Conceitos Básicos de Probabilidade e Espaço Amostral

Probabilidade e Estatística fls 92 Conceitos Básicos de Probabilidade Metas desta Aula Como identificar o espaço amostral de um experimento probabilístico e também identificar eventos simples Como distinguir as probabilidades clássica empírica e subjetiva Como identificar e usar as propriedades da probabilidade 1 Experimentos Probabilísticos Quando um meteorologista afirma que há uma chance de 90 de chover ou um médico diz que há 35 de chance de sucesso em uma cirurgia eles estão estabelecendo a chance ou probabilidade de um evento específico ocorrer Decisões como Você deveria lavar seu carro ou Você deveria submeterse a uma cirurgia baseiamse frequentemente nessas probabilidades Você já aprendeu sobre o papel da Estatística Descritiva Uma vez que a probabilidade é a base da Estatística Aplicada é necessário aprender sobre ela antes de prosseguir Definição Um experimento probabilístico é uma ação ou um ensaio por meio dos quais resultados específicos observações contagens medidas ou respostas são obtidos A consequência de um único ensaio em um experimento probabilístico é um resultado ponto amostral O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento probabilístico é o espaço amostral Probabilidade e Estatística fls 93 Um evento consiste em um ou mais resultados e é um subconjunto do espaço amostral Exemplo 1 Identificando o espaço amostral de um experimento probabilístico Certo experimento probabilístico consiste em jogar uma moeda e então um dado com seis faces Descreva o espaço amostral Solução Jogando uma moeda há dois resultados possíveis cara C ou coroa K Para cada um deles há seis resultados possíveis com o dado 1 2 3 4 5 ou 6 Uma maneira de fazer uma lista dos resultados neste caso é usar um diagrama de árvore A partir do diagrama de árvore vemos que o espaço amostral tem 12 resultados C1 C2 C3 C4 C5 C6 K1 K2 K3 K4 K5 K6 Exercício 1 Para cada experimento probabilístico identifique o espaço amostral 1 O experimento probabilístico consiste na resposta escolhida no levantamento a seguir de quem responde Probabilidade e Estatística fls 94 2 O experimento probabilístico consiste na resposta escolhida no levantamento acima e no esporte futebol voleibol ou outros de quem responde a Comece um diagrama de árvore formando um ramo para cada resposta possível dada ao levantamento b Ao término de cada ramo de resposta do levantamento trace um novo ramo para cada um dos resultados possíveis c Obtenha o número de resultados do espaço amostral d Faça uma lista do espaço amostral 2 Cálculos de Eventos A partir daqui você aprenderá a calcular a probabilidade ou plausibilidade de um evento Eventos são frequentemente representados por letras maiúsculas tais como A B C Um evento que consiste em um único resultado é chamado de evento simples Por exemplo se você determinar o tipo sanguíneo de uma amostra teremos um evento simples X será o sangue é tipo A Em contraste o evento E será o sangue não é tipo A e não será simples pois consistirá em três outros resultados possíveis B AB O Levantamento Deve haver um limite no número de mandatos que um Presidente de Confederação esportiva pode cumprir Concordo Não concordo Não tenho opinião Probabilidade e Estatística fls 95 Exemplo 2 Identificando eventos simples Decida se cada um dos eventos é simples Explique seu raciocínio 1 Para o controle de qualidade selecionase ao acaso um chip de computador dentre os fabricados naquele dia O evento A é selecionar um chip defeituoso 2 Jogase um dado de seis lados O evento B é obter pelo menos um 4 Solução 1 O evento A tem somente um resultado a escolha do chip com defeito O evento portanto é simples 2 O evento B tem três resultados obter um 4 5 ou 6 Uma vez que o evento tem mais de um resultado ele não é simples Exercício 2 Você pergunta a idade de um estudante Decida se cada evento é simples 1 Evento C a idade do estudante está entre 18 e 23 anos 2 Evento D a idade do estudante é 20 anos a Decida quantos resultados estão no evento b Estabeleça se o evento é simples 3 Tipos de probabilidade Há três tipos de probabilidade clássica empírica e subjetiva A probabilidade de um evento E ocorrer é escrita como PE lêse a probabilidade do evento E Probabilidade e Estatística