Equivalência de Capitais: Conceitos e Aplicações na Matemática Financeira

Equivalência de capitais Apresentação A equivalência de capitais ocorre na capitalização simples e na capitalização composta e os conceitos nos dois regimes são os mesmos A equivalência de capitais geralmente é utilizada para renegociação de dívidas Você pode ter dois ou mais capitais que podem estar em datas diferentes Levandoos para uma mesma data com determinada taxa de juros se os valores deles nessa data forem iguais os capitais são equivalentes Nesta Unidade de Aprendizagem você aprenderá a reconhecer esses conceitos a calcular o valor atual de um fluxo de caixa e aplicar a equivalência de capitais na administração de fluxos de caixa Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Reconhecer os conceitos de equivalência de capitais Calcular o valor atual de um fluxo de caixa com certa taxa e em determinada data Aplicar a equivalência de capitais na administração de fluxos de caixa ajustando as diferenças entre eles de modo a tornálos equivalentes entre si Infográfico Na equivalência de capitais você irá transportar dois valores ou mais tanto na convenção linear como na exponencial a uma data comum e com a mesma taxa se os resultados forem os mesmos esses valores são equivalentes No infográfico a seguir você confere uma linha do tempo que melhor representa esse tipo de situação Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Conteúdo do Livro A equivalência de capitais referese a um valor atual ou nominal valor futuro que centrado em uma data qualquer no fluxo de caixa revela o mesmo valor com o qual se deseja comparar Dessa forma tornase indiferente o recebimento hoje ou em qualquer data no futuro No capítulo Equivalência de capitais da obra Matemática financeira base teórica desta Unidade de Aprendizagem você irá entender que os conceitos referentes à equivalência de capitais geralmente são utilizados em renegociação de dívidas Boa leitura MATEMÁTICA FINANCEIRA Adriana Claudia Schmidt Equivalência de capitais Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Reconhecer os conceitos de equivalência de capitais Calcular o valor atual de um fluxo de caixa a uma determinada taxa e em uma determinada data Aplicar a equivalência de capitais na administração de fluxos de caixa ajustando as diferenças entre eles de modo a tornálos equivalentes entre si Introdução O conhecimento da equivalência financeira de capitais se estabelece nos conceitos básicos da matemática financeira sendo necessária a substi tuição de uma ou mais obrigações financeiras por outras obrigações com datas diferentes de vencimentos das anteriores sem perda para credores ou devedores Essas situações podem ser abordadas entendidas e resolvidas por meio da equivalência financeira de capitais Neste capítulo você estudará as operações financeiras que propor cionam precisão para antecipar ou postecipar títulos Definições de equivalências de capitais A equivalência de capitais aborda as operações fi nanceiras que possuem a função de adiantar ou prorrogar títulos Conforme Almeida 2016 a equi valência de capitais representa a substituição de um título por outros com vencimentos diferentes Portanto é preciso determinar o valor de um título quando este necessita ser antecipado ou postecipado ou ainda substituído por outro título cujo valor represente o equivalente àquele original considerando se uma dada taxa A data considerada como base de comparação dos valores que se referem a diferentes datas é denominada data focal também chamada de data de avaliação ou data de referência VEIGA 2014 A equivalência de capitais é empregada principalmente por instituições financeiras empresas e pessoas principalmente ao se tratar das entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo Para Dal Zot e Castro 2015 o ideal para qualquer agente econômico é que os pagamentos e recebimentos coinci dam em valor e vencimentos de modo a não faltar nem ter excessos de caixa Quando ocorre uma