Slide - Integrais Duplas - 2023-2

Integrais Duplas Profa. Virg´ınia M. Rodrigues DMPA, IME, UFRGS 1 / 10 ∫[a,b] f(x) dx • f ≥ 0 em [a,b] • Área da região entre o gráfico de f e o intervalo [a,b] A ≈ Σ[k=1 to n] f(x*_k) Δx_k => A = lim[n→∞] Σ[k=1 to n] f(x*_k) Δx_k ∫[a,b] f(x) dx def = t = qualquer em [a,j]: ∫[a,b] f(x) dx = lim[n→∞] Σ[k=1 to n] f(x*_k) Δx_k Teor. Fundamental do Cálculo: f contínua em [a,b] => ∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a), onde F'(x) = f(x) em [a,b] Técnicas de integração - substituição - partes - frações parciais - subst. trigonométricas ∬[R] f(x,y) dA Figs: Anton; Bivens; Davis. Cálculo. v.2, 10.ed, p.1001. • z = f(x,y) contínua e não negativa em R, região que possa ser envolvida por um retângulo • Volume do sólido compreendido entre o gráfico de f e a região R. V = lim[n→∞] Σ[k=1 to n] f(x*_k, y*_k) ΔA_k altura área do k-ésimo retângulo f(x,y) dA Integral dupla de f na região R: ∬_R f(x,y) dA = lim (n→+∞) sum_(k=1)^n f(x*_k, y*_k) ΔA_k ("volume líquido") Em part., se f ≥ 0 em R : ∬_R f dA = V REGIÕES RETANGULARES Teorema (Teorema de Fubini) Seja R a região retangular { a ≤ x ≤ b c ≤ y ≤ d . Se f(x,y) for contínua em R, então ∬_R f(x,y) dA = ∫_c^d ∫_a^b f(x,y) dx dy = ∫_a^b ∫_c^d f(x,y) dy dx EXERCÍCIO 4, p. 1007 ∫_(-2)^0 ∫_(-1)^2 x^2 + y^2 dx dy = ∫_(-2)^0 [(x^3/3 + yx^2)]_(-1)^2 dy = ∫_(-2)^0 [(8/3 + 2y^2) - (-1/3 - y^2)] dy = ∫_(-2)^0 (3 + 3y^2) dy = [3y + y^3]_(-2)^0 = 0 - (-6 - 8) = 14 EXERCÍCIO 10, p. 1007 ∫(π to π/2) ∫(2 to 1) x cos(xy) dy dx { ∫ x cos(xy) dy u = xy du/dy = x ⇒ du = x dy ∫ cos u du = sen u + k { u = 2x du/dx = 2 1/2 ∫ 2 sen(2x) dx = ∫ sen ø dØ = -cosØ + k = [ -cos(2x)/2 + cos x ] (π/2 to π) = { sen(2x) - sen x dx } (π/2 to π) = (-1 - 1) - (1/2 + 0) = -3/2 - 1/2 = -2 Exerc´ıcio 32, p. 1008 Calcule o volume do s´olido situado no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados, o plano y = 4 e o plano x 3 + z 5 = 1. 9 / 10 IDEIA TEOR. DE FUBINI 6.2.3 FÓRMULA PARA O VOLUME Seja S um sólido delimitado por dois planos perpendiculares ao eixo y em y = c e y = d. Se, dado qualquer y em [c, d], a área da seção transversal a S perpendicular ao eixo y for A(y), então o volume do sólido será V = ∫(c to d) A(y) dy desde que A(y) seja integrável.