Slide - Teorema de Green - 2023-2

Teorema de Green Joana Mohr IME-UFRGS Joana Mohr (IME-UFRGS) 1 / 10 Teorema de Green Seja R uma regiao plana, simplesmente conexa, cuja fronteira é uma curva C' lisa por partes, fechada, simples e orientada no sentido antihorario. Se f(x,y) e g(x, y) forem continuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem continuas em algum conjunto aberto contendo R, entao Og Of [ f(a, y)da + g(a, y)dy = I (5 - 5) dA. Cc ROX y Ou seja: podemos trocar uma integral de linha por uma integral dupla do seu interior, e vice versa. Cuidado: A hip´otese de R ser simplesmente conexa precisa ser observada. O dom´ınio de F da figura a seguir n˜ao inclui a origem, logo o Teorema de Green n˜ao pode ser aplicado. Existe uma vers˜ao do Teorema de Green para regi˜oes multiplamente conexas. Joana Mohr (IME-UFRGS) 3 / 10 Exemplo: Considere o campo vetorial F(x, y) = − 1 4xy2i + 1 4x2yj e o caminho fechado C constitu´ıdo pelos segmentos de reta ligando os pontos (1,1), (1,0), (2,0) e (2,4) e fechando com o arco de par´abola y = x2 de (2,4) at´e (1,1). Calcule ˆ C −1 4xy2 dx + 1 4x2y dy Joana Mohr (IME-UFRGS) 4 / 10 Como f(x,y) = —Fary? e g(x,y) = $27y, temos que 0 campo nao é conservativo, pois Og 1 4 Of 1 —=-2 — = —=27y. dx 2° Oy ae Usando o teorema de Green, temos que 1 4 1 4 I Og Of —-ry" dx + -2*y dy = (4 - = \aa= [ 4° + qo R\Ox Oy 2 pa? 2 py? |e? i ea = ff waa [| cy dy dx = [ a | dx = R 1 Jo 1 2 ly=0 i : Cc le Le 2 6,2 . =3/ x de = =| _ 63 Lat 2 J, 2h 12 : EE @.ol Feo) t Notacgao. Temos que f F(0,y)de + g(,y)dy C é uma integral calculada ao longo de uma curva fechada. As vezes colocamos uma seta para indicar se a curva é percorrida no sentido horario ou antihorario. No caso do Teorema de Green, temos Og _ Of x, y)de + g(x,y)dy = ff (52 "aA fi fende+genay= ff (S-5! Exemplo: Encontre o trabalho realizado pelo campo de forcas F(x, y) = (sen(x) — y)i+ (e% + 2)j numa particula que percorre uma vez o circulo x? + y? = 4 no sentido antihorario. W= f F-dr = gf (sen() — y)dx + (e¥ + x)dy = C C I (2 Y4 x) ® sen(2r) y))aA Jeu = —(e x)- = _ = = R \Ox Oy R 20 2 20 2 =| [ 2r dr do = | | d0 = 8r. 0 Jo 0 r=0 Calculando areas Og Of d. dy = ———)dA fi fede + genau = ff (52-55) Pergunta: Como calcular a area de uma regiado R, dada por ff p aA, usando o teorema de Green? Basta escolher f e g apropriados. Por exemplo, se f(x,y) = 0 e g(x,y) = x entao 0 0 I (2 - yaa = Jf (1-0)aa= ody p\Ox Oy R C Logo, Area(R) = f x dy Cc Og Of = ——— dA fp fete + g(x, y)dy I. (= 5) Area(R) = f x dy Cc Por outro lado, se f(x,y) = —y e g(x,y) = 0, temos Og Of | f ——)dA= 0-—(-1))dA=Q-yd IG ay) A ( )) 0 oe = > Area(R) = - y dx Cc Portanto 1 Area(R) = af —y dx + x dy 2Jc Exemplo: Use uma integral de linha para At ta PONS calcular a drea envolvida pela elipse NOT Ly 5 a? + y —] ar af =] r(t) = (5cos(t), 2sen(t)) 25 4 ‘ 4) O<t<2n 1 1?" / , Area(R) = a PY dx +x dy = 5 — y(t)x (t) + x(t)y (1)| dt = Cc 0 1 20 27 = >| [10 sen?(t) +10 cos*(t) |e = 5 | dt = 107. 0 0