falta de sintonia nos prazos e valores entre pagamentos e recebimentos os agentes tendem a realizar ações no sentido de minimizar esse desajuste A equivalência de capitais serve para ajustes e renegociações necessárias podendo ser realizada por pessoas físicas ou jurídicas Para Dal Zot e Castro 2015 p 77 as situações mais frequentes são Renegociação de prazos ou condições de pagamento de uma dívida um devedor pode solicitar o adiamento do vencimento de uma dívida se tiver dificuldade em pagar naquela data ou ao contrário pagar antecipadamente reduzindo juros caso tiver excesso de caixa no referido vencimento Negociação ou troca de fluxo de caixa para um banco tanto os excessos de caixa como as faltas são dificuldades a serem evitadas no primeiro caso a existência de caixa significa dinheiro a ser remunerado a aplicadores sem receita correspondente e no segundo caso o banco deve recorrer a empréstimos para honrar os compromissos Na resolução das expressões matemáticas de equivalência de capitais devese considerar o fato de o regime de capitalização ser de juros simples ou compostos bem como é importante saber se o critério do desconto estabelecido é comercial ou racional Se a questão não apontar o regime a ser considerado deverá ser empregado o regime de juros compostos e se não for estabelecido o critério a ser utilizado deverá ser utilizado o critério de desconto racional Equivalência de capitais 2 Valor presente na equivalência de capitais simples e compostos Para melhor compreensão do processo de equivalência de capitais os cálculos podem ser feitos por meio de equações das funções da máquina fi nanceira HP 12c e da planilha eletrônica Excel As questões que se referem à troca de títulos podem ser defi nidas pelos dois regimes de capitalização simples e composto Equivalência de capitais juros simples No sistema de capitalização simples dois ou mais capitais são equivalentes se os seus valores calculados nessa data com essa taxa forem iguais A data é chamada de data focal ou de equivalência Conforme Veras 2005 no regime de capitalização simples se dois ou mais capitais são equivalentes é necessário que se declare além da data focal e da taxa utilizada o tipo de equivalência por se tratar de capitais equivalentes com desconto comercial simples ou capitais equivalentes com juros simples ou desconto racional simples Se a data focal for anterior às datas de disponibilidade dos capitais que estão sendo analisados os valores estimados na data focal são chamados de valor atual ou valor presente geralmente representados por A Quando a data focal sucede às datas em que os capitais são disponibilizados seus valores são chamados de valores futuros ou nominais representados por N A Equação 1 a seguir apresenta o cálculo de equivalência de capitais com desconto comercial simples na data 0 com taxa i N1 1 in1 N2 1 in2 1 Se nessa mesma data e com essa mesma taxa os capitais são equivalentes com juros simples ou desconto racional simples o cálculo deve ser feito de acordo com a Equação 2 2 3 Equivalência de capitais Para melhor compreensão dessas aplicações observe os Exemplos 1 e 2 a seguir Exemplo 1 João é portador de um título de R 2000000 para 90 dias e trocouo por outro no valor de R 1500000 para 30 dias Calcule a taxa mensal de desconto comercial simples utilizada nessa troca Para o cálculo dessa taxa por ser desconto comercial simples utilizase a Equação 1 N1 1 in1 N2 1 in2 200001 i 3 150001 i 1 20000 60000i 15000 15000i 60000i 15000i 15000 20000 45000i 5000 1 45000i 5000 i 01111 100 1111 ao mês Observe no Exemplo 2 como seria se a troca do título do Exemplo 1 fosse realizada com juros simples Exemplo 2 João é portador de um título de R 2000000 para 90 dias e trocouo por outro no valor de R 1500000 para 30 dias Calcule a taxa mensal de desconto racional ou juro simples utilizada nessa troca Para o cálculo dessa taxa por ser desconto racional simples utilizase a Equação 2 Equivalência de capitais 4 20000 20000i 15000 45000i 20000i 