Slide - Polinomios de Maclaurin e de Taylor Pt 2 -2023-2

Polinˆomios de Maclaurin e de Taylor Profa. Virg´ınia M. Rodrigues 1 / 9 Aproximando func¸˜oes Aproximar √e com precis˜ao de 2 casas decimais. • Aproximac¸˜ao linear local (reta tangente): f (x) ≈ f (x0) + f ′(x0)(x − x0) 2 / 9 Aproximando func¸˜oes • Aproximac¸˜ao quadr´atica local: f (x) ≈ f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + f ′′(x0) 2 (x − x0)2 3 / 9 Aproximando func¸˜oes • Aproximac¸˜ao por um polinˆomio de grau 3: f (x) ≈ f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + f ′′(x0) 2 (x − x0)2 + f ′′′(x0) 3! (x − x0)3 4 / 9 Aproximando func¸˜oes √e = 1, 6487212... • Erro da aproximac¸˜ao linear: √e − 1, 5 = 0, 1487... • Erro da aproximac¸˜ao quadr´atica: √e − 1, 625 = 0, 0237... • Erro da aproximac¸˜ao pelo polinˆomio de grau 3: √e − 1, 6458¯3 = 0, 002887... < 0, 005 5 / 9 Polinˆomios de Maclaurin Por exemplo, para a aproximac¸˜ao quadr´atica de y = f (x) perto de x = 0 queremos obter um polinˆomio p2(x) = c0 + c1x + c2x2 tal que        p(0) = f (0) p′(0) = f ′(0) p′′(0) = f ′′(0) . Ent˜ao, 6 / 9 Polinˆomios de Maclaurin Em geral, se f for n vezes diferenci´avel em x = 0, queremos obter um polinˆomio pn(x) = c0 + c1x + c2x2 + · · · + cnxn tal que p(0) = f (0), p′(0) = f ′(0), p′′(0) = f ′′(0), . . . , p(n)(0) = f (n)(0). Temos que p′(x) = c1 + 2c2x + 3c3x2 + · · · + ncnxn−1 p′′(x) = 2c2 + 3 · 2c3x + · · · + n · (n − 1)cnxn−2 ... = ... p(n)(x) = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 1cn = n!cn Ent˜ao: c0 = f (0), c1 = f ′(0), c2 = f ′′(0) 2! , . . . , cn = f (n)(0) n! . 7 / 9 POLINOMIO DE MACLAURIN Para uma funcao f, n vezes diferenciavel em x = 0, 0 polindmio F(0 £0 Pi(x) = (0) + f/(0)x + £2 feet wr) n £(K)(Q = SMO. k=0 onde F() F, & 0 n-ésimo polindmio de Maclaurin de f (ou polindmio de Maclaurin de ordem n de f). Este polindmio satisfaz: p\)(0) = #0), O< k <n. 8/9 POLINOMIOS DE TAYLOR Para uma funcdo f, n vezes diferencid4vel em x = xo, 0 polindmio ! f(")(xo) n P(x) = (xo) + F'(xo)(x — x0) + +» + —— |= (x = x0) n ¢(k) = S> Vo) (x ~ x0)", k=0 onde f) = f, é 0 n-€simo polinédmio de Taylor de f (ou polindmio de Taylor de ordem n de f) em torno de x = xo. Este polindmio satisfaz: p\)(xo) = fF) (x9), OS kK <n. 9/9