Princípios da Contagem em Probabilidade e Estatística

Probabilidade e Estatística fls 131 Princípios da Contagem Metas desta Aula Como usar o Princípio Fundamental da Contagem para obter o número de maneiras pelas quais dois ou mais eventos podem ocorrer Como encontrar o número de maneiras nas quais um grupo de objetos pode ser arranjado em ordem Como encontrar o número de maneiras de escolher vários objetos em um grupo sem levar em conta a ordem Como usar os princípios da contagem para obter probabilidades 1 Princípio Fundamental da Contagem Estudaremos várias técnicas para contar o número de maneiras pelas quais um evento pode ocorrer Uma delas é o Princípio Fundamental da Contagem Podese usar esse princípio para obter o número de formas em que dois ou mais eventos podem ocorrer em sequência Definição Se um evento pode ocorrer de m maneiras e um segundo evento de n maneiras o número de maneiras em que os dois eventos podem ocorrer em sequência é m x n Essa regra pode ser estendida para um número qualquer de eventos que ocorram em sequência Probabilidade e Estatística fls 132 Exemplo 1 Usando o Princípio Fundamental da Contagem Você está comprando um novo carro Usando as informações a seguir fabricantes tamanhos e cores Diga de quantas maneiras diferentes podemse selecionar um fabricante um tamanho e uma cor Fabricante Ford GM Chrysler Tamanho do carro pequeno médio Cores branco B vermelho V preto P verde Vd Solução Há três opções de fabricantes dois de tamanho e quatro de cor Assim o número de maneiras para selecionar um fabricante um tamanho de carro e uma cor é 3 x 2 x 4 24 maneiras Um diagrama de árvore pode ajudálo a ver por que existem 24 opções Exercício 1 Você aumenta suas escolhas para incluir um Toyota um carro grande ou um carro na cor castanhoacinzentado De quantas maneiras diferentes você agora pode selecionar um fabricante um tamanho de carro e uma cor a Obtenha o número de maneiras em que cada evento pode ocorrer b Use o Princípio Fundamental da Contagem Probabilidade e Estatística fls 133 Exemplo 2 Usando o Princípio Fundamental da Contagem O código de acesso do sistema de segurança de um carro consiste em quatro dígitos cada um entre 0 e 9 Quantos códigos de acesso são possíveis se cada dígito pode ser 1 usado somente uma vez e não repetido 2 repetido Solução 1 Uma vez que cada dígito pode ser usado somente uma vez existem dez opções para o primeiro dígito nove para o segundo oito para o terceiro e sete para o quarto Usando o Princípio Fundamental da Contagem você pode concluir que existem 10 x 9 x 8 x 7 5040 5040 códigos de acesso possíveis 2 Uma vez que cada dígito pode ser repetido existem dez opções para cada um dos quatro dígitos Assim existem 10 x 10 x 10 x 10 104 10000 10000 códigos de acesso possíveis Exercício 2 Quantas placas de automóvel você pode fazer considerando que uma placa consiste em seis letras 26 que 1 podem ser repetidas 2 não podem ser repetidas Probabilidade e Estatística fls 134 a Identifique cada evento e o número de maneiras em que cada evento pode ocorrer b Use o Princípio Fundamental da Contagem 2 Permutações Uma aplicação importante do Princípio Fundamental da Contagem é a determinação do número de maneiras em que n objetos podem ser arranjados em ordem ou em uma permutação Definição Uma permutação é um arranjo ordenado de objetos O número de permutações diferentes de n objetos diferentes é n A expressão n é lida como n fatorial e definida da seguinte maneira n n x n 1 x n 2 x n 3 x x 3 x 2 x 1 Como um caso especial 0 1 Veja a seguir outros valores de n 1 1 2 2 x 1 2 3 3 x 2 x 1 6 4 4 x 3 x 2 x 1 24 5 5 x 4 x 3 x 2 x 1 120 Probabilidade e Estatística fls 135 Dica de Estudo As seis permutações para as letras A B e C são ABC ACB BAC BCA CAB CBA Exemplo 3 Determinando o número de permutações de n objetos A fila inicial para um time de beisebol tem nove jogadores De quantas maneiras diferentes podese definir a ordem dos batedores Solução O número de permutações é 9 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 362880 Assim há 362880 maneiras diferentes de ordenar os jogadores Exercício 3 Os times da National League Central Division estão relacionados a seguir De quantas maneiras diferentes é possível colocar a classificação final a Determine quantos times n estão na divisão central b Calcule n 3 Permutação de n objetos tomando r a cada vez Suponha que você queira escolher alguns objetos em um grupo e colocálos em ordem Essa ordenação é chamada de permutação de n objetos tomando r a cada vez Probabilidade e Estatística fls 136 Definição Exemplo 4 Obtendo nPr Determine o número de maneiras de formar códigos com três dígitos sem que os dígitos sejam repetidos Solução Para formar um código com três dígitos sem repetição você precisa selecionar três dígitos de um grupo de dez Com isso n 10 e r 3 Assim existem 720 códigos de três dígitos possíveis sem repetição Exercício 4 Em um páreo com oito cavalos quantas maneiras existem de três cavalos terminarem em primeiro lugar em segundo e em terceiro Suponha que não haja empate a Obtenha o quociente de n e n r Faça uma lista dos fatores e cancele os que apareçam nos dois membros da equação b Escreva o resultado como uma sentença Probabilidade e Estatística fls 137 Exemplo 5 Permutações de n objetos tomando r a cada vez Quarenta e três carros de corrida começaram a Indy 500 de 2001 De quantas maneiras os carros podem terminar em primeiro lugar em segundo e em terceiro Solução Uma vez que há 43 carros e a ordem é importante o número de maneiras em que os carros podem terminar em primeiro segundo e terceiro é Exercício 5 O conselho de diretores de uma companhia tem 12 membros Um é o presidente outro é o vicepresidente outro é o secretário e um outro é o tesoureiro De quantas maneiras essas posições podem ser distribuídas a Identifique o número total de objetos n e o número de objetos r a serem escolhidos em ordem b Calcule nPr 4 Permutações distinguíveis Suponha que você queira ordenar um grupo de n objetos sendo alguns deles iguais Por exemplo considere um grupo de letras que consiste em quatro As dois Bs e um Probabilidade e Estatística fls 138 C De quantas maneiras você pode ordenar esse grupo Usando a fórmula anterior podese concluir que existem 7P7 7 ordenações possíveis Porém como alguns dos objetos são iguais nem todas essas permutações são distinguíveis Quantas permutações distinguíveis são possíveis A resposta pode ser encontrada com o uso da fórmula a seguir As letras AAAABBC podem ser rearranjadas em 7 Maneiras muitas não distinguíveis O número de ordenações distinguíveis é 1 2 4 7 x x 2 7 6 5 x x 105 Exemplo 6 Permutações distinguíveis Um empreiteiro planeja realizar uma obra A obra consiste em seis casas de um pavimento quatro casas com dois pavimentos e duas casas em dois níveis De quantas maneiras distinguíveis as casas podem ser arranjadas Solução Há doze casas na obra seis das quais de um tipo um pavimento quatro de outro tipo dois pavimentos e duas de um terceiro tipo em dois níveis Assim há 13860 maneiras distinguíveis de arranjar as casas na obra Probabilidade e Estatística fls 139 Exercício 6 Um empreiteiro deseja plantar seis carvalhos nove bordos e cinco álamos ao longo de uma rua Se as árvores forem igualmente espaçadas de quantas maneiras distinguíveis elas poderão ser plantadas a Identifique o número total de objetos n e o número de cada tipo de objetos no grupo n1 n2 e n3 b Calcule 5 Combinações Suponha que você queira comprar três CDs de uma seleção de cinco Há dez maneiras de fazer suas seleções ABC ABD ABE ACDACE ADE BCD BCE BDE CDE Em cada seleção a ordem não importa o conjunto ABC é o mesmo que BAC O número de maneiras de escolher r objetos dentre n objetos não importando a ordem é chamado de número de combinações de n objetos tomando r a cada vez Probabilidade e Estatística fls 140 Definição Exemplo 7 Obtendo o número de combinações Um departamento de transporte estadual planeja desenvolver uma nova seção de uma estrada interestadual e recebe 16 propostas para o projeto O Estado planeja contratar quatro das companhias que fizeram ofertas Quantas combinações diferentes das quatro companhias podem ser selecionadas a partir das 16 que fizeram propostas Solução Uma vez que a ordem não é importante há 1820 diferentes combinações Exercício 7 O administrador de um departamento de contabilidade deseja formar um comitê assessor de três pessoas a partir das dezesseis de seu departamento De quantas maneiras ele pode fazer isso Probabilidade e Estatística fls 141 a Identifique o número de objetos no grupo n e o número de objetos a ser selecionado r b Calcule nCr c Escreva os resultados como uma sentença 6 Resumo 7 Aplicações dos princípios da contagem Exemplo 8 Obtendo probabilidades Uma palavra consiste em um M quatro Is quatro Ss e dois Ps Se as letras forem arranjadas aleatoriamente em ordem qual será a probabilidade de o arranjo dar a palavra Mississippi Solução Há um resultado favorável e existem 11 letras com 1 4 4 e 2 letras iguais Probabilidade e Estatística fls 142 34650 permutações distinguíveis da palavra Mississippi Assim a probabilidade de o arranjo da palavra Mississippi ocorrer é de Exercício 8 Uma palavra consiste em um L dois Es dois Ts e um R Se as letras forem arranjadas aleatoriamente levandose em conta a ordem qual será a probabilidade de o arranjo resultar na palavra Letter a Obtenha o número de resultados favoráveis e o número de permutações distinguíveis b Divida o número de resultados favoráveis pelo número de permutações distinguíveis Exemplo 9 Obtendo probabilidades Determine a probabilidade de se tirar de um baralho comum cinco cartas de ouro no pôquer isso é um diamond flush Solução O número possível de maneiras de escolher cinco cartas de ouro em treze é 13C5 O número de mãos possíveis com cinco cartas é 13C5 Assim a probabilidade de tirar cinco ouros é Probabilidade e Estatística fls 143 Exercício 9 Um júri é formado por cinco homens e sete mulheres Três são selecionados ao acaso para uma entrevista Obtenha a probabilidade de os três serem homens a Obtenha o produto do número de maneiras possíveis de escolher três homens em cinco e o número de maneiras de escolher zero mulher em sete b Obtenha o número de maneiras de escolher três membros do júri em doze c Divida o resultado da parte a pelo resultado da parte b