdo entre os sistemas de coordenadas, Solucdo: P p=2,0=% 3 Pela rel d denad Coordenadas Cartesianas Coordenadas Cilindricas e x = psen(¢) cos(0) e r= psen(¢) = 2sen(%F) cos) = 2. Gt=—Y = 2sen(%) = 2-4? =v2 e y = psen(¢) sen(@) ©G=0= a = 2 sen(3*) sen( 2) =2. v2 . 3 = ve e z= pcos(¢) = 2cos(3*) =2- =¥2 =-Vv2 ., Em cartesianas | A = (-¥, v2) Coordenadas Esféricas 16 SCS Exercicio 2 - Mudanca de coordenadas de um ponto Considere o ponto do espaco, em coordenadas esféricas, A = (2, ar at), Calcule as coordenadas cartesianas e cilindricas deste ponto. Solucao: Primeiro note que p = 2, 0 = 2m eg= ar Pela relacdo entre os sistemas de coordenadas, e x = psen(¢) cos(0) e r=psen(¢) = 2sen(*#) cos(*4) = 2.2.53 =-@ = 2sen(37) = 2. 2 =v3 e y = psen(¢) sen(@) e0=0=% = 2sen(3") sen(27) = 2.2.3 = ve e z= pcos(¢) =-v2 e z= pcos(¢) = 2 cos( 2) =2- =¥2 =-Vv2 Em cilindricas .. Em cartesianas Coordenadas Esféricas 16 Exercicio 3 - Mudanca de coordenadas de uma funcao /y2 4 y2 ~ Z\/ Xo + , Represente a funcdo f(x, y,z) = ZvV*" + em coordenadas esféricas. ots 24 y24 52 Xe + yo +Z o a = = =z DAG Coordenadas Esféricas 17 Exercicio 3 - Mudanca de coordenadas de uma funcao 2 2 ~ Z\/ Xo + , Represente a funcdo f(x, y,z) = ZvV*" + em coordenadas esféricas. a 2 2 2 Xe + yo +Z Soluc¢do: Pela relagao entre os sistemas de coordenadas cartesianas e esféricas, Oo a = = =z DAG Coordenadas Esféricas 17 Exercicio 3 - Mudanca de coordenadas de uma funcao 2 2 ~ Z\/ Xo + , Represente a funcdo f(x, y,z) = ZvV*" + em coordenadas esféricas. a 2 2 2 Xe + yo +Z Soluc¢do: Pela relagao entre os sistemas de coordenadas cartesianas e esféricas, ¢ z= pcos(d) Oo a = = =z DAG Coordenadas Esféricas 7 Exercicio 3 - Mudanca de coordenadas de uma funcao 2 2 ~ Z/xXo + ys Represente a funcdo f(x, y,z) = ae em coordenadas esféricas. Xe + yo +Z Solucdo: Pela relacdo entre os sistemas de coordenadas cartesianas e esféricas, ° z= pcos(¢) e x’ + y? = (psen(¢) cos(@))” + (psen(d) sen(0))? = p* sen?(¢)(cos?(@) + sen?(@)) = p* sen?() - 1. o> «a => «=> BE Nae Comrdensdae EXGiGSE 7 Exercicio 3 - Mudanca de coordenadas de uma funcao 2 2 ~ Z/xXo + ys Represente a funcdo f(x, y,z) = ae em coordenadas esféricas. Xe + yo +Z Solucdo: Pela relacdo entre os sistemas de coordenadas cartesianas e esféricas, ° z= pcos(¢) e x’ + y? = (psen(¢) cos(@))” + (psen(d) sen(0))? = p* sen?(¢)(cos?(@) + sen?(@)) = p* sen?() - 1. vx? + y? = ./p? sen?(¢) = p|sen(¢)| = psen(d). *(sen(¢?) >0 pois O< ¢ <7) o> «a => <B> EB HA0 CSREES 7 a Exercicio 3 - Mudanca de coordenadas de uma funcao | y2 2 Represente a funcdo f(x, y,z) = zyx Fy" em coordenadas esféricas. Xe + yr +Z Solucdo: Pela relacdo entre os sistemas de coordenadas cartesianas e esféricas, ° z= pcos(¢) e x’ + y? = (psen(¢) cos(@))” + (psen(d) sen(0))? = p* sen?(¢)(cos?(@) + sen?(@)) = p* sen?() - 1. vx? + y? = ./p? sen?(¢) = p|sen(¢)| = psen(d). *(sen(¢?) >0 pois O< ¢ <7) ex? +y* + 2° = (psen(¢) cos(4))* + (osen($) sen(9))* + (pcos(¢))? = p* sen?