Diferenças entre Juros Simples e Compostos

Juros compostos Apresentação Os juros simples são as rentabilidades alcançadas de um investimento com capital inicial e os juros compostos são os juros de certo período adicionados ao capital para o cálculo de novos juros para o período seguinte No juro simples apenas o capital inicial rende juros já no juro composto somamse os juros a cada período produzindo juros sobre juros Nesta Unidade de Aprendizagem você irá identificar os regimes de juros abordados na matemática financeira o juro simples e o juro composto Também verá os conceitos das duas capitalizações suas peculiaridades semelhanças e diferenças Além disso verá como as fórmulas são utilizadas nos dois regimes de capitalização e as principais taxas de juros empregadas no mercado financeiro Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Distinguir juros simples de juros compostos Aplicar as fórmulas utilizadas para cálculos em operações que envolvem juros compostos Calcular taxas de juros compostos na calculadora financeira Infográfico Quando se relacionam taxas de juros nas convenções linear e exponencial é possível verificar que quanto maior o tempo e maior a taxa mais visível fica a diferença entre o juro simples e o composto ou seja o montante do composto é muito maior que do juro simples No juro simples o cálculo da taxa é bem básico para convertêla e deixála proporcional basta multiplicar ou dividir pelo período correspondente Já no juro composto é preciso realizar o cálculo com fórmulas específicas como você irá ver no Infográfico a seguir Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Conteúdo do Livro No regime de capitalização composta os juros são calculados no fim de cada período gerando um montante sobre o qual se calculam os juros do período seguinte obtendose juros sobre juros As modalidades de investimentos e financiamentos são avaliadas de acordo com esse tipo de investimento pois apresenta mais rendimento gerando assim mais lucro No capítulo Juros compostos da obra Matemática Financeira base teórica desta Unidade de Aprendizagem você irá analisar as diferenças entre as capitalizações simples e compostas e entender suas aplicabilidades Para os cálculos dos dois regimes simples e composto você fará uso de fórmulas e calculadoras em especial no juro composto poderá utilizar a calculadora HP12c Boa leitura MATEMÁTICA FINANCEIRA Adriana Claudia Schmidt Identificação interna do documento SUEEULJXBK73MQF81 Juros compostos Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Distinguir juros simples de juros compostos Aplicar as fórmulas utilizadas para cálculos em operações que envol vem juros compostos Calcular taxas de juros compostos na calculadora financeira Introdução Para diferenciar os sistemas de juros é importante estruturar alguns conceitos entre juros simples e juros compostos também chamados de capitalizações simples e compostas Em qualquer um dos sistemas o capital os juros as taxas e o montante apresentam a mesma definição e tanto na capitalização simples como na composta é importante entender os princípios da matemática financeira os quais podem ser calculados por meio de fórmulas algébricas Neste capítulo você entenderá a necessidade que as pessoas têm de conhecer os fundamentos básicos da matemática financeira Além disso será possível compreender como um valor aplicado a uma certa taxa de juros se comporta no decorrer do tempo Após esse entendimento você terá acesso ao uso da calculadora financeira uma ferramenta essencial para quem deseja ter agilidade na resolução dos problemas financeiros do cotidiano Juros simples e juros compostos Existem dois tipos de capitalização simples e composta A melhor forma de diferenciar uma capitalização da outra é por meio de um exemplo sucinto Considere que uma pessoa obteve um empréstimo no valor de R 10000 em um banco X que opera com uma taxa de juros de 90 ao ano Qual será sua dívida após 5 anos No Quadro 1 vemos um