fls 96 31 Probabilidade Clássica Definição A probabilidade clássica ou teórica é usada quando cada resultado no espaço amostral tem a mesma probabilidade de ocorrer A probabilidade clássica para um evento E é dada por Exemplo 3 Obtendo probabilidades clássicas Um dado de seis faces é jogado Obtenha a probabilidade dos seguintes eventos 1 Evento A obter um 3 2 Evento B obter um 7 3 Evento C obter um número menor do que 5 Solução Quando um dado de seis faces é jogado o espaço amostral consiste em seis resultados 1 2 3 4 5 6 1 Há um resultado no evento A 3 Assim P3 16 0167 2 Uma vez que 7 não está no espaço amostral não há resultado no evento B Assim P7 06 0 Probabilidade e Estatística fls 97 3 Há quatro resultados no evento C 1 2 3 4 Assim Pnúmero menor do que 5 P5 46 0667 Exercício 3 Selecionase uma carta de um baralho normal Determine a probabilidade dos seguintes eventos 1 Evento D selecionar um 7 de ouros 2 Evento E selecionar uma carta de ouro 3 Evento F selecionar uma carta de ouro copas paus ou espada a Identifique o número total de resultados no espaço amostral b Determine o número de resultados do evento c Use a fórmula da probabilidade clássica Probabilidade e Estatística fls 98 32 Probabilidade Empírica O segundo tipo de probabilidade é a empírica Ela pode ser usada mesmo que cada resultado não tenha a mesma probabilidade de ocorrer Definição A probabilidade empírica ou estatística baseiase em observações obtidas de experimentos probabilísticos A probabilidade empírica de um evento E é a frequência relativa desse evento Exemplo 4 Obtendo probabilidades empíricas Um pequeno açude contém três tipos de peixes tilápias bagres e carpas Cada peixe no açude tem a mesma probabilidade de ser capturado Você pesca 40 peixes e anota seu tipo Após cada captura você devolve o peixe ao açude A seguinte distribuição de frequência mostra seus resultados Tipo de Peixe Número de vezes que foi capturado ƒ Tilápia 13 Bagre 17 Carpa 10 ƒ 40 Se após isso você capturar um novo peixe qual será a probabilidade de que ele seja uma tilápia Probabilidade e Estatística fls 99 Solução O evento é pescar uma tilápia Em seu experimento a frequência do evento é 13 Como o total de frequência é 40 a probabilidade empírica de pescar uma tilápia é Ptilápia 1340 0325 Exercício 4 Uma companhia de seguros constata que a cada cem pedidos de pagamento quatro são fraudulentos Qual é a probabilidade de o próximo pedido de pagamento ser uma fraude a Identifique o evento Determine a frequência do evento b Determine a frequência total do experimento c Determine a frequência relativa do evento Lei dos Grandes Números À medida que aumenta o número de vezes que se repete um experimento probabilístico a probabilidade empírica frequência relativa de determinado evento aproximase da probabilidade teórica desse evento Isso é conhecido como lei dos grandes números Definição Lei dos grandes números À medida que um experimento é repetido mais e mais vezes a probabilidade empírica de um evento tende à sua probabilidade teórica real Probabilidade e Estatística fls 100 Como exemplo dessa lei suponha que você queira determinar a probabilidade de obter cara com uma moeda normal Se jogar a moeda dez vezes e obtiver somente três caras a probabilidade empírica será de 310 Uma vez que a moeda foi jogada poucas vezes sua probabilidade empírica não é representativa da probabilidade teórica a qual é 12 Se porém você jogar a moeda milhares de vezes de acordo com a lei dos grandes números a probabilidade empírica será muito próxima da probabilidade teórica ou real O mapa de dispersão abaixo mostra o resultado de simular a jogada da moeda 500 vezes Observe que à medida que o número de jogadas cresce a probabilidade de obter cara fica cada vez mais perto da probabilidade teórica que é de 05 Exemplo 5 Usando as distribuições de frequência para obter probabilidades Você levanta uma amostra de mil funcionários em uma companhia e registra a idade de cada um Probabilidade e Estatística fls 101 Os resultados estão a seguir na distribuição de frequência Se selecionar ao acaso um outro funcionário qual será a probabilidade de a idade dele estar entre 25 e 34 anos Solução O evento é selecionar um funcionário com idade entre 25 e 34 anos Em seu levantamento a frequência desse evento é 366 Uma vez que o total de frequências é mil a probabilidade de selecionar o funcionário entre as idades de 25 a 34 anos é Pfaixa etária entre 25 e 34 3661000 0366 Exercício 5 Determine a probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso ter a idade entre 15 e 24 anos a Determine a frequência do evento b Determine o total de frequências c Determine a frequência relativa do evento Probabilidade e Estatística fls 102 33 Probabilidade Subjetiva O terceiro tipo de probabilidade é a subjetiva A probabilidade subjetiva resulta de intuição estimativa ou de um palpite bem fundamentado Por exemplo dado o estado de saúde do paciente e a extensão dos ferimentos um médico pode sentir que esse paciente tem uma chance de 90 de se recuperar completamente Um analista de negócios pode predizer que a chance dos funcionários de uma determinada companhia entrar em greve é de 025 Exemplo 6 Classificando os tipos de probabilidade Classifique cada afirmativa como um exemplo de probabilidade clássica empírica ou subjetiva Explique seu raciocínio 1 A probabilidade de seu telefone tocar durante o jantar é de 05 2 A probabilidade de o eleitor escolhido ao acaso votar nos petistas é de 045 3 A probabilidade de ganhar com um único bilhete uma rifa que envolve mil bilhetes é de 11000 Probabilidade e Estatística fls 103 Solução 1 A probabilidade muito possivelmente se baseia em um palpite É um exemplo de probabilidade subjetiva 2 Essa afirmativa muito possivelmente se baseia em um levantamento de uma amostra de eleitores portanto é um exemplo de probabilidade empírica 3 Uma vez que se sabe o número de resultados e cada um é igualmente provável esse é um exemplo de probabilidade clássica Exercício 6 Com base em contagens anteriores estimase que a probabilidade de um salmão atravessar com sucesso uma barragem sobre o Rio Columbia é de 085 Essa afirmativa é um exemplo de probabilidade clássica empírica ou subjetiva a Identifique o evento b Decida se a probabilidade foi determinada pelo conhecimento de todos os resultados possíveis se a probabilidade foi estimada a partir dos resultados de um experimento ou ainda se ela decorre de um palpite bem fundamentado c Tire uma conclusão 4 Propriedades da Probabilidade Uma probabilidade não pode ser negativa ou maior do que 1 Assim a probabilidade de um evento E está entre 0 e 1 inclusive isto é Se PE 0 o evento E é impossível Probabilidade e Estatística fls 104 Se PE 1 o evento E é certo A soma das probabilidades de todos os resultados de um espaço amostral é 1 ou 100 Uma consequência importante desse fato é que se você souber a probabilidade de um evento E poderá obter a probabilidade do complemento do evento E Definição O complemento do evento E é o conjunto de todos os resultados em um espaço amostral que não estão incluídos no evento E O complemento do evento E é denotado por E lêse E linha Por exemplo se você jogar um dado e considerar como E o evento o número é pelo menos 5 o complemento de E será o evento o número é menor que 5 Em outras palavras E 5 6 e E 1 2 3 4 Usando a definição do complemento de um evento e o fato de que a soma das probabilidades de todos os resultados é 1 podemse determinar as seguintes fórmulas O diagrama de Venn ilustra a relação entre o espaço amostral um evento E e seu complemento E Probabilidade e Estatística fls 105 A área do retângulo representa a probabilidade total do espaço amostral 1 100 A área do círculo representa a probabilidade do evento E enquanto a área fora do círculo representa a probabilidade do complemento do evento E Exemplo 7 Obtendo a probabilidade do complemento do evento Use a distribuição de Frequências dada no Exemplo 5 para obter a probabilidade de escolher ao acaso um funcionário que não tenha entre 25 e 34 anos de idade Solução Do Exemplo 5 sabese que Pfaixa etária entre 25 e 34 3661000 0366 Assim a probabilidade de o funcionário não ter entre 25 e 34 anos de idade é Pfaixa que não está entre 25 e 34 1 3661000 0634 Exercício 7 Use a distribuição de frequência do Exemplo 4 para obter a probabilidade de um peixe fisgado não ser um bagre a Obtenha probabilidade de o peixe ser um bagre b Subtraia de 1 a probabilidade resultante c Estabeleça a probabilidade como uma fração e como um decimal