Probabilidade Condicional e a Regra da Multiplicação

Probabilidade e Estatística fls 105 Probabilidade Condicional e a Regra da Multiplicação Metas desta Aula Como obter a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro evento ocorreu Como distinguir eventos dependentes de eventos independentes Como usar a Regra da Multiplicação para determinar a probabilidade de dois eventos ocorrerem em seqüência Como usar a Regra da Multiplicação para determinar probabilidades condicionais 1 Probabilidade Condicional Nesta aula você aprenderá como obter a probabilidade de dois eventos ocorrerem em seqüência Antes de estudar isso porém você precisa saber como obter probabilidades condicionais Definição Uma probabilidade condicional é a probabilidade de ocorrer um evento dado que outro evento já ocorreu A probabilidade condicional de o evento B ocorrer dado que o evento A já ocorreu é denotado por PBA lida como probabilidade de B dado A Exemplo 1 Determinando probabilidades condicionais Probabilidade e Estatística fls 106 1 Duas cartas são selecionadas em seqüência em um baralho comum Determine a probabilidade de a segunda ser uma dama dado que a primeira foi um rei Assuma que o rei não seja recolocado 2 A tabela abaixo mostra os resultados de um estudo no quais pesquisadores examinaram o QI de 102 crianças e a presença de um gene específico nelas Obtenha a probabilidade de determinada criança ter um QI alto dado que ela tem o gene Solução 1 Uma vez que a primeira carta foi um rei e não foi recolocada restou um baralho com 51 cartas quatro delas rainhas Assim PBA 451 0078 2 Existem 72 crianças com o gene O espaço amostral portanto consiste nessas 72 crianças Delas 33 têm QI alto Assim PBA 3372 0458 Exercício 1 1 Determine a probabilidade de uma criança não ter o gene 2 Determine a probabilidade de uma criança não ter o gene dado que ela tem um QI normal a Obtenha o número de resultados no evento e no espaço amostral Probabilidade e Estatística fls 107 b Divida o número de resultados no evento pelo número de resultados do espaço amostral 2 Eventos independentes e dependentes A questão da independência entre dois ou mais eventos é importante para pesquisadores que atuam em campos como marketing medicina e psicologia Você pode usar probabilidades condicionais para determinar se os eventos são dependentes ou independentes Definição Dois eventos são independentes se a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro Dois eventos A e B são independentes se PBA PB ou se PAB PA Os eventos que não são independentes são dependentes Frequentemente é importante determinar se dois eventos são independentes Para determinar se A e B são independentes calcule PB e PBA Se os valores são iguais os eventos são independentes Se PB PBA A e B são eventos dependentes Exemplo 2 Classificando eventos como dependentes ou independentes Decida se os eventos são dependentes ou independentes Probabilidade e Estatística fls 108 1 Selecionar um rei de um baralho comum A não o recolocando e então selecionar uma dama do baralho B 2 Jogar uma moeda obter uma cara A e então jogar um dado de seis faces e obter um 6 B 3 Praticar piano A e então tornarse um pianista de concerto B Solução 1 PBA 451 PB 452 A ocorrência de A modifica a probabilidade da ocorrência de B portanto os eventos são dependentes 2 PBA 16 PB 16 A ocorrência de A não modifica a probabilidade da ocorrência de B portanto os dois eventos são independentes 3 Se a pessoa praticar piano aumentam suas chances de se tornar pianista de concerto portanto esses eventos são dependentes Exercício 2 Decida se os eventos são independentes ou dependentes Explique 1 Um salmão passar com sucesso através de uma barragem A e um outro salmão passar com sucesso pela mesma barragem B 2 Exercitarse freqüentemente A e ter uma baixa taxa de batimento cardíaco quando em repouso B a