exemplo de como esses cálculos ocorrem Identificação interna do documento SUEEULJXBK73MQF81 Por meio da tabela desenvolvida é possível verificar que após 5 anos a diferença entre os dois montantes é de R 192610 247610 55000 Além disso é possível verificar que o juro simples cresce linearmente ao longo dos 5 anos ao passo que o juro composto cresce exponencialmente A Figura 1 a seguir apresenta um gráfico com a diferença entre os juros simples e composto Figura 1 Diferença entre juros simples e composto Ano Dívida Juro simples Montante da dívida Dívida Juro composto Montante da dívida 1 R 10000 09 x 100 9000 R 19000 R 10000 09 x 100 9000 R 19000 2 R 19000 09 x 100 9000 R 28000 R 19000 09 x 190 171 R 36100 3 R 28000 09 x 100 9000 R 37000 R 36100 09 x 361 3249 R 68590 4 R 37000 09 x 100 9000 R 46000 R 68590 09 x 6859 61731 R 130321 5 R 46000 09 x 100 9000 R 55000 R 130321 09 x 130321 117289 R 247610 Quadro 1 Demonstrativo de cálculo de juro simples e juro composto Juros compostos 2 Identificação interna do documento SUEEULJXBK73MQF81 Ao somar os juros ao capital dáse o nome de capitalização por isso podemos chamar o juro simples de capitalização simples e o juro composto de capitalização composta No regime de capitalização simples os juros são somados uma única vez ao capital ou seja o juro é calculado somente sobre o capital inicial ao passo que nos juros compostos a remuneração se dá a cada período isto é juro sobre juro Conforme Veras 2005 p 56 os juros simples pela sua facilidade de cálculo são utilizados comumente em negócios entre pessoas físicas São utilizados também em operações comerciais como argumento de venda pois por esse regime por meio de artifícios de cálculo as taxas de lucro poderão parecer maiores e as taxas de juros menores No mercado financeiro só é utilizado em aplicações de curto prazo como open market ou overnight e em descontos de títulos Para todos os papéis de renda sistema financeiro de habitação crediários utilizase o regime de capitalização composta Nas duas convenções linear e exponencial entendese o seguinte Capital é o valor que se tem em mãos hoje também denominado valor atual principal ou valor presente Pode ser representado por C ou PV PV neste capítulo Juro é o valor da remuneração do capital representado pela letra J Taxa de juros é geralmente representada em porcentagem Quando substituída em fórmulas deve ser decimal ou seja dividida por 100 É a remuneração paga pelo uso de um capital sendo representada pela letra i Montante é o valor final do capital aplicado ou seja é o capital mais os juros sendo representado pelas letras M S ou FV pois também é chamado de valor futuro Tempo é o número de períodos que o capital fica aplicado ou emprestado sendo representado pelas letras n ou t Para o cálculo das operações financeiras são utilizadas fórmulas algébricas nas duas convenções sendo que a simbologia nas duas é a mesma conforme apresentado no Quadro 2 3 Juros compostos Identificação interna do documento SUEEULJXBK73MQF81 Capitalização simples Capitalização composta Juro J PV i n J PV1 in 1 Taxa de juros Tempo ou número de períodos Capital ou valor principal ou ou PV FV1 in Montante ou valor final FV PV1 i n FV PV1 in Onde J juro FV valor final PV valor principal i taxa de juros n número de períodos Quadro 2 Fórmulas das capitalizações simples e composta Na resolução de muitos problemas de juros simples e compostos é imperativo que se encontre o montante o valor principal e o juro por meio das seguintes fórmulas FV PV J PV FV J J FV PV Juros compostos 4 Identificação interna do documento SUEEULJXBK73MQF81 É imprescindível estabelecer as relações e as diferenças entre as duas capitalizações concluindose que em juros simples apenas o capital inicial rende juros sendo diretamente proporcional ao tempo e à taxa Já no juro composto o juro gerado pela aplicação em um período será incorporado a cada período gerando juros sobre juros Capitalização composta e suas aplicações