45000i 15000 20000 25000i 5000i 1 25000i 5000 i 020 100 20 ao mês Conforme Veras 2005 se a data focal é posterior às datas de disponibili dade dos capitais ou posterior a uma delas os valores que serão calculados na data focal serão valores futuros ou um deles será No entanto podemse estabelecer condições para que sejam equivalentes não só com juros simples mas também com desconto comercial simples Lembrese de que o desconto racional simples é calculado sobre o valor nominal N valor futuro ao passo que o desconto comercial simples é calculado sobre o valor atual A A Equação 3 a seguir apresenta a equivalência calculada com desconto simples 3 E a Equação 4 apresenta a equivalência calculada com juros simples A1 1 in1 A2 1 in2 4 Observe nos Exemplos 3 e 4 a aplicabilidade dessas equações 5 Equivalência de capitais Exemplo 3 Paulo tinha dois títulos de mesmo valor nominal vencíveis na mesma data porém precisou de dinheiro e descontou um deles 23 dias antes do vencimento recebendo R 20600000 Ele está novamente precisando de dinheiro e quer descontar o outro faltando 11 dias para o vencimento Quanto Paulo irá receber por ele se a taxa é igual para os dois títulos com taxa de 07 ad de desconto comercial simples i 07 ad deve ser transformada em taxa decimal então temse 07 100 0007 08390A2 190138 A2 22662455 Observe no Exemplo 4 a mesma situação porém com desconto racional Exemplo 4 Paulo tinha dois títulos de mesmo valor nominal vencíveis na mesma data porém precisou de dinheiro e descontou um deles 23 dias antes do vencimento recebendo R 20600000 Ele está novamente precisando de dinheiro e quer descontar o outro faltando 11 dias para o vencimento Quanto Paulo irá re ceber por ele se a taxa é igual para os dois títulos com taxa de 07 ad de desconto racional simples i 07 ad deve ser transformada em taxa decimal então temse 07 100 0007 A11 in1 A2 1 in2 2060001 000723 A21 0007 11 206000 33166 A2 0077A2 1077A2 239166 A2 22206685 Equivalência de capitais 6 Equivalência de capitais juros compostos A grande maioria das operações fi nanceiras é realizada a partir do critério de capitalização composta Conforme Almeida 2016 dois capitais com datas de vencimento determinadas são equivalentes quando em uma mesma data à mesma taxa de juros apresentam valores iguais Contrariamente ao que foi verifi cado no regime de juros simples a equivalência de capitais em juros compostos pode ser defi nida para qualquer data focal Assim dois ou mais valores nominais equiva lentes sob o critério de juros sobre juros em certa data focal são equivalentes em qualquer data focal Ou seja no regime de capitalização composta a equivalência fi nanceira independe do momento tomado como comparação Além disso no regime de capitalização composto podemse ter capitais equivalentes com desconto comercial ou capitais equivalentes com juros compostos ou desconto racional composto conforme a sistemática de cálculo utilizada na equivalência VERAS 2005 Na prática apenas a equivalência com juros compostos é utilizada Observe na Equação 5 o cálculo para a equivalência com desconto co mercial composto 5 onde N1 e N2 capitais disponíveis em datas que sucedem à data focal 0 n1 e n2 períodos A1 e A2 valores atuais calculados na data focal com taxa a i Para a equivalência feita com juros compostos temse ou ainda Equação 6 6 Além disso é possível ter a data focal posterior às datas de disponibilidade dos capitais Se A1 e A2 estão disponíveis n1 e n2 períodos antes da data focal n e N1 e N2 os valores são calculados na data focal com taxa i 7 Equivalência de capitais Aos capitais equivalentes com desconto comercial composto aplicase a Equação 7 7 A Equação 8 é aplicada para a equivalência feita com juros compostos 8 Equivalência entre conjuntos de capitais Na capitalização composta dois ou mais conjuntos de capitais são equivalentes com uma dada taxa se as adições dos valores dos capitais de cada um desses conjuntos calculados com a mesma taxa em uma data qualquer forem iguais