Decida se a ocorrência do primeiro evento afeta a probabilidade do segundo b Estabeleça se os eventos são independentes ou dependentes c Explique seu raciocínio 3 Regra da Multiplicação Para obter a probabilidade de dois eventos ocorrerem em seqüência podese usar a Regra da Multiplicação Probabilidade e Estatística fls 109 Definição A Regra da Multiplicação para a probabilidade de A e B A probabilidade de dois eventos A e B ocorrerem em seqüência é PA e B PA x PBA Se os eventos A e B são independentes a regra pode ser simplificada para PA e B PA x PB Essa regra simplificada pode ser estendida para qualquer número de eventos independentes Exemplo 3 Usando a Regra da Multiplicação para obter probabilidades 1 Duas cartas foram selecionadas de um baralho comum sem a reposição da primeira Obtenha a probabilidade de se escolher um rei e então se escolher uma dama 2 São jogados uma moeda e um dado Obtenha a probabilidade de sair cara e depois um 6 Solução 1 Uma vez que não há reposição da primeira carta os eventos são dependentes PK e Q PK x PQK PK e Q 452 x 451 Probabilidade e Estatística fls 110 PK e Q 162652 PK e Q 0006 A probabilidade de se escolher um rei e depois uma dama é de cerca de 0006 2 Os eventos são independentes PC e 6 PC x P6 PC e 6 12 x 16 PC e 6 112 PC e 6 0083 Assim a probabilidade de se obter cara e então um 6 é de cerca de 0083 Exercício 3 1 A probabilidade de um salmão atravessar com sucesso uma barragem é de 085 Obtenha a probabilidade de dois salmões atravessarem com sucesso a barragem 2 Considere a tabela que está no Exemplo 1 Obtenha a probabilidade de uma criança ter um QI normal mas não ter o gene a Decida se os eventos são independentes ou dependentes b Use a Regra da Multiplicação para obter a probabilidade Exemplo 4 Usando a Regra da Multiplicação para obter probabilidades 1 São jogados uma moeda e um dado Determine a probabilidade de se obter cara e um 2 Probabilidade e Estatística fls 111 2 A probabilidade de um salmão atravessar com sucesso uma barragem é de 085 Obtenha a probabilidade de três salmões atravessarem com sucesso a barragem 3 Obtenha a probabilidade de nenhum dos três salmões conseguir atravessar a barragem 4 Obtenha a probabilidade de pelo menos um dos três salmões ter sucesso ao atravessar a barragem Solução 1 PC 12 Qualquer que seja o resultado da moeda P2 16 Os eventos são independentes PC e 2 PC x P2 PC e 2 12 x 16 PC e 2 112 PC e 2 0083 Assim a probabilidade de se obter cara e depois um 2 é de cerca de 0083 2 A probabilidade de cada salmão conseguir é de 085 A chance de um salmão ter sucesso é independente do resultado dos outros Ptrês salmões terem sucesso 085 x 085 x 085 0614 Assim a probabilidade de todos os três salmões conseguirem é de cerca de 0614 3 Uma vez que a probabilidade de sucesso de um salmão é de 085 a probabilidade de fracasso é de 1 085 015 Pnenhum dos três ter sucesso 015 x 015 x 015 0003 Assim a probabilidade de fracasso para os três salmões é de cerca de 0003 Probabilidade e Estatística fls 112 4 A frase pelo menos um significa um ou mais O complemento do evento pelo menos um conseguir é o evento nenhum conseguir Usando a regra dos complementos Ppelo menos um conseguir 1 Pnenhum conseguir Ppelo menos um conseguir 1 0003 Ppelo menos um conseguir 0997 Há uma probabilidade de cerca de 0997 de que pelo menos um dos três salmões consiga atravessar a barragem Exercício 4 Suponha que os engenheiros possam aumentar para 090 a probabilidade de sucesso de um salmão atravessar a barragem 1 Obtenha a probabilidade de três salmões atravessarem com sucesso a barragem 2 Obtenha a probabilidade de pelo menos um dos três salmões atravessar com sucesso a barragem a Determine quando é necessário obter a probabilidade do evento ou de seu complemento b Use a Regra da Multiplicação para obter a probabilidade Se necessário use a Regra do Complemento