Distribuições Discretas de Probabilidade: Variáveis Aleatórias e Cálculos Estatísticos

Probabilidade e Estatística fls 144 Distribuições Discretas de Probabilidade Metas desta Aula Como distinguir entre variáveis aleatórias discretas e contínuas Como estabelecer uma distribuição discreta de probabilidade e elaborar seu gráfico Como determinar se uma distribuição é uma distribuição de probabilidade Como descobrir a média a variância e o desvio padrão de uma distribuição discreta de probabilidade Como chegar ao valor esperado de uma distribuição discreta de probabilidade 1 Variáveis Aleatórias O resultado de um experimento probabilístico é frequentemente uma contagem ou uma medida Quando isso ocorre o resultado é chamado de variável aleatória Definição de Variável Aleatória Uma variável aleatória x representa um valor numérico associado a cada um dos resultados de um experimento probabilístico A palavra aleatória indica que x é determinado por uma possibilidade Existem dois tipos de variáveis aleatórias as discretas e as contínuas Probabilidade e Estatística fls 145 Definição de Discreta e Contínua Uma variável aleatória será discreta se houver um número finito ou confiável de resultados possíveis que possam ser enumerados Uma variável aleatória será contínua se houver um número incontável de resultados possíveis representados por um intervalo sobre o eixo real Suponha a condução de um estudo sobre o número de atendimentos que um balconista faz durante um dia de trabalho Os valores possíveis da variável aleatória x são 0 1 2 3 4 e assim por diante Uma vez que o conjunto de resultados possíveis 0 1 2 3 pode ser enumerado x é uma variável aleatória discreta É possível representar seus valores como pontos sobre o eixo real x pode ter como valores somente números inteiros 0 1 2 3 Dica de Estudo Se uma variável aleatória é discreta é possível enumerar os valores que ela pode assumir Entretanto é impossível listar todos os valores possíveis para uma variável aleatória contínua Outra maneira de conduzir o estudo seria medir o tempo em horas gasto pelo balconista no atendimento durante um dia Uma vez que o tempo gasto no atendimento pode ser qualquer número de 0 a 24 incluindo frações e decimais x é uma variável aleatória contínua É possível representar seus valores com um intervalo sobre o eixo real mas não se podem enumerar todos os valores possíveis Probabilidade e Estatística fls 146 Dica de Estudo Na maior parte das aplicações práticas as variáveis aleatórias discretas representam contagem de dados enquanto as variáveis aleatórias contínuas representam dados medidos Exemplo 1 Variáveis discretas e contínuas Determine se a variável aleatória x é discreta ou contínua Explique seu raciocínio 1 x representa o número de ações relacionadas na BOVESPA cujos preços cresceram em um determinado dia 2 x representa o volume de água colocada em um contêiner de 32m³ Solução 1 O número de ações cujo preço está em alta pode ser contado 0 1 2 3 30 Assim x é uma variável aleatória discreta 2 A quantidade de água no contêiner pode ser qualquer volume entre 0 e 32m³ Assim x é uma variável aleatória contínua Exercício 1 Determine se a variável aleatória x é discreta ou contínua Probabilidade e Estatística fls 147 1 x representa o período de tempo gasto para a conclusão de uma prova 2 x representa o número de gols durante um jogo de futebol a Determine se x representa um dado contado ou medido b Chegue a uma conclusão e explique seu raciocínio 2 Distribuições Discretas de Probabilidades É importante saber diferenciar as variáveis discretas das contínuas pois diferentes técnicas de estatística são usadas para a análise de cada uma Esta aula se concentrará nas variáveis aleatórias discretas e suas distribuições de probabilidade As distribuições contínuas serão estudadas nas próximas aulas A cada valor de uma variável aleatória discreta pode ser atribuída uma probabilidade Ao enumerar cada valor da variável aleatória com a sua probabilidade correspondente formase uma distribuição de probabilidade Definição Uma distribuição discreta de probabilidade