Anotações - Integrais Triplas Cilindros -2023-2

Integrais triplas ∭𝐺𝑑𝑉 coordenadas cilíndricas 𝑑𝑉=𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 Δ𝜃 Δ𝑟 𝑟Δ𝜃 Δ𝑧 Δ𝑉≈𝑟Δ𝑟Δ𝜃Δ𝑧 Aviso: Este texto é extremamente resumido. Para detalhes assista ao vídeo correspondente, e consulte o livro. ∫𝑎𝑏𝑓(𝑥)𝑑𝑥=área abaixo do gráfico 𝑦=𝑓(𝑥) de 𝑥=𝑎 até 𝑥=𝑏 ∬𝑅𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝐴=volume abaixo do gráfico 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) sobre a região 𝑅 do plano 𝑥𝑦 ∭𝐺𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑉=? 𝐺 é um sólido no espaço divide [a,b] em intervalos de comprimento Δx_k \\\na∫^b f(x)dx = lim (Δx_k→0) Σ_k f(x_k)Δx_k \\\ndivide R em pedaços de área ΔA_k \\\nR∬ f(x,y)dA = lim (ΔA_k→0) Σ_k f(x_k,y_k)ΔA_k \\\ndivide G em pedaços de volume ΔV_k \\\nG∭ f(x,y,z)dV = lim (ΔV_k→0) Σ_k f(x_k,y_k,z_k)ΔV_k \\ Pedacinho de índice k \\\n• Contém o ponto (x_k,y_k,z_k) \\\n• Volume = ΔV_k divide [a,b] em intervalos de comprimento Δx_k \\\na∫^b f(x)dx = lim (Δx_k→0) Σ_k f(x_k)Δx_k \\\ndivide R em pedaços de área ΔA_k \\\nR∬ f(x,y)dA = lim (ΔA_k→0) Σ_k f(x_k,y_k)ΔA_k \\\ndivide G em pedaços de volume ΔV_k \\\nG∭ f(x,y,z)dV = lim (ΔV_k→0) Σ_k f(x_k,y_k,z_k)ΔV_k \\ Interpretação ? divide G em pedaços de volume ΔV_k \\\nG∭ f(x,y,z)dV = lim (ΔV_k→0) Σ_k f(x_k,y_k,z_k)ΔV_k \\ Uma das possíveis interpretações: \\\nSupõe que f(x,y,z) = densidade de G no ponto (x,y,z). \\ Como assim ? densidade = \frac{massa}{volume} \\\nf(x,y,z) = lim (ΔV→0) \frac{ΔM}{ΔV} ⇒ ΔM ≈ f(x,y,z)ΔV \\ ⇒ G∭ f(x,y,z)dV = massa de G \\ ΔM = massa \\ ΔV = volume \\ pequena parte de G contendo (x,y,z) \\ (massa do pedacinho) ∫_a^b f(x) dx = { área abaixo do gráfico y=f(x) de x=a até x=b ∬_R f(x,y) dA = { volume abaixo do gráfico z=f(x,y) sobre a região R do plano xy ∭_G f(x,y,z) dV = { massa* do sólido G supondo que f(x,y,z) é a densidade no ponto (x,y,z) * uma das possíveis interpretações ∫_a^b f(x) dx = { área abaixo do gráfico y=f(x) de x=a até x=b ∬_R f(x,y) dA = { volume abaixo do gráfico z=f(x,y) sobre a região R do plano xy ∭_G f(x,y,z) dV = { massa* do sólido G supondo que f(x,y,z) é a densidade no ponto (x,y,z) * outra interpretação valor médio de f em G = 1/vol G ∭_G f(x,y,z) dV ∫_a^b 1 dx = comprimento de [a,b] ∬_R 1 dA = área da região R ∭_G 1 dv = volume do sólido G Se R=[a,b]×[c,d] ∬f(x,y)dA=∬[f(x,y)dxdyd cb Se G=[a,b]×[c,d]×[e,f] ∬∬∬f(x,y,z)dV=∬[f ce ∭∬[f(x,y,z)dxdydz db a dV=dxdydz =... =dzdydx Teorema: se então ∬∬∬f(x,y,z)dV=∬[g2(x,y) g1(x,y) R∬f(x,y,z)dz]dA z=g2(x,y) z=g1(x,y) R="sombra de G" Note que dV=dAdz ΔV=ΔAΔz Ex1 Calcule o volume do sólido delimitado pelos paraboloides z=x²+y² e z=6−x²−y² R=Sombra x²+y²≤6−x²−y² ⇒x²+y²≤3 Círculo de raio √3 Solução: Vol=∬∬dV=∬[√3−x²√3−x² −√3−x²−√3∫∫[6−x²−y² x²+y² ] dz] dy dx Sombra −√3−x²≤y≤√3−x² −√3≤x≤√3 Fica mais fácil trocar x,y por polares r,θ Notem que ao invés de x, y, z usamos as variáveis r, θ, z ← coordenadas cilíndricas Ex1 Calcule o volume do sólido delimitado pelos paraboloides z = x² + y² e z = 6 - x² - y² Solução: Vol = ∫∫∫dV = ∫∫∫ dz r dr dθ x = rcosθ y = rsenθ dydx = rdrdθ Ex1 Calcule o volume do sólido delimitado pelos paraboloides z = x² + y² e z = 6 - x² - y² Solução: V = ∫∫∫ dz r dr dθ = ∫∫ [z]₆₋r² z=r² r dr dθ = ∫∫ (6 - r² - r²) r dr dθ = 2π∫ 6r - 2r³ dr = 2π [3r² - r⁴/2] r=√3 r=0 = 2π [3·3 - 9/2] = 9π Coordenadas cilíndricas (r, θ, z) x = rcosθ y = rsinθ z = z coordenadas polares no plano xy r² = x² + y² tg(θ) = y/x Note que dV = dAdz Em retangulares dV = dxdydz = ... = dzdydx Em cilíndricas dV = rdrdθdz = ... = dzrdrdθ ΔV ≈ rΔrΔθΔz → dV = rdrdθdz = ... = dzrdrdθ Ex2. Calcule o volume do sólido delimitado pelo plano z = a e pela superfície z = \sqrt{x^2 + y^2} Solução: Em coord cilíndricas V = \iiint_G dV = \int_0^{2\pi} \int_0^a \int_r^a r \, dz dr d\theta z=r Sombra r \leq a, 0 \leq \theta \leq 2\pi Fixados r e \theta o z correspondente varia de r até a Ex2. Calcule o volume do sólido delimitado pelo plano z = a e pela superfície z = \sqrt{x^2 + y^2} Solução: Em coord cilíndricas V = \iiint_G dV = \int_0^{2\pi} \int_0^a \int_r^a r \, dz dr d\theta = 2\pi \int_0^a \int_r^a dz dr = 2\pi \int_0^a ar - r^2 \, dr = 2\pi \left[ \frac{ar^2}{2} - \frac{r^3}{3} \right]_{r=0}^{r=a} = 2\pi \left[ \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} \right] = \frac{\pi a^3}{3}