Conforme Dal Zot e Castro 2015 o valor atual representado por PV VA ou A na data focal zero é dado pela soma do valor atual de cada um de seus termos os quais podem ser representados por N R ou PMT Neste capítulo por se tratar de prestações utilizaremos PMT cuja representação na máquina HP12c é ou Observe Exemplo 5 como encontrar as prestações tendo o valor atual Exemplo 5 Uma televisão custa R 860000 e pode ser comprada em 4 prestações mensais iguais sendo a primeira paga na data da compra Qual o valor de cada pres tação se a equivalência for feita a uma taxa de 6 am de juros compostos Equivalência de capitais 8 N1 0060 N1 0061 N1 0062 N1 0063 8600 N 09434N 08899N 08396N 8600 36729N 8600 N 234147 Lembrese de que tanto na capitalização simples como na composta outras notações de variáveis e equações podem ser utilizadas Nas equações é possível utilizar um somatório assim como resolver os cálculos separadamente e depois somálos O Exemplo 6 a seguir demonstra como calcular o valor atual de um fluxo de caixa Exemplo 6 A partir do fl uxo de caixa a seguir desejase calcular o valor atual na data focal 0 A a uma taxa de juros compostos de 15 ao ano Ano Valor corrente 0 1000 1 500 2 600 3 800 Substituindo os dados da tabela na equação e transformando a taxa per centual em decimal 15 100 temse 9 Equivalência de capitais A 1000 43478 45369 52601 A 41448 Há diferentes maneiras para se calcular o fluxo de caixa do Exemplo 6 na HP12c Observe a seguir dois formatos de resolução f fin f reg limpa a memória 1000 CHS ENTER g CFo 500 ENTER G CFj 600 ENTER G CFj 800 ENTER G CFj 15 i f NPV 41448 Análise da equivalência de capitais A equivalência de capitais em juros simples ocorre quando um ou mais ca pitais em suas respectivas datas são transportados para uma data comum a uma determinada taxa produzindo resultados iguais Os cálculos podem ser resolvidos com as equações usuais do juro simples sendo que na equivalência de capitais utilizamos o N no lugar do FV e o A no lugar do PV N1 A11 in N2 A21 in Equivalência de capitais 10 onde N valor nominal valor da dívida A valor atual i taxa de juros n tempo número de períodos Observe no Exemplo 7 a verificação da equivalência de capitais Exemplo 7 Verifi que se o capital de R 432000 com vencimento para 4 meses é equi valente ao capital de R 468000 com vencimento para 6 meses com uma taxa linear de 5 am na data focal 0 ou seja na data de hoje Como há dois valores nominais a vencer em certa data à mesma taxa de juros é preciso encontrar o valor atual a taxa de juros deve ser transformada em decimal 5 100 005 Assim temse Logo os capitais são equivalentes nas respectivas datas focais A equivalência composta é idêntica aos juros simples quando dois ou mais capitais equivalentes em suas determinadas datas e taxa de juros proporcio nam em uma mesma data focal resultados iguais No Exemplo 8 verificase a equivalência no fluxo de caixa a juros compostos 11 Equivalência de capitais Exemplo 8 Verifi que se os fl uxos de caixa a seguir são equivalentes a uma taxa de juros compostos de 10 ao semestre Semestre Fluxo 1 Fluxo 2 0 40000 1 22000 2 24200 72600 3 106480 26620 Para calcular os dois fluxos substituise os valores na equação do valor atual utilizando a taxa decimal 10 100 010 Fluxo 1 A 0 200 200 800 A 120000 Fluxo 2 A 400 0 600 200 A 120000 Como os fluxos de caixa 1 e 2 apresentaram os mesmos valores atuais à mesma taxa de juros dizse que os fluxos são equivalentes entre si Equivalência de capitais 12 Nem sempre os valores são exatamente iguais Conforme Dal Zot e Castro 2015 às vezes os valores apresentam uma pequena diferença que devido à sua insignificância é considerada nula O Exemplo 9 a seguir demonstra que um fluxo de caixa pode ser equiva lente entre si com uma taxa mas pode não ser equivalente com a outra taxa Exemplo 9 Verifi que se os fl uxos de caixa a seguir são equivalentes a uma taxa de juros compostos de 20 ao semestre Semestre Fluxo 1 Fluxo 2 0 40000 1 22000 2 24200 72600 3 106480 26620 