() + p? cos?(4) = p2(sen®(d) + cos*(6)) = p? o> «a => <B> EB HA0 CSREES 7 Exercicio 3 - Mudanca de coordenadas de uma funcao 2 2 ~ Z/xXo + ys Represente a funcdo f(x, y,z) = ae em coordenadas esféricas. Xe + yr +Z Solucdo: Pela relacdo entre os sistemas de coordenadas cartesianas e esféricas, ° z= pcos(¢) 24 2 2 2_ 2.2 2 2 _ 22 e x* + y* = (psen(¢) cos(8))° + (psen(¢) sen(@))° = p* sen*()(cos*(9) + sen*(0)) = p* sen*(¢) - 1. vx? + y? = ./p? sen?(¢) = p|sen(¢)| = psen(d). *(sen(¢?) >0 pois O< ¢ <7) ex? +y* + 2° = (psen(¢) cos(4))* + (osen($) sen(9))* + (pcos(¢))? = p* sen?() + p? cos?(4) = p2(sen®(d) + cos*(6)) = p? CAlculo alternativo: Sabemos que p = ,/x2 + y2+ z?, logo x? + y? +27 = p*. o> «a => «=> BE Nae Comrdensdae EXGiGSE 7 ee Exercicio 3 - Mudanca de coordenadas de uma funcao Z\/ x? + y? , Represente a funcdo f(x, y,z) = ae em coordenadas esféricas. xe@ty2+z Solucdo: Pela relacdo entre os sistemas de coordenadas cartesianas e esféricas, e z = pcos(¢) e x’ + y* = (psen(¢) cos(@))* + (psen(¢) sen(@))? = p* sen*(¢)(cos’(8) + sen?(@)) = p? sen?(¢) - 1. vi /x? + y? = y/p? sen?(¢) = p|sen(¢)| = psen(?). *(sen(?) >0 pois 0< d< 7) 0x2 + y? +2? = (psen(d) cos(0))? + (psen(d) sen(6))? + (peos(4))? = p? sen?(d) + p? cos?(d) = p2(sen?(4) + c0s*(4)) = 6° CAlculo alternativo: Sabemos que p = ,/x2 + y2 +z’, logo x* + y? +27 = p*. i, Ee pn = eee) : Assim, ~ty~ipo p= cos(¢) sen(¢) -.| F(p, 8, @) = cos(¢) sen(¢) Exercicio 4 - Mudanca de coordenadas de uma superficie Considere o cone C representado pela equacao z = 2,/x? + y?. Escreva a equacdo de C em coordenadas esféricas. a a = = =z DNAS Coordenadas Esféricas 18 Exercicio 4 - Mudanca de coordenadas de uma superficie Considere o cone C representado pela equacao z = 2,/x? + y?. Escreva a equacdo de C em coordenadas esféricas. Solucdo: | Método 1: | Pela relacdo entre sistemas, / x2 + y? t = eorore——————- g(¢) 5 o a = = =z DNAS Coordenadas Esféricas 18 Exercicio 4 - Mudanca de coordenadas de uma superficie Considere o cone C representado pela equacao z = 2,/x? + y?. Escreva a equacdo de C em coordenadas esféricas. Solucdo: | Método 1: | Pela relacdo entre sistemas, ig() = PO = VEY Lt Zz 2./ x2 + y? 2 a @ = = = Nac Coordenadas Esféricas 18 Exercicio 4 - Mudanca de coordenadas de uma superficie Considere o cone C representado pela equacao z = 2,/x? + y?. Escreva a equacdo de C em coordenadas esféricas. Solucdo: Pela relagdo entre sistemas, x2 2 x2 2 1 « . te(¢) = VEY = WEY 2 48) 4 = arctg(3)| « (Pois tg(6) > 0) Zz 2./ x2 + y? 2 a a = = =z DNAS Coordenadas Esféricas 18 Exercicio 4 - Mudanca de coordenadas de uma superficie Considere o cone C representado pela equacao z = 2\/x2 + y?. Escreva a equacdo de C em coordenadas esféricas. Solucdo: Pela relagdo entre sistemas, Vety Vxety 1 x ; tg(¢) = > _ = 4 = = S\¢= arctg(3) * (Pois tg(¢) > 0) Zz 2./ x2 + y? 2 Subtituindo x = psen(¢) cos(@), y = psen(¢) sen(@) e z = pcos(¢) em Z=2\/x?+y? e o> «4 = = = ac Coordenadas Esféricas 18 Exercicio 4 - Mudanca de coordenadas de uma superficie Considere o cone C representado pela equacao z = 2\/x2 + y?. Escreva a equacdo de C em coordenadas esféricas. Solucdo: Pela relacdo entre sistemas, Vety Vfety 1 « . te(d) = VeTY VET Le >\/o= arctg(4) « (Pois tg(¢) > 0) Z 2. /x2 + y? 2 Subtituindo x = psen(¢) cos(@), y = psen(@) sen(@) e z = pcos(¢) em Z=2\/x?+ y? e usando o mesmo calculo do Exercicio 3, pcos() = 2x/(psen(d) c0s(8))® + (psen(d)sen(6))? = 2x//p2sen®(d) = 2 psen(¢) +. pcos($) = 2 psen(¢). Exercicio 4 - Mudanca de coordenadas de uma superficie Considere o cone C representado pela equacao z = 2\/x2 + y?. Escreva a equacdo de C em coordenadas esféricas. Solucdo: Pela relacdo entre sistemas, Vety Vfety 1 « . te(d) = VeTY VET Le >\/o= arctg(4) « (Pois tg(¢) > 0) Z 2./x24 y? 2 Subtituindo x = psen(¢) cos(@), y = psen(@) sen(@) e z = pcos(¢) em Z=2\/x?+ y? e usando o mesmo calculo do Exercicio 3, pcos() = 2x/(psen(d) c0s(8))® + (psen(d)sen(6))? = 2x//p2sen®(d) = 2 psen(¢) . pcos(¢) = 2psen(d). Logo p = 0 (Origem) ou cos(¢) = 2sen(¢) > tg(¢) = 4 Exercicio 4 - Mudanca de coordenadas de uma superficie Considere o cone C representado pela equacao z = 2\/x2 + y?. Escreva a equacdo de C em coordenadas esféricas. Solucdo: Pela relacdo entre sistemas, Vety Vfety 1 « . te(d) = VeTY VET Le >\/o= arctg(4) « (Pois tg(¢) > 0) Z 2. /x2 + y? 2 Subtituindo x = psen(¢) cos(@), y = psen(@) sen(@) e z = pcos(¢) em Z=2\/x?+ y? e usando o mesmo calculo do Exercicio 3, pcos() = 2x/(psen(d) c0s(8))® + (psen(d)sen(6))? = 2x//p2sen®(d) = 2 psen(¢) . pcos(¢) = 2psen(d). Logo p = 0 (Origem) ou cos(¢) = 2sen(¢) > tg(¢) = 4 => Cone em esféricas: | = arctg(4) | + 0.464rad = 26, 57° Exerc´ıcios de mudan¸ca de coordenadas Exerc´ıcio 5 - Mudan¸ca de coordenadas de uma superf´ıcie Obtenha as equa¸c˜oes do plano x = −2, do plano z = 3 e do cilindro r = 4 em coordenadas esf´ericas. Solu¸c˜ao: • Plano x = −2: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas, x = ρ sen(φ) cos(θ) . Logo ρ sen(φ) cos(θ) = x = −2 ⇒ ρ sen(φ) cos(θ) = −2. Note que sen(φ) ̸= 0, sen˜ao ρ sen(φ) cos(θ) = 0. Logo 0 < φ < π (∴ sen(φ) > 0). Como ρ sen(φ) cos(θ) = −2 < 0 e sen(φ) > 0, temos cos(θ) < 0. Logo π 2 < θ < 3π 2 . Portanto, a equa¸c˜ao deste plano em esf´ericas ´e ρ = −2 sen(φ) cos(θ), onde π 2 < θ < 3π 2 e 0 < φ < π. • Plano z = 3: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas, z = ρ cos(φ). Logo ρ cos(φ) = z = 3 ⇒ cos(φ) > 0 e ρ = 3 cos(φ) ⇒ ρ = 3 cos(φ) e 0 ≤ φ < π 2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 19 Exerc´ıcios de mudan¸ca de coordenadas Exerc´ıcio 5 - Mudan¸ca de coordenadas de uma superf´ıcie Obtenha as equa¸c˜oes do plano x = −2, do plano z = 3 e do cilindro r = 4 em coordenadas esf´ericas. Solu¸c˜ao: • Plano x = −2: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas, x = ρ sen(φ) cos(θ) . Logo ρ sen(φ) cos(θ) = x = −2 ⇒ ρ sen(φ) cos(θ) = −2. Note que sen(φ) ̸= 0, sen˜ao ρ sen(φ) cos(θ) = 0. Logo 0 < φ < π (∴ sen(φ) > 0). Como ρ sen(φ) cos(θ) = −2 < 0 e sen(φ) > 0, temos cos(θ) < 0. Logo π 2 < θ < 3π 2 . Portanto, a equa¸c˜ao deste plano em esf´ericas ´e ρ = −2 sen(φ) cos(θ), onde π 2 < θ < 3π 2 e 0 < φ < π. • Plano z = 3: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas, z = ρ cos(φ). Logo ρ cos(φ) = z = 3 ⇒ cos(φ) > 0 e ρ = 3 cos(φ) ⇒ ρ = 3 cos(φ) e 0 ≤ φ < π 2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 19 Exerc´ıcios de mudan¸ca de coordenadas Exerc´ıcio 5 - Mudan¸ca de coordenadas de uma superf´ıcie Obtenha as equa¸c˜oes do plano x = −2, do plano z = 3 e do cilindro r = 4 em coordenadas esf´ericas. Solu¸c˜ao: • Plano x = −2: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas, x = ρ sen(φ) cos(θ). Logo ρ sen(φ) cos(θ) = x = −2 ⇒ ρ sen(φ) cos(θ) = −2. Note que sen(φ) ̸= 0, sen˜ao ρ sen(φ) cos(θ) = 0. Logo 0 < φ < π (∴ sen(φ) > 0). Como ρ sen(φ) cos(θ) = −2 < 0 e sen(φ) > 0, temos cos(θ) < 0. Logo π 2 < θ < 3π 2 . Portanto, a equa¸c˜ao deste plano em esf´ericas ´e ρ = −2 sen(φ) cos(θ), onde π 2 < θ < 3π 2 e 0 < φ < π. • Plano z = 3: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas, z = ρ cos(φ). Logo ρ cos(φ) = z = 3 ⇒ cos(φ) > 0 e ρ = 3 cos(φ) ⇒ ρ = 3 cos(φ) e 0 ≤ φ < π 2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 19 Exerc´ıcios de mudan¸ca de coordenadas Exerc´ıcio 5 - Mudan¸ca de coordenadas de uma superf´ıcie Obtenha as equa¸c˜oes do plano x = −2, do plano z = 3 e do cilindro r = 4 em coordenadas esf´ericas. Solu¸c˜ao: • Plano x = −2: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas, x = ρ sen(φ) cos(θ). Logo ρ sen(φ) cos(θ) = x = −2 ⇒ ρ sen(φ) cos(θ) = −2. Note que sen(φ) ̸= 0, sen˜ao ρ sen(φ) cos(θ) = 0. Logo 0 < φ < π (∴ sen(φ) > 0). Como ρ sen(φ) cos(θ) = −2 < 0 e sen(φ) > 0, temos cos(θ) < 0. Logo π 2 < θ < 3π 2 . Portanto, a equa¸c˜ao deste plano em esf´ericas ´e ρ = −2 sen(φ) cos(θ), onde π 2 < θ < 3π 2 e 0 < φ < π. • Plano z = 3: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas, z = ρ cos(φ). Logo ρ cos(φ) = z = 3 ⇒ cos(φ) > 0 e ρ = 3 cos(φ) ⇒ ρ = 3 cos(φ) e 0 ≤ φ < π 2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 19 Exerc´ıcios de mudan¸ca de coordenadas Exerc´ıcio 5 - Mudan¸ca de coordenadas de uma superf´ıcie Obtenha as equa¸c˜oes do plano x = −2, do plano z = 3 e do cilindro r = 4 em coordenadas esf´ericas. Solu¸c˜ao: • Plano x = −2: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas, x = ρ sen(φ) cos(θ). Logo ρ sen(φ) cos(θ) = x = −2 ⇒ ρ sen(φ) cos(θ) = −2. Note que sen(φ) ̸= 0, sen˜ao ρ sen(φ) cos(θ) = 0. Logo 0 < φ < π (∴ sen(φ) > 0). Como ρ sen(φ) cos(θ) = −2 < 0 e sen(φ) > 0, temos cos(θ) < 0. Logo π 2 < θ < 3π 2 . Portanto, a equa¸c˜ao deste plano em esf´ericas ´e ρ = −2 sen(φ) cos(θ), onde π 2 < θ < 3π 2 e 0 < φ < π. • Plano z = 3: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas, z = ρ cos(φ). Logo ρ cos(φ) = z = 3 ⇒ cos(φ) > 0 e ρ = 3 cos(φ) ⇒ ρ = 3 cos(φ) e 0 ≤ φ < π 2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 19 Exerc´ıcios de mudan¸ca de coordenadas Exerc´ıcio 5 - Mudan¸ca de coordenadas de uma superf´ıcie Obtenha as equa¸c˜oes do plano x = −2, do plano z = 3 e do cilindro r = 4 em coordenadas esf´ericas. Solu¸c˜ao: • Plano x = −2: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas, x = ρ sen(φ) cos(θ). Logo ρ sen(φ) cos(θ) = x = −2 ⇒ ρ sen(φ) cos(θ) = −2. Note que sen(φ) ̸= 0, sen˜ao ρ sen(φ) cos(θ) = 0. Logo 0 < φ < π (∴ sen(φ) > 0). Como ρ sen(φ) cos(θ) = −2 < 0 e sen(φ) > 0, temos cos(θ) < 0. Logo π 2 < θ < 3π 2 . Portanto, a equa¸c˜ao deste plano em esf´ericas ´e ρ = −2 sen(φ) cos(θ), onde π 2 < θ < 3π 2 e 0 < φ < π. • Plano z = 3: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas, z = ρ cos(φ). Logo ρ cos(φ) = z = 3 ⇒ cos(φ) > 0 e ρ = 3 cos(φ) ⇒ ρ = 3 cos(φ) e 0 ≤ φ < π 2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 19 Exerc´ıcios de mudan¸ca de coordenadas Exerc´ıcio 5 - Mudan¸ca de coordenadas de uma superf´ıcie Obtenha as equa¸c˜oes do plano x = −2, do plano z = 3 e do cilindro r = 4 em coordenadas esf´ericas. Solu¸c˜ao: • Plano x = −2: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas, x = ρ sen(φ) cos(θ). Logo ρ sen(φ) cos(θ) = x = −2 ⇒ ρ sen(φ) cos(θ) = −2. Note que sen(φ) ̸= 0, sen˜ao ρ sen(φ) cos(θ) = 0. Logo 0 < φ < π (∴ sen(φ) > 0). Como ρ sen(φ) cos(θ) = −2 < 0 e sen(φ) > 0, temos cos(θ) < 0. Logo π 2 < θ < 3π 2 . Portanto, a equa¸c˜ao deste plano em esf´ericas ´e ρ = −2 sen(φ) cos(θ), onde π 2 < θ < 3π 2 e 0 < φ < π. • Plano z = 3: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas, z = ρ cos(φ). Logo ρ cos(φ) = z = 3 ⇒ cos(φ) > 0 e ρ = 3 cos(φ) ⇒ ρ = 3 cos(φ) e 0 ≤ φ < π 2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 19 Exerc´ıcios de mudan¸ca de coordenadas Exerc´ıcio 5 - Mudan¸ca de coordenadas de uma superf´ıcie Obtenha as equa¸c˜oes do plano x = −2, do plano z = 3 e do cilindro r = 4 em coordenadas esf´ericas. Solu¸c˜ao: • Plano x = −2: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas, x = ρ sen(φ) cos(θ). Logo ρ sen(φ) cos(θ) = x = −2 ⇒ ρ sen(φ) cos(θ) = −2. Note que sen(φ) ̸= 0, sen˜ao ρ sen(φ) cos(θ) = 0. Logo 0 < φ < π (∴ sen(φ) > 0). Como ρ sen(φ) cos(θ) = −2 < 0 e sen(φ) > 0, temos cos(θ) < 0. Logo π 2 < θ < 3π 2 . Portanto, a equa¸c˜ao deste plano em esf´ericas ´e ρ = −2 sen(φ) cos(θ), onde π 2 < θ < 3π 2 e 0 < φ < π. • Plano z = 3: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas, z = ρ cos(φ). Logo ρ cos(φ) = z = 3 ⇒ cos(φ) > 0 e ρ = 3 cos(φ) ⇒ ρ = 3 cos(φ) e 0 ≤ φ < π 2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 19 Exerc´ıcios de mudan¸ca de coordenadas Exerc´ıcio 5 - Mudan¸ca de coordenadas de uma superf´ıcie Obtenha as equa¸c˜oes do plano x = −2, do plano z = 3 e do cilindro r = 4 em coordenadas esf´ericas. Solu¸c˜ao: • Plano x = −2: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas, x = ρ sen(φ) cos(θ). Logo ρ sen(φ) cos(θ) = x = −2 ⇒ ρ sen(φ) cos(θ) = −2. Note que sen(φ) ̸= 0, sen˜ao ρ sen(φ) cos(θ) = 0. Logo 0 < φ < π (∴ sen(φ) > 0). Como ρ sen(φ) cos(θ) = −2 < 0 e sen(φ) > 0, temos cos(θ) < 0. Logo π 2 < θ < 3π 2 . Portanto, a equa¸c˜ao deste plano em esf´ericas ´e ρ = −2 sen(φ) cos(θ), onde π 2 < θ < 3π 2 e 0 < φ < π. • Plano z = 3: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas, z = ρ cos(φ). Logo ρ cos(φ) = z = 3 ⇒ cos(φ) > 0 e ρ = 3 cos(φ) ⇒ ρ = 3 cos(φ) e 0 ≤ φ < π 2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 19 Exerc´ıcios de mudan¸ca de coordenadas Exerc´ıcio 5 - Mudan¸ca de coordenadas de uma superf´ıcie Obtenha as equa¸c˜oes do plano x = −2, do plano z = 3 e do cilindro r = 4 em coordenadas esf´ericas. Solu¸c˜ao: • Plano x = −2: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas, x = ρ sen(φ) cos(θ). Logo ρ sen(φ) cos(θ) = x = −2 ⇒ ρ sen(φ) cos(θ) = −2. Note que sen(φ) ̸= 0, sen˜ao ρ sen(φ) cos(θ) = 0. Logo 0 < φ < π (∴ sen(φ) > 0). Como ρ sen(φ) cos(θ) = −2 < 0 e sen(φ) > 0, temos cos(θ) < 0. Logo π 2 < θ < 3π 2 . Portanto, a equa¸c˜ao deste plano em esf´ericas ´e ρ = −2 sen(φ) cos(θ), onde π 2 < θ < 3π 2 e 0 < φ < π. • Plano z = 3: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas, z = ρ cos(φ). Logo ρ cos(φ) = z = 3 ⇒ cos(φ) > 0 e ρ = 3 cos(φ) ⇒ ρ = 3 cos(φ) e 0 ≤ φ < π 2 (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 19 Exerc´ıcios de mudan¸ca de coordenadas Exerc´ıcio 5 - continua¸c˜ao • Cilindro r = 4: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas de coordenadas cil´ındricas e esf´ericas, r = ρ sen(φ). Logo ρ sen(φ) = r = 4 ⇒ sen(φ) > 0 e ρ = 4 sen(φ). Portanto, a equa¸c˜ao do cilindro r = 4 em coordenadas esf´ericas ´e ρ = 4 sen(φ), onde 0 < φ < π. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 20 Exerc´ıcios de mudan¸ca de coordenadas Exerc´ıcio 5 - continua¸c˜ao • Cilindro r = 4: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas de coordenadas cil´ındricas e esf´ericas, r = ρ sen(φ). Logo ρ sen(φ) = r = 4 ⇒ sen(φ) > 0 e ρ = 4 sen(φ). Portanto, a equa¸c˜ao do cilindro r = 4 em coordenadas esf´ericas ´e ρ = 4 sen(φ), onde 0 < φ < π. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 20 Exerc´ıcios de mudan¸ca de coordenadas Exerc´ıcio 5 - continua¸c˜ao • Cilindro r = 4: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas de coordenadas cil´ındricas e esf´ericas, r = ρ sen(φ). Logo ρ sen(φ) = r = 4 ⇒ sen(φ) > 0 e ρ = 4 sen(φ). Portanto, a equa¸c˜ao do cilindro r = 4 em coordenadas esf´ericas ´e ρ = 4 sen(φ), onde 0 < φ < π. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 20 Exerc´ıcios de mudan¸ca de coordenadas Exerc´ıcio 5 - continua¸c˜ao • Cilindro r = 4: Pela rela¸c˜ao entre os sistemas de coordenadas cil´ındricas e esf´ericas, r = ρ sen(φ). Logo ρ sen(φ) = r = 4 ⇒ sen(φ) > 0 e ρ = 4 sen(φ). Portanto, a equa¸c˜ao do cilindro r = 4 em coordenadas esf´ericas ´e ρ = 4 sen(φ), onde 0 < φ < π. (UFRGS) Coordenadas Esf´ericas 20