enumera cada valor que a variável aleatória pode assumir ao lado de sua probabilidade Uma distribuição de probabilidade deve satisfazer às seguintes condições Probabilidade e Estatística fls 148 Uma vez que as probabilidades representam frequências relativas uma distribuição discreta de probabilidade pode ser representada por um histograma de frequência relativa Orientações Gerais Construção de uma distribuição discreta de probabilidade Tenha em mente que x é uma variável aleatória discreta com os resultados possíveis x1 x2 xn 1 Estabeleça uma distribuição de frequência para os resultados possíveis 2 Obtenha a soma de todas as frequências 3 Calcule a probabilidade de cada resultado possível dividindo sua frequência pela soma das frequências 4 Verifique se cada probabilidade está entre 0 e 1 e se sua soma é 1 Exemplo 2 Construindo uma distribuição discreta de probabilidade e traçando seu gráfico O psicólogo de uma empresa ministrou um teste de personalidade para determinar características passivas agressivas em 150 funcionários Aos indivíduos foram atribuídos valores de 1 a 5 em que 1 representava o extremo passivo e 5 o extremo agressivo Um escore de 3 indicava não haver nenhuma característica preponderante Os resultados constam do quadro abaixo Estabeleça uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória x Depois faça o gráfico da distribuição Probabilidade e Estatística fls 149 Solução Divida a frequência de cada pontuação pelo número total de indivíduos no estudo para obter a probabilidade de cada valor da variável aleatória A distribuição discreta de probabilidade está representada na tabela a seguir Observe que cada probabilidade está entre 0 e 1 e que a soma de todas as probabilidades é 1 Observe o histograma de frequência relativa É importante lembrar que a área de cada bloco é igual à probabilidade de um resultado específico Da mesma forma a probabilidade de um evento corresponde à soma das áreas dos resultados incluídos no evento A probabilidade de o evento ter uma pontuação de dois ou três por exemplo é igual à soma das áreas dos segundo e terceiro blocos 022 028 050 Probabilidade e Estatística fls 150 Exercício 2 Uma companhia analisa diariamente o número de vendas de seus novos funcionários durante um período de testes de cem dias Os resultados para um novo funcionário são apresentados abaixo Construa um gráfico da distribuição de probabilidade a Obtenha a probabilidade de cada resultado b Organize as probabilidades em uma distribuição c Faça o gráfico da distribuição de probabilidade Probabilidade e Estatística fls 151 Exemplo 3 Verificando uma distribuição de probabilidades Verifique se a distribuição abaixo é uma distribuição de probabilidade Solução Se a distribuição é de probabilidade então 1º cada uma das probabilidades está entre 0 e 1 inclusive e 2º a soma das probabilidades é igual a 1 1 Cada probabilidade está entre 0 e 1 2 Px 0216 0432 0288 0064 1 Como ambas as condições foram verificadas tratase de uma distribuição de probabilidade Exercício 3 Verifique se a distribuição que você construiu no Exercício 2 é uma distribuição de probabilidade a Verifique se a probabilidade de cada resultado está entre 0 e 1 b Verifique se a soma de todas as probabilidades é 1 c Chegue a uma conclusão Probabilidade e Estatística fls 152 Exemplo 4 Distribuições de probabilidade Determine se cada uma das distribuições é de probabilidade Solução 1 Cada probabilidade está entre 0 e 1 mas a soma das probabilidades é 107 número superior a 1 Portanto não se trata de uma distribuição de probabilidade 2 A soma das probabilidades é igual a 1 mas P3 e P4 não estão entre 0 e 1 Assim não se trata de uma distribuição de probabilidade As probabilidades não podem ser negativas nem superiores a 1 Exercício 4 Determine se as distribuições abaixo são de probabilidade Explique seu raciocínio a Verifique se a probabilidade de cada resultado está entre 0 e 1 b Verifique se a soma de todas as probabilidades é 1 c Chegue a uma conclusão Probabilidade e Estatística fls 153 3 Média Variância e Desvio Padrão É possível medir a tendência central de uma distribuição de probabilidade por meio de sua média e determinar a variabilidade por meio de sua variância e de seu desvio padrão A média de uma variável aleatória discreta é definida da seguinte maneira A média de uma variável aleatória representa a média teórica de um experimento probabilístico e muitas vezes não representa um resultado possível Se o experimento fosse repetido milhares de vezes a média de todos os resultados estaria próxima da média da variável aleatória Exemplo 5 Obtendo a média de uma distribuição de probabilidade A distribuição de probabilidade para o teste de personalidade sobre características passivas agressivas discutido no Exemplo 2 é mostrada abaixo Obtenha a pontuação média A que conclusão você pode chegar Solução Use uma tabela para organizar seu trabalho como mostrado a seguir Pela tabela podese ver que a pontuação média é de 294 Probabilidade e Estatística fls 154 Uma pontuação de 3 indica que um indivíduo não exibe características passivas nem agressivas A média está ligeiramente abaixo de 3 Portanto podese concluir que a característica de personalidade média não é nem extremamente passiva nem extremamente agressiva mas ligeiramente próxima da passiva Exercício 5 Obtenha a média da distribuição de probabilidade construída no Exercício 2 A que conclusão você pode chegar a Calcule o produto de cada resultado a partir de sua probabilidade correspondente b Obtenha a soma dos produtos c Qual é a sua conclusão Embora a média da variável aleatória de uma distribuição de probabilidade descreva um resultado típico ela não fornece informações sobre a variabilidade dos resultados Para estudar a variação dos resultados podese usar a variância e o desvio padrão da variável aleatória de uma distribuição de probabilidade Probabilidade e Estatística fls 155 Exemplo 6 Obtendo a variância e o desvio padrão A distribuição de probabilidade para o teste de personalidade das características passivas agressivas discutido no Exemplo 2 está representada ao lado Obtenha a variância e o desvio padrão da distribuição de probabilidade Solução Pelo Exemplo 5 você sabe que a média da distribuição é μ 294 Use a tabela para organizar seu trabalho conforme apresentado a seguir Portanto a variância é σ² 1616 e o desvio padrão é σ ² 1 62 127 Probabilidade e Estatística fls 156 Exercício 6 Obtenha a variância e o desvio padrão da distribuição de probabilidade construída no Exercício 2 a Para cada valor de x obtenha o quadrado de seu desvio da média e multipliqueo pela correspondente probabilidade de x b Calcule a soma dos produtos determinados na parte a para obter a variância c Extraia a raiz quadrada da variância para obter o desvio padrão 4 Valor Esperado Exemplo 7 Obtendo um valor esperado Em uma rifa 1500 bilhetes são vendidos a US 2 para quatro prêmios de US 500 US 250 US 150 e US 75 Você compra um bilhete Qual é o valor esperado do seu ganho Solução Para obter o ganho para cada prêmio subtraia o preço do bilhete do prêmio Por exemplo seu ganho para o prêmio de US 500 é US 500 US 2 US 498 e seu ganho para o prêmio de US 250 é US 250 US 2 US 248 Probabilidade e Estatística fls 157 Então aplicando a distribuição de probabilidade podese obter o valor esperado Uma vez que o valor esperado é negativo podese esperar uma perda média de US 135 para cada bilhete comprado Importante Na maior parte das aplicações um valor esperado de 0 tem uma interpretação prática Em jogos de azar por exemplo um valor esperado de 0 significa que um jogo é honesto uma ocorrência improvável Em uma análise de perda e lucro o valor esperado de 0 representa o ponto de sair sem ganhar nem perder Exercício 7 Durante o período de vendas de um ano 225 dias um vendedor efetua entre 0 e 9 vendas por dia conforme indicado na tabela Se esse padrão for mantido qual será o valor esperado para o número de vendas por dia desse vendedor a Identifique os resultados possíveis e obtenha a probabilidade de cada um b Calcule o produto de cada resultado e sua probabilidade correspondente c Obtenha a soma dos produtos d Interprete os resultados