Para calcular os dois fluxos substituise os valores na equação do valor atual utilizando a taxa decimal 20 100 020 Fluxo 1 A 0 18333 16806 61620 A 96759 13 Equivalência de capitais Fluxo 2 A 400 0 50417 15405 A 105822 Como os fluxos de caixa 1 e 2 não apresentaram os mesmos valores atuais a uma taxa de juros 20 as dizse que os fluxos não são equivalentes entre si Como visto no Exemplo 9 os fluxos não são equivalentes Conforme Dal Zot e Castro 2015 quando dois fluxos de caixa não são equivalentes a uma determinada taxa de juros obtémse a equivalência somando a diferença dos valores atuais dos fluxos ao valor corrente na data focal zero do fluxo de menor valor atual Além disso a diferença DIF também pode ser somada em outras datas desde que considerada a capitalização dos juros ou seja caso a data focal escolhida for 2 o valor a ser somado será DIF2 DIF1 i2 DAL ZOT CASTRO 2015 No Exemplo 10 serão ajustados os fluxos de caixa do Exemplo 9 a fim de tornálos equivalentes entre si Exemplo 10 Verifi que se os fl uxos de caixa a seguir são equivalentes a uma taxa de juros compostos de 20 ao semestre Semestre Fluxo 1 Fluxo 2 0 40000 1 22000 2 24200 72600 3 106480 26620 Como os cálculos foram resolvidos no Exemplo 9 sabese que os fluxos de caixa 1 e 2 não são equivalentes entre si Agora calcule a diferença entre eles a fim de tornálos equivalentes Equivalência de capitais 14 DIF0 A2 0 A1 0 DIF0 105822 96759 DIF0 9063 Logo os fluxos de caixas deverão ser reajustados Semestre Fluxo 1 Fluxo 2 0 0 9063 9063 40000 1 22000 2 24200 72600 3 106480 26620 Dessa forma os fluxos 1 e 2 tornamse iguais a R 105822 São inúmeras as possibilidades de combinações entre capitais para realizar a equivalência Neste capítulo foram apresentados alguns conceitos os quais devem ser avaliados e aprofundados uma vez que são muito úteis no dia a dia em diversas transações financeiras ALMEIDA J T S Matemática financeira Rio de Janeiro LTC 2016 DAL ZOT W CASTRO M L Matemática financeira fundamentos e aplicações Porto Alegre Bookman 2015 VEIGA S A Matemática financeira Taubaté Universidade de Taubaté 2014 VERAS L L Matemática financeira 5 ed São Paulo Atlas 2005 Leituras recomendadas ASSAF NETO A Matemática financeira e suas aplicações 12 ed São Paulo Atlas 2012 CAMARGOS M Matemática financeira aplicada a produtos financeiros e à análise de investimentos São Paulo Saraiva 2013 HOJI M Matemática financeira didática objetiva e prática São Paulo Atlas 2016 15 Equivalência de capitais Os links para sites da Web fornecidos neste capítulo foram todos testados e seu fun cionamento foi comprovado no momento da publicação do material No entanto a rede é extremamente dinâmica suas páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo Assim os editores declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade precisão ou integralidade das informações referidas em tais links Equivalência de capitais 16 Dica do Professor Uma das utilidades práticas dos conceitos referentes à equivalência de capitais é a renegociação de dívidas Na Dica do Professor você irá acompanhar o cálculo da equivalência de capitais por meio de um exemplo de troca de dois títulos por apenas um vencível em data posterior Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Na prática A equivalência de capitais ocorre quando dois ou mais capitais em suas respectivas datas são transportados para uma data comum com uma determinada taxa Neste Na Prática acompanhe o pagamento de duas dívidas que serão substituídas por apenas um pagamento na mesma data em que uma será quitada com atraso e a outra será antecipada Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar Saiba mais Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Matemática Financeira fundamentos e aplicações Na obra de Manuela Castro e Wili Zot a partir da página 77 você irá aprofundar os conceitos de equivalência e também a resolução de exemplos resolvidos pela calculadora HP 12c Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino