Probabilidade e Estatística: Eventos Mutuamente Exclusivos e Regra da Adição

Probabilidade e Estatística fls 113 A Regra da Adição Metas desta Aula Como determinar se dois eventos são mutuamente exclusivos Como usar a Regra da Adição para obter a probabilidade de dois eventos 1 Eventos mutuamente exclusivos Vimos como obter a probabilidade de dois eventos A e B ocorrerem em sequência Tais probabilidades são denotadas por PA e B Como obter a probabilidade de pelo menos um dos eventos ocorrer Probabilidades como essas são denotadas por PA ou B e depende dos eventos serem mutuamente exclusivos Definição Dois eventos A e B serão mutuamente exclusivos se A e B não puderem ocorrer ao mesmo tempo Os diagramas de Venn a seguir mostram a relação entre eventos que são mutuamente exclusivos e entre os que não são Probabilidade e Estatística fls 114 Exemplo 1 Eventos mutuamente exclusivos Decida se os eventos são mutuamente exclusivos Explique seu raciocínio 1 Jogue um dado A obter um 3 B obter um 4 2 Escolha um estudante A escolher um estudante do sexo masculino B escolher um estudante com especialidade em Tecnologia da Qualidade 3 Escolha um doador sanguíneo A o doador é do tipo O B o doador é do sexo feminino Solução 1 O primeiro evento tem somente um resultado um 3 O segundo evento também tem um resultado um 4 Esses resultados não podem ocorrer ao mesmo tempo por isso os eventos são mutuamente exclusivos 2 Uma vez que um estudante pode ser do sexo masculino e com especialidade em Tecnologia da Qualidade os eventos não são mutuamente exclusivos 3 Uma vez que o doador pode ser do sexo feminino com o tipo sanguíneo O os eventos não são mutuamente exclusivos Probabilidade e Estatística fls 115 Dica de estudo Em probabilidade estatística a palavra ou é usada normalmente como um ou inclusive em vez de ou exclusive Por exemplo há três maneiras de o evento A ou B ocorrer A ocorre e B não ocorre B ocorre e A não ocorre A e B ocorrem Exercício 1 Decida se os eventos são mutuamente exclusivos 1 Selecionar uma carta de um baralho comum A a carta é um valete B a carta é uma figura 2 Selecionar um estudante A o estudante tem 20 anos de idade B o estudante tem olhos azuis 3 Selecionar um veículo registrado A o veículo é um Ford B o veículo é um GM a Decida se uma das proposições a seguir é verdadeira Os eventos A e B não podem ocorrer ao mesmo tempo Os eventos A e B não têm resultados em comum PA e B 0 b Tire uma conclusão Probabilidade e Estatística fls 116 2 A Regra da Adição A probabilidade de o evento A ou B ocorrer PA ou B é dada por PA ou B PA PB PA e B Se os eventos A e B são mutuamente exclusivos a regra pode ser simplificada para PA ou B PA PB Essa regra simplificada pode ser estendida a um número qualquer de eventos mutuamente exclusivos Dica de estudo Ao subtrair PA e B você evita uma dupla contagem da probabilidade dos resultados que ocorrem em A e B Exemplo 2 Usando a Regra da Adição para obter probabilidades 1 Você seleciona uma carta de um baralho comum Obtenha a probabilidade de a carta ser um 4 ou um ás Probabilidade e Estatística fls 117 2 Você joga um dado Obtenha a probabilidade de sair um número menor do que 3 ou um número ímpar Solução 1 Se a carta for um 4 ela não pode ser um ás Assim os eventos são mutuamente exclusivos A probabilidade de se selecionar um 4 ou ás é P4 ou ás P4 Pás 452 452 852 0154 2 Os eventos não são mutuamente exclusivos pois 1 é um resultado comum a ambos os eventos Assim a probabilidade de obter um número menor do que 3 ou um número ímpar é Exercício 2 1 Um dado é jogado Determine a probabilidade de sair um 6 ou um número ímpar 2 Uma carta é selecionada em um baralho comum Determine a probabilidade de a carta ser uma figura ou ter naipe de copas a Decida se os eventos são mutuamente exclusivos b Determine PA e PB e se necessário PA e B Probabilidade e Estatística fls 118 c Use a Regra da Adição para obter a probabilidade Exemplo 3 Obtendo as probabilidades de eventos mutuamente exclusivos As distribuições de frequências a seguir mostram o volume de vendas em dólares e o número de meses cujas vendas representativas atingiram cada nível de vendas durante os três anos anteriores Se esses padrões continuarem qual será a probabilidade de as vendas representativas estarem entre US 75000 e US 124999 no próximo mês Solução Para resolver este problema defina os eventos A e B da seguinte forma A vendas mensais entre US 75000 e US 99999 B vendas mensais entre US 100000 e US 124999 Uma vez que os eventos A e B são mutuamente exclusivos a probabilidade das vendas representativas estarem entre US 75000 e US 124999 no próximo mês é PA ou B PA PB 736 936 1636 0444 Probabilidade e Estatística fls 119 Exercício 3 Obtenha a probabilidade de as vendas representativas estarem entre US 000 e US 4999900 a Identifique os eventos A e B b Verifique se A e B são mutuamente exclusivos c Obtenha a probabilidade de cada evento d Use a Regra da Adição para obter a probabilidade Exemplo 4 Usando a Regra da Adição para obter probabilidades Um banco de sangue cataloga os tipos sanguíneos inclusive o fator Rh positivo ou negativo dos doadores que doaram durante os últimos cinco dias O número dos que doaram cada tipo sanguíneo está relacionado na tabela a seguir Um doador é selecionado ao acaso 1 Obtenha a probabilidade de o doador ter tipo sanguíneo O ou A 2 Obtenha a probabilidade de o doador ter tipo sanguíneo B ou ser Rh negativo O A B AB Total Positivo 156 139 37 12 344 Negativo 28 25 8 4 65 Total 184 164 45 16 409 Tipos Sangüíneos Fator Rh Solução 1 Uma vez que um doador não pode ter tipo sanguíneo O e A esses eventos são mutuamente exclusivos Assim pela Regra da Adição a probabilidade de o doador escolhido ao acaso ter tipo O ou A é Ptipo O ou tipo A Ptipo O Ptipo A Probabilidade e Estatística fls 120 184409 164409 348409 0851 2 Uma vez que um doador pode ter tipo sanguíneo B e ser Rh negativo esses eventos não são mutuamente exclusivos Assim pela Regra da Adição a probabilidade de um doador escolhido ao acaso ter tipo sanguíneo B ou ser Rh negativo é Ptipo B ou Rh neg Ptipo B PRh neg Ptipo B e Rh neg 45409 65409 8409 102409 0249 Exercício 4 1 Obtenha a probabilidade de um doador ter tipo sanguíneo B ou AB 2 Obtenha a probabilidade de um doador ter tipo sanguíneo O ou ser Rh positivo a Decida se os eventos são mutuamente exclusivos b Use a Regra da Adição 3 Um resumo de probabilidade Probabilidade e Estatística fls 121 Exemplo 5 Determinando probabilidades Use o gráfico a seguir para determinar a probabilidade de um novato selecionado ao acaso não ser um running back ou um wide receiver O gráfico se refere às posições ocupadas em 2001 pelos iniciantes da National Football League NFL entidade que coordena os campeonatos de futebol americano nos Estados Unidos Solução Defina os eventos A e B A o novato é um running back B o novato é um wide receiver Esses eventos são mutuamente exclusivos portanto a probabilidade de o novato selecionado ser um running back ou wide receiver é PA ou B PA PB 20246 35246 55246 Tomandose o complemento de PA ou B você pode determinar a probabilidade de um novato selecionado ao acaso não ser um running back ou wide receiver isto é 1 PA ou B 1 55246 191246 0776 Probabilidade e Estatística fls 122 Exercício 5 Obtenha a probabilidade de um novato selecionado ao acaso não ser um linebacker ou um quarterback a Obtenha a probabilidade de um novato ser um linebacker ou quarterback b Obtenha o complemento do evento