Considerações Iniciais sobre Medição

LAB METRO UFSC FLORIANÓPOLIS METROLOGIA Parte I 2004 Prof Armando Albertazzi Gonçalves Jr Laboratório de Metrologia e Automatização Departamento de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Santa Catarina CAPÍTULO 1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS A medição é uma operação antiqüíssima e de fundamental importância para diversas atividades do ser humano Na comunicação por exemplo toda vez que se quantifica um elemento se está medindo isto é comparando este elemento com uma quantidade de referência conhecida pelo transmissor e receptor da comunicação O comércio é outra atividade onde a medição é fundamental para que transações comerciais possam ser efetuadas é necessário descrever as quantidades envolvidas em termos de uma base comum isto é de uma unidade de medição Com a evolução da manufatura esta necessidade se intensificou é preciso descrever o bem fabricado em termos de elementos que o quantifiquem isto é número de um calçado tamanho de uma peça quantidade contida em uma embalagem são apenas exemplos A intercambialidade desejada entre peças e elementos de uma máquina só é possível através da expressão das propriedades geométricas e mecânicas destes elementos através de operações de medição Medir é uma forma de descrever o mundo As grandes descobertas científicas as grandes teorias clássicas foram e ainda são formuladas a partir de observações experimentais Uma boa teoria é aquela que se verifica na prática A descrição das quantidades envolvidas em cada fenômeno se dá através da medição A medição continua presente no desenvolvimento tecnológico É através da medição do desempenho de um sistema que se avalia e realimenta o seu aperfeiçoamento A qualidade a segurança o controle de um elemento ou processo é sempre assegurada através de uma operação de medição Há quem afirme que medir é fácil Afirmase aqui que cometer erros de medição é ainda mais fácil De fato existe uma quantidade elevada de fatores que podem gerar estes erros conhece los e controlálos nem sempre é uma tarefa fácil Como o valor a medir é sempre desconhecido não existe uma forma mágica de checar e afirmar que o número obtido de um sistema de medição representa a grandeza sob medição mensurando Porém existem alguns procedimentos com os quais podese caracterizar e delimitar o quanto os erros podem afetar os resultados Neste texto são abordadas diversas técnicas e procedimentos que permitem a convivência pacífica com o erro de medição 11 Medir Versus Colecionar Números É através de um sistema de medição SM que a operação medir é efetuada o valor momentâneo do mensurando é descrito em termos de uma comparação com a unidade padrão referenciada pelo SM O resultado da aplicação deste SM ao mensurando é um número acompanhado de uma unidade de Indicação Para o leigo por mera ignorância ou ingenuidade o trabalho de medição está encerrado quando se obtém este número Na verdade esta operação é uma parte do processo de medição É uma tarefa relativamente simples a aplicação deste SM por várias vezes e a obtenção de infindáveis coleções de números Porém a obtenção de informações confiáveis a partir destes números exige conhecimentos aprofundados sobre o SM e o processo de medição empregado Sabese que não existe um SM perfeito além de limitações construtivas internas o SM é comumente afetado por efeitos diversos relacionados com o meio ambiente com a forma e a técnica de aplicação deste SM pelas influências da própria grandeza dentre outros É necessário considerar todos estes efeitos e exprimir um resultado confiável respeitando a limitação deste SM O resultado de uma medição séria deve exprimir o grau de confiança a que é depositado pelo experimentador Como é impossível obter uma Indicação exata o erro provável envolvido deve sempre ser informado através de um parâmetro denominado incerteza Existem diversos procedimentos e técnicas com as quais é possível determinar o nível de confiança de um resultado Porém bom senso e ceticismo são características adicionais indispensáveis a quem se dispõe a medir A regra é duvidar sempre até que se prove o contrário A qualidade de uma medição se avalia pelo nível dos erros envolvidos Porém nem sempre deve se buscar o melhor resultado com mínimos erros Depende da finalidade à qual se destinam estes resultados Aceitamse erros de 20 g em uma balança de uso culinário porém estes erros não podem ser aceitos caso desejese medir a massa de pepitas de ouro Medir com mínimos erros custa caro À medida que se desejam erros cada vez menores os custos se elevam exponencialmente A seleção do SM a empregar é portanto uma ação de elevada importância que deve equilibrar as necessidades técnicas com os custos envolvidos 12 Erro de Medição Existe Uma medição perfeita isto é sem erros só pode existir se um SM sistema de medição perfeito existir e a grandeza sob medição denominada mensurando tiver um valor único perfeitamente definido e estável Apenas neste caso ideal o resultado de uma medição RM pode ser expresso por um número e uma unidade de medição apenas Sabese que não existem SM perfeitos Aspectos tecnológicos forçam que qualquer SM construído resulte imperfeito suas dimensões forma geométrica material propriedades elétricas ópticas pneumáticas etc não correspondem exatamente à ideal As leis e princípios físicos que regem o funcionamento de alguns SM nem sempre são perfeitamente lineares como uma análise simplista poderia supor A existência de desgaste e deterioração de partes agravam ainda mais esta condição Nestes casos o SM gera erros de medição Perturbações externas como por exemplo as condições ambientais podem provocar erros alterando diretamente o SM ou agindo sobre o mensurando fazendo com que o comportamento do SM se afaste ainda mais do ideal Variações de temperatura provocam dilatações nas escalas de um SM de comprimento variações nas propriedades de componentes e circuitos elétricos que alteram o valor indicado por um SM Vibrações ambientais a existência de campos eletromagnéticos umidade do ar excessiva diferentes pressões atmosféricas podem em maior ou menor grau afetar o SM introduzindo erros nas indicações deste O operador e a técnica de operação empregada podem também afetar a medição O uso de força de medição irregular ou excessiva vícios de má utilização ou SM inadequados podem levar a erros imprevisíveis A forma tamanho ou faixa de medição do SM pode não ser a mais indicada para aquela aplicação Em parte dos casos o mensurando não possui valor único ou estável Apenas um cilindro ideal apresenta um valor único para o seu diâmetro Não se consegue fabricar um cilindro real com a forma geométrica matematicamente perfeita Características da máquina operatriz empregada dos esforços de corte do material ou ferramenta empregada afastam a forma geométrica obtida da ideal Mesmo que disponha de um SM perfeito verificase que diferentes medições do diâmetro em diferentes ângulos de uma mesma secção transversal ou ao longo de diferentes seções ao longo do eixo do cilindro levam a diferentes números Estas variações são de interesse quando se deseja caracterizar as propriedades do cilindro e devem ser informadas no resultado da medição A temperatura de uma sala é outro exemplo de um mensurando instável varia ao longo do tempo e com a posição onde é medida A massa de uma peça metálica é um exemplo de um mensurando estável se forem desprezados aspectos relativísticos Na prática estes diferentes elementos que afetam a resposta de um SM aparecem superpostos Ao se utilizar de um sistema de medição para determinar o resultado de uma medição é necessário conhecer e considerar a faixa provável dentro da qual se situam estes efeitos indesejáveis sua incerteza bem como levar em conta as variações do próprio mensurando Portanto o resultado de uma medição não deve ser composto de apenas um número e uma unidade mas de uma faixa de valores e a unidade Em qualquer ponto dentro desta faixa deve situarse o valor verdadeiro associado ao mensurando 13 Terminologia Para que se possa expor de forma clara e eficiente os conceitos da metrologia através do qual são determinados e tratados os erros de medição é preciso empregar a terminologia técnica apropriada A terminologia adotada neste texto está baseada na Portaria 029 de 10 de março de 1995 do INMETRO Instituto Nacional de Metrologia Normalização e Qualidade Industrial que estabelece o Vocabulário de Termos Fundamentais e Gerais em Metrologia Este documento é baseado no vocabulário internacional de metrologia elaborado por diversas entidades internacionais tais como BIPM IEC IFCC ISO IUPAC e IUPAP Capítulo 2 MEDIR 21 Por que Medir Do ponto de vista técnico a medição é empregada para monitorar controlar ou investigar um processo ou fenômeno físico Nas aplicações que envolvem monitoração os SM Sistemas de Medição apenas indicam para o usuário o valor momentâneo ou acumulado do mensurando ME Barômetros termômetros e higrômetros quando usados para observar aspectos climáticos são exemplos clássicos de aplicações que envolvem monitoração Medidores do consumo de energia elétrica ou volume dágua são outros exemplos Nenhuma ação ou decisão é tomada em relação ao processo Qualquer sistema de controle envolve um SM como elemento sensor compondo um sistema capaz de manter uma grandeza ou processo dentro de certos limites O valor da grandeza a controlar é medido e comparado com o valor de referência estabelecido e uma ação é tomada pelo controlador visando aproximar a grandeza sob controle deste valor de referência São inúmeros os exemplos destes sistemas O sistema de controle da temperatura no interior de um refrigerador é um exemplo um sensor mede a temperatura no interior do refrigerador e a compara com o valor de referência préestabelecido Se a temperatura estiver acima do valor máximo aceitável o compressor é ativado até que a temperatura atinja um patamar mínimo quando é desligado O isolamento térmico da geladeira mantém a temperatura baixa por um certo tempo e o compressor permanece desativado enquanto a temperatura no interior estiver dentro da faixa tolerada Exemplos mais sofisticados passam pelo controle da trajetória de um míssil balístico teleguiado uma usina nuclear uma máquina de comando numérico etc Os recursos experimentais foram e ainda são uma ferramenta indispensável com a qual diversas descobertas científicas tornaramse possíveis Problemas nas fronteiras do conhecimento freqüentemente requerem consideráveis estudos experimentais em função de não existir ainda nenhuma teoria adequada Estudos teóricos e resultados experimentais são complementares e não antagônicos A análise combinada teoriaexperimentação pode levar ao conhecimento de fenômenos com muito maior profundidade e em menor tempo do que cada uma das frentes em separado Através da experimentação é possível por exemplo testar a validade de teorias e de suas simplificações testar relacionamentos empíricos determinar propriedades de materiais componentes sistemas ou o seu desempenho 22 O Processo da Medição Medir é o procedimento experimental pelo qual o valor momentâneo de uma grandeza física mensurando é determinado como um múltiplo eou uma fração de uma unidade estabelecida por um padrão e reconhecida internacionalmente A operação de medição é realizada por um instrumento de medição ou de uma forma mais genérica por um sistema de medição SM podendo este último ser composto por vários módulos Obtémse desta operação instrumentada a chamada indicação direta que é o número lido pelo operador diretamente no dispositivo mostrador acompanhado da respectiva unidade indicada neste dispositivo Para que a medição tenha sentido é necessário determinar a chamada indicação A indicação corresponde ao valor momentâneo do mensurando no instante da medição e é composta de um número acompanhado da mesma unidade do mensurando A indicação é obtida pela aplicação da chamada constante do instrumento à indicação direta A constante do instrumento deve ser conhecida pelo usuário do SM antes do início da operação de medição Pode ser expressa através de constante aditiva ou multiplicativa e em alguns casos o valor da indicação pode ser calculada a partir de equações lineares ou não lineares tabelas ou gráficos A figura 21 ilustra a operação de medição realizada através de um instrumento de medição denominado paquímetro A indicação direta obtida é 5038 mm Sabese que a constante multiplicativa deste instrumento é unitária Logo a indicação resulta em I 5038 mm que corresponde ao comprimento medido O exemplo da figura 22 consiste de um SM de comprimento que funciona por princípios optoeletrônicos A peça a medir é iluminada por um feixe de luz colimada e uniforme A sombra do comprimento a medir é projetada sobre o fotodetetor que gera um sinal elétrico proporcional à quantidade de energia recebida que é proporcional à área iluminada Este sinal elétrico é amplificado por meio de um circuito eletrônico e indicado pelo SM Como mostra a figura 22 a indicação direta é 2519 mV Neste caso fica claro que 2519 mV não é o valor do diâmetro a medir O cálculo do valor da indicação é efetuado através da constante multiplicativa do SM 02 mmmV Assim I 2519 mV 02 mmmV 5038 mm A figura 23 mostra um outro exemplo de SM Deste SM faz parte um relógio comparador cuja indicação reflete o deslocamento vertical da sua haste A medição é efetuada em três etapas a inicialmente um bloco padrão de comprimento conhecido de 50 mm é aplicado sobre o SM b o SM é regulado para que neste caso a indicação direta seja zero c o padrão de 50 mm é retirado e a peça a medir é submetida ao SM A indicação direta obtida neste caso é de 19 divisões e está associada à diferença entre os comprimentos da peça a medir e o padrão de 50 mm A determinação da indicação envolve uma constante aditiva igual ao comprimento do padrão de 50 mm e uma constante multiplicativa relacionada com a sensibilidade do relógio comparador isto é com a relação mmdivisão deste relógio comparador Assim o valor da indicação é I 50 mm 19 div 002 mmdiv I 5038 mm Em boa parte dos SM comerciais a indicação coincide numericamente com a indicação direta caso em que a constante do instrumento é multiplicativa e unitária o que torna bastante cômoda e prática a aplicação do SM Porém devese estar atento para as diversas situações SISTEMA DE MEDIÇÃO SM Paquímetro U95 004 mm U95 Incerteza de Medição para nível de confiança de 95 Indicação direta Id 5038 mm Indicação I Id x Constante do SM I 5038 mm x 1 I 5038 mm RM 5038004 mm Mensurando Comprimento dA Tipo invariável Figura 21 Operação de Medição SISTEMA DE MEDIÇÃO SM Medidor Diferencial U95 001 mm Valor de uma Divisão de Escala VDE 002 mm Constante do SM 002 mmVDE Indicação direta Id 19 VDE Indicação I Id x Constante do SM Comprimento do Bloco Padrão I 19 VDE x 002 mmVDE 50 mm I 038 mm 50 mm I 5038 mm RM 5038 001 mm Mensurando Comprimento dA Tipo invariável Figura 23 Operação de Medição 23 O Resultado de uma Medição A indicação obtida de um SM é sempre expressa por meio de um número e a unidade do mensurando O trabalho de medição não termina com a obtenção da indicação Neste ponto na verdade inicia o trabalho do experimentalista Ele deverá chegar à informação denominada resultado de uma medição O resultado de uma medição RM expressa propriamente o que se pode determinar com segurança sobre o valor do mensurando a partir da aplicação do SM sobre esta É composto de duas parcelas a o chamado resultado base RB que corresponde ao valor central da faixa onde deve situarse o valor verdadeiro do mensurando b e a incerteza da medição IM que exprime a faixa de dúvida ainda presente no resultado provocada pelos erros presentes no SM eou variações do mensurando e deve sempre ser acompanhado da unidade do mensurando Assim o resultado de uma medição RM deve ser sempre expresso por RM RB IM unidade O procedimento de determinação do RM deverá ser realizado com base no a conhecimento aprofundado do processo que define o mensurando o fenômeno físico e suas características b conhecimento do sistema de medição características metrológicas e operacionais c bom senso No capítulo 6 são detalhados os procedimentos empregados para a determinação do RB e da IM a partir dos dados do SM das características do mensurando e das medições efetuadas Capítulo 3 O SISTEMA DE MEDIÇÃO É necessário o conhecimento das características metrológicas e operacionais de um sistema de medição para sua correta utilização Para tal é necessária a definição de alguns parâmetros para caracterizar de forma clara o seu comportamento Antes de iniciar tal estudo é conveniente classificar as partes que compõem um sistema de medição típico e caracterizar os métodos de medição 31 Sistema Generalizado de Medição A análise sistêmica de diversos SM revela a existência de três elementos funcionais bem definidos que se repetem com grande freqüência na maioria dos sistemas de medição em uso Em termos genéricos um SM pode ser dividido em três módulos funcionais o sensortransdutor a unidade de tratamento do sinal e o dispositivo mostrador Cada módulo pode constituir uma unidade independente ou pode estar fisicamente integrada ao SM A figura 31 mostra genericamente este SM O transdutor é o módulo do SM que está em contato com o mensurando Gera um sinal proporcional mecânico pneumático elétrico ou outro ao mensurando segundo uma função bem definida normalmente linear baseada em um ou mais fenômenos físicos Em termos gerais um transdutor transforma um efeito físico noutro Quando o transdutor é composto de vários módulos várias transformações de efeitos podem estar presentes O primeiro módulo do transdutor aquele que entra em contato diretamente com o mensurando é também denominado de sensor A rigor o sensor é uma parte do transdutor O sinal gerado pelo sensortransdutor normalmente é um sinal de baixa energia difícil de ser diretamente indicado A unidade de tratamento do sinal UTS além da amplificação da potência do sinal pode assumir funções de filtragem compensação integração processamento etc É às vezes chamada de condicionador de sinais Este módulo pode não estar presente em alguns SM mais simples O dispositivo mostrador recebe o sinal tratado amplificado filtrado etc e através de recursos mecânicos eletromecânicos eletrônicos ou outro qualquer transformao em um número inteligível ao usuário isto é produz uma indicação direta perceptível Este módulo subentende também dispositivos registradores responsáveis pela descrição analógica ou digital do sinal ao longo do tempo ou em função de outra grandeza independente São exemplos registradores XY XT gravadores de fita telas de osciloscópios etc A figura 32 exemplifica alguns SMs onde são identificados estes elementos funcionais A mola é o transdutor do dinamômetro da figura 32a transforma a força em deslocamento da sua extremidade que é diretamente indicado através de um ponteiro sobre a escala Neste caso não há a unidade de tratamento de sinais Já o exemplo da figura 32b incorpora uma unidade deste tipo composta pelo mecanismo de alavancas o pequeno deslocamento da extremidade da mola é mecanicamente amplificado por meio da alavanca que contra a escala torna cômoda a Sinal proporcional Sinal de baixa energia Transformae efeito fisico Amplifica sinal Processa sinal Fonte de energia para transdutor Torna o sinal perceptível indicação do valor da força Na figura 32c representase um outro dinamômetro o transdutor é composto de vários módulos a força é transformada em deslocamento por meio da mola em cuja extremidade está fixado um núcleo de material ferroso que ao se mover provoca variação da indutância de uma bobina que provoca um desbalanceamento elétrico em um circuito provocando uma variação de tensão elétrica proporcional Este sinal é amplificado pela UTS composta de circuitos elétricos e indicado através de um dispositivo mostrador digital Mesmo o termômetro da figura 33 possui os três elementos funcionais A temperatura a medir é absorvida pelo fluído no interior do bulbo que é o transdutor deste sistema e sofre variação volumétrica Esta variação é praticamente imperceptível a olho nu O tubo capilar do termômetro tem por finalidade amplificar este sinal transformando a variação volumétrica deste fluído em grande variação da coluna do fluído o que caracteriza a UTS deste sistema O mostrador é formado pela coluna do líquido contra a escala 32 Métodos Básicos de Medição Para descrever o valor momentâneo de uma grandeza como um múltiplo e uma fração decimal de uma unidade padrão um SM pode operar segundo um dos dois princípios básicos de medição o método da indicação ou deflexão ou o método da zeragem ou compensação 321 Método da indicação ou deflexão Em um SM que opera segundo o método da indicação a indicação direta é obtida no dispositivo mostrador seja este um mostrador de ponteiro indicador digital ou registrador gráfico à medida em que o mensurando é aplicado sobre este SM São inúmeros os exemplos de SM que operam por este princípio termômetros de bulbo ou digitais manômetros e ou balanças com indicação analógica ou digital balança de mola etc fig 34 322 O método da zeragem ou compensação No método da zeragem procurase gerar uma grandeza padrão com valor conhecido equivalente e oposto ao mensurando de forma que as duas atuando sobre um dispositivo comparador indiquem diferença zero A balança de prato é um exemplo clássico de SM que opera por este princípio procurase formar em um dos pratos uma combinação de massas padrão que tendem a contrabalançar a massa desconhecida colocada no outro prato Ambas massas são equivalentes quando a balança atingir o equilíbrio fig 35 Uma variante deste método é a medição por substituição Neste caso substituise o mensurando por um elemento que tenha seu valor conhecido e que cause no SM o mesmo efeito que o mensurando Quando estes efeitos se igualam assumese que o valores destas grandezas também são iguais 323 O método diferencial O método de medição diferencial resulta da combinação dos dois métodos anteriores O mensurando é comparado a uma grandeza padrão e sua diferença medida por um instrumento que opera segundo o método da indicação Normalmente o valor da grandeza padrão é muito próximo do mensurando de forma que a faixa de medição do instrumento que opera por indicação pode ser muito pequena Como conseqüência seu erro máximo pode vir a ser muito reduzido sem que seu custo se eleve Dispositivo Mostrador Sensor Transdutor Unidade de Tratamento de Sinais dV dH A incerteza da grandeza padrão geralmente é muito baixa o que resulta em um sistema de medição com excelente estabilidade e desempenho metrológico sendo de grande utilização na indústria A medição do diâmetro por meio do relógio comparador da figura 23 é um exemplo de medição diferencial 324 Análise comparativa Comparativamente cada método possui vantagens e desvantagens Na balança de mola por exemplo a incerteza do SM depende da calibração da mola ao passo em que na balança de prato depende da incerteza das massas padrão Como a confiabilidade e estabilidade das massas padrão é geralmente melhor que a da mola podese afirmar que normalmente a incerteza do método de zeragem é superior ao da indicação A principal desvantagem do método de zeragem é a velocidade de medição que é sensivelmente inferior uma vez que devese modificar a grandeza padrão até que o zero seja atingido o que torna o SM que usa este método inadequado para aplicações dinâmicas A medição diferencial apresenta características que a coloca em uma posição muito atrativa sendo de fato muito adotada na indústria Característica Indicação Zeragem Diferencial Estabilidade baixa muito elevada elevada Velocidade de medição muito elevada muito baixa elevada Custo inicial elevado moderado moderado Facilidade de automação elevada muito baixa elevada Erro máximo moderado muito pequeno muito pequeno 33 Parâmetros Característicos de Sistemas de Medição Alguns parâmetros metrológicos são aqui definidos para melhor caracterizar o comportamento metrológico de sistemas de medição Estes parâmetros podem ser expressos na forma de um simples número que define o valor máximo assumido pelo SM em toda a sua faixa de medição uma faixa de valores uma tabela ou na forma de um gráfico A apresentação do parâmetro na forma de um simples número também chamado de parâmetro reduzido traz menos informações sobre o comportamento do SM porém é uma forma simplificada de representar o parâmetro e é facilmente aplicável em uma comparação 331 Faixa de Indicação FI A faixa de indicação FI é o intervalo entre o menor e maior valor que o dispositivo mostrador do SM teria condições de apresentar como indicação direta ou indicação Nos medidores de indicação analógica a FI corresponde ao intervalo limitado pelos valores extremos da escala É comum especificar a capacidade dos indicadores digitais como sendo por exemplo de 3 ½ dígitos quando o valor máximo é 1999 ou 4 dígitos quando valor máximo é 9999 Exemplos de faixas de indicação Manômetro 0 a 20 bar Termômetro 700 a 1200 C Contador 5 dígitos isto é 99999 pulsos Voltímetro 1999 V isto é 3 ½ dígitos Quando o mesmo sistema de medição permite que várias faixas de medição sejam selecionadas através da ação de controles do SM isto é em seu mostrador estão presentes várias escalas sendo que apenas uma é selecionada ativa a cada momento cada uma destas faixas é denominada de faixa nominal 332 Faixa de Medição FM É o conjunto de valores de um mensurando para o qual admitese que o erro de um instrumento de medição mantémse dentro de limites especificados Exemplos Termômetro FM 50 a 280 C Medidor de deslocamento FM 50 mm ou FM 50 a 50 mm A faixa de medição é menor ou no máximo igual a faixa de indicação O valor da FM é obtido através do manual de utilização do SM de sinais gravados sobre a escala das especificações de normas técnicas dos relatórios de calibração 333 Valor de uma Divisão de Escala VD Nos instrumentos com mostradores analógicos corresponde à diferença entre os valores da escala correspondentes à duas marcas sucessivas O valor de uma divisão é expresso na unidade marcada sobre a escala qualquer que seja a unidade do mensurando Exemplos manômetro VD 02 bar termômetro VD 5 K 334 Incremento Digital ID Nos instrumentos com mostradores digitais corresponde à menor variação da indicação direta possível de ser apresentada Devese atentar o fato que nos mostradores digitais a variação do último dígito não é sempre unitária Com freqüência a variação é de 5 em 5 unidades e algumas vezes de 2 em 2 unidades 335 Resolução R Resolução é a menor diferença entre indicações que pode ser significativamente percebida A avaliação da resolução é feita em função do tipo de instrumento a Nos sistemas com mostradores digitais a resolução corresponde ao incremento digital b Nos sistemas com mostradores analógicos a resolução teórica é zero No entanto em função das limitações do operador da qualidade do dispositivo indicador e da própria necessidade de leituras mais ou menos criteriosas a resolução a adotar poderá ser R VD quando o mensurando apresenta flutuações superiores ao próprio VD ou no caso de tratarse de uma escala grosseira de má qualidade R VD2 quando tratarse de SM de qualidade regular ou inferior eou o mensurando apresentar flutuações significativas eou quando o erro de indicação direta não for crítico R VD5 quando tratarse de SM de boa qualidade traços e ponteiros finos etc e a medição em questão tiver de ser feita criteriosamente R VD10 quando o SM for de qualidade o mensurando estável a medição for altamente crítica quanto a erros de indicação direta e a incerteza do SM foi inferior ao VD 336 Erro Sistemático Es É a parcela do erro que se repete quando uma série de medições é efetuada nas mesmas condições Numericamente corresponde à média de um número infinito de medições do mesmo mensurando efetuadas sobre condições de repetitividade menos o valor verdadeiro do mensurando Em termos práticos adotase a tendência como estimativa do erro sistemático 337 Repetitividade Re de um SM Especifica a faixa de valores dentro da qual com uma probabilidade estatística definida se situará o valor do erro aleatório da indicação de um SM para as condições em que a medição é efetuada Normalmente especificase a Re com confiabilidade de 95 A utilização de outros níveis de confiabilidade 99 3s depende da aplicação e obedece tradições determinações de norma ou desejo do usuário 338 Característica de Resposta Nominal CRn Todo sistema de medição tem o seu comportamento ideal nominal regido por um princípio físico bem definido A equação que exprime o relacionamento ideal entre o estímulo grandeza de entrada no SM e a sua resposta saída é denominada de Característica de Resposta Nominal CRn como mostra a figura 36 Esta relação na maioria dos casos é linear constituída de uma constante multiplicativa eou aditiva Embora mais raras funções polinomiais e exponenciais podem também ser adotadas como CRn A relação entre o deslocamento x da extremidade da mola do dinamômetro da figura 27a e a força aplicada nesta extremidade F é definida pela constante de mola K por F K x A equação da CRn deste SM é então dada por CRnx FK 339 Característica de Resposta Real CRr Na prática o ideal não acontece A resposta de um SM ao estímulo mensurando não segue exatamente o comportamento previsto pela CRn em decorrência de imperfeições que se manifestam de forma sistemática eou aleatória Definese então a Característica de Resposta Real CRr como a relação que realmente ocorre entre o estímulo e a resposta do SM seja em termos da indicação direta ou indicação A característica de resposta real difere da nominal em função do SM apresentar erros sistemáticos e erros aleatórios sendo portanto melhor caracterizada por uma linha média indicação média e uma faixa de dispersão associada geralmente estimada pela repetitividade Característica de Resposta CR CR Real CR Nominal Valor do Mensurado Td e Incerteza Normalmente não é fácil prever o como e o quanto a CRr se afastará da CRn A forma construtiva as características individuais de cada elemento o grau de desgaste as propriedades dos materiais influenciam esta diferença 3310 Curva de Erro CE O comportamento ideal nominal de um SM de boa qualidade não difere muito do comportamento real Na prática a representação da CRr em um gráfico que relacione o estímulo e a resposta será visualizado como se fosse praticamente uma reta já que as diferenças entre a CRn e a CRr são muito pequenas Para tornar claramente perceptível o como e o quanto o comportamento real de um SM se afasta do ideal empregase o gráfico conhecido como curva de erros CE como mostrado na figura 36 A indicação apresentada pelo SM é comparada com um valor padrão ao qual o SM é repetidamente submetido São estimadas a tendência erros sistemáticos e a repetitividade do SM para aquele ponto O processo é repetido para certo número de pontos dentro da faixa de medição sendo usados diferentes valores padrão Como resultado obtémse a curva de erros que descreve a forma como os erros sistemáticos tendência representada pela linha central e os erros aleatórios faixa de Re em torno da Td se distribuem ao longo da faixa de medição Na curva de erros os erros são apresentados em função da indicação ou às vezes da indicação direta Este gráfico é bastante explícito sobre o comportamento do SM em toda a faixa de medição fig 36 3311 Correção C A correção corresponde à tendência com sinal trocado Este termo é às vezes empregado em substituição à Td quando é efetuada a sua compensação Seu uso é predominante nos certificados de calibração em lugar da tendência A correção deve ser somada ao valor das indicações para corrigir os erros sistemáticos 3312 Erro Máximo Emax O Erro Máximo Emáx expressa a faixa onde esperase esteja contido o erro máximo em termos absolutos do SM considerando toda a sua faixa de medição e as condições operacionais fixadas pelo seu fabricante O termo precisão embora não recomendado tem sido usado como sinônimo de incerteza do sistema de medição O erro máximo define uma faixa simétrica em relação ao zero que inscreve totalmente a curva de erros de um SM O erro máximo de um SM é o parâmetro reduzido que melhor descreve a qualidade do instrumento 3313 Sensibilidade Sb É o quociente entre a variação da resposta sinal de saída do SM e a correspondente variação do estímulo mensurando Para sistemas lineares a sensibilidade é constante e para os não lineares é variável dependendo do valor do estímulo e determinada pelo coeficiente angular da tangente à CRr fig 37 Nos instrumentos com indicador de ponteiro às vezes se estabelece a sensibilidade como sendo a relação entre o deslocamento da extremidade do ponteiro em mm e o valor unitário do mensurando Figura 37 Conceito da Sensibilidade Figura 39 Conceito da Faixa da Medição FM e Erro do Lincharidade EL 3314 Estabilidade da Sensibilidade ESb Em função da variação das condições ambientais e de outros fatores no decorrer do tempo podem ocorrer alterações na sensibilidade de um SM O parâmetro que descreve esta variação é a chamada estabilidade da sensibilidade ESb Exemplo um dinamômetro poderá apresentar variação de sensibilidade em função da temperatura variação do módulo de elasticidade podendose expressar esta característica como ESb 05 divNK ou seja a sensibilidade pode variar de até 05 divN por cada kelvin de variação na temperatura 3315 Estabilidade do Zero Ez Podem ocorrer em função dos mesmos fatores mencionados no item anterior instabilidades no comportamento de um SM que se manifestam como alteração do valor inicial da escala zero O parâmetro estabilidade do zero Ez é empregado para descrever os limites máximos para esta instabilidade em função de uma grandeza de influência tempo temperatura etc Correspondem a deslocamentos paralelos da CRr Exemplo Um milivoltímetro pode apresentar tensões superpostas ao sinal de medição em função da temperatura tensões termelétricas Isto pode ser caracterizado por Ez 008 mVK ou seja pode ocorrer um deslocamento paralelo da CRr erro de zero de até 008 mV por cada kelvin de variação da temperatura 3316 Histerese H Histerese de um SM é um erro de medição que ocorre quando há diferença entre a indicação para um dado valor do mensurando quando este foi atingido por valores crescentes e a indicação quando o mensurando é atingido por valores decrescentes fig 38 Este valor poderá ser diferente se o ciclo de carregamento e descarregamento for completo ou parcial A histerese é um fenômeno bastante típico nos instrumentos mecânicos tendo como fonte de erro principalmente folgas e deformações associadas ao atrito 3317 Erro de Linearidade EL A grande maioria dos SM apresenta um CRn linear isto é seu gráfico é uma reta Entretanto o CRr pode afastarse deste comportamento ideal O erro de linearidade é um parâmetro que exprime o quanto o CRr afastase de uma reta Não existe um procedimento único para a determinação do erro de linearidade Embora estes erros sejam sempre expressos em relação a uma reta de referência os critérios para a eleição desta reta de referência não é único Na figura 39 são apresentadas três formas de determinação do erro de linearidade terminal ELt a reta de referência é estabelecida pela reta que une o ponto inicial e o final da linha média da característica de resposta real independente ELi à curva de erros sistemáticos são ajustadas duas retas paralelas de forma que a faixa definida pelas retas contenha todos os pontos da curva e que a distância entre as mesmas seja mínima O erro de linearidade corresponde à metade do valor correspondente à distância entre estas retas método dos mínimos quadrados ELq a posição da reta de referência é calculada pelo método dos mínimos quadrados O maior afastamento da curva de erros sistemáticos à reta de regressão estabelece o erro de linearidade Os coeficientes da reta de regressão y ax b são calculados pelas equações abaixo onde n é o número de pontos coordenados xi yi sendo que em cada somatório i varia de 1 a n O erro de linearidade usando o método dos mínimos quadrados tem sido muito empregado em função de sua determinação poder ser efetuada de forma automática por algoritmos de programação relativamente simples 34 Representação Absoluta Versus Relativa A apresentação dos parâmetros que descrevem as características dos sistemas de medição pode ser dada em termos absolutos ou relativos Parâmetros expressos em termos relativos são denominados de erros fiduciais Parâmetros em termos relativos facilitam a comparação da qualidade de diferentes SM 341 Apresentação em termos absolutos O valor é apresentado na unidade do mensurando Exemplos erro de medição E 0038 N para I 1593 N erro máximo do SM Emáx 0003 V repetitividade 95 15 K 342 Apresentação em termos relativos erro fiducial O parâmetro é apresentado como um percentual de um valor de referência ou valor fiducial Como valor fiducial são tomados preferencialmente a Erro fiducial em relação ao valor final de escala VFE 1 Aplicado normalmente a manômetros voltímetros etc Exemplos Emáx 1 do VFE Re 95 01 b Erro fiducial em relação a faixa de indicação ou amplitude da faixa de indicação Aplicado normalmente a termômetros pirômetros barômetros e outros SM com unidades não absolutas Exemplos ISM 02 da FM 1 Quando não explicitado o valor de referência é sempre o VFE a n x y x y n x x e b y a x n i i i i i 2 i 2 i i erro de linearidade ELq 1 na faixa de 900 a 1400 mbar c Erro fiducial em relação a um valor prefixado Aplicado quando o instrumento é destinado a medir variações em torno do valor pré fixado Exemplo Re 95 05 da pressão nominal de operação de 185 bar d Erro fiducial em relação ao valor verdadeiro convencional Aplicado quando se trata de medidas materializadas Exemplo erro admissível da massa padrão de 100 mg 02 NOTA Quando o valor de referência é o valor verdadeiro convencional ou valor medido este também pode ser chamado de erro relativo CAPÍTULO 4 O ERRO DE MEDIÇÃO 41 A Convivência com o Erro O erro de medição é caracterizado como a diferença entre o valor da indicação do SM e o valor verdadeiro o mensurando isto é onde E erro de medição I indicação VV valor verdadeiro Na prática o valor verdadeiro é desconhecido Usase então o chamado valor verdadeiro convencional VVC isto é o valor conhecido com erros não superiores a um décimo do erro de medição esperado Neste caso o erro de medição é calculado por onde VVC valor verdadeiro convencional Para eliminar totalmente o erro de medição é necessário empregar um SM perfeito sobre o mensurando sendo este perfeitamente definido e estável Na prática não se consegue um SM perfeito e o mensurando pode apresentar variações Portanto é impossível eliminar completamente o erro de medição Mas é possível ao menos delimitálo Mesmo sabendose da existência do erro de medição é ainda possível obter informações confiáveis da medição desde que a ordem de grandeza e a natureza deste erro sejam conhecidas 42 Tipos de Erros Para fins de melhor entendimento o erro de medição pode ser considerado como composto de três parcelas aditivas sendo E erro de medição Es erro sistemático Ea erro aleatório Eg erro grosseiro 421 O erro sistemático E I VV 41 E I VVC 42 E Es Ea Eg 43 O erro sistemático Es é a parcela de erro sempre presente nas medições realizadas em idênticas condições de operação Um dispositivo mostrador com seu ponteiro torto é um exemplo clássico de erro sistemático que sempre se repetirá enquanto o ponteiro estiver torto Pode tanto ser causado por um problema de ajuste ou desgaste do sistema de medição quanto por fatores construtivos Pode estar associado ao próprio princípio de medição empregado ou ainda ser influenciado por grandezas ou fatores externos como as condições ambientais A estimativa do erro sistemático da indicação de um instrumento de medição é também denominado Tendência Td O erro sistemático embora se repita se a medição for realizada em idênticas condições geralmente não é constante ao longo de toda a faixa em que o SM pode medir Para cada valor distinto do mensurando é possível ter um valor diferente para o erro sistemático A forma como este varia ao longo da faixa de medição depende de cada SM sendo de difícil previsão 422 O erro aleatório Quando uma medição é repetida diversas vezes nas mesmas condições observamse variações nos valores obtidos Em relação ao valor médio notase que estas variações ocorrem de forma imprevisível tanto para valores acima do valor médio quanto para abaixo Este efeito é provocado pelo erro aleatório Ea Diversos fatores contribuem para o surgimento do erro aleatório A existência de folgas atrito vibrações flutuações de tensão elétrica instabilidades internas das condições ambientais ou outras grandezas de influência contribui para o aparecimento deste tipo de erro A intensidade do erro aleatório de um mesmo SM pode variar ao longo da sua faixa de medição com o tempo com as variações das grandezas de influência dentre outros fatores A forma como o erro aleatório se manifesta ao longo da faixa de medição depende de cada SM sendo de difícil previsão 423 O erro grosseiro O erro grosseiro Eg é geralmente decorrente de mau uso ou mau funcionamento do SM Pode por exemplo ocorrer em função de leitura errônea operação indevida ou dano do SM Seu valor é totalmente imprevisível porém geralmente sua existência é facilmente detectável Sua aparição pode ser resumida a casos muito exporádicos desde que o trabalho de medição seja feito com consciência Seu valor será considerado nulo neste texto 424 Exemplo A figura 41 exemplifica uma situação onde é possível caracterizar erros sistemáticos e aleatórios A pontaria de quatro atiradores de guerra está sendo colocada à prova O objetivo é acertar os projéteis no centro do alvo colocado a uma mesma distância Cada atirador tem direito a 15 tiros Os resultados da prova de tiro dos atiradores A B C e D estão mostrados nesta mesma figura As marcas dos tiros do atirador A se espalharam por uma área relativamente grande em torno do centro do alvo Estas marcas podem ser inscritas dentro do círculo tracejado desenhado na figura Embora este círculo apresente um raio relativamente grande seu centro coincide aproximadamente com o centro do alvo O raio do círculo tracejado está associado ao espalhamento dos tiros que decorre diretamente do erro aleatório A posição média das marcas dos tiros que coincide aproximadamente com a posição do centro do círculo tracejado reflete a influência do erro sistemático Podese então afirmar que o atirador A apresenta elevado nível de erros aleatórios enquanto o erro sistemático é baixo No caso do atirador B além do raio do círculo tracejado ser grande seu centro está distante do centro do alvo Neste caso tanto os erros aleatórios quanto sistemáticos são grandes Na condição do atirador C a dispersão é muito menor mas a posição do centro do círculo tracejado está ainda distante do centro do alvo o que indica reduzidos erros aleatórios e grande erro sistemático Já a situação do atirador D reflete reduzidos níveis de erros aleatórios e também do erro sistemático Obviamente que do ponto de vista de balística o melhor dos guerreiros é o atirador D por acer tar quase sempre muito próximo do centro do alvo com boa repetitividade Ao se comparar os resultados do atirador C com o A podese afirmar que o atirador C é melhor Embora nenhum dos tiros disparados pelo atirador C tenha se aproximado suficientemente do centro do alvo o seu espalhamento é muito menor Um pequeno ajuste na mira do atirador C o trará para uma condição de operação muito próxima do atirador D o que jamais pode ser obtido com o atirador A Tanto no exemplo da figura 41 quanto em problemas de medição o erro sistemático não é um fator tão crítico quanto o erro aleatório Através de um procedimento adequado é possível estimá lo relativamente bem e efetuar a sua compensação o que eqüivale ao ajuste da mira do fuzil C da figura 41 Já o erro aleatório não pode ser compensado embora sua influência sobre o valor médio obtido por meio de várias repetições se reduza na proporção de 1 n onde n é o número de repetições considerado na média A seguir são apresentados procedimentos para a estimativa quantitativa dos erros de medição 43 Estimação dos Erros de Medição Se o erro de medição fosse perfeitamente conhecido este poderia ser corrigido e sua influência completamente anulada da medição A componente sistemática do erro de medição pode ser suficientemente bem estimada porém não a componente aleatória Assim não é possível compensar totalmente o erro O conhecimento aproximado do erro sistemático e a caracterização da parcela aleatória é sempre desejável pois isto torna possível sua correção parcial e a delimitação da faixa de incerteza ainda presente no resultado de uma medição A forma de estimação destes erros é apresentada a seguir 431 Erro sistemáticoTendênciaCorreção O erro determinado pela equação 42 contém intrinsecamente as parcelas sistemática e aleatória Notase que quando a medição é repetida várias vezes o erro aleatório assume tanto valores positivos quanto negativos De fato geralmente o erro aleatório pode ser modelado como tendo distribuição aproximadamente normal com média zero Na prática sua média tende a zero Figura 41 Caracterização de Efeitos Sistemáticos e Aleatórios em um Problema de Balística à medida que aumentase o número de dados observados uma vez que este tende a distribuirse simetricamente em valores positivos e negativos Desconsiderando o erro grosseiro e assumindo que um número suficientemente grande de medições foi efetuado a influência do erro aleatório no valor médio das medições tende a ser desprezável Sendo assim o valor médio de um número grande de medidas efetuadas repetidamente estará predominantemente afetado pelo erro sistemático Logo para um dado valor do mensurando o Es poderia ser determinado pela equação 44 se fosse considerando um número infinito de medições onde Es erro sistemático MI média de infinitas indicações do SM VVC valor verdadeiro convencional Na prática não se dispõe de infinitas medições para determinar o erro sistemático de um SM porém sim um número restrito de medições geralmente obtidas na calibração do instrumento Ainda assim a equação 44 pode ser usada para obter uma estimativa do erro sistemático Definese então o parâmetro Tendência Td como sendo a estimativa do erro sistemático obtida a partir de um número finito de medições ou seja Td MI VVC 44a No limite quando o número de medidas tende a infinito a tendência aproximase do valor do erro sistemático Alternativamente o parâmetro correção C pode ser usado para exprimir uma estimativa do erro sistemático A correção é numericamente igual à tendência porém seu sinal é invertido isto é C Td 44b O termo correção lembra a sua utilização típica quando normalmente é adicionado à indicação para corrigir os efeitos do erro sistemático A correção é mais freqüentemente utilizado em certificados de calibração Nota A estimativa do erro sistemático através da tendência ou da correção envolve uma faixa de incertezas que é função do número de medições repetidas e das incertezas do padrão utilizado como VVC vide Anexo III 432 Erro aleatório O erro aleatório distribuise em torno do valor médio das indicações É possível isolar seu valor individual para uma determinada medição através da seguinte equação onde Eai erro aleatório da iésima indicação Ii valor da iésima indicação individual MI média de infinitas indicações Esta expressão pode ser obtida por substituição da equação 44 na 43 se o erro grosseiro for desconsiderado Este erro varia a cada medição de forma totalmente imprevisível O valor Es MI VVC 44 Eai Ii MI 45 instantâneo do erro aleatório tem pouco ou nenhum sentido prático uma vez que é sempre variável e imprevisível A caracterização do erro aleatório é efetuada através de procedimentos estatísticos Sobre um conjunto finito de valores de indicações obtidas nas mesmas condições e do mesmo mensurando determinase o desvio padrão experimental que de certa forma está associado à dispersão provocada pelo erro aleatório É comum exprimir de forma quantitativa o erro aleatório através da repetitividade Re A repetitividade de um instrumento de medição expressa uma faixa simétrica de valores dentro da qual com uma probabilidade estatisticamente definida se situa o erro aleatório da indicação Para estimar este parâmetro é necessário multiplicar o desvio padrão experimental pelo correspondente coeficiente t de Student levando em conta a probabilidade de enquadramento desejada e o número de dados envolvidos onde Re faixa de dispersão dentro da qual se situa o erro aleatório normalmente para probabilidade de 95 t é o coeficiente t de Student s desvio padrão experimental da amostra de n medidas Os procedimentos para a determinação do coeficiente t de Student e estimação do desvio padrão da amostra s e da repetitividade Re são detalhados no anexo III 433 Exemplo de determinação da Tendência e Repetitividade A figura 42 apresenta um exemplo onde são estimados os erros de uma balança eletrônica digital Para tal uma massa padrão de 100000 000001 kg é medida várias vezes por esta balança Sabese de antemão que o valor do erro da massa padrão é desprezável em relação aos erros tipicamente esperados para esta balança Neste caso o valor desta massa pode ser assumido como o valor verdadeiro convencional VVC do mensurando Note que a determinação dos erros de um SM só é possível quando se mede um mensurando já previamente conhecido isto é apenas quando o VVC é conhecido A primeira indicação obtida é 1014 g que difere do valor verdadeiro convencional 1000 g Notase a existência de um erro de medição de E 1014 1000 14 g Entretanto ao medirse uma única vez não é possível identificar as componentes dos erros sistemático e aleatório Os valores das indicações obtidas nas onze medições adicionais apresentaram variações Como tratase de um mensurando invariável a dispersão dos valores das indicações é atribuída aos efeitos dos erros aleatórios do sistema de medição A distribuição dos valores das indicações obtidas mostrada na parte c da figura agrupase em torno do valor central médio de 1015 g e tem uma forma que se assemelha a uma distribuição normal anexo III Por observação direta notase que os valores das doze indicações estão enquadradas dentro da faixa de 1015 3 g A tendência e o desvio padrão experimental foram estimados com o auxílio da tabela da figura 42b O valor médio das indicações foi determinado MI 1015 g e com este a tendência foi estimada por meio da equação 44a sendo obtido Td 1015 1000 g Td 15 g 1 1 Considerando a equação III10 a rigor podese afirmar apenas que a tendência situase dentro da faixa Td 15 1 g Re t s 46 A quarta coluna da figura 42b é obtida subtraindose o valor da tendência do erro total E resultando no erro aleatório para cada ponto Notase que neste caso este erro distribuise aleatoriamente em torno do zero dentro do limite 3 g A aplicação da equação III8 ver apêndice III leva ao seguinte valor para o desvio padrão experimental s 165 g O coeficiente t de Student para 12 medidas portanto 11 graus de liberdade e confiabilidade 95 é de 220 fig III5 Logo a repetitividade Re dentro da qual situase o erro aleatório resulta em Re 220 165 g Re 36 g Isto quer dizer que existe 95 de probabilidade do erro aleatório se enquadrar dentro de uma faixa simétrica de 36 g centrada em torno do valor médio 1015g observação Caso o valor real da massa aplicada à balança fosse desconhecido o leigo muito provavelmente afirmaria após o experimento que o valor da mesma é m 1014 3 g Ao fazer isto ele estaria cometendo um grave erro pelo fato de não considerar a existência do erro sistemático A forma correta da determinação do resultado da medição RM será exposta no capítulo 7 porém podese adiantar que desconsiderando as demais parcelas de incerteza o RM poderia ser expresso por onde MI valor médio das indicações Td tendência Re repetitividade n número de medidas efetuadas que leva a RM 1000 1 g 434 Curva de erros de um sistema de medição Os valores estimados para a tendência e repetitividade de um sistema de medição normalmente são obtidos não apenas em um ponto mas são repetidos para vários pontos ao longo da sua faixa de medição Estes valores podem ser representados graficamente facilitando a visualização RM MI Td Re n do comportamento metrológico do SM nas condições em que estas estimativas foram obtidas O gráfico resultante é denominado de curva de erros O procedimento efetuado no exemplo da figura 42 é repetido para valores adicionais de massas cujos valores verdadeiros convencionais sejam conhecidos massas padrão Costumase selecionar dentro da faixa de medição do SM um número limitado de pontos normalmente regularmente espaçados e estimar o Td e Re para cada um destes pontos Tipicamente são usados em torno de 10 pontos na faixa de medição Como resultado do procedimento acima uma representação gráfica de como a tendência e a repetitividade se comportam em alguns pontos ao longo da faixa de medição Esta é a curva de erros do SM Para cada ponto medido a tendência é representada pelo ponto central ao qual adicionase e subtraise a repetitividade Caracterizase assim a faixa de valores dentro da qual estimase que o erro do SM estará para aquele ponto de medição Na prática este levantamento é muito importante para a correta compensação de erros e estimação do denominado resultado de uma medição como será visto em detalhes no capítulo 7 A figura 43 apresenta um exemplo de determinação da curva de erros Para a mesma balança da figura 42 repetiuse o procedimento para a estimação de Td e Re quando foram utilizados valores adicionais de massas padrão cada qual com seu valor verdadeiro convencional conhecido Os valores obtidos estão tabelados na figura 43a A representação gráfica destes erros ou seja a curva de erros é também mostrada na figura 43b No eixo horizontal representase o valor da indicação No eixo vertical o erro de medição sendo que o ponto central representa a tendência Td e em torno desta traçamse os limites esperados para o erro aleatório estimados por limite superior Td Re limite inferior Td Re 435 Erro Máximo do Sistema de Medição O fabricante de um sistema de medição normalmente especifica um parâmetro que corresponde ao limite dos máximos erros presentes neste SM quando este é utilizado nas condições típicas de operação Este parâmetro deve ser usado com muito cuidado verificandose que não são violadas as condições especificadas pelo fabricante nem as recomendações a nível operacional e de manutenção Definese o parâmetro denominado erro máximo Emax de um sistema de medição como a faixa de valores centrada em torno do zero que com uma probabilidade definida contém o maior erro do qual pode estar afetada qualquer indicação apresentada pelo sistema de medição considerando os erros sistemáticos e aleatórios em toda a sua faixa de medição sempre respeitando as condições de operação especificadas pelo seu fabricante Note que este é um parâmetro característico do sistema de medição e não de um processo de medição em particular Nas condições de operação os erros apresentados pelo sistema de medição não deverão ultrapassar os limites definidos por Emáx e Emáx Sua curva de erros deve estar inteiramente inscrita dentro do espaço definido por duas linhas horizontais localizadas em Emáx e Emáx O erro máximo do sistema de medição é o parâmetro reduzido que melhor descreve a qualidade do instrumento pois expressa os limites máximos do erro de medição associado a este SM nas suas condições normais de operação e por isso é freqüentemente utilizado na etapa de seleção do SM O termo precisão é freqüente e erroneamente empregado em lugar do erro máximo O uso do termo precisão pode ser empregado apenas no sentido qualitativo e jamais como um parâmetro Ponto VVC g MI g Td g Re 95 g 1 00 00 00 11 2 5000 5090 90 28 3 10000 10150 150 36 4 15000 15170 170 38 5 20000 20190 190 40 6 25000 25180 180 40 7 30000 30120 120 38 8 35000 35070 70 42 9 40000 40010 10 40 10 45000 44950 50 42 11 50000 49850 150 40 Figura 43a Resultados tabelados para cada ponto de calibração Erro g 5 10 15 20 25 0 5 10 15 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 45 0 0 5000 FM g Emax 20 Re Td Emax Figura 43b Curva de erro 44 Incerteza A palavra incerteza significa dúvida De forma ampla incerteza da medição significa dúvida acerca do resultado de uma medição Formalmente definese incerteza como parâmetro associado com o resultado de uma medição que caracteriza a dispersão de valores que podem razoavelmente ser atribuídos ao mensurando A incerteza portanto está associada ao resultado da medição Não corresponde ao erro aleatório do sistema de medição embora este seja uma das suas componentes Outras componentes são decorrentes da ação de grandezas de influência sobre o processo de medição as incertezas da tendência ou da correção número de medições efetuadas resolução limitada etc Não há portanto uma relação matemática explícita entre a incerteza de um processo de medição e a repetitividade de um sistema de medição A incerteza é normalmente expressa em termos da incerteza padrão da incerteza combinada ou da incerteza expandida A incerteza padrão u de um dado efeito aleatório corresponde à estimativa equivalente a um desvio padrão da ação deste efeito sobre a indicação A incerteza combinada uc de um processo de medição é estimada considerando a ação simultânea de todas as fontes de incerteza e ainda corresponde a um desvio padrão da distribuição resultante A incerteza expandida U associada a um processo de medição é estimada a partir da incerteza combinada multiplicada pelo coeficiente tStudent apropriado e reflete a faixa de dúvidas ainda presente nesta medição para uma probabilidade de enquadramento definida geralmente de 95 A estimativa da incerteza envolve considerações adicionais e será abordada em detalhes no capítulo 5 45 Fontes de Erros Toda medição está afetada por erros Estes erros são provocados pela ação isolada ou combinada de vários fatores que influenciam sobre o processo de medição envolvendo o sistema de medição o procedimento de medição a ação de grandezas de influência e o operador O comportamento metrológico do SM depende fortemente de fatores conceituais e aspectos construtivos Suas características tendem a se degradar com o uso especialmente em condições de utilização muito severas O comportamento do SM pode ser fortemente influenciado por perturbações externas e internas bem como pela influência do operador ou mesmo do SM modificar indevidamente o mensurando fig 43 O procedimento de medição adotado deve ser compatível com as características do mensurando O número e posição das medições efetuadas o modelo de cálculo adotado a interpretação dos resultados obtidos podem também introduzir componentes de incerteza relevantes no resultado da medição As grandezas de influência externas podem provocar erros alterando diretamente o comportamento do SM ou agindo sobre o mensurando O elemento perturbador mais crítico de modo geral é a variação da temperatura ambiente embora outras grandezas como vibrações mecânicas variações de pressão atmosférica umidade ou tensão da rede elétrica também possam trazer alguma influência A variação da temperatura provoca dilatação das escalas dos instrumentos de medição de comprimentos da mesma forma como age sobre o mensurando por exemplo modificando o comprimento a medir de uma peça A variação da temperatura pode também ser uma perturbação interna Exemplo típico é a instabilidade dos sistemas elétricos de medição por determinado espaço de tempo após terem sido ligados Em função da liberação de calor nos circuitos elétricoeletrônicos há uma variação das características elétricas de alguns componentes e assim do SM Há necessidade de aguardar estabilização térmica o que minimizará os efeitos da temperatura A existência de atrito folgas imperfeições construtivas e o comportamento não ideal de elementos físicos são outros exemplos de perturbação interna A modificação indevida do mensurando pela ação do sistema de medição ou do operador pode ter diversas causas Por exemplo na metrologia dimensional a dimensão da peça modificase em função da força de medição aplicada A figura 45 ilustra uma situação onde pretendese medir a temperatura de um cafezinho Para tal é empregado um termômetro de bulbo Ao ser inserido no copo há um fluxo de energia do café para o termômetro o bulbo esquenta enquanto o café esfria até que a temperatura de equilíbrio seja atingida É esta temperatura inferior a temperatura inicial do cafezinho que será indicada pelo termômetro Este é outro exemplo onde o mensurando é modificado pelo SM A modificação do mensurando por outros módulos da cadeia de medição acontece por exemplo na conexão indevida de dispositivos registradores Um exemplo onde o operador modifica o mensurando é quando se instala um termômetro para medir a temperatura no interior de uma câmara frigorífica e por alguma razão tornase necessário entrar nesta câmara para fazer a leitura da temperatura A presença do operador pode modificar o mensurando no caso a temperatura da câmara A figura 46 exemplifica a ocorrência de erros numa operação de medição de massa Destacase na figura que o comportamento da balança e conseqüentemente os erros de medição são dependentes da temperatura ambiente e da sua variação Dependendo da forma como se comporta a temperatura a balança pode apresentar predominância de erros sistemáticos ou aleatórios O operador também pode introduzir erros adicionais no processo de medição Erros de interpolação na leitura erros inerentes ao manuseio ou à aplicação irregular do SM são exemplos típicos Sua quantificação é muito difícil geralmente estimada por medições repetitivas em uma peça de referência envolvendo diferentes momentos instrumentos operadores e nas condições ambientais típicas A grande dificuldade trazida por estes diversos fatores é que estas perturbações ocorrem superpostas ao sinal de medição sendo impossível identificar e separar o que é erro do que é variação do mensurando Para conviver com estes diversos fatores que influenciam o comportamento do SM é comum ao fabricante fixar as condições em que o sistema de medição deve operar por exemplo temperatura 20 1 C tensão da rede 220 15 V etc Somente dentro destas faixas é que são garantidas as especificações metrológicas dos sistemas de medição É necessário estar atento para estes limitantes 46 Minimização do Erro de Medição O erro de medição sempre existe Não há meio de eliminálo completamente No capítulo 7 são abordados os mecanismos para estabelecer os limites da sua influência no resultado da medição Perturbações Externas Condições Ambientais Tensão da Rede Vibrações Operador Perturbações Internas Atrito Tensões Termoelétricas Tensões Galvanométricas Folgas Influindo no comportamento do SM Indicação Retração do Receptor Característica de Resposta Sistema de Medição AAG 197 MCG 012 Medição de uma massa padrão de 1kg Incorreta Balança numa sala com temperatura estável Balança numa sala com temperatura variável Td Tendência Efeito Sistemático AAG 197 MCG 014 Entretanto existem alguns cuidados e procedimentos que podem ser seguidos que resultam na minimização deste erro A seguir são apresentadas algumas sugestões nesta direção 461 Modelação correta do processo de medição Um fator de elevada importância é o conhecimento da natureza do processo ou da grandeza que está sendo medida A correta definição do mensurando a compreensão de suas características e comportamento devem ser levadas em conta para definir o procedimento de medição a ser adotado Se por exemplo a medição envolve um mensurando variável com o tempo ou posição a adoção de um procedimento errôneo apenas adequado para mensurandos invariáveis poderá levar a resultados completamente absurdos 462 Seleção correta do SM Operacional e funcionalmente o SM deve ser apropriado para o tipo de mensurando Devese verificar se o valor do mensurando situase dentro da faixa de medição do SM O tipo de grandeza deve ser compatível com o SM um micrômetro para dimensões externas não se aplica para dimensões internas Além disso devese ficar alerta para problemas relacionados com a modificação do mensurando provocado pelo SM seria conveniente usar um SM com baixa inércia térmica para o exemplo da figura 45 O tipo de mensurando estático ou dinâmico a forma de operaçãoindicação digital ou analógica o método de medição indicação ou compensação o peso o tamanho e a energia necessária devem ser levados em conta ao se selecionar o SM Uma boa lida nos catálogos e manuais de operação do SM é indispensável 463 Adequação do Erro Máximo do Sistema de Medição Embora um SM sempre apresente erro de medição diferentes sistemas de medição podem apresentar diferentes níveis de erros A qualidade de um SM está relacionada com o nível de erro por este apresentado É quase sempre possível adquirir no mercado SMs com diferentes níveis de qualidade por obviamente diferentes preços O equilíbrio entre o custo e benefício deve ser buscado É difícil estabelecer um procedimento genérico para a correta seleção do SM baseado unicamente no seu preço e erro máximo Porém esperase que nas condições fixadas pelos fabricantes os erros inerentes do sistema de medição nunca sejam superiores ao erro máximo do sistema de medição empregado Através de uma calibração e de um procedimento mais cuidadoso de medição onde seja compensada a tendência do SM e a medição seja repetida diversas vezes é possível reduzir significativamente o nível de erros presente no resultado 464 Calibração do Sistema de Medição O SM deve ser calibrado ou ao menos seus erros devem ser verificados em alguns pontos quando se suspeitar que possa estar fora das condições normais de funcionamento ou vir a operar em condições adversas das especificadas pelo fabricante Os erros de medição obtidos através da calibração são comparados com as especificações do SM dadas pelo fabricante e ou com as características metrológicas requeridas na aplicação para a qual se destina este SM Adicionalmente a calibração fornece a tendência em alguns pontos da faixa de medição do SM possibilitando a sua correção e conseqüente melhoria da incerteza da medição 465 Avaliação das Influências das Condições de Operação do SM Alguns SMs são sensíveis às condições de operação podendo apresentar componentes adicionais de erros de medição em função das condições do ambiente Devese prestar especial atenção nas variações de temperatura Fortes campos elétricos ou magnéticos ou vibrações também podem afetar o desempenho do SM A ordem de grandeza dos erros provocados por estes fatores deve ser avaliada e estes corrigidos quando significativos para a aplicação 466 Calibração in loco do Sistema de Medição Quando se suspeitar que existe forte influência de diversos fatores sobre o desempenho do SM é recomendável efetuar a calibração deste SM in loco isto é nas condições reais de utilização deste SM Para tal padrões do mensurando são aplicados sobre este SM e os erros são avaliados nas próprias condições de utilização Problemas propostos 1 Deduza a equação 45 a partir combinando as equações 42 43 e 44 desconsiderando a existência do erro grosseiro 2 A tensão elétrica de uma pilha foi repetidamente medida por um voltímetro comprado no Paraguai Foram obtidas as indicações listadas abaixo todas em V Determine o valor médio das indicações MI o valor do erro aleatório para cada indicação o desvio padrão experimental e a repetitividade Re para confiabilidade de 95 147 143 140 144 144 148 142 145 146 143 3 A mesma pilha da questão anterior foi medida por um voltímetro de boa qualidade metrológica sendo encontrado o seguinte resultado para a tensão da pilha 14977 00005 V Com este dado determine a tendência Td para o voltímetro da questão anterior 4 Uma dupla de operários foi encarregada de medir o diâmetro dos 10 cabos elétricos de uma torre de transmissão desligada Um dos operários subiu na torre e com um paquímetro mediu cada um dos cabos e gritou os valores para o segundo operário que anotou as medidas na planilha obtendo os dados transcritos abaixo Determine o valor médio para o diâmetro dos cabos e a repetitividade Re para 95 de confiabilidade Indicações mm 252 259 248 246 2251 247 256 253 249 250 5 E se for dito que o operário que subiu na torre era gago e o que anotou os dados estava com o óculos sujo isto mudaria o seu resultado para a questão anterior 6 Pretendese levantar dados acerca do comportamento metrológico de um dinamômetro Um conjunto de 10 massas padrão foi usado para gerar forças conhecidas que foram aplicadas sobre o dinamômetro abrangendo toda a sua faixa de medição que é de 100 N Na tabela abaixo apresentase uma tabela com os resultados para cada uma das massas padrão Represente graficamente a curva de erros deste dinamômetro ponto de medição VVC N Td N s para n 20 1 000 04 015 2 1240 07 022 3 2520 07 024 4 3500 04 023 5 5120 02 026 6 6220 01 024 7 7240 04 027 8 8320 06 028 9 9010 08 028 10 10010 11 029 7 Determine o erro máximo incerteza do sistema de medição da questão anterior 8 Dê exemplo de cinco fatores que possam introduzir erros em sistemas de medição Capítulo 5 CALIBRAÇÃO DE SISTEMAS DE MEDIÇÃO Operações Básicas para Qualificação de Sistemas de Medição 511 Calibração Calibração é um procedimento experimental através do qual são estabelecidas sob condições específicas as relações entre os valores indicados por um instrumento de medição e os valores correspondentes das grandezas estabelecidas por padrões AAG 197 MCG 013 A calibração pode ser efetuada por qualquer entidade desde que esta disponha dos padrões rastreados e pessoal competente para realizar o trabalho Para que uma calibração tenha validade oficial é necessário que seja executada por entidade legalmente credenciada No Brasil existe a Rede Brasileira de Calibração RBC coordenada pelo INMETRO Instituto Nacional de Metrologia Normalização e Qualidade Industrial Esta rede é composta por uma série de laboratórios secundários espalhados pelo país ligados a Universidades Empresas Fundações e outras entidades que recebem o credenciamento do INMETRO e estão aptos a expedir certificados de calibração oficiais Hoje com as tendências da globalização da economia a competitividade internacional das empresas é uma questão crucial A qualidade dos serviços e dos produtos da empresa têm que ser assegurada a qualquer custo As normas da série ISO 9000 apareceram para disciplinar a gestão das empresas para melhorar e manter a qualidade de uma organização A calibração tem o seu papel de grande importância neste processo uma vez que um dos requisitos necessários para uma empresa que se candidate à certificação pelas normas ISO 9000 é que os sistemas de medida e padrões de referência utilizados nos processo produtivo tenham certificados de calibração oficiais Embora a calibração seja a operação de qualificação de instrumentos e sistemas de medição mais importante existem outras operações comumente utilizadas 512 Ajuste Operação complementar normalmente efetuada após uma calibração quando o desempenho metrológico de um sistema de medição não está em conformidade com os padrões de comportamento esperados Tratase de uma regulagem interna do SM executada por técnico especializado Visa fazer coincidir da melhor forma possível o valor indicado no SM com o valor correspondente do mensurado submetido São exemplos alteração do fator de amplificação sensibilidade de um SM por meio de um potenciômetro interno regulagem do zero de um SM por meio de parafuso interno No caso de medidas materializadas o ajuste normalmente envolve uma alteração das suas características físicas ou geométricas Por exemplo colocação de uma tara em uma massa padrão Após o término da operação de ajuste é necessário efetuar uma recalibração visando conhecer o novo comportamento do sistema de medição após os ajustes terem sido efetuados 513 Regulagem É também uma operação complementar normalmente efetuada após uma calibração quando o desempenho metrológico de um sistema de medição não está em conformidade com os padrões de comportamento esperados Envolve apenas ajustes efetuados em controles externos normalmente colocados à disposição do usuário comum É necessária para fazer o SM funcionar adequadamente fazendo coincidir da melhor forma possível o valor indicado com o valor correspondente do mensurado submetido São exemplos alteração do fator de amplificação sensibilidade de um SM por meio de um botão externo regulagem do zero de um SM por meio de um controle externo indicado para tal 514 Verificação A operação de verificação é utilizada no âmbito da metrologia legal devendo esta ser efetuada por entidades oficiais denominadas de Institutos de Pesos e Medidas Estaduais IPEM existentes nos diversos estados da Federação Tratase de uma operação mais simples que tem por finalidade comprovar que um sistema de medição está operando corretamente dentro das características metrológicas estabelecidas por lei uma medida materializada apresenta características segundo especificações estabelecidas por normas ou outras determinações legais São verificados instrumentos como balanças bombas de gasolina taxímetros termômetros clínicos e outros instrumentos bem como medidas materializadas do tipo massa padrão usados no comércio e área da saúde com o objetivo de proteger a população em geral A verificação é uma operação de cunho legal da qual resulta a emissão de selo ou plaqueta com a inscrição VERIFICADO quando o elemento testado satisfaz às exigências legais É efetuada pelos órgãos estaduais denominados de Institutos de Pesos e Medidas IPEM ou diretamente pelo INMETRO quando tratase de âmbito federal 52 Destino dos Resultados de uma Calibração Os resultados de uma calibração são geralmente destinados a uma das seguintes aplicações a Levantamento da curva de erros visando determinar se nas condições em que foi calibrado o sistema de medição está em conformidade com uma norma especificação legal ou tolerância definida para o produto a ser medido e conseqüente emissão de certificado Efetuado periodicamente garantirá a confiabilidade dos resultados da medição e assegurará correlação rastreabilidade aos padrões nacionais e internacionais b Levantamento da curva de erros visando determinar dados e parâmetros para a operação de ajuste do sistema de medição c Levantamento detalhado da curva de erros e tabelas com valores da correção e sua incerteza com o objetivo de corrigir os efeitos sistemáticos visando reduzir a incerteza do resultado da medição capítulo 7 A aplicação da correção poderá ser efetuada manual ou automaticamente d Análise do comportamento metrológico e operacional dos sistemas de medição nas fases de desenvolvimento e aperfeiçoamento incluindo a análise das grandezas externas que influem no seu comportamento e Análise do comportamento metrológico e operacional dos sistemas de medição em condições especiais de operação por exemplo elevadas temperaturas na ausência de gravidade em elevadas pressões etc Adicionalmente a calibração deve ser efetuada quando por alguma razão se deseja o levantamento mais detalhado sobre o comportamento metrológico de um sistema de medição sobre o qual existe dúvida ou suspeita de funcionamento irregular 53 Métodos de Calibração 531 Calibração Direta A parte superior da figura 51 ilustra o método de calibração direta O mensurado é aplicado sobre o sistema de medição por meio de medidas materializadas cada qual com seu valor verdadeiro convencional suficientemente conhecido São exemplos de medidas materializadas blocos padrão comprimento massas padrão pontos de fusão de substâncias puras entre outras É necessário dispor de uma coleção de medidas materializadas suficientemente completa para cobrir toda a faixa de medição do instrumento As indicações dos sistemas de medição são confrontadas com cada valor verdadeiro convencional e a correção e sua incerteza são estimadas por meio de medições repetitivas 532 Calibração Indireta Não seria fácil calibrar o velocímetro de um automóvel utilizando a calibração direta O conceito de medida materializada não se aplica à velocidade As constantes físicas naturais como a velocidade de propagação do som no ar ou nos líquidos ou mesmo a velocidade da luz são inapropriadas para este fim A solução para este problema passa pela calibração indireta Este método é ilustrado na parte inferior da figura 51 O mensurado é gerado por meio de um dispositivo auxiliar que atua simultaneamente no sistema de medição a calibrar SMC e também no sistema de medição padrão SMP isto é um segundo sistema de medição que não apresente erros superiores a 110 dos erros do SMC As indicações do SMC são comparadas com as do SMP sendo estas adotadas como VVC e os erros são determinados Para calibrar o velocímetro de um automóvel pela calibração indireta o automóvel é posto em movimento Sua velocidade em relação ao solo além de indicada pelo velocímetro é também medida por meio de um sistema de medição padrão cujos erros sejam 10 vezes menores que os erros do velocímetro a calibrar Este SMP pode ser por exemplo constituído por uma quinta roda afixada na parte traseira do automóvel ou hoje é comum a utilização de sensores que usam um raio laser dirigido ao solo e pela análise do tipo de sinal que retorna determinar a velocidade real do automóvel com baixas incertezas Neste exemplo o próprio automóvel é o gerador da grandeza padrão isto é da velocidade que é simultaneamente submetida a ambos os sistemas de calibração Para levantar a curva de erros o automóvel deve trafegar em diferentes patamares de velocidade repetidas vezes Algumas vezes não se dispõe de um único sistema de medição padrão que englobe toda a faixa de medição do SMC Neste caso é possível utilizar diversos SMPs de forma complementar Por exemplo desejase calibrar um termômetro entre 20 e 35 C não se dispõe de um padrão que individualmente cubra esta faixa completamente dispõese de um termômetro padrão para a faixa 20 a 30 C e outro para 30 a 40 C o termômetro a calibrar é parcialmente calibrado para a faixa de 20 a 30 C contra o primeiro padrão o restante da calibração entre 30 e 35 C é completado contra o segundo padrão 533 Padrões para Calibração Para que o valor da medida materializada ou o indicado pelo SMP possa ser adotado como valor verdadeiro convencional VVC é necessário que seus erros sejam sensivelmente menores que os erros esperados no SMC Tecnologicamente quanto menores os erros do padrão melhor Economicamente quanto menores os erros do padrão mais caro este é Procurando buscar o equilíbrio técnicoeconômico adotase como padrão um elemento que nas condições de calibração e para cada ponto de calibração apresente incerteza não superior a um décimo da incerteza esperada para o sistema de medição a calibrar Assim Na equação acima U representa a incerteza expandida que corresponde à faixa de dúvidas que resultam das medições efetuadas com os respectivos sistemas de medição Este conceito será detalhado nos capítulos 8 e 9 Desta forma o SMP apresentará ao menos um dígito confiável a mais que o SMC o que é suficiente para a determinação dos erros deste último Excepcionalmente em casos onde é muito difícil ou caro de se obter um padrão 10 vezes superior ao SMC usase o limite de 15 ou até mesmo 13 para a razão entre as incertezas do SMP e o SMC Este últimos devem ser analisados com cuidado para que a incerteza da calibração não venha a ser muito elevada Em função da mudança do comportamento do instrumento com a velocidade de variação do mensurado distinguemse a calibração estática e a dinâmica Apenas nos instrumentos de ordem zero a calibração estática coincide com a dinâmica Nos demais casos é necessário determinar a resposta do SM para diversas freqüências de variação do mensurado SMC SMP 10 U 1 U Qualquer sistema de medição deve ser calibrado periodicamente Este período é algumas vezes especificado por normas ou fabricantes de instrumentos ou outras fontes como laboratórios de calibração porém são influenciados pelas condições eou freqüência de uso Para a calibração de um SM em uso na indústria são geralmente usados padrões dos laboratórios da própria indústria Entretanto estes padrões precisam ser calibrados periodicamente o que é executado por laboratórios secundários da RBC Mas também estes padrões precisam ser calibrados por outros que por sua vez também necessitam de calibração e assim por diante Estabelecese assim uma hierarquia que irá terminar nos padrões primários internacionais ou mesmo na própria definição da grandeza A calibração periódica dos padrões garante a rastreabilidade internacional o que elimina o risco do metro francês ser diferente do metro australiano Como exemplo citase a figura 52 onde se exemplifica a correlação entre os padrões Isto garante a coerência das medições no âmbito mundial Figura 51 Métodos de Calibração Figura 52 Hierarquia de Calibração do Padrão Nacional até o Produto Acabado CONDIÇÕES PRELIMINARES DA CALIBRAÇÃO MEDIÇÃO ATIVIDADES USUÁRIO Padrão meios de mediçã o Padrão Nacional Padrão de Referência Padrão de Trabalho Padrões Instrumentos de uso geral Certificado de calibração do INMETRO Garantia da rastreabilidade da medição lançada certamente dos padrões primários e dos padrões internacionais Certificado de calibração a RBC Certificado de calibração da empresa e comprova a qualificação Marca selo ou plaqueta de verificação Padrão de Tensão JOSEPHSON Padrões de Tensão Elétrica 1V 1018V 10V SM Padrão Fonte de Tensão CC Voltímetro Digital Divisor de Tensão CC Multímetro Digital de Precisão Fonte de Tensão CC Calibrador de Tensão CC Divisor de Tensão CC Voltímetro CC 54 Calibração Parcial Normalmente objetiva se determinar o comportamento operacional e metrológico do sistema de medição na sua integralidade isto é do conjunto formado pelos módulos sensortransdutor transmissão ou tratamento de sinal dispositivo mostrador e demais que compõem a cadeia de medição Este sistema de medição pode apresentarse de forma independente ex manômetro máquina de medir por coordenadas ou pode estar integrado a um sistema composto de vários elementos interligáveis fisicamente ex célula de carga amplificador da máquina de ensaio de materiais termômetro de um reator nuclear formado por termopar cabo de compensação voltímetro Não é raro especialmente nas fases de desenvolvimento e fabricação de módulos ser inviável a calibração do sistema de medição como um todo Esta dificuldade pode surgir em função do porte e complexidade do sistema ou da dificuldade tecnológica de se obter uma grandeza padrão com a qualidade necessária ou de se manter todas as variáveis influentes sob controle Nestes casos é comum efetuar calibrações separadamente em alguns módulos do sistema tendo sempre em vista que estes devem apresentar um sinal de saída definido resposta para um sinal de entrada conhecido estímulo A análise do desempenho individual de cada módulo possibilita a determinação das características de desempenho do conjunto Freqüentemente um módulo isolado não tem condições de operar plenamente É necessário acrescentar elementos complementares para formar um SM que tenha condições de operar Para que estes elementos complementares não influam de forma desconhecida sobre o módulo a calibrar é necessário que o erro máximo introduzido por cada elemento não seja superior a um décimo do erro admissível ou esperado para o módulo a calibrar Esta situação é ilustrada na figura 53 Supondo que o sistema de medição normal 0 tenha módulos com incertezas relativas da ordem de 1 e desejandose efetuar a calibração do sensor transdutor isoladamente é necessário compor um outro sistema de medição o SM1 Neste sistema são empregados uma unidade de tratamento de sinais e um dispositivo mostrador 1 com incerteza relativa máxima de 01 Garantido estes limites podese afirmar que os erros do SM1 são gerados exclusivamente no transdutor 0 visto que os demais módulos contribuem com parcelas de incerteza significativamente menores Ainda na figura 53 no caso em que se deseje calibrar isoladamente a unidade de tratamento de sinais 0 deverá ser composto o SM2 formado por um sensortransdutor e um dispositivo mostrador que apresentem incertezas insignificantes Neste caso em geral o sensor transdutor é substituído por um gerador de sinais equivalente Este sinal no entanto não deve estar afetado de um erro superior a um décimo do admitido na operação da unidade de tratamento de sinais Na prática existem alguns sistemas de medição que fornecem para grandezas vetoriais diversas indicações ex as três componentes cartesianas de uma força as três coordenadas da posição de um ponto apalpado A calibração deste sistema é normalmente efetuada para cada uma destas componentes do vetor isoladamente da forma usual Devese adicionalmente verificar se há influência da variação de uma das componentes sobre as demais ou seja os coeficientes de influência 55 Procedimento Geral de Calibração A calibração de sistemas de medição é um trabalho especializado e exige amplos conhecimentos de metrologia total domínio sobre os princípios e o funcionamento do sistema de medição a calibrar SMC muita atenção e cuidados na sua execução e uma elevada dose de bom senso Envolve o uso de equipamento sofisticado e de alto custo Recomendase sempre usar um procedimento de calibração documentado segundo exigências de normas NBRISO Quando tais procedimentos de calibração não existirem devem ser elaborados com base em informações obtidas de normas técnicas recomendações de fabricantes e informações do usuário do SM em questão complementados com a observância das regras básicas da metrologia e no bom senso A seguir apresentase uma proposta de roteiro geral a ser seguido para a calibração de um SM qualquer Esta proposta deve ser entendida como orientativa apenas devendo ser analisado caso a caso a conveniência de adotar modificar ou acrescentar as recomendações sugeridas Quando tratase de um trabalho não rotineiro de cunho técnicocientífico e muitas vezes de alta responsabilidade é fundamental que sejam registrados todos os eventos associados com o desenrolar da atividade na forma de um memorial de calibração É fundamental um estudo aprofundado do SMC manuais catálogos normas e literatura complementar visando Etapa 7 Análise dos Resultados A partir da curva de erros e dos diversos valores calculados para a faixa de medição determinamse quando for o caso os parâmetros reduzidos correspondentes às características metrológicas e operacionais Estes valores são comparados às especificações do fabricante usuário normas e dão lugar a um parecer final Este parecer pode ou não atestar a conformidade do SMC com uma norma ou recomendação técnica apresentar instruções de como e restrições das condições em que o SMC pode ser utilizado etc Etapa 8 Certificado de Calibração A partir do memorial gerase o Certificado de Calibração que é o documento final que será fornecido ao requisitante no qual constam as condições e os meios de calibração bem como os resultados e os pareceres A norma NBR ISO 10 0121 Requisitos da Garantia da Qualidade para Equipamentos de Medição prevê que os resultados das calibrações devem ser registrados com detalhes suficientes de modo que a rastreabilidade de todas as medições efetuadas com o SM calibrado possam ser demonstradas e qualquer medição possa ser reproduzida sob condições semelhantes às condições originais As seguintes informações são recomendadas para constar no Certificado de Calibração a descrição e identificação individual do SM a calibrar b data da calibração c os resultados da calibração obtidos após e quando relevante os obtidos antes dos ajustes efetuados d identificação dos procedimentos de calibração utilizados e identificação do SM padrão utilizado com data e entidade executora da sua calibração bem como sua incerteza f as condições ambientais relevantes e orientações expressas sobre quaisquer correções necessárias ao SM a calibrar g uma declaração das incertezas envolvidas na calibração e seus efeitos cumulativos h detalhes sobre quaisquer manutenções ajustes regulagens reparos e modificações realizadas i qualquer limitação de uso ex faixa de medição restrita j identificação e assinaturas das pessoas responsáveleis pela calibração bem como do gerente técnico do laboratório k identificação individual do certificado com número de série ou equivalente Para garantir a rastreabilidade das medições até os padrões primários internacionais é necessário que o usuário defina em função das condições de uso específicas do SM os intervalos de calibração Estes devem ser reajustados com base nos dados históricos das calibrações anteriores realizadas Nos casos em que os dados histórios das calibrações anteriores não estiverem disponíveis e outras informações do usuário do SM não forem suficientes para definir os intervalos de calibração são recomendados a seguir alguns intervalos iniciais que podem ser usados Todavia reajustes nestes intervalos deverão ser efetuados com base nos resultados das calibrações subsequentes RECOMENDAÇÕES PARA INTERVALOS INICIAIS DE CALIBRAÇÃO ÁREA DIMENSIONAL INSTRUMENTOS INTERVALOS DE CALIBRAÇÃO MESES Blocos Padrão Padrão de referência angularesparalelos Novos Calibradores tampãoanel lisos de rosca cilíndricos e cônicos Desempenos Escalas Mecânicas Esquadros Instrumentos Ópticos Máquinas de Medir ABBE Peças Longas etc Medidores de Deslocamento EletroEletrônico Medidores de Deslocamento Mecânicos relógios comparadoresapalpadores Medidores de Deslocamento Pneumáticos Medidores de Espessura de Camada Micrômetros Microscópios Níveis de Bolha e Eletrônico Paquímetros Planos e Paralelos Ópticos Réguas Aço ou granito Rugosímetro e Medidor de Forma Transferidores Trenas 12 3 a 6 6 a 12 12 6 a 9 6 12 6 a 12 123 a 6 6 a 12 6 a 12 3 6 12 6 6 12 6 a 12 12 6 6 OUTRAS GRANDEZAS FÍSICAS INSTRUMENTOPADRÃO INTERVALOS DE CALIBRAÇÃO MESES 1 MASSA VOLUME DENSIDADE Massas padrão Balanças Balanças Padrão Hidrômetros Densímetros 24 12 a 36 12 36 12 a 24 2 PRESSÃO Manômetros Máquinas de Peso Morto Barômetros Vacuômetros Transdutores de Pressão 6 a 12 24 a 36 6 a 12 6 a 12 12 3 FORÇA Transdutores de Força Células de Carga AnéisDinamométricos Máquinas de TraçãoCompressão Hidráulicas Máquina de Peso Morto 12 a 24 24 12 a 24 24 a 60 4 TORQUE Torquímetro 12 CERTIFICADO DE CALIBRAÇÃO Nº 0251 DATA 02031995 VALIDADE DE CALBRAÇÃO 6 MESES 1 OBJETIVO Calibração de um manômetro WIKA a fim de conhecer as características metrológicas e comparálas com as especificações do fabricante 2 MANÔMETRO A CALIBRAR SMC Proprietário XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Fabricante YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY Número de Fabriação 1174902 Faixa de Indicação 0 a 40 bar Valor de uma Divisão 02 bar Tipo Bourdon mecânico Estado de Conservação Bom Índice de Classe segundo o fabricante kl 06 06 do VFE 3 SISTEMA DE MEDIÇÃO PADRÃO SMP Máquina de Peso Morto Manômetro de Êmbolo Fabricante Budenberg Gauge Co Limited Inglaterra Número de Série fabricante 1033412 Número de Registro CERTI RL 0136 Faixas de Medição 1 a 55 kgfcm² com resolução de 001 kgfcm² 10 a 550 kgfcm² com resolução de 01 kgfcm² Incerteza do SMP 004 para a faixa de 0 a 55 kgfcm² 01 para a faixa de 0 a 550 kgfcm² Rastreável aos padrões primários conforme Certificado de Calibração Nº 12192 emitido pelo INM ETRO em 071092 com validade ate 071095 4 PROCEDIMENTO DO ENSAIO A calibração foi realizada montandose o manômetro a calibrar na máquina de peso morto através da qual foram os valores de pressôes previamente estabelecidos realizandose as leituras das indicações no manômetro a calibrar Foram realizados 3 três ciclos de medição a fim de registrar também a Repetitividade 95 do manômetro Na calibração foi adotado procedimento de calibração CERTI código PCSSS de acordo com especificações da norma DIN 16005 Condições de ensaio Tempratura ambiente 210 005 ºC Pressão atmosférica 10220 05 mbar 5 CALIBRAÇÃO PRÉVIA E AJUSTAGEM REALIZADA Foi realizado a calibração prévia do manômetro e constatouse que o mesmo apresentava erros sistemáticos tendência elevados conforme podese observar a seguir MANÔMETRO bar SMP bar ERRO SISTEMÁTICO do Valor Final de Escala 0200 0175 06 0600 0570 08 1400 1355 11 2200 2140 15 3000 2930 18 3800 3725 19 4000 3925 19 Foi realizado a ajustagem do manômetro a fim de minimizar os erros sistemáticos apresentados pelo mesmo Os resultados obtidos após a ajustagem do manômetro podem ser observados na folha 3 6 ANÁLISE DOS RESULTADOS a Erro sistemático máximo tendência máxima Tdmax010 bar ou 025 do VFE b Repetitividade 95 máxima Remax95 014 bar ou 035 do VFE c Erro de Linearidade pelo método dos mínimos quadrados Erro máximo 004 bar ou 010 do VFE d Incerteza do SMC TdRe 019bar ou 048 do VFE Obs VFEValor Final de Escala40 bar 7 CONCLUSÃO A incerteza do Manômetro é igual a 002 bar ou 05 do VFE 8 PARECER O manômetro satisfaz as tolerâncias estabelecidas pela norma DIN 16005 enquadrandose como manômetro de classe de erro kl 06 06 do VFE DADOS BRUTOS PTOS SMC CICLOS SMP 1 2 2 01 200 205 200 206 02 600 603 605 608 03 1000 1002 999 1001 04 1400 1403 1400 1402 05 1800 1800 1798 1802 06 2200 2204 2203 2200 07 2600 2598 2595 2597 08 3000 2995 2993 2995 09 3400 3392 3396 3393 10 3800 3790 3788 3792 11 4000 3992 3994 3995 Unidade de Leitura no Sistema de Medição Padrão SMP bar Unidade de Leitura no Sistema de Medição a Calibrar SMC bar TABELA DADOS PROCESSADOS PTOS MEDIDA VALOR VERDADEIRO TENDÊNCIA REPETITIVIDADE MÉDIA SM CONVENCIONAL ABS VFE ABS VFE 01 200 204 004 010 014 035 02 600 605 005 013 011 028 03 1000 1001 001 03 007 018 04 1400 1402 002 005 007 018 05 1800 1800 000 000 009 023 06 2200 2202 002 005 007 018 07 2600 2597 003 008 007 018 08 3000 2994 006 015 005 013 09 3400 3394 006 015 009 023 10 3800 3790 0010 025 009 023 11 4000 3994 006 015 007 018 Convenção ABS Valor Absoluto VFE Valor Final de Escala 4000 Unidade de Análise bar Capítulo 6 O RESULTADO DA MEDIÇÃO I A escola ensina que a área do território brasileiro é de 8 511 965 km2 Alguém pode perguntar Com a maré alta ou baixa De fato considerando grosseiramente que o litoral brasileiro possui cerca de 8500 km de praia e que em média 20 m de praia são descobertos entre as marés alta e baixa verificase só aí uma variação de 170 km2 Atribuir nota zero a um aluno que errou os dois últimos dígitos em uma prova de geografia parece contrariar o bom senso Adicionalmente sabese que não existe forma de medir a área de uma extensão tão grande como a do Brasil com erro relativo tão pequeno quanto 0000012 o que seria necessário para garantir o último dígito dos 8 511 965 km2 Nem por terra nem por satélite ou outro meio conhecido é ainda possível obter tal resultado Em aplicações técnicas ou científicas o resultado de uma medição deve apresentar sempre compromisso com a verdade Deve ser uma informação segura O resultado de uma medição deve espelhar aquilo que a técnica e o bom senso permitem afirmar nada além nada aquém A credibilidade de um resultado é fundamental Por exemplo voltando à área do Brasil não parece muito mais sensato afirmar seu valor é de 8500000 100000 km2 Sabese que não existe um SM perfeito Por menores que sejam os erros de medição provocados pelo SM sempre existem Logo não se pode obter um resultado exato de um SM imperfeito Porém mesmo com um SM imperfeito é possível obter informações confiáveis Neste capítulo serão detalhados os procedimentos que levam a correta determinação do chamado resultado da medição RM composto de um valor central o resultado base RB e de uma faixa que quantifica a incerteza da medição IM Por razões didáticas este estudo é neste texto abordado de forma progressiva No presente capítulo será considerada a situação idealizada em que os erros de medição são apenas decorrentes das imperfeições do sistema de medição SM perfeitamente caracterizados por sua correção repetitividade ou alternativamente pelo seu erro máximo Embora esta situação pareça artificial é aplicável em uma grande quantidade de casos práticos em que os erros do sistema de medição são dominantes Nos casos mais gerais o operador as condições ambientais o procedimento de medição e outros fatores influem no resultado da medição Estes casos serão tratados nos capítulos 8 a 11 61 Mensurando Invariável Versus Variável Para formular um modelo adequado para determinar o resultado da medição o mensurando é aqui classificado como variável ou invariável Será invariável se o seu valor permanecer constante durante o período que há interesse no seu valor A massa de uma peça metálica isolada do meio ambiente é um exemplo A temperatura de uma sala ao longo de um dia ou em diferentes posições é um exemplo de mensurando variável isto é seu valor muda em função do tempo eou da posição ao longo da sala A rigor em termos preciosistas não existem mensurandos invariáveis Mesmo a massa de uma peça de platina no vácuo sofre variações ínfimas se forem considerados aspectos relativísticos uma vez que a velocidade com que as galáxias se afastam aumenta com a expansão do universo Fugindo das discussões filosóficas em termos práticos o mensurando será aqui considerado invariável quando suas variações não podem ser detectadas pelo SM em uso Ou seja o SM não consegue enxergar estas variações por serem inferiores à sua resolução O diâmetro de uma peça cilíndrica pode ser considerado como um mensurando variável ou invariável dependendo do SM utilizado Imperfeições geométricas na forma cilíndrica fatalmente vão levar a diferentes valores do diâmetro quando medidos em diferentes posições o que é uma característica de um mensurando variável Entretanto se estas variações forem inferiores à menor variação detectável pelo SM em uso a sua resolução esta peça será enxergada pelo SM como invariável O uso de um outro SM de melhores características poderia levar a uma interpretação diferente Portanto a classificação de variável ou invariável não depende somente do mensurando em si mas da relação das suas características com as do SM variável as variações do mensurando são maiores que a resolução do SM invariável as variações do mensurando são inferiores à resolução do SM Para estimar o resultado da medição de um mensurando invariável além das indicações obtidas devem ser consideradas as características do sistema de medição No caso do mensurando variável além das considerações acima devem também ser consideradas as variações do mensurando Se o mensurando varia o resultado da medição deve registrar esta variação 62 Uma Medida x Várias Medidas Por questões de economia de tempo comodidade ou praticidade não é raro na indústria aplicar uma única vez o SM sobre o mensurando para determinar o resultado da medição RM Em várias situações esta prática pode ser perfeitamente correta do ponto de vista metrológico embora haja um preço uma redução da qualidade do resultado da medição isto é aumento da sua incerteza Há casos onde não é aplicável A repetição da operação de medição sobre a mesma peça leva mais tempo e exige cálculos adicionais mas é justificável em duas situações quando se deseja reduzir a incerteza da medição IM ou quando se trata de um mensurando variável No primeiro caso a influência do erro aleatório diminui à medida em que são efetuadas várias medidas o que pode vir a reduzir a incerteza da medição portanto a parcela de dúvida ainda presente no resultado Tratandose de um mensurando variável devese necessariamente efetuar várias medições visando coletar um número suficiente de indicações que permitam caracterizar a faixa de variação do mensurando Nestes casos não faz sentido medir apenas uma única vez 63 Avaliação do Resultado da Medição de um Mensurando Invariável O ponto de partida para chegar ao resultado da medição é o conhecimento das características do sistema de medição Informações sobre o sistema de medição sua correção repetitividade ou alternativamente seu erro máximo tem que ser conhecidas São estudadas duas situações distintas para a determinação do RM a quando são compensados os erros sistemáticos e b quando não o são 631 Compensando efeitos sistemáticos Neste caso o operador conhece a repetitividade e a correção C do SM e está disposto a fazer algumas continhas simples para compensála Se apenas uma medição foi feita a indicação obtida deve ser corrigida e o resultado da medição ainda conterá uma parcela de dúvida correspondente à repetitividade que é a medida do erro aleatório ou seja Re C I RM 61 sendo I indicação obtida C correção do SM Re repetitividade do SM Se o operador decidir investir um pouco mais de tempo e medir repetidamente n vezes o mesmo mensurando e calcular a média obtida este esforço resultará em uma melhora no resultado da medição Os estatísticos provam que a influência dos erros aleatórios na média de n medições reduzse na proporção 1n Assim quanto maior n menor a influência do erro aleatório Assim quando a média de n medições é efetuada o resultado da medição pode ser estimado por n Re C MI RM 62 sendo MI média das n indicações obtidas C correção do SM Re repetitividade do SM n número de medições efetuadas 632 Não compensando efeitos sistemáticos Corresponde à situação onde o valor da correção não é conhecido ou por questões de simplicidade ou falta de tempo o operador deliberadamente optou por não compensar os efeitos sistemáticos Neste caso o erro máximo deve ser usado para estimar o resultado da medição Caso apenas uma medição seja feita o resultado da medição pode ser estimado por Emax I RM 63 sendo I indicação obtida Emax erro máximo do SM nas condições em que a medição foi efetuada Neste caso se o operador decidir investir um pouco mais de tempo e medir repetidamente n vezes o mesmo mensurando e calcular a média obtida este esforço terá pouco efeito sobre o resultado da medição Como o erro máximo contém a combinação das parcelas sistemática e aleatória e não se sabe em que proporção não é possível reduzir sua influência de forma segura pela repetição das medições Assim o resultado da medição pode ser estimado por Emax MI RM 64 sendo MI média das n indicações obtidas Emax erro máximo do SM nas condições em que as medições são efetuadas Problema Resolvido 1 E1a Quando saboreava seu delicioso almoço no restaurante universitário um estudante achou uma pepita de ouro no meio da sua comida Dirigiuse então ao laboratório com a finalidade de determinar o valor da massa da pepita usando uma balança O aluno não conseguiu localizar a curva de erros da balança mas o valor 20 g correspondendo a seu erro máximo estava escrito na bancada O aluno inicialmente mediu apenas uma única vês tendo obtido como indicação 328 g O que pode ser dito sobre o valor da massa da pepita Solução A massa de uma pepita é um mensurando invariável O aluno fezse apenas uma única medição e dispõe apenas do erro máximo da balança Os efeitos sistemáticos sendo desconhecido não poderão ser compensados Assim a incerteza da medição será o próprio erro máximo equação 63 RM I Emax RM 328 20 g I E1b Não satisfeito com a incerteza da medição que lhe pareceu muito grande o aluno obteve as nove indicações adicionais listadas a seguir todas em gramas Para esta condição qual o novo resultado da medição 320 332 323 329 321 334 333 329 321 Solução Agora 10 indicações estão disponíveis É possível calcular o resultado da medição através da média das indicações disponíveis equação 64 Embora um trabalho maior tenha sido realizado seu efeito sobre o resultado da medição é quase inexpressivo Assim MI 3270 g RM MI Emáx RM 3270 20 que escrito de forma conveniente veja anexo IV fica RM 327 20 g II E1c Quando chegava ao trabalho após o período de almoço o laboratorista encontrando o felizardo aluno ainda no laboratório foi buscar o certificado de calibração da balança Juntos constataram que para valores do mensurando da ordem de 33 g esta balança apresenta correção de 080 g e repetitividade de 120 g Para estas novas condições qual o resultado da medição Solução Se o aluno usasse apenas a primeira indicação obtida o resultado da medição seria estimado por meio da equação 61 RM I C Re RM 328 080 120 RM 336 12 g III Entretanto como 10 indicações estão disponíveis é possível tirar proveito desta os efeitos sistemáticos podem ser compensados pois a correção é conhecida O resultado da medição é calculado por RM MI C Ren RM 3270 08 12010 RM 3350 038 g IV Estes quatro resultados estão graficamente representados na figura abaixo Note que a redução da faixa de dúvida incerteza da medição é expressiva quando são compensados os erros sistemáticos É ainda mais marcante quando além de compensar os erros sistemáticos são feitas medições repetitivas e a média é considerada 64 Avaliação do Resultado da Medição de um Mensurando Variável Considere a figura 61 Representase de forma exagerada um muro imperfeito cuja altura varia em função da posição Qual seria a resposta mais honesta para a pergunta qual é a altura deste muro Seria a altura máxima A altura mínima A média Não A resposta mais honesta seria a altura não é única mas varia dentro de uma faixa entre o valor mínimo e o valor máximo Figura 61 Muro com altura variável Suponha ainda que se dispõe de um SM perfeito sem nenhum tipo de erro sistemático ou aleatório Este SM perfeito poderia ser usado para determinar a faixa de variação da altura do muro Seja hmax e hmin as alturas nos pontos máximo e mínimo respectivamente A faixa de variação de alturas poderia ser expressa como 2 2 min max min max h h h h h No te que mesmo usando um SM perfeito há uma faixa de variação da altura no resultado desta medição Esta faixa decorre da variação da altura do muro É uma característica do mensurando Esta situação se repete toda vez que um mensurando variável está sendo medido Na prática nem sempre é possível determinar com segurança os valores extremos mínimo e máximo do mensurando de forma direta Recomendase que diversas medições sempre sejam realizadas procurando varrer todos os valores que possam ser assumidos pelo mensurando A escolha do número posição e instante onde a medição será realizada deve ser sempre direcionada para tentar assegurar que os valores extremos do mensurando estão incluídos dentre as indicações obtidas Neste caso e ainda considerando o SM ideal a faixa de variação do mensurando pode ser estimada pela quantidade máx i MI I I max 65 sendo Ii a iésima indicação MI a média das indicações obtidas que representa o valor absoluto da maior diferença entre a média das indicações e uma indicação individual No caso real em que o SM apresenta erros além da faixa de variação estimada pela equação 65 é necessário acrescentar à incerteza da medição a parcela de dúvida decorrente das imperfeições do SM 300 310 320 330 340 350 I II III IV Também aqui são consideradas duas situações distintas a quando os erros sistemáticos são compensados e b quando não o são 641 Compensando efeitos sistemáticos Neste caso o resultado da medição é estimado a partir da média das indicações ao qual é adicionada a correção Incerteza da medição é composta de duas componentes a repetitividade do SM e o módulo da máxima variação da indicação em relação à média das indicações Imax Assim Imax Re C MI RM 66 sendo MI média das n indicações disponíveis C correção do SM Imáx valor absoluto da máxima diferença entre as indicações e seu valor médio Re repetitividade do SM Note que mesmo que n medições sejam realizadas a repetitividade Re não é dividida pela raiz quadrada de n A razão para isto decorre do fato que a indicação referente a um ponto extremo do mensurando provavelmente será medida apenas uma única vez e conseqüentemente estará exposta aos níveis de variação associados a uma medição Pela análise da equação 66 notase que uma vez expresso numericamente o resultado da medição não é mais possível identificar na incerteza da medição o quanto corresponde à incerteza do sistema de medição e o quanto está associado à variação do mensurando 642 Não compensando efeitos sistemáticos Corresponde à situação onde o valor da correção não é conhecido ou por questões de simplicidade ou falta de tempo o operador deliberadamente optou por não compensar os efeitos sistemáticos Neste caso o erro máximo deve ser usado para estimar o resultado da medição O resultado base é calculado a partir da média das indicações A incerteza da medição é estimada pela soma do próprio erro máximo do sistema de medição e a variação máxima das indicações em relação ao seu valor médio max max I E MI RM 67 sendo MI média das n indicações disponíveis Imáx valor absoluto da máxima diferença entre as indicações e seu valor médio Emax erro máximo do SM nas condições em que as medições são efetuadas 65 Problema Resolvido 2 E2a Pretendese determinar o diâmetro de uma bola de gude Para tal dispõese de um paquímetro com erro máximo de 010 mm estimado para as condições em que as medições são efetuadas Um total de 10 indicações foram obtidas e estão listadas abaixo realizadas em diferentes posições diametrais procurando atingir os valores extremos do diâmetro Qual o diâmetro desta bola de gude 208 204 205 200 204 202 209 203 207 206 Solução Como não se pode esperar perfeição na geometria de uma bola de gude é prudente tratala como mensurando variável São disponíveis 10 indicações e uma estimativa do Emáx portanto a equação 67 deve ser usada Calculase inicialmente a média das 10 indicações MI 2048 mm Verificase que o Imáx ocorre para a indicação 200 mm assim Imáx 200 2048 048 048 mm Calculase o resultado da medição RM MI Emáx Imáx RM 2048 010 048 RM 205 06 mm E2b Numa tentativa de melhorar o resultado da medição estimouse a partir de um grande número de medições repetitivas de um bloco padrão de 205000 00004 mm que a correção deste paquímetro é 004 mm e sua repetitividade 005 mm Com este dado adicional estime novamente o resultado da medição Solução Sendo a correção conhecida esta deve ser compensada e o RM calculado pela equação 66 Assim RM MI C Emax Imáx RM 2048 004 005 048 RM 2044 053 mm 66 Quadro Geral As conclusões dos itens 63 e 64 permitem construir o seguinte quadro geral para a determinação do resultado da medição RM Tipo de mensurando Dados Conhecidos do SM Número de medições efetuadas n 1 n 1 Invariável Emax RM I Emax RM MI Emax C e Re RM I C Re RM MI C Ren Variável Emáx não se aplica RM MI Imax Emax C e Re não se aplica RM MI Cc Imáx Emax sendo RM é o resultado da medição I é a indicação MI é a média das indicações C é a correção do SM C Td estimativa do Es Imáx é o valor absoluto da variação máxima de uma indicação em relação a seu valor médio Emax é o erro máximo do SM nas condições em que as mediçãoões foiram efetuadas Na determinação do RM não é suficiente a simples aplicação das equações indicadas no quadro acima Há necessidade de uma contínua avaliação da confiabilidade dos valores envolvidos seja das medições efetuadas seja das características do SM para o qual é necessário o contínuo uso do bom senso Para a determinação do RM é fundamental o conhecimento do comportamento metrológico do sistema de medição Na prática podem ocorrer três casos dispõese de certificado de calibração onde estão disponíveis estimativas da correção C e da repetitividade Re para vários valores ao longo da faixa de medição dispõese apenas de uma estimativa do erro máximo obtida através de catálogos ou especificações técnicas do fabricante do SM não existe nenhuma informação a respeito do SM Infelizmente com grande freqüência na prática deparase com o terceiro caso No entanto para poder realizar o trabalho de determinação do RM é necessário dispor ao menos de uma estimativa do erro máximo do sistema de medição Recomendase sempre que possível efetuar uma calibração do SM o que permite melhor caracterizar a estimativas da C e Re ao longo de toda a faixa de medição Se não for possível o SM pode ser submetido a um processo simplificado onde uma peça de referência com suas propriedades suficientemente conhecidas é repetidamente medida e as várias indicações usadas para estimar a C e Re nas condições de uso Em último caso se nenhuma das alternativas anteriores for possível e existir urgência em se efetuar as medições a experiência mostra que para uma boa parte dos sistemas de medição de qualidade seu erro máximo tipicamente está contido dentro de limites dados por para SM com indicação analógica 1 VD Emáx 2 VD onde VD valor de uma divisão da escala para SM com indicação digital 2 ID Emáx 5 ID onde ID incremento digital Deve ficar claro que as faixas acima são típicas mas não necessariamente verdadeiras para qualquer caso São apenas uma primeira estimativa que deve ser usada apenas em último caso e com muita cautela Ao efetuar repetidamente diversas medições é recomendável observar atentamente as variações de cada indicação em relação ao seu valor médio e procurar identificar eventuais anormalidades Se este for o caso devese procurar a causa da anormalidade e eventualmente eliminar as indicações que apresentam variações atípicas provocadas por erros de leitura interferência momentânea sobre o processo ou sistema de medição etc Existem procedimentos estatísticos que determinam a existência de valores atípicos em uma amostra Por exemplo medidas que se afastam muito da faixa MI Re provavelmente são afetadas por anormalidades Mesmo que considerados os aspectos destacados anteriormente todo o trabalho de determinação do RM poderá não ser aceito pelo leitor que questionará a competência do executor se os valores que compõem o RM não forem apresentados com a devida coerência A forma recomendada para apresentar o resultado da medição é descrita no anexo IV Problemas propostos 1 Determine se em cada uma das situações abaixo o mensurando deve ser considerado como variável ou invariável a a altura de um muro medida com uma escala com valor de uma divisão de 1 mm b a altura de um muro medida com uma escala com valor de um divisão de 50 mm c a salinidade da água do mar d o diâmetro de uma moeda de R 050 medido com escala com valor de uma divisão de 1 mm e a temperatura no interior da chaminé de uma fábrica enquanto as máquinas estão ligadas f a massa de um adulto durante cinco minutos medida em balança com incerteza 02 kg g o diâmetro de um eixo cilíndrico desconhecido 2 Qual o resultado da medição da distância entre as estações rodoviárias de Florianópolis e Curitiba efetuada por meio do odômetro de um automóvel cuja incerteza expandida para as condições da medição é de 02 sendo que a indicação obtida foi de 3112 km 3 Para determinar o diâmetro de um tarugo de um poste de concreto um operário usou um sistema de medição com incerteza expandida 02 mm Foram obtidas 12 indicações em diferentes posições e alturas conforme listagem abaixo Qual o diâmetro deste poste 5802 5744 5828 5770 5698 5822 5790 5822 5842 5738 5702 5828 4 Um balança com incerteza expandida de 50 mg foi usada para determinar a massa de um diamante cor derosa Encontrouse a indicação 6962 g Qual o resultado da medição 5 Não convencido com a medição da questão anterior o dono do diamante solicitou uma calibração da balança Para tal uma massa padrão de 7000 0001 g foi então medida seis vezes pela balança sendo encontradas as indicações listadas abaixo todas em g Com estes dados determine a Re e a Td desta balança e o novo resultado da medição considerando que quando a tendência é devidamente compensada nas condições de medição sua incerteza expandida é reduzida para 28 mg 6979 6964 6968 6972 6971 6966 6 Ainda não convencido o dono do diamante solicitou que fossem efetuadas algumas medições adicionais As indicações obtidas encontramse abaixo em g No caso em que a tendência é compensada e a média de 7 indicações é efetuada a incerteza expandida é reduzida para 018 g Qual o novo RM 6962 6970 6964 6977 6966 9969 CAPÍTULO 7 CONTROLE DE QUALIDADE Uma das operações mais importantes da metrologia industrial é o controle de qualidade As partes ou produtos devem ser produzidos de forma a atenderem individualmente e em conjunto certas especificações do processo conhecidas como tolerâncias O controle de qualidade envolve um conjunto de operações de medição desenhado para assegurar que apenas as peças e produtos que atendem as tolerâncias sejam comercializados preservando a qualidade de produtos e o nome da empresa Entretanto fica um pergunta no ar se não existem sistemas de medição perfeitos como é possível assegurar através de medições que todos os produtos comercializados atendem a tolerância Este assunto será tratado neste capítulo 71 Tolerância Normalmente no diaadia o ser humano lida com muita naturalidade com imperfeições de vários tipos As maçãs não são esféricas e freqüentemente apresentam pequenas manchas na casca mas podem ser muito saborosas Ao olhar com muita atenção é possível perceber pequenas falhas mesmo na pintura de um carro novo Há pequenos defeitos no reboco das paredes de uma casa O asfalto da via expressa apresenta ondulações Um microscópio pode revelar pequenas falhas na roupa que usamos Até uma certa quantidade de microorganismos são aceitáveis na água que bebemos Não é possível evitar estas imperfeições Elas são naturais Da mesma forma quando são produzidas peças e produtos imperfeições estão presentes O cuidado que deve ser tomado é manter as imperfeições dentro de faixas toleráveis que não comprometam a função da peça ou produto Por exemplo o diâmetro de um cabo de vassoura tipicamente é de 22 mm Entretanto se um cabo de vassoura possuir 23 mm de diâmetro para o consumidor final sua função não será comprometida É igualmente confortável e aceitável varrer com uma vassoura com cabo de 21 ou 23 mm de diâmetro Não seria aceitável um cabo com 5 mm ou 50 mm de diâmetro mas qualquer diâmetro dentro da faixa de 22 1 mm seria aceitável para o consumidor final Assim a faixa 22 1 mm constitui a tolerância para o diâmetro do cabo da vassoura considerando o consumidor final Além de ser levada em conta a função para a qual a parte ou o produto foi desenhada outros aspectos ligados à engenharia de produção devem ser considerados Por exemplo o cabo da vassoura deve ser montado em sua base de forma firme sem folgas Portanto deve haver uma relação bem definida entre os diâmetros do cabo e do furo da base da vassoura para que o conjunto ao ser montado permita uma fixação firme sem folgas mas também sem gerar uma condição de ajuste demasiadamente apertado Assim tolerâncias mais estreitas devem ser estabelecidas para estes diâmetros de forma que a sua montagem sempre se dê de forma adequada Por outro lado tolerâncias demasiadamente estreitas envolvem processos de fabricação mais caros A produção de cabos de vassoura com diâmetro de 22000 0001 mm seria caríssima inviável Os projetistas então definem para cada parte as maiores tolerâncias possíveis mas que ainda preservem a função e a capacidade de montagem da parte no conjunto Especificações na forma de tolerâncias podem ser estabelecidas por motivos comerciais Por exemplo ao comprar um saco de 500 g de café moído o consumidor espera levar para casa 500 g de café A máquina automática que ensaca café não é perfeita Pode produzir sacos com um pouco mais ou um pouco menos que 500 g É algo natural Os órgãos de fiscalização estabelecem então um limite por exemplo se o conteúdo de cada saco de café for mantido dentro do limite 500 10 g a pequena diferença ora para mais ora para menos será aceitável para o consumidor final Nenhuma das partes estaria sendo lesada Outro exemplo é a tensão da rede de energia elétrica quando mantida por exemplo dentro do patamar 220 11 V 72 O Controle de Qualidade O papel do controle de qualidade é medir a peça produzida comparar o resultado com a respectiva tolerância e classificar a peça como aprovada quando obedece a tolerância ou rejeitada caso contrário Entretanto qualquer SM apresenta erros produzindo resultados com incertezas Como usar informações obtidas a partir de Sm imperfeitos para tomar decisões seguras sobre a aceitação ou não de peças Seja por exemplo um balança usada para medir a massa líquida de um saco de café que deveria obedecer a tolerância de 500 10 g Suponha que suas características metrológicas sejam tais que produzam resultados com incerteza de medição de 5 g Suponha ainda que a massa líquida de café de um determinado saco seja medida e o seguinte resultado tenha sido encontrado RM 493 5 g É possível afirmar que este saco em particular atende à tolerância A análise desta questão é melhor realizada com o auxílio da figura abaixo Os limites inferior LIT e superior LST da tolerância estão representados na figura Sacos cuja massa líquida que estejam dentro destes limites são considerados aceitos O resultado da medição 493 5 g está representado na figura É possível notar que este resultado representa uma faixa de valores que contém uma parte dentro do intervalo de tolerâncias e outra fora Assim nestas condições não é possível afirmar com segurança que este saco atende ou não atende a tolerância Isto se dá em função da escolha inapropriada do sistema eou procedimento de medição É recomendável que a incerteza da medição não exceda uma certa fração do intervalo de tolerância Do ponto de vista metrológico quanto menor a incerteza do sistema de medição usado para verificar uma dada tolerância melhor Na prática o preço deste sistema de medição pode se tornar proibitivo Procurase então atingir um ponto de equilíbrio técnicoeconômico Seja IT o intervalo ou faixa de tolerância desejável para a grandeza mensurável dado por LIT LST IT 71 sendo IT intervalo de tolerância LST limite superior da tolerância LIT limite inferior da tolerância A experiência prática mostra que um ponto de equilíbrio razoável é atingido quando a incerteza de medição é da ordem de um décimo do intervalo de tolerância ou seja 10 IM IT 72 Seguindo esta relação a incerteza de medição do processo de medição adequado para controlar a tolerância 500 10 g deveria resultar em incerteza de medição da ordem de IM 510 49010 2 g De fato se o resultado da medição obtido fosse 493 2 g seria possível afirmar com segurança que a tolerância foi obedecida A faixa de valores correspondente ao resultado da medição estaria toda dentro da faixa de tolerâncias 490 500 510 493 LST LIT Mesmo obedecendo a relação estabelecida pela equação 72 ainda restarão casos onde não será possível afirmar com 100 de segurança que uma peça está ou não dentro do intervalo de tolerância Ainda no exemplo do saco de cimento se o RM fosse 491 2 g haveria dúvida Assim é possível caracterizar os três tipos de zonas representadas na figura 71 a zona de conformidade as zonas de não conformidade e as zonas de dúvida Figura 71 Zonas de aceitação de rejeição e de dúvida ao verificarse uma tolerância Sejam LIT e LST os limites inferior e superior da tolerância respectivamente Se o processo de medição fosse perfeito resultando em incerteza de medição nula a tolerância seria obedecida se o resultado base estivesse dentro do intervalo LIT RB LST Porém em função da incerteza da medição surgem zonas de dúvidas isto é regiões onde parte da faixa de valores correspondente ao resultado da medição estaria dentro e parte estaria fora da tolerância Só é possível afirmar que a peça atende a tolerância se estiver dentro da denominada zona de aceitação ou zona de conformidade representada na figura 71 Note que a zona de aceitação é menor que a tolerância original de um valor correspondente a duas vezes a incerteza de medição Novos limites denominados de limites de aceitação são então definidos os seguintes limites LIA LIT IM 73 LSA LST IM sendo LIA limite inferior de aceitação LSA limite superior de aceitação LIT limite inferior de tolerância LST limite superior de tolerância IM incerteza da medição Os limites de aceitação são usados para classificar se peças estão dentro da tolerância Se a relação LIA RB LSA 74 for obedecida a parte medida será considerada aceita isto é em conformidade com a tolerância Se não obedece à condição mas está dentro da faixa de dúvida cinza na figura não é possível afirmar com este sistema de medição que se trata de uma peça dentro ou fora da especificação e consequentemente não pode ser comercializada Se estiver na zona de rejeição é possível afirmar com segurança que está fora da especificação estabelecida pela tolerância Em um processo de fabricação bem balanceado são poucos os produtos não conformes O número de peças duvidosas será pequeno não sendo este um grande problema Porém se necessário as peças duvidosas podem vir a ser novamente inspecionadas por um outro processo de medição com menor incerteza com o qual será possível classificar corretamente algumas peças adicionais porém ainda restarão peças duvidosas Na indústria por questões de praticidade e economia de tempo não é raro efetuar uma única medição sem compensar os erros sistemáticos para decidir se uma peça está ou não dentro da tolerância As relações IM IM LSA LIA IM IM Tolerância original Zona de aceitação Zona de rejeição Zona de rejeição Zona de dúvida Zona de dúvida 72 73 e 74 continuam válidas mas neste caso a incerteza da medição deve ser estimada para estas condições de medição 73 Exemplo resolvido Especifique as características necessárias a um sistema de medição apropriado para classificar o diâmetro de cabos de vassouras que devem obedecer a tolerância 22 0 02 mm Defina também os critérios de aceitação das peças medidas Solução A tolerância de 220 03 mm possui um intervalo de tolerâncias dado por IT 223 217 06 mm Logo seria conveniente especificar um processo de medição que resultasse em uma incerteza de 006 mm Para facilitar a vida do operador um paquímetro digital com erro máximo de 005 mm poderia ser usado Neste caso sem compensar erros sistemáticos a incerteza de medição seria o próprio erro máximo do paquímetro ou seja IM 005 mm Os limites de aceitação seriam LIA 21 70 005 2175 mm LSA 22 30 005 2225 mm Assim o procedimento de classificação seria a Medir uma vez o diâmetro b Aceitar a peça se a indicação estiver dentro do intervalo 2175 I 2225 mm Problemas propostos 1 A polia de um motor de tocadiscos deve possuir dimensões dentro da tolerância de 1500 002 mm Especifique as características necessárias a um processo de medição adequado para classificar as peças disponíveis como dentro ou fora da tolerância e os limites de controle 2 Quantifique os limites para as zonas de conformidade de não conformidade e de dúvida para a tolerância 600 001 mm quando a é usado um sistema de medição que obedece a equação U IT10 b é usado um sistema de medição que obedece a equação U IT5 CAPÍTULO 8 ESTIMATIVA DA INCERTEZA E CORREÇÃO EM MEDIÇÕES DIRETAS Há um grande número de casos onde as incertezas do sistema de medição são dominantes O capítulo 6 trata da determinação do resultado da medição para estes casos Entretanto há situações mais complexas onde outros fatores também trazem incertezas significativas sobre o resultado de uma determinada medição Por exemplo a influência do operador considerando desde a sua destreza em usar o SM até a sua capacidade de fazer uma leitura corretamente as variações da temperatura ambiente que afeta o SM e pode modificar a peça medida e o procedimento de medição são exemplos de outros fatores que se somam às incertezas do próprio SM Cada um destes fatores traz uma componente aleatória mas também pode trazer uma componente sistemática Para estimar adequadamente a correção e as incertezas envolvidas em uma operação de medição é necessário caracterizar perfeitamente o processo de medição Deve ser considerado tudo que pode influenciar no resultado da medição Por exemplo além do próprio sistema de medição e seus eventuais acessórios o procedimento como as medições são efetuadas e os dados são tratados a definição do mensurando e os princípios de medição envolvidos a ação de grandezas de influência sobre o sistema de medição eou sobre o mensurando e a ação do operador para citar os mais importantes Cada um desses elementos acrescenta uma componente de incerteza ao resultado da medição e devem ser convenientemente considerados e combinados para que se obtenha uma estimativa realista da incerteza do processo de medição Neste texto o termo fonte de incertezas é utilizado de forma genérica para referenciar qualquer fator cuja influência sobre a medição efetuada traga componentes aleatórias eou sistemáticas para o resultado da medição Este capítulo apresenta metodologia baseada no Guia Para Expressão de Incertezas em Medições 1 aqui denominado simplesmente de o guia com a qual são estimadas e combinadas as contribuições sistemáticas e aleatórias de cada fonte de incertezas Por razões didáticas neste capítulo serão abordados aspectos referentes à estimativa das incertezas em medições diretas O capítulo 9 abordará a determinação das incertezas nas medições indiretas Uma medição direta é aquela cuja indicação resulta naturalmente da aplicação do sistema de medição sobre o mensurando Há apenas uma grandeza de entrada envolvida A medição de um diâmetro com um paquímetro e a temperatura de uma sala por um termômetro são dois exemplos de medição direta A medição indireta envolve a combinação de duas ou mais grandezas de entrada por meio de expressões matemáticas que viabilizam a determinação do valor associado ao mensurando São exemplos de medição indireta a a determinação da área de um terreno a partir da multiplicação dos valores medidos para sua largura e comprimento e b a determinação da massa específica de um material calculada a partir da razão entre sua massa e seu volume separadamente medidos 81 Fontes de Incertezas Para identificar as várias fontes de incertezas que agem sobre um processo de medição é necessário conhecer muito bem o processo de medição O próximo passo é fazer uma análise crítica procurando identificar tudo que pode trazer influências sobre o resultado da medição Normalmente as fontes de incertezas estão contidas nos meios e métodos de medição no ambiente e na definição do mensurando Por meios de medição entendese além do próprio SM acessórios dispositivos e módulos complementares o operador deve também ser incluído O método de medição referese ao procedimento segundo o qual a medição é efetuada por exemplo o número de medições repetitivas a forma de repetir a maneira de zerar um SM o sentido de medição o tempo entre medições etc Os fatores relacionados ao ambiente referemse principalmente à influência da temperatura sobre o SM e sobre o mensurando porém outro fatores como variações da tensão da rede elétrica alterações de umidade relativa do ar e pressão atmosférica podem também ser significantes A definição do mensurando pode afetar o resultado da medição por exemplo se a sua definição não for clara ou precisa ou mesmo se o mensurando for variável o resultado da medição será afetado A medição da temperatura no interior de um refrigerador variável o diâmetro de um eixo com geometria imperfeita varia de ponto para ponto a distância entre duas cidades marcos não muito bem definidos são exemplos de situações onde o mensurando não está bem definido Para que a influência de cada finte de incertezas seja corretamente considerada é necessário caracterizar as respectivas componentes aleatória e quando for o caso sistemática que estas trazem sobre o processo de medição Fundamentalmente dois parâmetros numéricos devem ser estimados para cada fonte de incertezas a incerteza padrão u e a correção C A incerteza padrão é uma medida relacionada aos erros aleatórios trazidos pela fonte de incertezas A correção é o parâmetro que deve ser adicionado à indicação para corrigir os efeitos sistemáticos da fonte de incertezas Se fossem perfeitamente determinadas as influências dos efeitos sistemáticos poderiam ser exatamente compensadas por sua correção Entretanto como o valor da correção nunca pode ser perfeitamente conhecido a correção dos efeitos sistemáticos não pode ser perfeita o que dá origem a uma incerteza residual No conjunto as diversas componentes de incerteza residuais ou não deve ser levadas em conta e combinadas para que a incerteza expandida seja corretamente estimada 82 Incerteza padrão A incerteza padrão u de uma fonte de incertezas é definida como a faixa de dispersão em torno do valor central equivalente a um desvio padrão Portanto corresponde ao desvio padrão do erro aleatório associado à fonte de incertezas A estimativa da incerteza padrão associada a uma fonte de incertezas pode ser efetuada através de procedimentos estatísticos ou por outros meios 821 Estimativa da incerteza padrão por meios estatísticos avaliação tipo A Há várias situações onde o desvio padrão experimental associado a uma fonte de incertezas pode ser estimado a partir de valores de observações repetitivas do mensurando A incerteza padrão coincide então com o valor estimado do desvio padrão O guia denomina os procedimentos estatísticos como procedimentos tipo A Suponha que a variável aleatória q represente os efeitos de uma fonte de incertezas sobre o resultado da medição O desvio padrão experimental desta variável q é determinado a partir de n valores independentemente obtidos para a variável q isto é qk para k 1 2 n A média de q pode ser estimada por n k kq n q 1 1 81 O desvio padrão experimental de q representado por s é estimado por 1 1 2 n q q q s n k k 82 Uma vez estimado sq a incerteza padrão a ser associada à fonte de incerteza avaliada depende apenas do procedimento de medição utilizado Se apenas uma medição é efetuada a incerteza padrão é dada por s q u q 83 Entretanto se m medições são efetuadas e o seu valor médio é usado para calcular o resultado da medição a incerteza padrão corresponde ao desvio padrão da média de m medições ou seja m s q s q u q 84 O guia denota por ν o número de graus de liberdade associado à determinação da incerteza padrão O número de graus de liberdade ν é calculado como o número de dados usados para estimar o desvio padrão experimental n menos um isto é υ n 1 85 822 Estimativa da incerteza padrão por meios não estatísticos avaliação tipo B Há várias situações onde não é prático ou mesmo possível usar procedimentos estatísticos para estimar o desvio padrão experimental associado a uma fonte de incertezas Outras informações devem ser usadas para estimar o desvio padrão associado aos efeitos da fonte de incertezas sobre o processo de medição A nomenclatura adotada no guia denomina os procedimentos não estatísticos como procedimentos de avaliação tipo B Informações conhecidas a priori sobre o comportamento da fonte de incertezas ou deduzidas por observação das suas características são consideradas Informações obtidas de medições anteriores certificados de calibração especificações do instrumento manuais técnicos e mesmo estimativas baseadas em conhecimentos e experiências anteriores do experimentalista são exemplos de conhecimento a priori que podem ser levados em conta Os limites dentro dos quais uma fonte de incertezas naturalmente se encontra e o tipo de distribuição de probabilidade tipicamente atribuída a esta podem ser deduzidos em alguns casos 83 Estimativas baseadas em levantamentos estatísticos conhecidos a priori É o caso em que existem levantamentos estatísticos anteriores realizados em um tempo passado que fornecem dados quantitativos confiáveis sobre os efeitos da fonte de incertezas considerada sobre a medição Certificados ou relatórios de calibração de padrões ou módulos do sistema de medição normalmente trazem este tipo de informação Registros históricos das características metrológicas ou operacionais de elementos utilizados na medição ou das próprias grandezas de influência podem também ser utilizados Devese procurar extrair da documentação disponível estimativas da influência das parcelas sistemática e da incerteza padrão associadas à fonte de incertezas e seus efeitos sobre o valor indicado pelo sistema de medição Muitas vezes encontrase na documentação disponível o parâmetro denominado incerteza expandida É possível calcular a incerteza padrão a partir da incerteza expandida dividindo esta última por um parâmetro conhecido como fator de abrangência Estes conceitos serão detalhadamente apresentados no item 84 bem como a forma de converter um parâmetro no outro 84 Estimativas baseadas em limites máximos de variação Não é rara a situação onde o conjunto de informações disponíveis sobre a fonte de incertezas considerada seja muito limitado Mesmo na ausência de levantamentos estatísticos anteriores é ainda válida a busca por outros elementos que levem a uma estimativa segura para os limites de influências da fonte de incertezas Em algumas situações dispõese de informações que permitem estimar os limites máximos dentro dos quais esperase que os efeitos da fonte de incertezas sobre o mensurando estejam contidos São exemplos registros históricos de valores típicos de grandezas de influência informações extraídas de folhas de especificações técnicas de sistemas ou padrões normas que regulamentam limites máximos admissíveis para a grandeza de influência ou classe de padrões ou instrumentos de referência utilizados informações extraídas de curvas de calibração na forma de limites máximos de erros deduções ou análises acerca dos efeitos da fonte de incertezas baseados em suas propriedades e características naturais Nestes casos caracterizamse os limites superior LS e inferior LI dentro do qual se situam os efeitos da fonte de incertezas sobre o processo de medição em análise Quando não há informações adicionais suficientes para permitir que seja determinada a forma da distribuição de probabilidades associada aos efeitos desta fonte de incertezas geralmente assumese por segurança a existência de uma distribuição de probabilidades uniforme ou retangular isto é há a mesma probabilidade do efeito se situar em qualquer ponto dentro dos limites estabelecidos Seja q uma variável aleatória com distribuição retangular contida entre os limites LI e LS Seu valor médio e incerteza padrão podem ser estimados respectivamente por 2 LS LI q 86 e 2 3 LI LS u q 87 Onde LI e LS são respectivamente os limites inferior e superior da faixa que delimita os efeitos da fonte de incertezas sobre a indicação do sistema de medição A correção deve ser estimada a partir dos efeitos que o valor médio da grandeza de influência exerce sobre a indicação O guia recomenda que nos casos em que a forma da distribuição de probabilidade é assumida como conhecida como é o caso da distribuição uniformes ou retangular o número de graus de liberdade adotado seja infinito Há outras distribuições de probabilidade que podem melhor se adequar a situações particulares Estes casos não serão tratados neste texto Recomendase consultar o guia 85 Combinação de efeitos Uma vez estimadas a correção e a incerteza padrão para cada fonte de incertezas estas devem ser consideradas em conjunto para que tanto a correção combinada quanto a incerteza padrão combinada possam ser determinadas para o processo de medição 851 Correção combinada As componentes sistemáticas de cada fonte de incertezas devem ser combinadas por soma algébrica simples Os valores das correções associadas a cada fonte de incertezas devem estar expressos na mesma unidade que deve ser a unidade do mensurando Por exemplo se a temperatura afeta o valor medido de um comprimento o efeito da temperatura média sobre a medição do comprimento deve ser expresso em unidades de comprimento e não em unidades de temperatura Assim a correção combinada para p fontes de incertezas deve ser estimada por p k k C C C 1 88 sendo Ck representa a correção associada à késima fonte de incerteza p é o número de fontes de incertezas considerado CC representa a correção combinada das p fontes de incertezas 852 Incerteza padrão combinada Os efeitos aleatórios de cada fonte de incertezas devem ser considerados para compor a chamada incerteza padrão combinada Para que a estimativa da incerteza padrão combinada seja efetuada de forma correta algumas propriedades das variáveis aleatórias devem ser consideradas Duas variáveis aleatórias são ditas estatisticamente independentes se suas variações se comportam de forma totalmente desvinculadas isto é não há nenhuma relação entre o crescimento aleatório de uma e o crescimento ou decrescimento aleatório da outra Um exemplo é a relação entre a temperatura do mar na praia da Joaquina e a cotação do Dollar São completamente desvinculadas Do ponto de vista estatístico duas variáveis são ditas independentes ou não correlacionadas se seu coeficiente de correlação é zero É a relação mais comumente observada entre as fontes de incertezas nas medições diretas Por outro lado duas variáveis aleatórias são ditas estatisticamente dependentes se suas variações se dão de forma vinculadas isto é há uma relação nitidamente definida entre o crescimento de uma e o crescimento da outra de forma propocional à primeira Do ponto de vista estatístico estas variáveis são ditas correlacionadas e seu coeficiente de correlação é unitário e positivo 1 Há ainda o caso em que o crescimento da primeira está nitidamente atrelado ao decrescimento proporcional da segunda Neste caso estas variáveis são ditas possuir correlação inversa e seu coeficiente de correlação é 1 São raros os casos onde fontes de incertezas estatisticamente dependentes estão presentes em medições diretas Sejam X1 e X2 duas variáveis aleatórias estatisticamente independentes Seja Y calculado pela soma Y X1 X2 e Z pela diferença Z X1 X2 Y e Z também serão variáveis aleatórias É possível demonstrar que as médias de Y e Z podem ser estimadas por µ µ µ µ µ µ Y X X Z X X 1 2 1 2 89 Sendo X1 e X2 estatisticamente independentes é possível demonstrar que os desvios padrões de Y e Z podem ser calculados a partir dos desvios padrões de X1 e X2 por 2 2 2 1 2 2 2 1 X X Z X X Y σ σ σ σ σ σ 810 As equações 810 mostram que se X1 e X2 são variáveis estatisticamente independentes o desvio padrão da sua soma e da sua diferença coincidem e obtidos pela raiz quadrada da soma dos quadrados de ambos É possível mostrar que a expressão 810 pode ser generalizada para estimar a soma ou subtração ou combinações de somas e subtrações de um número ilimitado de termos 2 2 2 2 1 2 1 Xp X X Xp X X σ σ σ σ Freqüentemente na medição direta os efeitos associados às várias fontes de incertezas se refletem sobre a indicação do sistema de medição como parcelas aditivas isto é cada fonte de incertezas soma ou subtrai sua contribuição sobre a indicação É como se houvesse uma soma dos efeitos de várias variáveis aleatórias Ao desvio padrão resultante da ação conjunta das várias fontes de incertezas agindo simultaneamente sobre o processo de medição denominase de incerteza padrão combinada A incerteza padrão combinada uc das várias fontes de incertezas pode ser estimada a partir das incertezas padrão de cada fonte de incertezas por 2 2 2 2 1 p c u u u u 811 sendo u1 u2 up representam as incertezas padrão de cada uma das p fontes de incertezas uc representa a incerteza padrão combinada Também aqui é necessário que as incertezas padrão de cada fonte de incertezas sejam expressas na mesma unidade do mensurando A expressão 811 só é válida para estimar a incerteza padrão combinada se os efeitos de cada fonte de incertezas manifestaremse de forma aditiva sobre a indicação e no caso que estas sejam mutuamente estatisticamente independentes Caso ao menos uma destas condições não seja obedecida as expressões desenvolvidas no capítulo 9 devem ser consideradas em lugar da 811 853 Número de graus de liberdade efetivo Quando as incertezas padrão de várias fontes de incertezas são consideradas para estimar a incerteza padrão combinada o número de graus de liberdade resultante da incerteza padrão combinada deve ser estimado O guia denomina por número de graus de liberdade efetivos νef o número de graus de liberdade associado à incerteza padrão combinada O guia recomenda a utilização da equação de WelchSatterthwaite para estimar o número de graus de liberdade efetivos p p ef c u u u u υ υ υ υ 4 2 4 2 1 4 1 4 812 onde uc é a incerteza padrão combinada u1 u2 up são as incertezas padrão de cada uma das p fontes de incerteza ν1 ν2 νp são os números de graus de liberdade de cada uma das p fontes de incerteza νef é o número de graus de liberdade efetivo associado à incerteza padrão combinada Incerteza expandida A incerteza padrão combinada estimada através da equação 811 corresponde ao desvio padrão resultante da ação combinada das várias fontes de incertezas consideradas Em aplicações nas áreas da engenharia é comum trabalhar com níveis de confiança de 95 Para atingir este nível de confiança a incerteza padrão combinada uc que corresponde a apenas um desvio padrão deve ser multiplicada por um coeficiente numérico o coeficiente de Student No guia este coeficiente é denominado de fator de abrangência comumente representado pelo símbolo k95 quando o nível de confiança 95 é usado A denominada incerteza expandida U95 corresponde à faixa de valores que enquadra a incerteza com nível de confiança de aproximadamente 95 É estimada por cu k U 95 95 813 sendo uc é a incerteza padrão combinada k95 é o fator de abrangência para o nível de confiança de 95 U95 representa a incerteza expandida para o nível de confiança 95 Nota é muito comum representar a incerteza expandida pelo símbolo U e o fator de abrangência por k e subentendendose que o nível de confiança é sempre 95 O fator de abrangência k95 equivale ao coeficiente de Student para dois desvios padrões o que corresponde ao nível de confiança de 9545 O guia recomenda que a tabela reproduzida abaixo seja usada Tabela 81 Valores para o fator de abrangência k95 para nível de confiança 95 em função do número de graus de liberdade efetivo νef υef 1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 14 16 k95 1397 453 331 287 265 252 243 237 228 223 220 217 υef 18 20 25 30 35 40 45 50 60 80 100 k95 215 213 211 209 207 206 206 205 204 203 202 200 Para valores fracionários de νef interpolação linear pode ser usada se νef 3 Alternativamente o valor de k95 correspondente ao valor de νef imediatamente inferior na tabela pode ser adotado Em geral a determinação da incerteza expandida segue os seguintes passos 1 Estime as incertezas padrão e o número de graus de liberdade de cada fonte de incertezas considerada no processo de medição 2 Estime a incerteza padrão combinada usando a equação 811 3 Estime o número de graus de liberdade efetivos através da equação 812 4 Entre na tabela 81 com o número de graus de liberdade efetivo e obtenha o fator de abrangência correspondente 5 Estime a incerteza expandida multiplicando o fator de abrangência pela incerteza padrão combinada Exemplo Estime a incerteza expandida de um processo de medição onde foram consideradas três fontes de incertezas cujas respectivas incertezas padrão e número de graus de liberdade estão especificados abaixo Fonte de incertezas I uI 0012 mm νI 12 Fonte de incertezas II uII 0006 mm νII Fonte de incertezas III uIII 0008 mm νIII Solução Uma vez que as informações resultantes do Passo 1 acima já estão disponíveis prosseguese do passo 2 Passo 2 Estimando uc 00122 00062 00082 00156 Passo 3 Estimando νef pela equação 516 4 4 4 4 0 008 0 006 12 0 012 0156 0 υef νef 343 Passo 4 k95 209 Passo 5 U95 209 00156 0033 mm 86 Balanço de incertezas É possível sistematizar o procedimento para estimar a correção combinada e a incerteza expandida associadas a um processo de medição onde mais de uma fonte de incertezas esteja envolvida Recomendase que estas informações sejam organizadas na forma de uma planilha de avaliação como a apresentada na tabela 82 Tabela 82 Planilha sugerida para realizar o balanço de incertezas Fontes de incertezas Efeitos sistemáticos Efeitos aleatórios sím bolo Descrição Correção valor bruto tipo de distribuição divisor u ν Cc Correção combinada 88 uc Incerteza padrão combinada normal 811 812 U Incerteza expandida 95 normal 813 A tabela 82 possui três campos principais No primeiro campo formado pelas duas primeiras colunas devem ser descritas cada fonte de incertezas considerada uma por linha A primeira coluna é reservada para se desejado atribuir um símbolo para a fonte de incertezas O segundo campo formado pela terceira coluna conterá informações sobre os efeitos sistemáticos Na terceira coluna deverá ser atribuída a estimativa da correção associada à respectiva fonte de incertezas na mesma unidade do mensurando O terceiro campo formado pelas demais colunas contém informações acerca dos efeitos aleatórios associados a cada fonte de incertezas A quarta coluna contém o valor bruto associado à fonte de incertezas por exemplo os limites de uma distribuição uniforme Na quinta coluna deve ser identificado o tipo de distribuição uniforme triangular normal etc Na sexta coluna deve ser explicitado o divisor que transforma o valor bruto na incerteza padrão assumindo normalmente 3 para distribuição uniforme ou retangular 2 quando o valor bruto é a incerteza expandida e 1 quando é o próprio desvio padrão experimental Finalmente a última coluna deverá conter o número de graus de liberdade associado a cada fonte de incertezas As três últimas linhas são usadas para exprimir os resultados combinados da análise de incertezas a correção combinada a incerteza padrão combinada o número de graus de liberdade efetivos e finalmente a incerteza expandida Em cada campo da tabela estão representados os números das equações usadas para estimar cada um destes parâmetros a partir dos demais dados da tabela Em linhas gerais o procedimento de avaliação da incerteza expandida e correção combinada de um processo de medição pode ser organizado nos seguintes passos 1 Analise o processo de medição Procure entender claramente os princípios envolvidos e os procedimentos adotados para chegar ao resultado da medição 2 Faça um levantamento de todas as fontes de incertezas que possuem influência sobre o processo de medição Não descarte a priori fontes de incertezas que aparentemente não tenham influência significativa sobre o processo Disponha cada fonte de incertezas em uma linha diferente da tabela 3 Procure para cada fonte de incertezas estimar os efeitos sistemáticos e aleatórios Lembrese que efeitos sistemáticos não conhecidos ou não compensados devem ser considerados como efeitos aleatórios Estime e transponha para cada linha correspondente da tabela os valores estimados para a correção e os dados que permitam a estimativa da respectiva incerteza padrão como o tipo de distribuição Informe também o respectivo número de graus de liberdade Mantenha uma memória de cálculo com as informações e considerações que levaram àquelas estimativas 4 Calcule a correção combinada através da equação 88 somando algebricamente os valores da terceira coluna 5 Calcule os valores das incertezas padrão de cada fonte de incertezas Calcule a incerteza padrão combinada usando a equação 811 e transponha o resultado na sétima coluna da linha correspondente 6 Calcule o número de graus de liberdade efetivos através da equação 812 e transponha o resultado para a última coluna da linha correspondente 7 Estime a incerteza padrão através da equação 813 87 Exemplo resolvido A seguir é apresentado um exemplo completo resolvido onde um balanço de incertezas é realizado para a medição de uma massa com uma balança Formulação Determine a incerteza da medição da massa de um anel de ouro realizada nas seguintes condições Foi usada uma balança eletrônica com certificado de calibração Os valores da correção e da respectiva incerteza para k 2 estão disponíveis para vários pontos da faixa de medição e são apresentados na figura 81 esta balança apresenta um indicador digital com resolução de 005 g a temperatura no local onde a medição foi efetuada oscila tipicamente entre 240 e 260C Sabese que esta balança apresenta deriva térmica isto é acresce o valor da indicação de 0025 g para cada 1C de variação da temperatura ambiente acima da temperatura de calibração 200C a calibração da balança foi realizada há 5 meses Sabese que sua estabilidade em função do tempo permanece dentro dos limites de 002 gmês foram efetuadas as 12 medições independentes listadas na figura Deve ser ainda acrescentado que desejase compensar todos os efeitos sistemáticos possíveis reduzindo ao máximo as incertezas Este problema está esquematicamente ilustrado na figura 81 Solução A solução do problema segue o roteiro apresentado no item 85 Passo 1 Análise do processo de medição Tratase de um mensurando invariável medido repetidamente por 12 vezes O certificado de calibração está disponível onde constam estimativas para a correção e sua respectiva incerteza sendo viável a correção dos respectivos efeitos sistemáticos Devem ser considerados os efeitos da temperatura do ambiente sobre o comportamento da balança e que suas características se degradam com o tempo Passo 2 Identificação das fontes de incerteza a repetitividade da indicação o fato de medições repetitivas não mostrarem sempre a mesma indicação símbolo adotado Re b erros detectados na calibração a correção para cada ponto e sua respectiva incerteza símbolo adotado Cal c resolução limitada do dispositivo mostrador digital símbolo adotado R d deriva temporal degradação das características da balança com o tempo símbolo adotado DTmp e deriva térmica influência da temperatura ambiente sobre o comportamento da balança símbolo adotado DTer Estas informações foram transpostas para as duas primeiras colunas da tabela 83 Passo 3 estimativa dos efeitos sistemáticos e aleatórios a Repetitividade da indicação avaliação por métodos estatísticos tipo A Sua influência é tipicamente aleatória não há componente sistemática associada Aplicando a equação 82 nas doze medidas efetuadas estimase o desvio padrão experimental s 00634 g A equação 84 é usada para estimar o desvio padrão experimental da média das doze medidas s12 00183 g Esta já é uma estimativa da incerteza padrão associada O número de graus de liberdade envolvido é υ 12 1 11 b Erros detectados na calibração avaliação com base em informações existentes a priori tipo B Os efeitos destas fontes de incertezas são estimados tendo por base dados já existentes decorrentes de uma calibração previamente realizada e apresentados no respectivo certificado Este certificado apresenta a respectiva correção para vários pontos da faixa de medição O valor médio das indicações é 19950 g Como este valor está muito próximo de 2000 g o valor estimado para da correção 015 g é adotado A respectiva incerteza expandida associada k 2 é de 008 g o que leva à incerteza padrão de 004 g Observação Nos casos em que a média das indicações não seja um valor muito próximo de um ponto onde uma estimativa para a correção é apresentada no certificado de calibração é comum estimar os valores da correção e incerteza através de interpolação linear tendo por base os respectivos valores dos pontos mais próximos Isto deve ser feito com cautela uma vez que não há garantias de que entre estes pontos o comportamento seja linear Nestes casos é prudente elevar o nível da incerteza obtida c Resolução avaliação com base em características naturais tipo B A resolução do dispositivo mostrador digital da balança introduz uma componente adicional de erro devido ao truncamento numérico Seu efeito é apenas de natureza aleatória e pode ser quantificado através dos limites máximos possíveis O máximo erro de truncamento corresponde a metade do valor da resolução O mínimo a menos metade da resolução Este erro poderia então ser modelado por meio de uma distribuição uniforme retangular centrada no zero e limites extremos dados por metade do valor da resolução 0025 g a 0025 g d Deriva temporal avaliação com base em informações do certificado de calibração tipo B Em função do tempo transcorrido após a calibração é possível que as características da balança tenham se degradado Sua extensão pode ser estimada a partir dos limites máximos esperados para a balança calculados a partir de dados da sua estabilidade ao longo do tempo fig 81 Para um período de 5 meses esperase que os erros estejam dentro do limite dado por 5 002 010 g Não há como estimar os efeitos sistemáticos Na falta de outras informações assumese uma distribuição retangular centrada no zero e com limites em 010 g e Deriva térmica avaliação com base em informações do certificado de calibração tipo B Em função da temperatura no local da medição ser diferente da temperatura na qual a calibração foi realizada uma componente de incerteza adicional é introduzida Uma vez conhecidas as características de estabilidade da balança em função da temperatura e os limites dentro dos quais a temperatura no local da medição se manteve é possível estimar sua influência através dos limites máximos estimados para esta grandeza Para o limite superior da temperatura 26C a balança indica em média 015 g a mais Para 24C indica 010 g a mais Este efeito dá origem a uma parcela sistemática e outra aleatória O valor médio de 0125 g corresponde à melhor estimativa da parcela sistemática levando ao valor da correção de 0125 g A parcela aleatória pode ser modelada através de uma distribuição uniforme retangular centrada no zero com limites dados por 0025g Figura 81 Determinação da incerteza de medição da massa de uma jóia com uma balança CERTIFICADO DE CALIBRAÇÃO Unidade g Indicação Correção Incerteza k2 000 000 005 500 005 006 1000 010 006 1500 010 007 2000 015 008 2500 020 008 3000 010 010 3500 000 010 4000 005 012 4500 010 013 5000 015 015 Resolução 005 g Estabilidade a com a temperatura 0025g K b com o tempo 002 g mês INFORMAÇÕES ADICIONAIS Condições ambientais Temperatura Variando entre 240 e 260 oC Tempo após última calibração 5 meses Medições efetuadas n 12 νννν 12 1 11 x 19950 g sx 00634 g s x 00183 g no INDICAÇÃO 1 1990 2 1995 3 2000 4 1995 5 1990 6 2000 7 1985 8 2005 9 1985 10 1990 11 2000 12 1995 Passo 4 Estimativa da correção combinada Aplicando a equação 88 chegase à correção combinada de 0275 g Passo 5 incertezas padrão de cada fonte e incerteza combinada As respectivas incertezas padrão de cada fonte de incertezas calculadas a partir dos valores brutos aplicadose o devido divisor estão apresentadas na tabela 83 A incerteza padrão combinada calculada pela equação 811 é de 0079 g Passo 6 número de graus de liberdade efetivos Aplicando a equação 812 chegase a 2941 0 0 0 0 11 0 0183 0 0740 4 4 υef Passo 7 incerteza expandida O fator de abrangência para 2941 graus de liberdade é 200 A incerteza expandida pode ser calculada multiplicandose a incerteza padrão combinada por 200 Assim temse U95 0148 g Tabela 83 Balanço de incertezas do problema resolvido Fontes de incertezas Efeitos sistemáticos Efeitos aleatórios sím bolo Descrição correção g valor bruto g tipo de distribuição divisor µ g ν Re Repetitividade 0000 00183 normal 1 00183 11 Cal Erros detectados na calibração 0150 00800 normal 2 00400 R Resolução 0000 00025 uniforme 3 00014 DTmp Deriva temporal 0000 01000 uniforme 3 00577 Dter Deriva térmica 0125 00250 uniforme 3 00144 Cc Correção combinada 0275 Uc Incerteza padrão combinada normal 0074 2941 U Incerteza expandida 95 normal 0148 Assim o processo de medição apresenta correção combinada 0275 g e incerteza expandida 0148 g Finalmente a massa medida teria como resultado RM 19950 0275 0148 1968 015 g Considere como um segundo exemplo a mesma situação do problema anterior com a diferença que o operador deliberadamente não pretende fazer os cálculos necessários para compensar os efeitos sistemáticos Obviamente que a parcela sistemática não compensada elevará a incerteza global da medição Para estimar a incerteza resultante neste caso considere a soma dos valores absolutos das parcelas sistemáticas não compensadas soma dos módulos das correções Esta soma deve ser adiciona algebricamente à incerteza expandida já calculada para o caso em que os efeitos sistemáticos são compensados levando à nova incerteza expandida Assim a soma dos valores absolutos das correções não compensadas leva a SC 0150 0125 0275 g A nova incerteza expandida será então U95 0275 0148 0423 g Neste caso há sensível piora na incerteza do processo de medição que passa a apresentar correção combinada zero e incerteza expandida 0423 g levando ao seguinte resultado da medição Capítulo 9 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA EM MEDIÇÕES INDIRETAS Este capítulo aborda procedimentos para estimar a incerteza associada à medição em casos onde o valor do mensurando não pode ser determinado diretamente a partir da indicação vinda de um único instrumento de medição mas deve ser calculada por uma equação que relaciona mais de uma grandezas de entrada medidas independentemente Estimativas iniciais das incertezas padrão associadas a cada uma destas grandezas de entrada devem ser conhecidas e são o ponto de partida para os procedimentos aqui apresentados 91 Considerações preliminares 911 Medições diretas e indiretas Na medição direta o valor associado ao mensurando resulta naturalmente da aplicação do sistema de medição sobre este Há interesse focado apenas em uma grandeza A medição de um diâmetro com um paquímetro da temperatura de uma sala por um termômetro são exemplos de medição direta A medição indireta envolve a determinação do valor associado ao mensurando a partir da combinação de duas ou mais grandezas por meio de expressões matemáticas São exemplos de medição indireta a a determinação da área de um terreno a partir da multiplicação dos valores medidos para sua largura e comprimento b a determinação da massa específica de um material calculada a partir da razão entre sua massa e seu volume e c a medição da corrente que passa por um condutor a partir da divisão da queda de tensão medida sobre um resistor de precisão em série com o condutor pelo valor da sua resistência elétrica Embora menos prática que a medição direta a medição indireta é utilizada com muita freqüência principalmente em casos onde a por impossibilidade física não é viável fazer medições diretas e b do ponto de vista econômico ou no que diz respeito ao nível de incerteza possível de ser obtida é mais vantajoso efetuar medições indiretas 912 Dependência estatística Como visto no capítulo 8 duas variáveis aleatórias são ditas estatisticamente independentes se suas variações se comportam de forma totalmente desvinculadas isto é não há nenhuma relação entre o crescimento momentâneo e aleatório de uma e o crescimento ou decrescimento da outra Do ponto de vista estatístico estas variáveis são ditas independentes ou não correlacionadas e seu coeficiente de correlação é zero Duas variáveis aleatórias são ditas estatisticamente dependentes se suas variações se dão de forma vinculadas isto é há uma relação nitidamente definida entre o crescimento de uma e o crescimento da outra de forma proporcional à primeira Do ponto de vista estatístico estas variáveis são ditas correlacionadas e seu coeficiente de correlação é unitário 1 Há ainda o caso em que o crescimento da primeira está nitidamente atrelado ao decrescimento proporcional da segunda Neste caso estas variáveis possuem correlação inversa e seu coeficiente de correlação é também unitário porém negativo 1 Duas variáveis aleatórias podem apresentar dependência estatística parcial isto é nem são totalmente dependentes nem totalmente independentes Nestes casos o coeficiente de correlação entre estas variáveis pode assumir qualquer valor não inteiro entre 1 e 1 A indicação de um módulo ou sistema de medição é uma variável aleatória As variações observadas em uma série de indicações obtidas de medições sucessivas realizadas nas mesmas condições e do mesmo mensurando são manifestação desta parcela aleatória Os fatores que provocam esta aleatoriedade são diversos podendo ter origem interna no próprio sistema de medição ou resultarem de efeitos externos provocados por grandezas de influência como por exemplo variações ambientais variações da tensão da rede elétrica etc Nos casos onde dois ou mais módulos da cadeia de medição estão expostos às mesmas grandezas de influência e seus comportamentos são particularmente sensíveis a uma ou mais destas grandezas de influência é muito provável que as indicações destes módulos apresentem dependência estatística Flutuações aleatórias das grandezas de influência podem provocar alterações correspondentes em cada módulo Estas alterações serão correlacionadas Quando as principais grandezas de influência são relativamente bem controladas isto é mantidas constantes as variações em cada módulos possuem uma série de causas secundárias o que resulta com grande probabilidade em independência estatística É sempre possível caracterizar de forma segura o tipo de dependência estatística calculando para cada caso o coeficiente de correlação linear Embora grande parte das variáveis aleatórias envolvidas na medição seja parcialmente dependentes para tornar o cálculo de incertezas mais facilmente executável é prática comum aproximar seu comportamento e classificálas como totalmente dependentes ou independentes Na prática apenas em situações muito raras a dependência estatística parcial é considerada De uma forma simplificada em medições indiretas é comum tratar como estatisticamente dependentes as medições de diferentes parâmetros efetuadas pelo mesmo instrumento Por exemplo se um mesmo paquímetro é usado para medir os comprimentos dos três lados de um paralelepípedo cujo volume desejase calcular estas três medição são tratadas como estatisticamente dependentes ou correlacionadas Esta prática justificase quando considerase que nos três casos o SM pode estar trazendo um erro muito similar para as três medições por exemplo uma parcela sistemática desconhecida provocada pelo desgaste o que caracterizaria um a situação de sincronismo do erro ou em outras palavras dependência estatística Por outro lado medições efetuadas por diferentes SM são tratadas como estatisticamente independentes ou não correlacionadas No exemplo anterior se o comprimento de cada lado do paralelepípedo fosse medido por um SM diferente os erros de medição de cada SM seriam independentes gerando a situação de independência estatística 92 Grandezas de entrada estatisticamente dependentes No caso em que há dependência estatística entre as variáveis de entrada a variação aleatória associada a cada grandeza de entrada poderá estar agindo de forma sincronizada sobre as respectivas indicações Para estimar a incerteza da combinação de duas ou mais grandezas de entrada estatisticamente dependentes deve ser levado em conta que estas podem assumir ao mesmo tempo valores extremos dentro de suas respectivas faixas de incerteza O valor estimado geralmente representa os limites da variação máxima possível Embora exista uma expressão geral para a estimativa da incerteza associada à combinação de grandezas de entrada estatisticamente dependentes há casos particulares freqüentemente presentes na prática onde as equações são drasticamente simplificadas A soma e subtração e a multiplicação e divisão são grupos de operações onde são possíveis simplificações consideráveis e serão inicialmente tratados 921 Soma e subtração A combinação das incertezas de grandezas de entrada estatisticamente dependentes que são apenas somadas ou subtraídas entre si é muito simples e pode ser intuída por simples observação Seja o caso onde desejase somar o valor de duas massas conhecidas determinadas a partir de uma mesma balança e nas mesmas condições de medição dadas por m1 200 4 g m2 100 3 g O valor mínimo possível desta soma pode ser calculado por m1 m2min 200 4 100 3 200 100 4 3 300 7 293 g Analogamente o valor máximo possível é obtido por m1 m2max 200 4 100 3 200 100 4 3 300 7 307 g O que leva ao resultado m1 m2 300 7 g Por observação notase que a incerteza de 7 g resulta da soma das incertezas 3 g e 4 g De fato esta regra é válida tanto para soma quanto para subtração como pode ser facilmente verificado Esta mesma regra continua válida para qualquer número de termos envolvidos desde que apenas somas eou subtrações estejam presentes no cálculo Porém recomendase combinar as incertezas padrão de cada variável de entrada e somente após obter a incerteza padrão combinada estimar a incerteza expandida Em termos genéricos podese escrever ou seja na soma ou subtração de qualquer número de grandezas de entrada estatisticamente dependentes a incerteza padrão combinada do resultado pode ser estimada pela soma algébrica das incertezas padrão individuais de cada grandeza envolvida É também possível mostrar que uk x k k k ux k ux k ux 1 1 2 3 1 1 2 2 3 3 x2 x3 91a onde k1 k2 k3 são constantes multiplicativas ux ux ux ux 1 1 2 3 x2 x3 91 922 Multiplicação e divisão Também neste caso através de um exemplo simples é possível intuir a expressão para a estimativa da incerteza combinada Seja V o volume de um paralelepípedo calculado pelo produto dos seus lados a b e c cada qual conhecido com incertezas ua ub e uc respectivamente e estatisticamente independentes entre si Logo V uv a ua b ub c uc Expandindo a expressão acima V uv abc bcua acub abuc aubuc buauc cuaub uaubuc Subtraindo V abc de ambos os lados e desprezando os termos de ordens mais altas obtémse uv bcua acub abuc Dividindo ambos os termos desta equação por V abc obtémse finalmente u v V u a a u b b u c c uvV uaa ubb e ucc são as incertezas relativas de cada grandeza Assim verifica se que na multiplicação a incerteza relativa do produto é estimada pela soma das incertezas relativas de cada fator Podese verificar que esta conclusão também vale para a divisão e também para qualquer número ou combinações entre multiplicações e divisões Assim pode ser escrito de forma genérica que ou seja na multiplicação eou divisão de várias grandezas de entrada estatisticamente dependentes a incerteza padrão relativa combinada é obtida pela soma das incertezas padrão relativas de cada grandeza de entrada envolvida a Exemplo 1 Determine a incerteza padrão associada à medição da área de um círculo cujo diâmetro foi medido sendo encontrado d 3002 mm com incerteza padrão ud 005 mm Solução A expressão para o cálculo da área é A ¼ π d² que pode ser reescrita como A ¼ π d d que se trata apenas de multiplicações Neste caso a equação 92 pode ser empregada uAA u¼¼ uππ udd udd ux x x x x x u x x u x x u x x e ux x x x x x u x x u x x u x x 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 92 Porém ¼ é um número matematicamente exato sua incerteza é nula o que também anula o termo u¼¼ π pode ser hoje calculado com milhares de casas decimais mas dificilmente é representado por mais de 5 ou 6 algarismos significativos A incerteza no valor de π é muito mais conseqüência do erro de truncamento quando se considera apenas algumas casas decimais Se um número suficiente de dígitos for considerado o termos uππ pode ser desprezado frente ao udd Assim temse uAA 2 udd ou ou uAA 2 0053002 uAA 000333 uA 000333 ¼ π 3002² uA 236 mm² b Exemplo 2 Determinar a incerteza da grandeza G calculada por G abc sabendose que a b e c são estatisticamente dependentes Embora tratese de uma combinação entre soma e divisão o cálculo da incerteza pode ser efetuado por etapas Para tal seja d a b logo ud uab ua ub e uGG udd ucc obs o procedimento ilustrado neste exemplo em particular onde são combinadas somasubtração com multiplicaçãodivisão por meio de variáveis intermediárias só pode ser efetuado se estas variáveis não aparecem mais de uma vez dentro da expressão Não seria possível por exemplo aplicar este procedimento para H abab Estes casos são tratados no item seguinte 923 Caso geral A estimativa da incerteza combinada para o caso geral onde as grandezas de entrada se relacionam através de uma expressão matemática qualquer pode ser efetuada através da aplicação de uma expressão genérica Sua demonstração matemática é baseada na expansão da expressão em termos de série de Taylor e não será tratada neste texto Seja por exemplo uma grandeza G calculada em função de diversas grandezas de entrada relacionadas por G fx1 x2 x3 x4 Após a expansão em série de Taylor eliminação de termos de ordens mais altas e redução de termos semelhantes chegase a onde uG representa a incerteza padrão da grandeza G ux1 ux2 ux3 ux4 representam as incertezas padrão associadas às grandezas de entrada x1 x2 x3 x4 respectivamente representa o módulo valor absoluto da expressão do seu interior u G f x u x f x u x f x u x f x u x 1 1 2 2 3 3 4 4 93 É muito fácil verificar que as equações 91 e 92 são casos particulares da equação 93 93 Grandezas de entrada estatisticamente independentes No caso em que as grandezas de entrada são estatisticamente independentes entre si isto é não guardam nenhuma forma de sincronismo são remotas as chances que as variações aleatórias associadas a cada grandeza de entrada levem a uma combinação em que todos os valores extremos sejam atingidos ao mesmo tempo Para este caso é possível demonstrar que a forma mais apropriada para combinar estes efeitos é através da soma das variâncias A estimativa para a incerteza padrão combinada nessas condições resulta em um número menor do que seria obtido se as grandezas de entrada fossem tratadas como estatisticamente dependentes Embora também neste caso exista uma expressão geral para a estimativa da incerteza padrão associada à combinação de grandezas de entrada estatisticamente independentes há casos particulares freqüentemente presentes na prática onde as equações são drasticamente simplificadas 931 Soma e subtração A soma de duas variáveis aleatórias estatisticamente independentes é um problema já bastante estudado pela estatística O valor médio da soma pode ser estimado pela soma dos valores médios de cada variável A variância da soma pode ser estimada a partir da soma das variâncias de cada variável Para a subtração o comportamento é similar A incerteza padrão associada às grandezas de entrada estatisticamente independentes tem um comportamento estatístico semelhante ao do desvio padrão quando estas são combinadas Assim uma expressão geral para a estimativa da incerteza combinada associada à somas eou subtrações de duas ou mais grandezas de entrada estatisticamente independentes é dada por u x u x u x u x 2 2 2 2 1 1 2 3 x2 x3 94 ou seja na soma e subtração de várias grandezas de entrada estatisticamente independentes o quadrado da incerteza padrão combinada é obtida pela soma dos quadrados das incertezas padrão de cada grandeza de entrada envolvida Exemplo Considerando que as massas m 1 e m2 dadas por m1 200 com um1 4 g m2 100 com um2 3 g foram medidas por balanças e em condições completamente diferentes e independentes determine a incerteza associada à sua soma Neste caso é razoável tratar estas grandezas de entrada como estatisticamente independentes Assim a incerteza combinada pode ser estimada por um m 1 2 2 2 4 3 5 A massa resultante será m1 m 2 300 g com um1 m 2 5 g Note que o valor estimado para a incerteza padrão da soma neste caso é inferior a 7 g o que seria encontrado caso estas variáveis fossem tratadas como estatisticamente dependentes 932 Multiplicação e divisão Neste caso uma expressão indicada para estimar a incerteza resultante da combinação de apenas multiplicações eou divisões de qualquer número de variáveis de entrada estatisticamente independentes pode ser deduzida Seja G a grandeza de interesse calculada por multiplicações eou divisões de várias grandezas de entrada simbolicamente representadas por G x1 1 x2 1 x31 A incerteza relativa combinada pode ser estimada por u G G u x x u x x u x x 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 95 o que permite formar o seguinte enunciado na multiplicação e divisão de várias grandezas de entrada estatisticamente independentes o quadrado da incerteza padrão relativa combinada é obtida pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas de cada grandeza de entrada envolvida Exemplo Determine a incerteza padrão associada à corrente elétrica que passa por um resistor R previamente conhecido de 5000 Ω com incerteza padrão uR 05 Ω sobre o qual mediu se a queda de tensão de V 1500 V com uV 15 V A expressão para o cálculo da corrente é dada por I VR Este caso envolve apenas divisão de duas grandezas de entrada que como foram medidas independentemente por instrumentos diferentes podem ser tratadas com estatisticamente independentes Assim sendo o valor esperado para a corrente dado por I 150500 030 A Sua incerteza pode ser estimada por u I I u V V u R R 2 2 2 ou u I 0 3 15 150 0 5 500 2 2 2 u I 0 3 0 01 0 001 0 0001 0 000001 2 2 2 uI 0003 A Assim I 0300 A e sua incerteza padrão uI 0003 A Note que neste caso a contribuição na incerteza associada à tensão elétrica tem uma influência 100 vezes maior do que a incerteza da resistência sobre a incerteza padrão da corrente É óbvio que se for desejável reduzir a incerteza do valor da corrente a incerteza padrão associada à medição da tensão precisa ser reduzida De nada adiantaria reduzir a incerteza da resistência elétrica apenas 933 Caso geral Há uma expressão genérica que permite estimar a incerteza padrão combinada para o caso geral onde apenas grandezas de entrada estatisticamente independentes se relacionam através de uma expressão matemática Seja por exemplo uma grandeza G calculada em função de diversas grandezas de entrada relacionadas por G fx1 x2 x3 x4 A incerteza combinada da grandeza G pode ser estimada por onde uG representa a incerteza padrão da grandeza G ux1 ux2 ux3 ux4 representam as incertezas padrão associadas às grandezas de entrada x1 x2 x3 x4 respectivamente Também neste caso é fácil verificar que as equações 94 e 95 são casos particulares da equação 96 Exemplo Na determinação da massa específica ρ de um material usouse um processo indireto medindose com uma balança a massa m de um cilindro cujo diâmetro D e altura h foram determinados por um micrômetro e um paquímetro respectivamente Após a estimativa das incertezas padrão associadas foram encontrados os seguintes resultados para cada grandeza medida m 1580 g um 10 g D 25423 mm uD 0003 mm h 7735 mm uh 005 mm A massa específica é calculada por u G f x u x f x u x f x u x f x u x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 4 4 96 Como tratamse de grandezas estatisticamente independentes a equação 96 deve ser aplicada para determinar a incerteza padrão combinada uρ A equação 96 envolve as derivadas parciais de ρ em relação a cada grandeza independente que leva a Esta equação permite estimar a incerteza associada à massa específica obtida nas condições especificadas Entretanto esta equação pode ser rearranjada de forma a tornar se mais simples Para tal sejam ambos os membros divididos por ρ Assim que é o mesmo resultado que se obtém pela aplicação da equação 95 Substituindo os valores de m D h e suas incertezas padrão na equação 98 chegase a Portanto a massa específica do material poderá ser dada como ρ π m Vol 4m D h 2 ρ m π 4 D h 2 ρ h π 4m D h 2 2 ρ π D 8m D h 3 u 4 D h u m 4m D h u h 8m D h u D 2 2 2 3 ρ π π π 2 2 2 97 u u m m u h h 2 u D D ρ ρ 2 2 2 98 u 1 10000 633 236 646 ou u 1 10000 40061 56 417 2 2 2 ρ ρ ρ ρ daí ou seja O exemplo mostra claramente que a incerteza padrão combinada está sendo fortemente afetada pela incerteza da massa em função desta ter incerteza padrão relativa superior às demais grandezas Uma melhora no resultado da medição só será alcançada buscandose reduzir a incerteza de medição da massa até níveis em que haja uma equiparação com a incerteza de medição relativa associada às outras grandezas 94 Dependência estatística parcial Há casos mais complexos onde as interações entre grandezas de entrada que compõem uma medição direta não podem ser realisticamente modeladas como sendo perfeitamente dependentes e nem independentes do ponto de vista estatístico São os casos onde há dependência estatística parcial A forma de quantificar a dependência estatística linear parcial é através do coeficiente de correlação linear entre cada par de grandezas de entrada envolvidas Haverá dependência parcial se o coeficiente de correlação for um número não inteiro 941 Combinação de grandezas estatisticamente dependentes e independentes Será inicialmente abordado o caso onde apenas combinações de grandezas de entrada estatisticamente dependentes e independentes são envolvidas Sejam por exemplo as grandezas a b e c onde sabese a priori que a e b são estatisticamente dependentes rab 1 a e c e b e c são estatisticamente independentes entre si rac 0 e rbc 0 A incerteza padrão combinada da grandeza G dada por G fa b c pode ser estimada por ρ π ρ ρ m D h 4 1580 3 1416 25 423 7735 0040239 g mm 2 2 3 4 u 000637 0040239 u 00002563g mm3 ρ ρ ρ ρ 004024 g mm e u 000025g mm3 3 u G f a u a f b u b f c u c 2 2 2 99 942 Caso geral A expressão usada para estimar a incerteza padrão combinada de uma grandeza G dada por G fx1 x2 x3 xn considerando que pode haver dependência estatística parcial entre cada par das grandezas de entrada x1 x2 x3 xn é dada por u G f x u x f x f x u x u x r x x i i i j i j i j j i n i n i n 2 2 2 1 1 1 1 2 910 onde rxi xj é o coeficiente de correlação entre as grandezas de entrada xi e xj Exemplo Seja o volume V de um paralelepípedo determinado a partir do produto dos comprimentos de cada um dos seus lados Os lados a e b foram medidos por um mesmo sistema de medição e nas mesmas condições O lado c foi medido por outro instrumento independente e em momentos distintos Determine a incerteza padrão do volume Solução Em função de um mesmo instrumento ter sido usado para medir os lados a e b é provável que estas grandezas de entrada estejam fortemente correlacionadas Este fato deveria ser verificado experimentalmente pelo cálculo do coeficiente de correlação entre a e b b e c e entre a e c Para três grandezas de entrada a equação 910 resume se a u V V a u a V b u b V c u c V a V b u a u b r a b V b V c u b u c r b c V a V c u a u c r a c 2 2 2 2 2 2 2 Assumese aqui que ra b 1 Como a medição do lado c é independente das demais assumese rb c 0 e ra c 0 Assim sendo V abc estes dados aplicados na equação acima ficam u V b c u a a c u b a b u c bc ac u a u b 2 2 2 2 2 1 dividindo ambos os membros por V2 a equação acima fica u V V u a a u b b u c c u a a u b b 2 2 2 2 2 Note que há um quadrado perfeito no segundo termo que pode ser reagrupado como u V V u a a u b b u c c 2 2 2 Que é a solução do problema A expressão acima também poderia ser diretamente obtida da aplicação da equação 99 95 Incerteza padrão e incerteza expandida Recomendase que a incerteza associada à medição indireta seja estimada através das estimativas das incertezas padrão de cada grandeza de entrada Somente após obter a incerteza padrão combinada da medição indireta determinase a correspondente incerteza expandida Também neste caso a incerteza expandida é estimada pela multiplicação da incerteza padrão combinada pelo respectivo fator de abrangência O fator de abrangência é determinado em função do número de graus de liberdade efetivo obtido a partir da equação de WelchSatterthwaite 813 conforme abordado no capítulo 8 O fator de abrangência é obtido da tabela de coeficientes também apresentada neste capítulo O número de graus de liberdade de cada grandeza de entrada corresponde ao número de graus de liberdade efetivo encontrado por ocasião da sua estimativa Se esta informação não é disponível deve ser aproximadamente estimado em função das condições de medição Após o cálculo de υef determinase k95 e finalmente U95 k95 u 96 Problema resolvido Determine a incerteza na determinação da velocidade média de um projétil a partir do tempo t que este leva para percorrer a distância d entre dois sensores A distância foi medida sendo encontrado d 1824 04 m determinado com 20 graus de liberdade efetivos e t 526 03 ms determinado com 12 graus de liberdade já incluindo a influência dos sensores e suas imperfeições Solução A velocidade média é calculada por V dt Por serem medidas por instrumentos diferentes e provavelmente em momentos diferentes as grandezas d e t certamente são estatisticamente independentes A equação 95 pode ser usada para estimar a incerteza de V Para aplicar esta equação devese utilizar as incertezas padrão de d e t que podem ser obtidas a partir da divisão da incerteza expandida pelo respectivo fator de abrangência Os valores de k95 para 20 e 12 graus de liberdade são 213 e 223 respectivamente Assim ud 04213 0188 m ut 03223 0135 ms A incerteza padrão combinada pode ser determinada por u V V u d d u t t 2 2 2 Sendo o valor nominal de dado por V 1824 m526 ms 34677 ms a estimativa da incerteza padrão uV será u V 3467 7 0 188 182 4 0 135 52 6 2 2 2 uV 959 ms Como as unidades de cada grandeza são diferentes é conveniente usar a equação de WelchSatterthwaite na forma relativa Assim o número de graus de liberdade efetivo será t d ef t u t d u d V V u ν ν ν 4 4 4 Logo ν 159 e k95 217 Assim a incerteza expandida será U95V 217 959 208 ms com ν 16 E a velocidade poderá finalmente ser expressa por V 3468 21 ms CAPÍTULO 10 PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS ATRAVÉS DE MÓDULOS Freqüentemente diferentes módulos são interligados para compor sistemas de medição específicos Transdutores de diferentes tipos e características metrológicas são interligados à unidades de tratamento de sinais que por sua vez são conectadas a sistemas de indicação ou registro As incertezas de cada um dos módulos interligados se propagam de forma a compor a incerteza combinada do sistema de medição completo Este problema aparece de forma tão freqüente na experimentação que é aqui tratado em detalhes É um caso particular da análise de incertezas também denominado de propagação de incertezas Este capítulo apresenta considerações e procedimentos recomendados para estimar a incerteza combinada do sistema de medição a partir das características metrológicas dos módulos interligados A interligação de diversos módulos para compor um sistema de medição é esquematicamente representada na figura 101 O comportamento metrológico individual de cada uma dos módulos é conhecido a priori em termos de sua incerteza padrão uMi e sua correção CMi para as condições de operação Desejase avaliar o comportamento metrológico do sistema completo M1 M2 M3 Mn EM1 SM1 EM2 SM2 EM3 SM3 EMn SMn CM1 uM1 CM2 uM2 CM3 uM3 CMn uMn KM1 KM2 KM3 KMn Figura 101 Propagação de incertezas entre módulos interligados de um Sistema de Medição Seja EM1 o sinal de entrada do módulo 1 e SM1 o seu respectivo sinal de saída Sejam ainda conhecidas a sensibilidade deste módulo denominada por KM1 a constante multiplicativa que relaciona a entrada com a saída do módulo a correção CM1e a incerteza padrão uM1 O sinal de saída do primeiro módulo está correlacionado com a entrada pela equação 101 SM EM KM CM uM 1 1 1 1 1 101 A correção CM1 aparece com sinal negativo porque a saída do módulo é calculada em função da entrada que o caminho contrário ao usual Note ainda que a dispersão equivalente a uma incerteza padrão do primeiro módulo está presente no sinal de saída Analogamente para o módulo 2 SM EM KM CM uM 2 2 2 2 2 Quando o módulo 2 é interligado ao módulo 1 a saída do módulo 1 passa a coincidir com a entrada do módulo 2 Assim a equação acima quando combinada com a 101 leva a SM EM KM KM CM KM CM uM KM uM 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 O lado direito da equação acima foi agrupado em três blocos O primeiro bloco corresponde ao sinal de saída nominal livre da influência de qualquer incerteza O segundo bloco decorre dos erros sistemáticos O terceiro é a componente associada à incerteza padrão de cada módulo Se esta análise for estendida para n módulos a equação acima cresce em complexidade Porém já é possível notar a existência de um certo padrão que pode ser extrapolado para n módulos Note que a entrada do bloco 1 coincide com a entrada do SM e a saída do bloco n com a saída do SM Assim a O valor nominal da saída do SM dado por SSM ESMKM KM KM KM n 3 2 1 102 b A influência dos erros sistemáticos expressos através das respectivas correções de cada módulo CSM CM KM CM KM CM KM CM 1 2 2 3 3 4 4 K Mn c A influência da incerteza padrão de cada módulo na saída do SM uSM uM KM uM KM uM KM uM 1 2 2 3 3 4 4 K Mn Após algumas manipulações algébricas as equações acima podem ser reescritas em termos dos erros relativos o que leva aos seguintes resultados C SM C M C M C M C M r r 1 r 2 r 3 r n 103 onde CrSM CSM SSM é a correção relativa do SM CrMi CMi SMi é a correção relativa do módulo i e u SM u M u M u M u M r r 2 1 r 2 2 r 2 3 r 2 n 104 onde urSM uSM SSM é a incerteza padrão relativa do SM urMi uMi SMi é a relativa do módulo i As equações 102 103 e 104 permitem a caracterizar o comportamento do SM composto pela interligação dos n módulos a partir das características metrológicas de cada módulo individualmente Uma vez determinada a incerteza relativa combinada do sistema de medição é necessário determinar a incerteza expandida Para tal deve ser utilizada a equação de WelchSatterwaite para estimar o número de graus de liberdade efetivos envolvido e a partir deste determinar o respectivo fator de abrangência Problema resolvido A indicação do voltímetro abaixo é de 2500 V Determinar o resultado da medição do deslocamento efetuado com o sistema de medição especificado abaixo composto de a Transdutor indutivo de deslocamentos faixa de medição 0 a 20 mm sensibilidade de 5 mVmm correção 1 mV incerteza padrão 2 mV estimada com ν 16 b Unidade de tratamento de sinais faixa de medição 200 mV na entrada amplificação 100 X correção 0000 V incerteza padrão 02 estimada com ν 20 c Dispositivo mostrador voltímetro digital faixa de medição 20 V resolução 5 mV correção 002 do valor indicado incerteza padrão 5 mV estimada com ν 96 Para determinar o valor nominal do deslocamento é necessário aplicar a equação 102 sobre o valor indicado no voltímetro Neste caso SSM 2500 V e as constantes K dadas pelas sensibilidades de cada módulo do SM são Transdutor KT 5 mVmm UTS KUTS 01 mVV Mostrador KDM 1 VV logo 2500 ESM 5 01 1 donde Transdutor Unidade de tratamento de sinais Dispositivo mostrador 2500 V KT 5 mVmm CT 1 mV uT 2 mV KUTS 01 VmV CUTS 0000 mV uUTS 02 KDM 1 VV CDM 002 da indicação uDM 5 mV ESM 5000 mm Para determinar os erro relativos é necessário determinar o valor de saída de cada módulo ST ET KT 5000 mm 5 mVmm 25000 mV SUTS EUTS KUTS 25000 mV 01 mVV 2500 V SDM EDM KDM 2500 V 1 VV 2500 V A correção expressa em termos relativos para cada módulos é calculada por CrT CTST 1 mV25000 mV 004 CrUTS CUTSSUTS 0000 V2500 V 0000 CDM 002 2500 V 05 mV CrDM CDMSDM 05 mV2500 mV 00002 As incertezas padrão relativas são determinadas urT uTST 2 mV25000 mV 008 uUTS 02 20 V 004 V urUTS uUTSSUTS 004 V2500 V 0016 urDM uDMSDM 5 mV2500 mV 0002 A correção relativa combinada do SM é calculada pela equação 103 CrSM 004 0000 00002 00398 o que na entrada do SM resulta em CE 00398 5000 mm 0199 mm A incerteza padrão relativa combinada do SM é urSM 008² 0016² 0002²12 urSM 001 64 256 00412 urSM 00815 O que na entrada do SM resulta em uE 00815 5000 mm 04075 mm A incerteza expandida deve ser obtida pela multiplicação da incerteza padrão multiplicada pelo fator de abrangência para o número de graus de liberdade envolvidos calculado por 2 17 96 0 002 20 0 016 16 0 080 0815 0 4 4 4 4 νef Logo k95 217 e UE 217 04075 mm 088 mm Assim finalmente o resultado da medição do deslocamento é calculado por RM I C U RM 5000 0199 088 mm RM 48 09 mm CAPÍTULO 11 O RESULTADO DA MEDIÇÃO II O Capítulo 6 tratou da determinação do resultado da medição para o caso em que os erros de medição são predominantemente decorrentes das imperfeições do sistema de medição SM caracterizadas pela sua correção e repetitividade ou alternativamente através do seu erro máximo Este capítulo estende os procedimentos para determinar o resultado da medição para os casos onde várias fontes de incertezas relevantes estão envolvidas O ponto de partida é a determinação do balanço de incertezas do processo de medição Capítulo 8 Caso medições indiretas estejam presentes as incertezas envolvidas devem ter sido corretamente combinadas Capítulo 9 Se sistemas de medição compostos por módulos estiverem envolvidos os modelos de propagação de incertezas devem ser considerados Capítulo 10 Uma vez disponíveis estas informações o procedimento para a determinação do resultado da medição tornase relativamente simples Porém antes de repassar uma informação para terceiros é fundamental que quem efetua a medição esteja absolutamente seguro do que está fazendo e confie no resultado Como em qualquer outra atividade na metrologia também a determinação do resultado da medição deve estar fortemente baseada no tripé formado por conhecimento técnico honestidade e bom senso 111 Avaliação do Resultado da Medição de um Mensurando Invariável Do ponto de vista metrológico é sempre interessante compensar os erros sistemáticos Há sempre um ganho que resulta na redução da incerteza de medição Porém por questões operacionais seja para simplificar seja para acelerar o processo de medição há casos onde deliberadamente decidese por não compensar os erros sistemáticos Esta prática é metrologicamente correta mas envolve um preço aumento da incerteza da medição São estudadas duas situações distintas para a determinação do RM no caso de se tratar de um mensurando invariável que são função da compensação ou não dos efeitos sistemáticos 1111 Compensando efeitos sistemáticos Este caso assume que o balanço de incertezas foi devidamente efetuado e estão disponíveis valores para a correção combinada Cc e incerteza expandida U considerando todas as condições reais do processo de medição incluindo o número de medições efetuadas e os limites de variação das grandezas de influência Para o caso em que apenas uma medição é efetuada estimase o resultado da medição por No caso em que n diferentes medições forem efetuadas o resultado da medição pode ser avaliado a partir da média das n indicações disponíveis por RM MI Cc Un 112 sendo MI média das n indicações disponíveis Cc correção combinada Cc Tdc Un incerteza expandida estimada para a média de n medições RM I Cc U1 111 sendo I indicação obtida Cc correção combinada Cc Tdc U1 incerteza expandida estimada para uma única medição 1112 Não compensando efeitos sistemáticos Neste caso assumese que o usuário deliberadamente optou por não compensar os efeitos sistemáticos ou que a respectiva correção combinada não estava disponível O balanço de incertezas fornece a estimativa da incerteza expandida U1 devendo esta ter sido propriamente efetuada considerando que nenhum dos efeitos sistemáticos foi compensado as condições reais do processo de medição incluindo o número de medições efetuadas e os limites de variação das grandezas de influência O resultado mais provável é a própria indicação ou a média das indicações e a incerteza de medição do resultado é a própria incerteza expandida do processo de medição No caso em que apenas uma medição é efetuada o resultado da medição é dado por RM I U1 113 sendo I indicação obtida U1 incerteza expandida estimada para uma única medição quando não são compensados os efeitos sistemáticos No caso em que n diferentes medições forem efetuadas o resultado da medição pode ser avaliado a partir da média das n indicações disponíveis por RM MI Un 114 sendo MI média das n indicações disponíveis Un incerteza expandida estimada considerando a média de n medições quando não são compensados os efeitos sistemáticos Nota Quando a incerteza expandida para a situação em que os erros sistemáticos não são compensados não é conhecida esta pode ser estimada a partir da correção e a incerteza expandida estimada para a condição em que os erros sistemáticos são compensados por U1 U1 Cc Un Un Cc 115 sendo U1 incerteza expandida para uma medição não compensando os erros sistemáticos U1 incerteza expandida para uma medição compensando os erros sistemáticos Un incerteza expandida para a média de n medições não compensando os erros sistemáticos Un incerteza expandida para a média de n medições compensando os erros sistemáticos Cc valor absoluto da correção combinada que seria aplicada para compensar os erros sistemáticos 112 Avaliação do Resultado da Medição de um Mensurando Variável Esta é uma situação onde o valor do mensurando não é único podendo apresentar variações em função do tempo do espaço ou de amostra para amostra O resultado da medição idealmente deve exprimir uma faixa que englobe os valores possíveis de serem assumidos pelo mensurando nas condições em que é observado As incertezas do processo de medição devem também ser consideradas o que estende a faixa ideal Diversas medições sempre devem ser realizadas procurando abranger os diversos valores que possam ser assumidos pelo mensurando A escolha do número posições e instantes onde as medições serão realizadas deve ser sempre direcionada para tentar englobar uma amostra representativa da faixa de variação do mensurando Neste caso quando a determinação da parcela de incertezas relativa à repetitividade isto é a avaliação tipo A obtida de um grande número de medições do mensurando engloba também os diferentes valores do mensurando automaticamente a parcela de incertezas devido à repetitividade também conterá as variações do mensurando Porém em lugar da incerteza padrão da média deve ser usada a incerteza padrão de uma medida apenas Esta última recomendação justificase porque as variações do mensurando devem ser consideradas na íntegra não podendo ser abrandadas pela divisão do desvio padrão pela raiz quadrada do número de medições efetuadas Assim para estimar corretamente o resultado da medição equações similares às 112 e 114 podem ser usadas porém com duas ressalvas a que a incerteza expandida tenha sido estimada a partir de um conjunto suficientemente grande e representativo das variações do mensurando e b que a componente de incerteza padrão relativa à repetitividade tenha sido considerada para uma medição e não para a média de n medições Também aqui são estudadas duas situações distintas para a determinação do RM classificados em função da compensação ou não dos efeitos sistemáticos 1121 Compensando efeitos sistemáticos O resultado da medição é calculado necessariamente a partir da média das indicações ao qual é adicionada a correção combinada A parcela de dúvida corresponde à própria incerteza expandida acrescida da máxima variação da indicação em relação à média das indicações Assim MI média das n indicações disponíveis Cc correção combinada Cc Tdc U1 incerteza expandida para uma única medição quando os efeitos sistemáticos são compensados mas estimada a partir de uma amostra suficientemente representativa das variações do mensurando Note que a incerteza expandida estimada para uma medição U1 tem que ser usada Embora o resultado envolva a média de várias indicações deve ser considerado que tratase de uma grandeza variável A faixa de variação do mensurando só será corretamente representada a partir da distribuição das medidas efetuadas e não da distribuição da média das medições Assim deve ser considerada a incerteza expandida para uma medição Pela análise da equação 116 notase que uma vez expresso numericamente o resultado da medição não é mais possível identificar na incerteza da medição o quanto corresponde à incerteza do processo de medição e o quanto está associado à variação do mensurando 1122 Não compensando efeitos sistemáticos Neste caso o usuário deliberadamente optou por não compensar os efeitos sistemáticos ou não tinha informações disponíveis para tal O balanço de incertezas deve ter sido realizado de forma a estimar a incerteza expandida U1 de forma apropriada isto é nenhum dos efeitos sistemáticos tendo sido compensado e uma amostra de n medidas representativa da faixa de variação do mensurando tenha sido considerada na determinação da incerteza padrão associada à repetitividade tipo A e o desvio padrão das medidas e não da média das n medidas seja considerado O resultado base é calculado a partir da média das indicações A incerteza da medição é a própria incerteza expandida determinada nas condições acima RM MI Cc U1 116 onde RM MI U1 117 onde MI média das n indicações disponíveis U1 incerteza expandida para uma única medição e quando os efeitos sistemáticos não são compensados porém estimada a partir de uma amostra suficientemente representativa das variações do mensurando 113 Quadro Geral As situações estudadas neste capítulo permitem construir o seguinte quadro geral para a determinação do resultado da medição RM Tipo de mensurando Dados Conhecidos do SM Número de medições efetuadas n 1 n 1 Invariável U RM I U1 RM MI Un Cc e U RM I Cc U1 RM MI Cc Un Variável U não se aplica RM MI U1 Cc e U não se aplica RM MI Cc U1 onde RM é o resultado da medição I é a indicação MI é a média das indicações Cc é a correção combinada do SM Cc Td estimativa do Es U1 é a incerteza expandida do processo de medição estimada para uma medição quando não são compensados os efeitos sistemáticos Un é a incerteza expandida do processo de medição estimada para a média de n medições quando não são compensados os efeitos sistemáticos U1 é a incerteza expandida do processo de medição estimada para uma medição quando são compensados os efeitos sistemáticos Un é a incerteza expandida do processo de medição estimada para a média de n medições quando são compensados os efeitos sistemáticos Na determinação do RM não é suficiente a simples aplicação das equações indicadas no quadro acima Há necessidade de uma contínua avaliação da confiabilidade dos valores envolvidos seja das medições efetuadas seja das características do SM ou do processo de medição para o qual é necessário o contínuo uso do bom senso ANEXO I O SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES I1 Necessidade de Um Sistema Internacional Essencial para a realização de uma medição é a existência da unidade estabelecida por um padrão segundo uma convenção própria regional nacional ou internacional No transcorrer do tempo diversos foram os sistemas de unidades estabelecidas nas diferentes regiões do mundo Em função do intercâmbio internacional de produtos e informações bem como da própria incoerência entre unidades anteriormente adotadas estabeleceuse em 1960 através do Bureau Internacional de Pesos e Medidas BIPM um conjunto coerente de unidades o SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES SI que consta das unidades de base derivadas e suplementares O BIPM tem por missão assegurar a unificação mundial das medidas físicas ele é encarregado de estabelecer os padrões fundamentais e as escalas das principais grandezas físicas e de conservar os protótipos internacionais de efetuar a comparação dos padrões nacionais e internacionais de assegurar a coordenação das técnicas de medidas correspondentes de efetuar e de coordenar as determinações relativas às constantes físicas que intervêm naquelas atividades A adoção das unidades do SI é no Brasil uma obrigatoriedade legal e traz uma série de pontos positivos a facilidade de entendimento das informações a nível internacional vantagem comercial e científica b demonstração de maturidade técnicocientífica através do abandono de sistemas superados c a simplificação das equações que descrevem os fenômenos físicos pelo fato de existir consistência entre as unidades das grandezas envolvidas I2 As Três Classes de Unidades do SI No Sistema Internacional distinguemse três classes de unidades unidades de base unidades derivadas unidades suplementares I21 Unidades de Base No SI apenas sete grandezas físicas independentes são definidas as chamadas unidades de base Todas as demais unidades são derivadas destas sete As definições destas grandezas são apresentadas na figura I1 Embora o valor de cada grandeza seja sempre fixo não é raro que a forma de definir uma grandeza sofra alteração Quando ocorrem estas alterações são motivadas por algum avanço tecnológico que cria melhores condições de reprodução do valor unitário desta grandeza isto é praticidade e menores erros I22 Unidades Derivadas Unidades derivadas são as unidades que são formadas pela combinação das unidades de base segundo relações algébricas que correlacionam as correspondentes grandezas Constituem a grande maioria das grandezas em uso A figura I2 exemplifica algumas destas grandezas Por serem muito empregadas algumas grandezas recebem denominação específica como exemplo o newton pascal watt hertz etc a grafia com iniciais em letras minúsculas é intencional e é para diferenciar dos respectivos nomes próprios Newton Pascal Watt Hertz etc I23 Unidades Suplementares No SI são também definidas as unidades suplementares São unidades cuja definição é puramente matemática sem que um padrão ou elemento físico seja necessário Tratase basicamente das unidades de ângulo plano e ângulo sólido como mostra a figura I3 O ângulo plano é a relação entre dois comprimentos e o Ângulo sólido é a relação entre uma área e o quadrado de um comprimento São unidades sem dimensão Notase que estas unidades também podem ser combinadas com as unidades base para formar novas unidades derivadas GRANDEZAS UNIDADE SI NOME GRANDEZA ângulo plano ângulo sólido velocidade angular aceleração angular intensidade energética luminância energética radiano esteradiano radiano por segundo radiano por segundo quadrado watt por esteradiano watt por metro quadrado esteradiano rad sr rads rads2 Wsr Wm 2r1 Figura I3 Unidades SI suplementares e suas derivadas observação É importante salientar que cada grandeza física tem uma só unidade SI mesmo que esta unidade possa ser expressa sob diferentes formas porém o inverso não é verdadeiro a mesma unidade SI pode corresponder a várias grandezas diferentes GRANDEZA FUNDAMENTAL UNIDADE DEFINIÇÃO UNIDADE SÍMBOLO ERRO ATUAL DE REPRODUÇÃO comprimento O metro é o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante o intervalo de tempo de 1299792458 do segundo m 1011 massa O quilograma é a unidade de massa ele é igual à massa do protótipo internacional do quilograma kg 109 tempo O segundo é a duração de 9192631770 períodos da radiação correspondente à transição entre dois níveis hiperfinos do estado fundamental do césio 133 s 31014 intensidade de corrente elétrica O ampère é a intensidade de uma corrente elétrica constante que mantida entre dois condutores paralelos retilíneos de comprimento infinito de seção circular desprezível e situada à distância de 1 metro entre si no vácuo produz entre estes condutores uma força igual a 2 x 107 newton por metro de comprimento A 3107 temperatura termodinâmica O kelvin unidade de temperatura termodinâmica é a fração 127316 da temperatura termodinâmica do ponto tríplice da água K 1K 3 x 103 intensidade luminosa A candela é a intensidade luminosa numa dada direção de uma fonte que emite uma radiação monocromática de frequência 540 x 1012 e cuja intensidade energética nessa direção é 1683 watt por esterradiano cd 104 quantidade de matéria O mol é a quantidade de matéria de um sistema contendo tantas entidades elementares quanto átomos existem em 0012 quilogramas de carbono 12 mol 6107 Figura I1 Unidades de Base do Sistema Internacional MCG 042 GRANDEZAS UNIDADE SI NOME SÍMBOLO EXPRESSÃO EM UNIDADE DE BASE superfície volume velocidade aceleração número de ondas massa específica concentração quant matéria volume específico luminância frequência força pressão energia trabalho quantidade de calor potência fluxo energético carga elétrica tensão elétrica capacitância elétrica resistência elétrica condutância fluxo de indução magnética indução magnética indutância fluxo luminoso iluminamento ou aclaramento viscosidade dinâmica momento de uma força torque tensão superficial densidade de fluxo térmico capacidade térmica entropia calor espec entropia espec energia específica condutividade térmica densidade de energia campo elétrico densidade de carga elétrica deslocamento elétrico permissividade densidade de corrente campo magnético permeabilidade energia molar entropia molar calor molar metro quadrado metro cúbico metro por segundo metro por segundo ao quadrado 1 por metro quilograma por metro cúbico mol por metro cúbico metro cúbico por quilograma candela por metro quadrado hertz newton pascal joule watt coulomb volt farad ohm siemens weber tesla henry lumen lux pascal segundo newton metro newton por metro watt por metro quadrado joule por kelvin joule por quilograma kelvin joule por quilograma watt por metro kelvin joule por metro cúbico volt por metro coulomb por metro cúbico coulomb por metro quadrado farad por metro ampère por metro quadrado ampère por metro henry por metro joule por mol joule por mol kelvin m² m³ ms ms² m1 kgm³ molm³ m³kg cdm² Hz N Pa J W C V F Ω S Wb T H lm lx Pas Nm Nm Wm² JK JkgK Jkg WmK Jm³ Vm Cm³ Cm² Fm Am² Am Hm Jmol JmolK m² m³ ms ms² m1 kgm³ molm³ m³ kg cdm² s1 mkgs2 m1kgs2 m2kgs2 m2kgs3 sA m2kgs3A1 m2kg1s4A2 m2kgs3A2 m2kg1s3A2 m2kgs2A1 kgs2A1 m2kgs2A2 cdsr m2cdsr m1kgs1 m2kgs2 kgs2 kgs3 m2kgs2K1 m2s2K1 m2s2 mkgs3K1 m1kgs2 mkgs3A1 m3sA m2sA m3kg1s4A2 Am2 Am mkgs2A1 m2kgs2mol1 m2kgs2K1mol1 Figura I2 Unidades SI derivadas MCG 0432 I3 Regras para Escrita e Emprego dos Símbolos das Unidades SI Os princípios gerais referentes a grafia dos símbolos das unidades são 1 Os símbolos das unidades são expressos em caracteres romanos verticais e em geral minúsculos Entretanto se o nome da unidade deriva de um nome próprio a primeira letra do símbolo é maiúscula Ex hertz Hz 2 Os símbolos das unidades permanecem invariáveis no plural 3 Os símbolos das unidades não são seguidos por ponto A Organização Internacional de Normalização ISO baixou recomendações adicionais para uniformizar as modalidades de emprego dos símbolos das unidades SI De acordo com essas recomendações a O produto de duas ou mais unidades pode ser indicado de uma das seguintes maneiras Por exemplo Nm ou Nm b Quando uma unidade derivada é constituída pela divisão de uma unidade por outra podese utilizar a barra inclinada o traço horizontal ou potências negativas Por exemplo ms m s ou ms1 c Nunca repetir na mesma linha mais de uma barra inclinada a não ser com o emprego de parênteses de modo a evitar quaisquer ambigüidades Nos casos complexos devem utilizarse parênteses ou potências negativas Por exemplo ms2 ou ms2 porém não mss mkgS3A ou mkgS3A1 porém não mkgs 3A Observação O quilograma Entre as unidades de base do Sistema Internacional a unidade de massa é a única cujo nome por motivos históricos contém um prefixo Os nomes dos múltiplos e submúltiplos decimais da unidade de massa são formados pelo acréscimo dos prefixos à palavra grama Por exemplo 106 kg 1 miligrama 1mg porém nunca 1 microquilograma 1µkg I4 Múltiplos e Submúltiplos Decimais No SI foram estabelecidos para as unidades os múltiplos e submúltiplos decimais com a nomenclatura e simbologia dada na figura I4 Apesar de serem previstos os múltiplos da e h bem como os submúltiplos d e c o seu uso não é recomendado pelo SI Desta forma por exemplo comprimentos recomendase expressar em km m mm µm mas não em hm dam dm ou cm FATOR PREFIXO SÍMBOLO FATOR PREFIXO SÍMBOLO 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 yotta zetta exa peta tera giga mega quilo hecto deca Y Z E P T G M k h da 101 102 10 3 106 109 1012 1015 1018 1021 1024 deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto d c m µ n p f a z y Figura I4 Múltiplos e Submúltiplos Decimais das Unidades do SI I5 Regras para Emprego dos Prefixos no SI Os princípios gerais adotados pela ISO no emprego dos prefixos SI são 1 Os símbolos dos prefixos são impressos em caracteres romanos verticais sem espaçamento entre o símbolo do prefixo e o símbolo da unidade 2 O conjunto formado pelo símbolo de um prefixo ligado ao símbolo de uma unidade constitui um novo símbolo inseparável símbolo de um múltiplo ou submúltiplo dessa unidade que pode ser elevado a uma potência positiva ou negativa e que pode ser combinado a outros símbolos de unidades para formar os símbolos de unidades compostas Por exemplo 1cm3 102 m3 106m3 1cm1 102 m1 102m1 1µs1 106 s1 106s1 1Vcm 1V102 m 102Vm 3 Os prefixos compostos formados pela justaposição de vários prefixos SI não são admitidos por exemplo 1nm porém nunca 1mµm 4 Um prefixo não deve ser empregado sozinho por exemplo 106m3 porém nunca Mm3 I6 Alguns Enganos São listados a seguir algumas situações errôneas muito comuns na prática que devem ser evitadas ERRADO CERTO Km km Kg kg µ µm a grama o grama 2 hs 2 h peso de 10 quilos massa de 10 kg quilogramas 80 KM 80 kmh 250 K 250 graus kelvin 250 K 250 kelvin I7 Unidades não Pertencentes ao Sistema Internacional I71 Unidades em uso com o Sistema Internacional O BIPM reconheceu que os utilizadores do SI terão necessidade de empregar conjuntamente certas unidades que não fazem parte do Sistema Internacional porém estão amplamente difundidas Estas unidades desempenham papel tão importante que é necessário conserválas para uso geral com o Sistema Internacional de Unidades Elas são apresentadas na figura I5 A combinação de unidades deste quadro com unidades SI para formar unidades compostas não deve ser praticada senão em casos limitados a fim de não perder as vantagens de coerência das unidades SI NOME SÍMBOLO VALOR EM UNIDADES SI minuto hora dia grau minuto segundo litro tonelada min h d l L t 1 min 60 s 1 h 60 min 3600 s 1 d 24 h 86400 s 1 π180 rad 1 160 π10800 rad 1 160 π648000 rad 1l 1dm3 103m3 1 t 103 kg Figura I5 Unidades em uso com o Sistema Internacional Do mesmo modo é necessário admitir algumas outras unidades não pertencentes ao Sistema Internacional cujo uso é útil em domínios especializados da pesquisa científica pois seu valor a ser expresso em unidades SI tem de ser obtido experimentalmente e portanto não é exatamente conhecido figura I6 I72 Unidades admitidas temporariamente Em virtude da força de hábitos existentes em certos países e em certos domínios o BIPM julgou aceitável que as unidades contidas na figura I7 continuassem a ser utilizadas conjuntamente com as unidades SI até que seu emprego não seja mais necessário Estas unidades não devem todavia ser introduzidas nos domínios onde elas não são mais utilizadas É altamente recomendável um estudo complementar do SI para que se tome conhecimento de uma série de detalhes interessantes e importantes com respeito a esta normalização NOME SÍMBOLO DEFINIÇÃO elétronvolt unidade unificada de massa atômica eV u a b a 1 elétronvolt é a energia cinética adquirida por um elétron atravessando uma diferença de potencial de 1 volt no vácuo 1 eV 1602 19 x 1019 aproximadamente b A unidade unificada de massa atômica é igual à fração 112 da massa de um átomo do nuclídio C12 1 u 1660 57 x 1027 kg aproximadamente Figura I6 Unidades em uso com o Sistema Internacional cujo valor em unidades SI é obtido experimentalmente NOME SÍMBOLO VALOR EM UNIDADES SI milha marítima nó angstrom are hectare bar Å a ha bar 1 milha marítima 1852 m 1 milha marítima por hora 18523600ms 1Å 01nm 1010m 1 a 1 dam2 102 m2 1 ha 1 hm2 104m2 1 bar 01MPa 100kPa 1000hPa 105 Pa Figura I7 Unidades em uso temporariamente com o Sistema Internacional ANEXO II TERMINOLOGIA COMPLEMENTAR A terminologia adotada neste trabalho é compatível com a regulamentada pela portaria número 029 de 100395 do INMETRO em vigor no Brasil que assegura compatibilidade com normas internacionais da ISO International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology Neste anexo são apresentadas algumas definições complementares não contempladas por esta portaria porém consideradas necessárias para expor de forma mais clara os conceitos e fenômenos aqui descritos Erro Máximo de um Sistema de Medição Emáx Faixa de valores simetricamente distribuída em relação ao zero que com uma probabilidade estatisticamente definida enquadra o erro máximo que pode ser cometido por um sistema de medição dentro de toda sua faixa de medição Inclui as parcelas sistemática e aleatória Normalmente adotase 95 de probabilidade de enquadramento Este conceito pode ser estendido para os módulos que constituem o SM erro máximo do indicador erro máximo do transdutor etc O mesmo que Incerteza do SM Histerese H Histerese de um SM é um erro de medição que ocorre quando há diferença entre a indicação de um SM para um dado valor do mensurando quando este foi atingido por valores crescentes e a indicação quando atingida por valores decrescentes do mensurando Incremento Digital ID Variação mínima da indicação direta apresentada por um mostrador digital Deve ser notado que nem sempre o último dígito varia de forma unitária Repetitividade Re É uma estimativa da faixa de valores dentro da qual com uma probabilidade estatística definida se situa o erro aleatório de um dado módulo ou sistema de medição Quando não mencionado em contrário entendese que a probabilidade de enquadramento do intervalo de confiança é sempre 95 Sua estimativa é calculada pelo produto do desvio padrão experimental pelo respectivo coeficiente t de Student para indicações obtidas nas mesmas condições ANEXO III CONCEITOS BÁSICOS DE ESTATÍSTICA Existem funções cujo comportamento é perfeitamente previsível Estas funções são denominadas determinísticas A função fx 2x 4 é uma função determinística uma vez que seu valor está perfeitamente caracterizado quando x é definido Funções determinísticas são muito empregadas em modelos matemáticos idealizados O mundo real não é composto apenas por funções determinísticas Certas propriedades como por exemplo a resistência mecânica de um material a vida de uma lâmpada a soma de dois dados honestos jogados ao acaso ou a temperatura máxima em Curitiba no mês de janeiro variam de amostra para amostra Um valor médio é obtido porém é impossível prever exatamente qual o valor a ser encontrado na própria amostra a ser testada Funções que apresentam imprevisibilidade são denominadas de aleatórias Como são imprevisíveis não podem ser equacionadas através dos recursos usuais da matemática determinística Ferramentas estatísticas são necessárias para tal III1 Distribuição de Probabilidade A soma de dois dados honestos pode resultar em qualquer número entre 2 e 12 Embora exista apenas uma única combinação de dados que resulte em 2 11 notase que existem seis diferentes combinações de dados cuja soma resulta em 7 16 25 34 43 52 61 As chances de que a soma de dois dados lançados ao acaso resulte em 7 são maiores do que resultem em 2 Em outras palavras a probabilidade de 7 ser obtido é maior do que 2 A figura III1 melhor caracteriza o universo das possíveis combinações dos dados que levam a cada soma No eixo horizontal estão representados os valores possíveis para a soma enquanto que no eixo vertical representase o número de combinações que resultam naquela soma ou seja a freqüência com que aquele evento se manifesta No total são 36 combinações possíveis Para determinar a probabilidade de que uma determinada soma seja obtida é suficiente dividir o número de combinações que resultam naquela soma pelo número de combinações totais possíveis A probabilidade de que 7 seja obtido como soma é de 636 ou 16 As chances de obter 8 são de 536 A probabilidade de que um valor situado dentro de uma faixa de valores seja obtido pode ser calculado pela soma das probabilidades individuais Assim as chances de que a soma esteja dentro da faixa 7 1 é calculado por 536 636 536 que são as probabilidades de se obter 6 7 e 8 respectivamente o que resulta em 1636 ou 49 Verificase que as chances de que qualquer valor entre 2 e 12 seja obtido são de 1 100 O gráfico da figura III1 pode ter a freqüência expressa em termos relativos Para tal dividese a freqüência de cada evento pelo número total de eventos do universo possível No caso dividese cada freqüência por 36 A figura III2 mostra o gráfico resultante Este gráfico das freqüências relativas recebe o nome de função densidade de probabilidade representada por px onde x Figura III1 Combinações Possíveis para a Soma de Dois Dados Honestoss O representa cada evento envolvido e px a probabilidade deste evento ocorrer No caso da soma de dois dados honestos p7 16 p6 x 8 49 px 1 A soma de dois dados é uma variável discreta isto é pode assumir apenas alguns valores inteiros e bem definidos Porém freqüentemente encontrase na natureza funções aleatórias contínuas isto é podem assumir qualquer valor real Ao se analisar estatisticamente o comportamento de uma máquina ensacadeira que idealmente deveria empacotar 100 kg do produto por saco verificase na prática que isto não ocorre sempre Por imperfeições no seu mecanismo sacos com massas por exemplo entre 098 kg e 102 kg podem resultar Embora seja muito difícil calcular teoricamente a função densidade de probabilidade desta ensacadeira é possível determinala aproximadamente através de um grande número de observações experimentais O aspecto da função densidade de probabilidade de uma função aleatória contínua é uma curva contínua A figura III3a ilustra px para uma ensacadeira com distribuição de probabilidade normal ou gaussiana Notase que px é também uma função contínua Neste caso não há sentido em se determinar a probabilidade de que um determinado valor real venha a ocorrer mas apenas de que faixas venham a ocorrer Por exemplo para determinar as chances de que sacos 100 002 kg sejam obtidos determinase a área abaixo da curva px representada por P098 x 102 1 entre estes limites isto é P x p x dx x x 0 98 1 02 0 98 1 02 III1 Devese notar uma importante propriedade de px P x 1 isto é a integral de px entre os limites e que corresponde à probabilidade de x estar dentro destes limites sempre resulta em 1 A figura IIIb apresenta a função densidade de probabilidade de outra ensacadeira com características diferentes Notase que embora a área total sob pbx seja também unitária esta é uma curva mais fechada que pax A máquina que possui pbx apresenta maior probabilidade de resultar sacos com valores mais próximos do ideal que a primeira portanto é uma máquina melhor Já a máquina que possui pcx é a pior de todas por apresentar probabilidade relativamente altas de que valores que se afastam bastante do ideal venham a ocorrer A característica que diferencia estas três ensacadeiras é a chamada dispersão que é maior quanto maior for o espalhamento da curva px isto é a dispersão de pcx é maior que a dispersão de pbx O desvio padrão σ é um parâmetro estatístico empregado para medir a dispersão de uma função aleatória É tanto maior quanto maior for a dispersão No caso da figura III3 é evidente que σc σa σb σ é calculado por σ µ lim n i i x n 2 1 III2 onde xi é o valor do evento i µ é o valor médio de todos os eventos 1 Aqui o símbolo px é empregado para a função densidade de probabilidade enquanto Py representa a probabilidade do evento y ocorrer Outro parâmetro importante que caracteriza uma função aleatória é o seu valor central isto é seu valor médio µ µ é calculado por µ lim n i n i x 1 1 III3 III2 Distribuição Normal Uma das distribuições estatísticas mais comumente encontradas na prática é a distribuição normal ou gaussiana O teorema do limite central demonstra que a combinação de um grande número de fatores de natureza aleatória com qualquer distribuição aproximase da distribuição normal à medida que aumenta o número dos fatores envolvidos A forma da função densidade de probabilidade px da distribuição normal assemelhase a de um sino como mostrada na figura III4 Apresenta simetria em torno do valor central médio O desvio padrão desta distribuição corresponde à distância entre o valor central e o ponto de inflexão de px isto é o ponto onde a segunda derivada de px é zero Sua função densidade de probabilidade é p x e onde z x z 1 2 2 2 π µ σ III4 e µ é o valor médio σ é o desvio padrão A distribuição das dimensões de um lote de peças fabricadas por uma máquina a distribuição em um alvo de tiros dados por um atirador os erros de medição e a temperatura média do dia 21 de abril de cada ano são exemplos de distribuições normais O cálculo da probabilidade de que uma dada função aleatória com distribuição normal esteja dentro de uma faixa de valores é também calculada pela equação III1 isto é pela integral definida de px entre os limites considerados No caso da distribuição normal não se pode exprimir a integral de px como uma função simples É comum encontrar esta integral na forma de tabelas normalizadas Entretanto existem alguns valores particulares que por serem muito empregados na prática devem ser citados Se tratando de uma função aleatória com distribuição normal valor médio µ e desvio padrão σ é possível calcular as seguintes probabilidades Pµσ x µσ 06826 Pµ3σ x µ3σ 09973 Pµ196σ x µ196σ 095 Pµ258σ x µ258σ 099 Pµ330σ x µ330σ 0999 III3 A Natureza Aleatória do Erro de Medição Sabese que é impossível efetuar uma medição absolutamente isenta de erros Seja em função do sistema de medição ou em função do mensurando ou do operador o erro de medição está Distribuição Normal sempre presente Ao se repetir a medição de um mensurando invariável com o mesmo sistema de medição e nas mesmas condições como por exemplo a medição repetitiva da massa de uma peça com a mesma balança verificase com freqüência que o valor obtido não se repete O erro de medição presente em cada indicação pode ser determinado pela diferença entre a indicação e o valor verdadeiro convencional isto é E I VVC Em um SM ideal este erro deveria ser sempre nulo Porém notase que este erro é na verdade uma função aleatória com distribuição aproximadamente normal O valor médio do erro de medição é o erro sistemático Es que só poderia ser determinado baseada em um número infinito de observações por Es MI VVC onde MI n Ii i n 1 1 III5 e MI é a média de infinitas indicações VVC é o valor verdadeiro convencional Se um número finito de observações é envolvido a equação III5 pode ainda ser usada para estimar o erro sistemático Neste caso esta estimativa recebe o nome específico de tendência Td A parcela aleatória do erro de medição é simplesmente chamada de erro aleatório Tratandose de uma função aleatória cada valor medido possui um erro aleatório diferente e dado por Eai Ii MI A sua caracterização é realizada através da medida da dispersão da distribuição normal associada isto é do desvio padrão σ Definese a repetitividade Re como sendo a faixa que com uma probabilidade estatística definida conterá o erro aleatório É comum adotar a probabilidade de 95 como aceitável para a Re 2 Assim 95 dos erros aleatórios estarão dentro desta faixa A Re é estimada por Re 95 196 σ III6 Porém como será visto no próximo item a estimação de σ não é tão direta III4 Amostra Versus População Os conceitos de média µ e desvio padrão σ são válidos para uma função aleatória Para caracterizálos perfeitamente pelas equações III2 e III3 é necessário envolver um número infinito de valores observados desta função isto é toda a população Na prática não se tem tempo para coletar um número infinito de valores É comum considerar apenas uma amostra de n valores desta população A média e o desvio padrão da população são estimados a partir da média do desvio padrão e do tamanho da amostra A média e o desvio padrão da amostra são calculados por 2 Alguns autores adotam 997 o que corresponde a 3σσσ x n xi i n 1 1 III7 e s x x n i i n 2 1 1 III8 Esta estimativa só é confiável para valores grandes de n Se amostras pequenas são envolvidas n 200 é necessário aplicar um coeficiente de correção t conhecido como coeficiente tStudent O coeficiente tStudent é função da probabilidade de enquadramento desejada P e do tamanho da amostra n A figura III5 apresenta valores tabelados para t como função de n e de P Assim a repetitividade associada ao erro aleatório pode ser estimada por Re t s III9 A média verdadeira da população µ calculada a partir dos parâmetros da amostra não pode ser determinada exatamente Alguma incerteza ainda resultará Podese mostrar que a média da população estará situada dentro da seguinte faixa determinada de intervalo de confiança da média x t n s x n Re III9 onde x é a média da amostra s é o desvio padrão da amostra t é o coeficiente tStudent n é o tamanho da amostra III5 Outras Distribuições Estatísticas Existem situações na prática onde é conveniente modelar certos efeitos ou fenômenos por meio de outras distribuições distintas da normal Neste texto não será discutida a aplicabilidade das diversas distribuições em problemas de metrologia a Distribuição retangular É caracterizada por apresentar a mesma densidade de probabilidade para todos os valores dentro dos limites dados por µ a e µ a e zero fora destes figura III6 Seu desvio padrão é dado por σ a 3 b Distribuição triangular É caracterizada por apresentar máxima probabilidade para o valor médio e decrescer linearmente até zero nos limites dados por µ a e µ a e zero fora destes figura III7 Seu desvio padrão é dado por σ a 6 Número de valores Indivíduos n 2 1839 12706 63656 235774 3 1322 4303 9925 19206 4 1198 3182 5841 9219 5 1142 2776 4604 6620 6 1111 2571 4032 5507 7 1091 2447 3707 4904 8 1077 2365 3499 4530 9 1067 2306 3355 4277 10 1059 2262 3250 4094 11 1053 2228 3169 3957 12 1048 2201 3106 3850 13 1044 2179 3055 3764 14 1041 2160 3012 3694 15 1038 2145 2977 3636 16 1035 2131 2947 3588 17 1033 2120 2921 3544 18 1031 2110 2898 3507 19 1029 2101 2878 3475 20 1028 2093 2861 3447 21 1026 2086 2845 3422 22 1025 2080 2831 3440 23 1024 2074 2819 3380 24 1023 2069 2807 3361 25 1022 2064 2797 3345 26 1021 2060 2787 3330 27 1020 2056 2779 3316 28 1020 2052 2771 3303 29 1019 2048 2763 3291 30 1018 2045 2756 3280 40 1014 2023 2708 3204 60 1009 2001 2662 3132 120 1005 1960 2618 3064 1000 1960 2580 3000 Figura III6 Distribuição de Probabilidade Retangular Figura III7 Distribuição de Probabilidade Triangular Exercícios para o Anexo III III1 Classifique as variáveis abaixo como determinísticas ou aleatórias A A distância indicada no odômetro de automóveis que percorrem o trecho FlorianópolisCuritiba pela mesma estrada B O horário do pôrdosol de uma mesma cidade ao longo do ano C A massa de uma pitada de sal que uma cozinheira acrescenta todo dia no feijão D A vida de uma lâmpada de 60W de um mesmo lote de fabricação E O seno do terço do quadrado de um número III2 Qual a probabilidade da soma de três dados honestos estar entre 5 e 7 inclusive III3 Classifique as seguintes variáveis aleatórias como discretas ou conínuas A A massa de uma pitada de sal B A medida da massa de uma pitadas de sal obtida de uma balança com resolução de 01g C A vida de lâmpadas de um mesmo lote de fabricação D O tempo expresso em horas correspondente à vida de uma pessoa do sexo masculino residente em uma dada cidade E As várias medidas efetuadas da massa de uma mesma peça efetuadas pela mesma balança III4 Senso px a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua determine expressões para o cálculo da probabilidade desta variável A Ser maior que o valor xz B Ser menor que o valor xb C Sendo xaxb estar entre estes dois valores D Sendo xaxb ser maior que xa ou menor que x III5 Qual a probabilidade de uma variável aleatória com distribuição normal com média 1800g e desvio padrão 012g situarse dentro da faixa 1800 036g e na faixa 1824 012g III6 Calcule a média amostral o desvio padrão amostral e o intervalo de confiança do erro aleatório dos dados abaixo Calcule também o intervalo de confiança dentro do qual estará a média verrdadeira população completa equação III9 128 125 130 131 126 129 131 128 123 128 126 127 III7 Supondo que os dados da questão anterior referemse à calibração de juma balança onde a mesma massa padrão de 12500 0002g foi medida diversas vezes o que possível afirmar sobre o erro sistemático e sua incerteza ANEXO IV REGRAS DE COMPATIBILIZAÇÃO DE VALORES O resultado de uma medição envolvendo o resultado base RB e a incerteza do resultado IR deveO resultado de uma medição envolvendo o resultado base RB e a incerteza do resultado IR devem sempre ser apresentado de forma compatível É importante que o número e a posição dos dígitos que representam estes componentes do RM guardem uma certa relação Seja por exemplo o RM representado da forma abaixo RM 255227943 4133333333 mm A forma acima é de difícil legibilidade por conter uma série de dígitos que absolutamente não trazem nenhuma informação relevante Sabese que a IR incerteza do resultado é um número obtido em função de certos procedimentos estatísticos portanto é uma estimativa aproximada Não há necessidade de apresentar o tamanho da faixa de incerteza com precisão melhor que um ou dois algarismos significativos 1 No caso a representação 41 ou mesmo 4 é suficiente para a IR O resultado base deve ser escrito de forma a conter o mesmo número de casas decimais que a IR As seguintes regras são recomendadas como forma de automaticamente estabelecer as considerações acima IV1Regras de Arredondamento de Valores Quando desejase arredondar um número para que seja expresso com uma certa quantidade de dígitos significativos devese aplicar as regras convencionais de arredondamento Regra 1 Se o algarismo a direita do último dígito que se pretende representar for inferior a 5 apenas desprezamse os demais digitos à direita Exemplo 31415926535 314 Regra 2 Se o algarismo a direita do último dígito que se pretende representar for maior que 5 adicionase uma unidade ao último dígito representado e desprezamse os demais digitos à direita Exemplo 1 Não confundir com casas decimais 31415926535 31416 Regra 3 Se o algarismo a direita do último dígito que se pretende representar for igual a 5 a adicionase uma unidade ao último dígito representado e desprezamse os demais digitos à direita se este dígito for originalmente ímpar b apenas são desprezados os demais digitos à direita se este dígito for originalmente par ou zero Exemplos 31415926535 3142 12625 1262 IV2Regras de Compatibilização de Valores O RM deve ser expresso preferencialmente com apenas um algarismo significativo na IR Neste caso as regras de compatibilização 1 e 2 devem ser usadas Regra 1 Arredondar a IR para apenas um algarismo significativo isto é com apenas um algarismo diferente de zero Regra 2 Arredondar o RB para mantelo compatível com a IR de forma que ambos tenham o mesmo número de dígitos decimais após a vírgula Exemplos 5833333 01 583 01 38542333 021253 3854 02 378359 1 38 1 9594 00378 9594 004 93 0002 93000 00022 A IR pode ser representada com dois dígitos significativos quando se tratar do resultado de uma medição crítica executada com todo o cuidado e envolvendo um grande número de medições eou quando a IR for relativamente grande quando comprada ao RB Nestes casos aplicase a regra 3 em substituição à 1 em conjunto com a regra 2 Regra 3 Escrever a IR com dois algarismos significativos isto é com apenas dois algarismos diferentes de zero Exemplos 31385 015 314 015 38546333 024374 38546 024 319213 11 319 11 2 Esta representação é correta se for assumido que a leitura original era de 93000 cujos zeros não foram escritos Se a leitura tivesse sido simplesmente truncada independentemente dos dígitos abandonados a representação deveria ser 930 05 6325 0414 632 041 003425 00034 00342 00034 IV3 Observações Complementares Não se deve esquecer de apresentar a unidade do RM observando a grafia correta do símbolo que representa a unidade inclusive respeitando as letras maiúsculas e minúsculas conforme o caso A unidade deverá pertencer ao Sistema Internacional de Unidades SI Caso seja necessária a utilização de outra unidade não pertencente ao SI devese entre parênteses apresentar o correspondente RM em unidades do SI Isto mostra que não houve falta de conhecimentos na apresentação do resultado É recomendável o uso de parêntesis envolvendo o RB e a IR para deixar claro que ambas parcelas estão referenciadas à mesma unidade Exemplo 1206 09 m deve ser preferido em lugar de 1206 09 m c Embora na apresentação do RM sejam utilizados apenas os dígitos mínimos necessários deve ser dito que é conveniente manter um número razoável de dígitos significativos nos cálculos intermediários e efetuar o arredondamento apenas no final Deve se adotar nestes cálculos ao menos um ou dois dígitos significativos a mais que o resultante para o RB d Em qualquer situação o bom senso deve sempre prevalecer