O regime que melhor retrata a realidade nas operações fi nanceiras é o regime de capitalização composta Conforme Azevedo 2015 os fi nanciamentos p ex empréstimos bancários aplicações fi nanceiras ou crédito rotativo por meio de cartão de crédito são permeados atualmente por juros compostos No regime de juros compostos diferentemente dos juros simples os juros incidem no saldo devedor do período anterior havendo portanto uma composição de juros Assim como na capitalização simples o capital acrescido de juros compõe o valor futuro FV PV J A fórmula geral da capitalização composta varia de acordo com a quantidade de períodos da capitalização formando o fator de capitalização 1 in de modo que por gerar juros sobre juros a fórmula do montante é FV PV1 in Por meio da fórmula do valor futuro temse a fórmula do valor principal ou ainda PV FV1 in Nos cálculos com a utilização de fórmulas o período e a taxa devem estar na mesma unidade de tempo Por exemplo se o tempo estiver em dias a taxa deve ser dias se o tempo estiver em meses a taxa deve estar em meses e assim sucessivamente Lembrese de que as taxas devem ser decimais divi didas por 100 5 Juros compostos Identificação interna do documento SUEEULJXBK73MQF81 O Exemplo 1 a seguir apresenta a aplicabilidade dessa fórmula Luiz aplicou um certo capital a uma taxa de juros compostos de 12 ao mês capita lizado mensalmente produzindo um montante de R 350000 após 10 meses Qual o valor aplicado por Luiz PV FV 3500 n 10 meses i 12 am 100 0012 Por meio da resolução dessa fórmula é possível concluir que Luiz Aplicou R 310644 É importante que você utilize uma calculadora científica para a resolução dos cálculos Já os juros podem ser calculados pela diferença J FV PV Dessa fórmula obtémse J PV 1 in PV E colocando o PV em evidência temse a fórmula do juro composto J PV 1 in 1 O fator 1 in é encontrado em tabelas financeiras para cada valor de n e i e pode ser calculado com as calculadoras científicas usuais ou com a calculadora financeira HP 12c Juros compostos 6 Identificação interna do documento SUEEULJXBK73MQF81 O Exemplo 2 a seguir traz uma demonstração da utilização da fórmula do juro composto Maria fez um empréstimo a uma taxa de juros compostos de 28 ao mês durante 6 meses e pagou de juros o valor de R 750000 Qual o valor que Maria pegou emprestado PV FV Nessa situação em que se quer descobrir o valor principal que Maria pegou empres tado não é possível utilizar a fórmula do PV visto que para calcular por essa fórmula é necessário ter conhecimento do FV de modo que como só conhecemos o juro teremos de utilizar a fórmula do juro J 7500 n 6 meses i 28 am 100 0028 Para o cálculo do número de períodos em juros compostos como o n está sempre no expoente ao fazermos a substituição das variáveis caímos em logaritmos Em concursos muitas vezes a questão informa o valor do logaritmo e nas questões usuais usase a calculadora científica para cálculos com fórmulas ou a calculadora financeira HP 12c Para o cálculo do tempo temse a seguinte fórmula 7 Juros compostos Identificação interna do documento SUEEULJXBK73MQF81 O Exemplo 3 a seguir traz uma aplicação para o cálculo do número de períodos Se a inflação mensal está em torno 14 em quanto tempo uma mercadoria que custa R 750000 atingirá o preço de R 781943 PV 7500 FV 781943 i 14 am 100 0014 n Já para o cálculo da taxa no juro composto fazse necessário o uso de uma fórmula prática Conforme Rohloff 2009 devese subtrair 1 e multiplicar por 100 o resultado do cálculo exponencial como segue Para o cálculo da taxa é indispensável o uso de calculadoras Lembre se de que a resposta virá sempre na forma decimal de modo que é preciso multiplicar por 100 para transformar em taxa percentual como pode ser visualizado no Exemplo 4 Juros compostos 8 Identificação interna do documento SUEEULJXBK73MQF81 Se você realizar um investimento no valor de R 3200000 em títulos de capitalização que lhe proporcionarão um resgate de R 3975350 após 150 dias de aplicação qual será a taxa mensal de juros compostos aplicada ao seu capital PV 32000 FV 3975350 N 150 dias 5 meses i Resolução de taxas com a máquina financeira HP 12c Taxas de juros Na capitalização composta as taxas de juros são defi nidas de uma maneira especial diferentemente dos juros simples em que a taxa de 2 ao mês representa o mesmo que 24 ao ano ou 12 ao semestre ou seja a relação é linear Podese dizer então que essas taxas são proporcionais Entretanto nos juros compostos a relação não é a mesma Taxa nominal Conforme Castanheira e Macedo 2010 ao nos dirigirmos a um agente fi nanceiro e questionarmos sobre o valor da taxa utilizado para empréstimo 9 Juros compostos Identificação interna do documento SUEEULJXBK73MQF81 à pessoa física é comum sermos informados da taxa anual que está sendo praticada naquele momento Entretanto o prazo de formação de juros e a sua incorporação ao capital que o produziu costumam ser de periodicidade menor geralmente mensal À taxa informada damos o nome de taxa nominal A taxa de juros é nominal quando a unidade referencial de tempo não coincide com a unidade de tempo da capitalização Por exemplo 16 ao ano capitalizada mensalmente 18 ao ano capitalizada trimestralmente 22 ao ano capitalizada semestralmente Quando essa situação ocorrer em problemas de capitalização composta devese calcular de forma proporcional aos juros simples Veja 16 ao ano capitalizada mensalmente 18 ao ano capitalizada trimestralmente 22 ao ano capitalizada semestralmente O Exemplo 5 a seguir apresenta o desenvolvimento desse cálculo por meio da fórmula e da calculadora financeira HP 12c Determine o montante de um valor de R 300000 que foi aplicado à taxa nominal de 40 ao ano durante um ano considerando a capitalização trimestral i 40 aa 10 at 100 01 at n 1 ano 4 trimestres PV 3000 FV FV PV 1 in FV 30001 014 FV 439230 Na calculadora HP 12c f reg zera todos os registros 3000 CHS PV 10 i 4 n FV Juros compostos 10 Identificação interna do documento SUEEULJXBK73MQF81 Taxas proporcionais equivalentes e efetivas Para Azevedo 2015 p 32 as taxas proporcionais estão ligadas a juros simples ao passo que as taxas equivalentes se associam a juros compostos Todavia podese dizer também que as taxas equivalentes estão ligadas às duas capita lizações e sempre que solicitadas ao cálculo é preciso saber qual o tipo de capitalização As taxas efetivas por sua vez estão ligadas somente aos juros compostos Desse modo sempre que for dito a taxa efetiva não será necessário a especifi cação visto que a taxa efetiva só é calculada no juro composto Conforme Assaf Neto 2012 por se tratar de capitalização exponencial a expressão da taxa equivalente composta é a média geométrica da taxa de juros do período inteiro Quando solicitado o cálculo da taxa efetiva ou da taxa equivalente em juros compostos duas fórmulas são usuais para o cálculo e A primeira é utilizada quando se tem a taxa com o maior período e se quer encontrar a taxa equivalente ao menor período ao passo que a segunda é utilizada quando se tem a taxa com o menor período e se quer encontrar a taxa com o maior período Para entender melhor veja os Exemplos 6 e 7 Determine a taxa de juros compostos mensal equivalente a 21 ao ano i 21 ao ano porém queremos ao mês temos aa e vamos para am da maior para a menor Quantos meses têm um ano 12 meses n 12 meses Na HP 12c 100 CHS PV usase como valor principal 121 FV valor principal somado à taxa de juros 12 n período que buscamos i taxa equivalente 11 Juros compostos Identificação interna do documento SUEEULJXBK73MQF81 A taxa de juros compostos de 24 ao mês corresponde à qual taxa equivalente ao trimestre i 24 ao mês porém queremos ao trimestre temos am e vamos para at da menor para a maior Quantos meses têm um trimestre 3 meses n 3 meses Na HP12c 100 CHS PV usase como valor principal 24 i taxa de juros fornecidos 3 n período que buscamos FV valor futuro 100 subtraise o PV inicial para encontrar a taxa de juros Conforme Castanheira e Macedo 2010 na matemática financeira independentemente da capitalização em estudo é comum utilizar nas respostas duas casas após a vírgula e para isso usase uma regra de arredondamento se o terceiro número for 5 6 7 8 ou 9 o segundo número é arredondado para cima porém se o terceiro número for 4 3 2 1 ou 0 o segundo número fica inalterado Por exemplo 223673 224 338213 338 Juros compostos 12 Identificação interna do documento SUEEULJXBK73MQF81 Neste capítulo para facilitar o entendimento da capitalização composta foram utilizados vários problemas envolvendo diferentes cálculos desenvolvidos por meio de fórmulas e pela máquina financeira HP 12c Para Castanheira e Macedo 2010 podese considerar que a essência da capitalização composta está na definição de que ela é caracterizada pela reincidência de juros sobre o capital ou seja quando sobre um valor que já tem embutido uma parcela de juro incide novamente a taxa de juro Nesse contexto vários instrumentos de cálculos da área financeira são utilizados como juros simples juros compostos e equivalência de taxas ASSAF NETO A Matemática financeira e suas aplicações 12 ed São Paulo Atlas 2012 AZEVEDO G H W Matemática financeira princípios e aplicações São Paulo Saraiva 2015 CASTANHEIRA N P MACEDO L R D Matemática financeira aplicada 3 ed Curitiba Ibpex 2010 ROHLOFF D B Matemática financeira administração São Paulo Pearson 2009 VERAS L L Matemática financeira uso de calculadoras financeiras aplicações ao mercado financeiro introdução à engenharia econômica 300 exercícios resolvidos e propostos com respostas São Paulo Atlas 2005 13 Juros compostos Identificação interna do documento SUEEULJXBK73MQF81 Identificação interna do documento SUEEULJXBK73MQF81 Identificação interna do documento SUEEULJXBK73MQF81 Identificação interna do documento SUEEULJXBK73MQF81 Identificação interna do documento SUEEULJXBK73MQF81 Nome do arquivo C06JurosCompostos202210141427253348771pdf Data de vinculação à solicitação 14102022 1427 Aplicativo 632385 Dica do Professor Em juros compostos são definidas várias fórmulas aplicadas em problemas do mercado A expressão que define o crescimento do dinheiro ao longo do tempo é 1 in fundamental no regime de juros compostos e as demais fórmulas são obtidas por meio dessa expressão A taxa efetiva é utilizada nos cálculos financeiros a juros compostos e a taxa nominal depende do número de períodos da capitalização Nesta Dica do Professor acompanhe essas aplicações Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Na prática A capitalização composta é o regime de juros mais usual no mercado financeiro e também em cálculos do dia a dia das pessoas físicas e jurídicas Entender como os juros compostos se comportam no mercado financeiro é muito importante pois quando se adquire dívidas não é nada fácil conseguir quitálas O juro do cheque especial assim como do cartão de crédito é calculado juro sobre juro Veja Na Prática um cálculo básico de dívidas com cartão de crédito Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino Saiba mais Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Emulador HP12C A máquina financeira HP12c é utilizada principalmente na capitalização composta e você pode realizar todos os cálculos com esta versão online Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Calculadora científica Para realizar os cálculos de juros compostos será necessário utilizar uma máquina calculadora científica e você também poderá utilizála online Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Matemática Financeira fundamentos e aplicações A Matemática Financeira auxilia no entendimento dos fenômenos da vida real permitindo que você compreenda melhor o comportamento do dinheiro ao longo do tempo Assim o tema de juros é de grande importância Para aprofundar seus conhecimentos faça a leitura do Capítulo 4 Juros compostos na página 23 do livro indicado Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino