Slide - Series de Potencias - 2023-2

S´eries de Potˆencias Profa. Virg´ınia M. Rodrigues 1 / 10 Séries de Maclaurin e de Taylor Para uma função f, infinitamente diferenciável em x = 0, a série ∑ f^\(k\)(0)/k! x^k de k=0 a ∞ é chamada de série de Maclaurin de f. Para uma função f, infinitamente diferenciável em x = x₀, a série ∑ f^\(k\)(x₀)/k! (x - x₀)^k de k=0 a ∞ é chamada de série de Taylor de f em torno de x = x₀. Exemplos Série de Maclaurin de e^x: ∑1/k! x^k de k=0 a ∞ Série de Maclaurin de sen x: ∑ (-1)^k/(2k + 1)! x^(2k+1) de k=0 a ∞ Série de Maclaurin de cos x: ∑ (-1)^k/(2k)! x^(2k) de k=0 a ∞ Série de Taylor de ln x em torno de x = 1: ∑ (-1)^(k-1)/k (x - 1)^k de k=1 a ∞ Séries de Potências Uma série de potências (em x - x₀) é uma série da forma ∑ c_k(x - x₀)^k de k=0 a ∞ = c₀ + c₁(x - x₀) + c₂(x - x₀)^2 + ⋯ , onde x é uma variável e x₀, c₀, c₁, c₂, ... são constantes. x₀: centro da série; c_k: coeficiente de ordem k; c_k(x - x₀)^k: termo de ordem k. EXEMPLOS ∞ Σ f^(k)(0)/k! x^k k=0 - S. Maclaurin de f - centro: x₀=0 ∞ Σ (-1)^k (x-3)^k/(2k)! k=0 - Centro: x₀=3 ∞ Σ f^(k)(x₀)/k! (x-x₀)^k k=0 - S. Taylor de f - centro: x₀ ∞ Σ (-1)^k (3x-2)^k/2^k k! k=0 - Centro: x₀=2/3 EXEMPLOS ∞ Σ x^k = 1+x+x^2+x^3+⋯ k=0 Centro: x₀=0 É uma SG! Razão: r=x, logo conv. sss |x|<1. Neste caso, ∞ Σ x^k = 1/(1-x) k=0 ∞ Σ (2x-3)^4k/16^k k=0 Centro: x₀=3/2 ⇒ SG, r=(2x-3)^4/16 logo conv sss |(2x-3)/16|<1. ⇔ -2<2x-3<2 ⇔ 1/2<x<5/2 x∈(1/2, 5/2) PARA QUAIS VALORES DE X UMA SP CONVERGE? Dada uma série de potências ∞ Σ c_k(x-x₀)^k = c₀ + c₁(x-x₀) + c₂(x-x₀)² + ⋯, (1) k=0 queremos determinar os valores de x tais que as séries numéricas correspondentes convergem. Não existe SP divergente: toda SP converge pelo menos quando x for substituído pelo centro da série. Note que fazendo x=x₀ em (1) obtemos a série numérica c₀ + 0 + 0 + ⋯ + 0 + ⋯, que converge para c₀. RAIO E INTERVALO DE CONVERGÊNCIA THEOREM Para uma série de potências ∑ cₖ(x - x₀)ᵏ exatamente uma das k=0 seguintes afirmações é verdadeira. (i) A série converge somente em x = x₀. (ii) A série converge absolutamente e, portanto, converge ∀ x ∈ ℝ. (iii) A série converge absolutamente e, portanto, converge num intervalo (x₀ - R, x₀ + R) e diverge se x < x₀ - R ou x > x₀ + R. Obs.: No caso (iii) o teorema nada afirma sobre a convergência ou divergência da série em x = x₀ - R ou x = x₀ + R. RAIO E INTERVALO DE CONVERGÊNCIA ∑ cₖ(x - x₀)ᵏ k=0 (i) A série converge somente em x = x₀. R = 0, IC = {x₀} (ii) A série converge absolutamente e, portanto, converge ∀ x ∈ ℝ. R = ∞, IC = (-∞, +∞) Raio e Intervalo de Convergˆencia (iii) A s´erie converge absolutamente e, portanto, converge num intervalo (x0 − R, x0 + R) e diverge se x < x0 − R ou x > x0 + R. 10 / 10